Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Бисингулярная задача Коши для ОДУ с малым параметром и эффектом вырождения высокого порядка правой части в начальной точке 18
1.1. Введение 18
1.2. Постановка задачи. Схема решения 19
1.3. Построение внешнего разложения 20
1.4. Внутреннее разложение 25
1.5. Промежуточное разложение 27
1.6. Согласованность промежуточного и внешнего разложений 33
1.7. Равномерное асимптотическое разложение решения 37
1.8. Графики главных членов асимптотических разложений и составного разложения для двух частных случаев 38
Глава 2. Бисингулярная задача Коши для системы ОДУ с малым парамет ром, правая часть одного из которых вырождается в начальной точке . 43
2.1. Постановка задачи 43
2.2. Внутреннее разложение 44
2.3. Промежуточное разложение 49
2.4. Внешнее разложение 58
2.5. Составное разложение. Равномерная оценка приближения 75
2.6. Пример задачи для системы. Графики главных членов асимптотических разложений и составного разложения 81
Глава 3. Согласование степенно-логарифмических асимптотических разложений 85
3.1. Постановка задачи в целом 85
3.2. Постановка задачи о переходе между асимптотическими слоями 86
3.3. Процесс согласования асимптотических разложений 90
3.4. Вспомогательные утверждения для согласования асимптотических разложений116
Заключение
Литература
- Постановка задачи. Схема решения
- Согласованность промежуточного и внешнего разложений
- Промежуточное разложение
- Процесс согласования асимптотических разложений
Введение к работе
Актуальность работы. Во многих областях науки, в том числе при исследовании физических, биологических, химических процессов, встречаются сложные задачи, описываемые дифференциальными уравнениями с так называемыми малыми параметрами, т.е. величинами, очень малыми по отношению к другим величинам, входящим в эти дифференциальные уравнения (понятие малости применяется к величинам, входящим в уравнение после того, как произведено их обезразмеривание). Уравнения с малыми параметрами называются возмущенными по названию метода возмущений, применяемого для их решения. Часто требуется определить, насколько существенно сохранить запись членов с малыми параметрами (такие члены называются возмущениями уравнений) в составе уравнений, в какой мере их исключение из состава задачи (т.е. приравнивание соответственных параметров к нулю и, тем самым, упрощение задачи, переход к невозмущенной задаче) изменит поведение решения. Во многих случаях, называемых регулярными (регулярно возмущенными), решение задачи при стремлении малого параметра к нулю равномерно переходит в предельное состояние — решение предельной (невозмущенной) задачи. На практике малые параметры являются конечными, отличными от нуля величинами, и даже для регулярных задач высока актуальность обоснования полученных приближенных решений, оценивание погрешности приближения некоторыми функциями малых параметров. Кроме того, есть большое количество необходимых на практике задач, в которых равномерный переход решения в предельное состояние оказывается невозможным, такие задачи называются сингулярными (сингулярно возмущенными). Большому количеству сингулярно возмущенных задач свойственно быстрое изменение решения в некоторых узких областях — пограничных и переходных слоях.
Начало исследованиям сингулярно возмущенных задач было положено в 1904 г. докладом Л. Прандтля, в котором впервые было введено понятие пограничного слоя. Опубликованные с 1948 по 1952 гг. работы А. Н. Тихонова, стали отправной точкой для последующего глубокого развития теории таких задач. Усовершенствование теории устойчивости, построенной А. М. Ляпуновым, в применении ее к сингулярным задачам было выполнено И. С. Град-штейном. Начиная с 1950-х годов основные направления развития этой теории связаны с применением метода усреднения (Н. М. Крылов, Н. Н. Боголюбов и др.), методов типа ВКБ (В. П. Маслов, М. В. Федорюк и др.), асимптотических методов теории релаксационных колебаний (Л. С. Понтря-гин, Е. Ф. Мищенко, Н. X. Розов и др.), методов регуляризации (С. А. Ломов и др.), метода пограничных функций (Л. Прандтль, М. И. Вишик, Л. А. Лю-стерник, А. Б. Васильева и др.), метода согласования асимптотических разложений (Л. Прандтль, С. Каплун, М. Ван-Дайк, А. М. Ильин и др.).
Диссертация основывается на методе согласования асимптотических разложений. Исходное его название — метод двух асимптотических разложе-
ний. Метод использовался в 1940-е и 1950-е годы К. О. Фридрихсом, В. Р. Вазовым, С. Каплуном, П. А. Лагерстромом и др. Начиная с 1960-х годов метод согласования стал применяться очень широко, не только в различных задачах гидро- и аэродинамики, но так же и для других уравнений математической физики. По мере усложнения рассматриваемых сингулярных задач возрастала роль и сложность процесса соединения получаемых отдельно внутреннего и внешнего разложений, важнейшей части метода, связанной с обоснованием построенных разложений. Большое количество конкретных примеров, иллюстрирующих процесс согласования, содержит книга М. Ван-Дайка1.
