Содержание к диссертации
Введение
1 Четвертое уравнение Пенлеве 15
1.1 Система уравнений ассоциированная с Р± 15
1.2 Данные монодромии для системы уравнений (1.1.8) . 18
1.3 Вычисление данных монодромии. Случай 25
1.3.1 ВКБ-решения уравнения (0.1.10) 25
1.3.2 Решение (0.1.10) в окрестности точки Л = 0 32
1.3.3 Оценки внешнего и внутреннего приближений задачи (0.1.10) 36
1.3.4 Вычисление матрицы Q 44
1.4 Вычисление данных монодромии. Случай х —> —оо 51
1.4.1 Внешнее разложение 52
1.4.2 Внутреннее разложение 57
1.5 Случай полуцелых а 62
1.5.1 Случай см-полуцелое, (5- целое четное 66
1.6 Случай а — 0 76
1.7 Преобразования Бэклунда и Шлезингера 80
1.7.1 Вычисление преобразований Шлезингера 80
1.7.2 "Одевание" решений Р± с помощью преобразований Бэклунда 87
1.8 Заключительная теорема 89
2 Второе уравнение Пенлеве 93
2.1 Данные монодромии системы, связанной с / 93
2.2 ВКБ-решения ассоциированной системы 95
2.3 Вычисление фазового интеграла 99
2.4 Решение системы (2.2.8) в окрестности точки z = 0 102
2.5 Вычисление параметра р и асимптотика решения уравнения Р2 106
3 Распределение собственных чисел в матричной модели, ортогональные полиномы и уравнения Пенлеве 110
3.1 Эрмитовы матричные модели 110
3.1.1 Распределение собственных чисел в эрмитовой матричной модели 110
3.2 Полуклассические ортогональные полиномы 118
3.2.1 Дифференциальные уравнения для полиномов .119
3.3 Изомонодромные деформации системы уравнений (3.2.18) 127
3.3.1 Примеры 132
Заключение 140
Список литературы 143
- Оценки внешнего и внутреннего приближений задачи (0.1.10)
- "Одевание" решений Р± с помощью преобразований Бэклунда
- Решение системы (2.2.8) в окрестности точки z = 0
- Распределение собственных чисел в эрмитовой матричной модели
Введение к работе
Исторические замечания
Несводимость1 уравнений Пенлеве к известным уравнениям (за исключением случаев специального выбора параметров) позволяет выделить их решения как отдельный класс специальных функций. Решения уравнений Пенлеве принято называть функциями Пенлеве или трансцендентными Пенлеве.
С начала века было обнаружено много замечательных свойств уравнений Пенлеве, включая открытие самим Пенлеве редукционных соотношений между этими уравнениями [111, 54], доказательство их мероморфности [109], уточненное Голубевым [45, 46], фундаментальное открытие Фуксом [40] связи уравнений Пенлеве с изомонодромными деформациями систем линейных дифференциальных уравнений и разработка теории изомонодромных деформаций в работах Шлезингера и Гарнье [113, 44], открытие Бутру [21] нетривиальной асимптотической связи функций Пенлеве с эллиптическими функциями.
Дальнейшие исследования дали массу информации об отдельных свойствах этих уравнений: были найдены преобразования Бэклунда, описаны
Новый всплеск интереса к функциям Пенлеве в конце 70-х-начале 80-х годов был вызван обнаружением многочисленных физических приложений этих функций. Оказалось, что функции Пенлеве играют в нелинейных задачах математической физики ту же роль, что и классические специальные функции в линейных физических задачах.
Первая группа таких приложений касается нелинейных уравнений в частных производных. Оказалось, что функции Пенлеве описывают определенные переходные и автомодельные решения интегрируемых (а иногда и неинтегрируемых) уравнений в частных производных. Так, первый трансцендент Пенлеве Pi описывает стационарные бегущие волны уравнения Буссинеска и КдФ, второе уравнение Пенлеве Р2 — автомодельные решения уравнения мКдФ, третье уравнение Пенлеве Рз — автомодельные решения уравнения sin-Гордон, четвертое уравнение Р4 — автомодельные решения модифицированного нелинейного уравнения Шре-дингера [3], а третье Рз, пятое Р5 и шестое Р6 уравнения оказались связанными с различными автомодельными редукциями модели трех волн [86, 85, 37]. Кроме того, второе уравнение Пенлеве Р2 было использовано как сшивающее уравнение для описания неустойчивости плазмы [126]. Один из недавних примеров этой группы приложений функций Пенлеве связан с применением третьего и четвертого трансцендентов Пенлеве в описании рамановского рассеяния [76, 87].
Указанный факт связи интегрируемых уравнений в частных производных с уравнениями Пенлеве (или, более точно, с уравнениями Р-типа) был впервые открыт Абловицем и Сегуром [1] и позволил им предложить первую из формул связи для Р2 вместе с первой конструктивной идеей о том, как анализировать Р2 с помощью интегральных уравнений Гельфанда-Левитана-Марченко для КдФ (одновременно, первую формулу связи для Рз предъявили МакКой, Трэйси и By [95]).
Другая группа приложений уравнений Пенлеве — точно решаемые модели статистической физики и квантовой теории поля. Здесь аппарат функций Пенлеве используется в целом ряде теоретико-полевых задач, таких как вычисление двухточечных корреляционных функций для двумерной модели Изинга [95], для одномерного непроницаемого Бозе-газа при нулевой температуре [65], для одномерной изотропной ХУ-модели при нулевой температуре [93, 121], а также для вычисления корреляционных функций для топологических полевых моделей [23, 29] и модели двумерной квантовой гравитации [51, 28].
Совсем недавно появились работы, посвященные приложениям функций Пенлеве в теории случайных матриц и эрмитовых матричных моделей статистической физики [60, 18]. Здесь исследуется задача универсальности локального распределения собственных чисел в эрмитовой матричной модели и функция распределения собственных чисел выражается, в частности, в терминах решений уравнений Пенлеве.
Отдельно следует сказать о связи уравнений Пенлеве с ортогональными многочленами [91]. Здесь уравнения Пенлеве и их высшие аналоги появляются в виде соотношений между коэффициентами рекурренции полуклассических ортогональных полиномов с различными весовыми функциями, зависящими от произвольного параметра.
Также, Окамото [104] показал, что рациональные решения Р выражаются в виде логарифмической производной специальных полиномов, названых полиномами Яблонского-Воробьева (аналогичным свойством обладают рациональные решения второго уравнения Пенлеве, для которых впервые и были получены полиномы). Недавно Умемурой были получены соответствующие полиномы ДЛЯ Р3, Р5 И PQ.
В последние годы, с развитием симметрийных методов для дифференциальных уравнений была найдена связь между интегрируемыми цепочками и уравнениями Пенлеве [4, 5], а также их высшими аналогами и дискретными уравнениями Пенлеве, в которых последние играют роль "автомодельных" решений, как и в случае с дифференциальными уравнениями в частных производных. В частности было показано, что при подходящих конечномерных замыканиях нелинейных цепочек типа Тоды и Вольтерра возникают уравнения Пенлеве.
И, наконец, приложения уравнений Пенлеве при изучении переходных режимов и бифуркаций в неинтегрируемых нелинейных моделях [52, 92]. В последней работе, посвященной изучению модели, описывающей, в частности, маятник в жесткой вращающейся рамке и частицу, движущуюся по гладкому вращающемуся кольцу, многократное прохождение точки бифуркации описывается с помощью второго уравнения Пенлеве.
В связи с увеличением числа приложений функций Пенлеве в нелинейной науке в последнее время нарастает тенденция выделить этот класс как спецфункции, наряду с другими классическими, такими как функции Эйри, Бесселя, гипергеометрической и другими, поскольку первые играют в теории нелинейных уравнений ту же роль, что и классические спецфункции в теории линейных дифференциальных уравнений в частных производных.
Как спец функции, трансцендентны Пенлеве интересны с точки зрения исследования асимптотического поведения и набору дескриптивных свойств (распределение нулей и полюсов). Наиболее интересным фактом с прикладной точки зрения оказалось то, что как и для "линейных" специальных функций, для функций Пенлеве оказалось возможным вывести точные формулы связи, которые и составляют аналитический базис использования их в качестве сшивающих функций. Парадокс истории состоит в том, что хотя в работе [21] и содержится прямое указание на возможность построения частных решений шестого уравнения Пенлеве с помощью эффекта сохранения свойств монодромии для ассоциированного с ним линейного уравнения, эта идея оставалась не реализованной до начала 80-х. Только в работе Флашки и Ньюэлла [33] и цикле статей Джимбо, Мива и Уено [66] эта идея была открыта заново и воплощена в изомонодромном методе интегрирования уравнений Пенлеве.
Изомонодромный метод. Суть изомонодромного метода, который можно понимать как нелинейный аналог метода Лапласа для обыкновенных уравнений, состоит в том, что каждое из уравнений Пенлеве рассматривается как уравнение изомонодромных деформаций для некоторой дополнительной линейной системы. То есть, деформация коэффициентов этой системы в соответствии с уравнением Пенлеве не приводит к изменению свойств монодромии этой системы. Тем самым, набор данных монодромии, включающий матрицы Стокса, матрицы монодромии особенностей системы и матрицы связи особенностей системы, оказывается набором первых интегралов соответствующего уравнения Пенлеве. С формальной точки зрения это означает, что уравнение проинтегрировано. Вопрос состоит только в том, насколько этот результат полезен для изучения трансцендентна Пенлеве. Ответ на этот вопрос далеко не тривиален, за исключением, разве что, специальных случаев. Действительно, противоположное означало бы возможность решения нетривиальной матричной задачи Римана-Гильберта, эквивалентной этой обратной задаче монохромии, и, следовательно, получения выражения для трансцендента Пенлеве в терминах известных функций.
Тем не менее, данные монодромии можно вычислить асимптотически, предполагая определенный характер поведения решения. Поскольку они являются интегралами движения для уравнения, мы получаем формулы связи между асимптотическими параметрами для решения и(х), например, на разных бесконечностях. Следуя этой схеме, действительно, в течение последних 15 лет удалось получить множество глобальных асимптотических результатов для всех уравнений Пенлеве. Относительно полный список работ на эту тему, включающий труды Джимбо [64], МакКоя и Тэнга [94], Итса [62, 56, 57], Новокшенова [100, 75, 101, 102], Китаєва [78, 80, 74], Капаева [67, 68, 69], Сулейманова [116, 117] и других можно найти в монографии [58] и обзорных статьях [36], [95]). Среди этих результатов можно отдельно выделить адекватную параметризацию всех решений их асимптотиками вблизи критических точек и соответствующие формулы связи асимптотических параметров, полное описание асимптотического поведения для комплексных х и описание нелинейного явления Стокса, описание распределений нулей и полюсов.
В теории изомонодромных деформаций, связанной с уравнениями Пе-нлеве различают прямую и обратную задачи монодромии. В первом случае решают задачу о нахождении данных монодромии исходя из свойств решения соответствующего уравнения Пенлеве (чаще всего это асимптотическое поведение в предельных точках области независимого переменного). Обратная же, по данным монодромии восстанавливает свойства решения. Обратная задача монодромии обычно связана с задачей Римана-Гильберта на лучах. Например, для решения задачи о нахождении связи асимптотик решения на разных бесконечностях, стартовав с известного поведения асимптотики на одной бесконечности, решая прямую задачу монодромии, находим соответствующие выбранному поведению асимптотики данные монодромии. Далее, с помощью обратной задачи монодромии можно указать асимптотическое поведение выбранного решения (семейства решений) уравнения Пенлеве на другой бесконечности.
Надо заметить, что метод изомонодромных деформаций не ограничивается применением только к уравнениям Пенлеве и их высшим аналогам. Так называемые специальные функции изомонодромного типа, включающие известные спецфункции, такие как гипергеометрическая функция Гаусса, гамма-функция и функции Бесселя, рассмотренные в [81], также укладываются в схему метода изомонодромных деформаций.
В настоящее время случаи общего положения асимптотик решений уравнений Пенлеве достаточно хорошо изучены. Для этих случаев выписаны формулы связи на всей комплексной плоскости независимого переменного, описан набор дескриптивных свойств. Не охваченными полностью в настоящий момент оказались специальные и вырожденные случаи. Некоторые из них часто встречаются в различных приложениях и потому требуют детального изучения. Например, активно развивающаяся в настоящее время статистическая физика приводит к исследованию таких объектов, как дифференциально-разностные уравнения, сводящиеся, в частности, к специальным случаям уравнений Пенлеве и их высшим аналогам.
Оценки внешнего и внутреннего приближений задачи (0.1.10)
В этом параграфе мы вычислим матрицу связи Q, определенную в (1.2.23). Для этого необходимо найти общую область применения решений ФВКБ( ) и Ф(). Как известно, метод ВКБ, примененный к уравнению типа (1.3.3) с большим параметром г дает достаточно хорошее приближение обычно в виде главного члена к точному решению равномерно по z при г — оо, исключая окрестности точек поворота системы. В нашем случае нетрудно видеть, что решение Ф() вблизи z = 0 пригодно до значений О (т 1//2+1) переменной z, где Єї 0 пока неопределено. Заметим также, что в области z = О (г 1,/2) находятся точки поворота 2:5,6,7,8 системы (1.3.3). Это означает, что пригодность решения Фвкв( ) ограничивается областью \z\ О (т 1//2+Є2), где Є2 0 также пока неопределено. Итак, докажем, что области пригодности двух решений в пересечении дают непустое множество, что эквивалентно Єї Є2 Найдем величину Є\. Для удобства в дальнейшем будем обозначать формально Ф(г) = Ф(Л)Л=гі/42 ,Ф(2;) = Ф()І=ті/2г. Рассмотрим отношение x{z) — (z)[(z)] li характеризующее поправку к точному решению (1.1.8) и рассмотрим уравнение, которому удовлетворяет функция Х- Обозначим R — А — А0 и, подставляя Ф(г) = xiz)&{z) в (1-3.26), получим интегральное уравнение на xiz) о представляющее собой уравнение Вольтерра с ядром K(z,rj). Из теории интегральных уравнений известно, что уравнение Вольтерра не на спектре и потому всегда разрешимо, что доказывает существование функции x(z) как решения уравнения (1.3.42). Исследуем это уравнение для значений z = О (т 1І2+єЛ. Оценим интегральный оператор учитывая, что R(z) = О (г3). Разбивая область интегрирования следующим образом оценим каждый интеграл в сумме по отдельности. Заметим, что подынтегральное выражение в области \z\ г-1/2 оценивается как О (z3). Второй интеграл оценим в области т-1/2 \z\ т_1//2+є на лучах argz = ±, при этом особенностями решений Ф являются только степенные. Далее, оценивая Ф(,г)Ф-1(77) и Ф(т7)Ф_1(2:) , используя асимптотики функций Уиттекера, приходим к выводу, что оба последних вы ражения порядка 0(1) и потому справедлива оценка для оператора о откуда мы заключаем, что x(z) = 1 + 0 (г 1+4є). Иначе Этим мы показали, что е\ 1/4.
Остается показать оценку погрешности ВКБ-приближения и, соответственно, величину Є2- Оценку для ВКБ-решения будем проводить тем же способом, что и для внутреннего решения — путем оценивания интегрального оператора — классический способ оценки ВКБ-приближений в комплексной плоскости [32].
Рассмотрим поправочную функцию E(z) к ВКБ-решению, определенную выражением где по условию (1.3.15) E(z) — I, при z — со. Подставляя теперь выра Цр жение (1.3.44) в уравнение (1.3.3) имеем где умножим обе части на T l(z) слева, расписывая Л (г) по формуле (1.3.8) и замечая, что диагональные матрицы коммутируют, получаем уравнение для матричной функции E(z): и далее получаем интегральное уравнение на функцию E(z) с начальным условием So =1: где adiag(...) означает матрицу, составленную из антидиагональных элементов и j(z) = (71(2),72(2)) — вектор, составленный из путей в комплексной плоскости z, по которым интегрируются соответственно первый и второй столбец подынтегральной матрицы-функции с концами в точке Z. Рассмотрим выражение, стоящее под интегралом. Нетрудно заметить, что интеграл расходится в точках поворота системы (1.3.3), т.е. в точках, где /J,(Z, т) — 0. Оценим выражение \Е — 1 для определения области применения ВКБ-решения в окрестности точек поворота. Для этого оценим интегральный оператор и покажем, что он является сжимающим в некоторой выбранной норме банахова пространства матриц размера 2x2. Рассмотрим каноническую область в плоскости z, содержащую область Q,i с удаленными окрестностями точек поворота, точнее, без окрестности \z\ т-1/2+Є2 и вектор 7(2), состоящий из канонических путей, т.е. таких, что Исходя из обычной процедуры метода последовательных приближений для (1.3.46), необходимо произвести оценку интегрального оператора, имеющего вид (1.3.47). Рассмотрим экспоненциальную составляющую подынтегрального выражения.
"Одевание" решений Р± с помощью преобразований Бэклунда
Нетрудно показать, что условие совместности системы (1.7.16) есть в точности условие совместности для первоначальной системы на функцию Ф, т.е. при условии, что R - невырожденное преобразование. Следовательно, для любого невырожденного преобразования (1.7.13) решения Ф наследуется условие совместности двух систем уравнений (известное как условие нулевой кривизны).
Выберем среди всех возможных преобразований такие, которые не меняют вид матриц А и L, за исключением некоторого набора параметров (они под действием преобразования перейдут в соответствующие им с тильдой). На уровне условий совместности для новой системы уравнений это означает их запись в терминах с тильдою с сохранением самой формы условий. Например, для системы (1.1.8) с условием совместности (0.0.1) мы получим следствия, аналогичные (1.1.3), (1.1.5) с той лишь разницей, что вместо набора (ж, и, а,/3) условие совместности будет содержать (х, й, а, /3). Это означает, что для данной матрицы R существует преобразование В(х,и,их,а,(3) такое, что Преобразование В, переводящее первоначальное уравнение к уравнению того же вида с вообще говоря другим набором параметров называется преобразованием Бэклунда для выделенного уравнения (решения). Соответствующее преобразование R для ассоциированной с уравнением L-A-пары (системы уравнений, условием совместности которой является первое) известно как преобразование Шлезингера.
Заметим, что поскольку преобразование Шлезингера действует как левое умножение, оно сохраняет набор данных монодромии за исключением формальных экспонент монодромии (которые в случае РА явно выражаются через параметры самого уравнения, см.1.2). Отметим также, что ввиду рациональной зависимости матрицы А от Л, Д должна быть также рациональной по Л. Найдем основные преобразования Бэклунда, связанные с уравнением (0.0.1), не изменяющие данные монодромии системы (1.1.8) в вышеописанном смысле. Следуя известному подходу, будем искать базисные преобразования Шлезингера в виде Д(А) = Ап (До + ДіА). Далее будем работать только с матрицей А. Исходя из структуры матрицы А, имеем причем связь между ними описывается условием совместности (1.7.14), переписанным в виде Подставляя в него выражения для А и А и приравнивая в этом равенстве правые и левые части при степенях А, получим систему матричных алгебраических уравнений: Поскольку a = 7з, то из первого уравнения следует, что R\ диагональна. Из второго уравнения находим выражение антидиагональных элементов матрицы Д0 через элементы R\. (1.7.18) Рассмотрим теперь уравнения при An+ . Соотношения при антидиагональных элементах дают равенство а при диагональных получаем известные тождества. Соотношения при диагональных элементах в уравнениях при степени An+1 имеют вид: Здесь есть альтернатива — либо а = а, либо [і?о]и = [До] 22 — 0(выполнение обоих условий одновременно ведет к случаям, когда преобразование Д есть просто константная калибровка, либо не реализуются, образуя несовместные с остальными условия). Условие а = а также ведет к тривиальности преобразования Д, т.е. к калибровке функции Ф, при которой сохраняются все параметры уравнения (0.0.1) ий = гі(подобной подстановкой (1.1.7) мы воспользовались при переходе от уравнения (1.1.1),(1.1.2) к (1.1.8)).
Далее будем рассматривать второй случай, когда До антидиаго-нальна. Из (1.7.17) при An_1 получаем три возможных случая: вместе с оставшимися условиями при Ап+3, Xn+l, Хп, которые полностью и исследуем. Из (1.7.18) находим соотношение между [Ді]ц и [Ді]22 и выражаем [Ло]і2 через одну из них. Оставшиеся уравнения однородны по R, следовательно решения для R будут выписаны с точностью до умножения на скаляр. Условие совместности уравнений при степенях An+1, Ап выписывается в виде соотношения на параметр п:
Решение системы (2.2.8) в окрестности точки z = 0
Чтобы выяснить свойства функций Fn(X) и рп(А), найдем совместную плотность распределения вероятностей собственных значений АІ5. . ., Ап. Для этого в выражении (??) для плотности распределения элементов Н перейдем от переменных hij, hij к переменным А],..., Ап плюс еще піп — 1) дополнительных (достаточно очевидно, что это элементы собственных векторов матрицы Н) и проинтегрируем по этим дополнительным переменным (параметрам).
Далее везде будем предполагать, что функция VS(X) имеет полиномиальный вид: с носителем S. В этом случае показатель в экспоненте (??) будет зависеть только от собственных значений матрицы Н. Действительно, рассматривая представление Нк — UAkU , где U — унитарная матрица, составленная из собственных векторов матрицы Н, U - сопряженное транспонирование, а Л соответственно диагональная форма матрицы Я, нетрудно видеть, что Тг Н =ТгЛ = Y, \ являются унитарными инвариантами Нк и, следовательно, Tr J2 QkHk зависит только от собственных значе k-i ний Лі,. .. , Лп. Теперь, чтобы перейти в выражении для плотности (??) к новым переменным необходимо лишь вычислить якобиан перехода. Задача о вычислении якобиана при такой замене возникает в многомерном статистическом анализе. Рассмотрим основные шаги в этой процедуре. 1. Как уже было замечено ранее, в случае неупорядоченных Л трудно подобрать замену переменных, обеспечивающую взаимооднозначное соответствие между старым и новым базисом переменных. Если же {Л/с} =1 упорядочены по возрастанию, то они по-прежнему останутся случайными величинами и, кроме того, можно подобрать соответствующую замену переменных. 2. Итак, вычисление якобиана сводится к выбору унитарного преобразования U AU = Н и вычислению определителя где имеется в виду дифференцирование старого базиса {hkk, Rz h%r Im Ыз) по элементам нового (Л,;,г ;), где ( fc)fr=] „(n-i) — базис, составленный из элементов матрицы U. Чтобы вычислить такой определитель, воспользуемся некоторыми утверждениями. Лемма Пусть ws = us + ivs,s = l,m — аналитические функции ком плексных переменных zp — хр+гур,р — 1, т. Тогда якобиан функций (us,vs,s = l,m) по переменным (xs,ys,s = l,m) равен квадрату модуля якобиана функций ws по переменным zs: Доказательство леммы достаточно простое и основано на соотношениях Коши-Римана для аналитических функций : dus/dxp = dvs/dyp, dus/dyp —dvs/dxp. На основании этих соотношений якобиан можно представить в виде где An В — матрицы п х п с компонентами Asp = dus/dxP) Bsp = dvs/dxp. Получив такое представление и пользуясь хорошо известным тождеством из линейной алгебры\det[A + iB]\ достаточно теперь заметить, что dws/dzp = ASp-\-iBsp, что и доказывает утверждение леммы. Вернемся теперь к вычислению якобиана (3.1.2). Поскольку процедура вычисления в общем случае достаточно долгая, то в качестве примера продемонстрируем технику на подклассе симметричных матриц Н — НТ. Рассмотрим тождество U U = I и продифференцируем его по комплексной переменной Uk (можно выбрать п{п — 1)/2 независимых элементов uV} матрицы U и переобозначить их), получив {dU /duk)U Л-U (dUfduk)- Далее, умножив слева на U и справа на U тождество дН/дик {dU/duk)AU + UA(dU /duk), получим Замечая, что матрица Sk антисимметрична, для элементов матрицы U {dH/duk)U имеют место соотношения (3.1.4) Аналогично, Представим якобиан перехода от переменных {Нг1) к (А&, и/), соответству ющий мере Лебега сШ = П Аг П йщ, в виде После перемножения матриц, учитывая полученные выражения (3.1.4-3.1.5) находим, что где нетрудно видеть, что переменные Л и и разделяются: где /( 1,---, ,,,( -1)/2) некоторая функция от элементов унитарной матрицы U. 3. Так как функции {hmm, h,L1 = Re h%1 -f- Im htl} . ,- 7 — являются аналитическими функциями переменных {Аи, г/,/ = Reui +ilmui}! - ji—-у— (это следует из явного выражения элементов hij через элементы матриц Ли [/), то для нахождения якобиана (3.1.2)мы воспользуемся доказанной ранее леммой и результатом (3.1.8). В итоге получим где f(ui,... ,iin(n_i)/2) — некоторая функция от элементов матрицы U. Вычислив якобиан J, нетрудно теперь выписать выражение для совместной плотности распределения собственных чисел случайной матрицы Н — необходимо лишь проинтегрировать выражение для плотности (??) по переменным (Reuk, Imuk) с учетом (3.1.9) и полиномиальным видом (3.1.1) функции-показателя VS(X). В итоге получим
Распределение собственных чисел в эрмитовой матричной модели
Действительно, вследствие неотрицательности решения на вещественной оси нетрудно сделать данные выводы о четности нулей решения, если таковые имеются. В диссертационной работе исследованы: а) три семейства асимптотик полного четвертого уравнения Пенлеве на вещественной оси. С помощью прямой задачи монодромии вы числены данные монодромии для трех случаев асимптотического поведения решений четвертого уравнения Пенлеве на веществен ной оси. б) чисто мнимые решения второго уравнения Пенлеве в специаль ном случае, когда их асимптотика на плюс бесконечности не со держит осциллирующих членов. Методом изомонодромных дефор маций построены и обоснованы явные формулы связи асимптотик на вещественной оси. Результаты работы завершают асимптотиче ское описание чисто мнимых решений второго уравнения Пенлеве, поскольку в случае общего положения аналогичные формулы пред ставлены ранее в работе Итса и Капаева [57]. в) коэффициенты рекурренции полуклассических ортогональных по линомов с полиномиальным показателем экспоненциального веса. Показано, что при наличии одного независимого параметра в ве совой функции коэффициенты удовлетворяют системе разностно дифференциальных уравнений. В частных случаях весовой функции коэффициенты выражаются в терминах решений уравнений Пенлеве.
Вклад диссертанта Вклад диссертанта в развитие теории уравнений Пенлеве выглядит следующим образом. В 1994-1995 году им был исследован вырожденный случай второго уравнения Пенлеве на вещественной оси. Результаты предшествующей работы [57] не допускали непосредственного переноса на вырожденный случай из-за ряда технических затруднений. В результате исследования диссертантом был получен так называемый сепаратрисный (О-параметрический) случай асимптотики при х —» -Ьоо чисто мнимого решения Р2 с а = 0, характеризующийся асимптотикой в виде полного степенного ряда. Полученные данные монодромии, соответствующие этому решению, позволили обобщить все ранее исследованные случаи поведения асимптотик чисто мнимых решений на вещественной оси. Результаты работы были опубликованы в [10].
В 1995-1996 году диссертант занимался исследованием специального случая третьего уравнения Пенлеве. Это уравнение возникает во многих областях как математики, так и физики. К примеру, оно выступает в качестве уравнения Гаусса-Кодацци в теории минимальных поверхностей постоянной средней кривизны [19] и в теории сверхпроводимости как уравнение, описывающее поле в контакте Джозефсона. Диссертантом были получены результаты решения задачи о распределении полюсов решения Рз с а = (3 = 0, j — 1, 5 = —1 на вещественной оси, а также представлено глобальное асимптотическое поведение этого решения в секторе — f argx 0, \х\ — оо комплексной плоскости, найденное с помощью эллиптического анзатца. Результаты исследования были представлены на защите диплома при окончании обучения на математическом факультете Башкирского Государственного Университета. Также, частично результаты работы представлены также в виде статьи в сборнике [11] и в виде доклада на XXXV международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс"[14].
С 1996 года диссертант занимается исследованием полного четвертого уравнения Пенлеве и его приложениями в теории ортогональных полиномов. В настоящей работе представлены результаты исследования асимптотического поведения решений уравнения Р4, характеризующихся определенным асимптотическим поведением при х — ±оо. Часть результатов, относящаяся к случаю общего положения коэффициента а (см. главы 1.3-1.4 настоящей работы) опубликована в виде статьи [13]. Исследование связи уравнений Пенлеве с задачей о распределении собственных чисел одной матричной эрмитовой модели представлена в виде доклада на четвертой всероссийской школе-коллоквиуме по стохастическим методам, проходившем 29 августа — 3 сентября 1997 года в г. Уфа и опубликована в [12. Отдельно связь уравнений Пенлеве с полуклассическими ортогональными полиномами и интегрируемыми цепочками представлена в [15]. Также, в ходе исследования была выявлена связь коэффициентов ортогональных полиномов с интегрируемыми цепочками.