Получение и обоснование с помощью этого метода составных асимптотических разложений с доказательством равномерных оценок приближения с точностью до произвольной степени малого параметра для широких классов задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) и уравнений в частных производных были получены А. М. Ильиным и его учениками: А. Р. Данилиным, Л. А. Калякиным, Р. Р. Гадылыниным и др.. Большое внимание в рамках научной школы А. М. Ильина уделяется исследованию особых сингулярных задач, для которых коэффициенты внешнего разложения имеют нарастающие особенности во внутреннем слое, такие задачи называются бисингулярными. Хотя исследования асимптотическими методами в основном сосредоточились на уравнениях в частных производных, некоторые новые сложные эффекты, в том числе вызванные нелинейностью уравнений, исследовались и для ОДУ с малыми параметрами и их систем.
В монографии А. Б. Васильевой и В. Ф. Бутузова2 исследована асимптотика решения задачи Коши для системы ОДУ в случае, когда для выбираемой определенным образом неподвижной точки так называемой присоединенной системы выполнены условия теоремы о равномерной асимптотической устойчивости по первому приближению. В задачах, рассмотренных в диссертации это условие не выполняется, более того, в последнем разделе главы 1 рассмотрен частный случай задачи, при котором эта неподвижная точка становится неустойчивой.
В работах А. М. Ильина и Б. И. Сулейманова при построении согласованных разложений преодолена с помощью логарифмического сдвига независимой переменной внутреннего слоя проблема, состоящая в том, что стандартный подход приводит к неограниченному множеству показателей логарифмов малого параметра при фиксированном показателе степени этого параметра. Для этой же цели в монографии А. М. Ильина3 применяется замена степенно-логарифмических калибровочных функций рациональными функциями. В диссертации сформулированы условия, при которых указанной проблемы можно избежать для степенно-логарифмической системы функций с
1 Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. М.: Мир, 1967. С. 296
2 Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М.:
Высш. ж, 1990. С. 208
3 Ильин А. М. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука, 1989.
С. 336.
линейным ростом максимальных степеней логарифмов переменной с изменением степени переменной.
Кроме того, для рассмотренных в диссертации задач может нарушаться стандартное условие согласования, заключающееся в равенстве частичных сумм специальных формальных рядов. Это препятствие преодолевается доказательством приближенного асимптотического соотношения, заменяющего указанное точное равенство, и последующим доказательством теоремы о равномерном приближении решения составным разложением.
А. М. Ильин и С. Ф. Долбеева исследовали поведение решения задачи Коши в случае, когда ветви многозначной функции, являющейся решением предельного уравнения, пересекаются. Для задач, исследуемых в данной диссертации также возможны частные случаи, когда ветви этой функции имеют общую точку, но не точку пересечения, а точку касания.
Задачи, исследованные в диссертации, являются естественными обобщениями рассмотренных ранее задач и представляют важное направление в теоретических исследованиях, что и обеспечивает ее актуальность.
Цель диссертационной работы. Построение и обоснование асимптотики решения сингулярной начальной задачи для системы двух нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром.
Для достижения поставленной цели были использованы следующие методы: метод согласования асимптотических разложений, асимптотические методы анализа, классические методы теории обыкновенных дифференциальных уравнений и функционального анализа.
Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми.
Теоретическая значимость. Теоретические результаты диссертации позволяют находить равномерные асимптотические приближения решений бисингулярных задач Коши для систем ОДУ с малым параметром. Такие задачи возникают, в том числе, при анализе нелинейных задач математической физики.
На защиту выносятся основные результаты и положения:
-
Построено и обосновано равномерное на отрезке асимптотическое разложение решения бисингулярной задачи Коши для нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения, правая часть которого имеет в начальной точке нуль высокого порядка малости по искомой функции. Полученное разложение обеспечивает точность приближения решения вплоть до произвольного порядка малого параметра.
-
Построено и обосновано равномерное на отрезке асимптотическое разложение решения бисингулярной задачи Коши для системы двух нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, одно из которых содержит малый параметр при старшей производной и правую часть, имеющую в начальной точке нуль высокого порядка малости по иско-
мой функции. Полученное разложение обеспечивает точность приближения решения вплоть до произвольного порядка малого параметра.
3. Получен новый вид соотношения согласования для степенно-логарифмических формальных асимптотических разложений по малому параметру в двух смежных асимптотических слоях решения задачи Коши для системы конечного числа ОДУ с различными степенями малого параметра при производных, это новое соотношение позволяет получить равномерное приближение для классов сингулярных задач Коши, рассмотренных в диссертации.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Международной конференции «Актуальные проблемы теории устойчивости и управления» (Екатеринбург, УрО РАН, 2009) [6], на Международной конференции «Нелинейные уравнения и комплексный анализ» (Уфа, УНЦ РАН, 2013) [7], на Международной молодежной школе-конференции «Современные проблемы математики» (Екатеринбург, УрО РАН, 2013) [8], на конференции молодых ученых (Екатеринбург, ИММ УрО РАН, 2007), а также на научных семинарах в ИММ УрО РАН, УрФУ, ИМВЦ УНЦ РАН и ЧелГУ
Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 9 печатных работах, из них 5 статей в рецензируемых журналах [1-5], входящих в перечень ВАК, и 3 тезисов докладов.
Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы. Полностью самостоятельно выполнены работы [5], [7]. В работах [2, 4], [9] научному руководителю А. М. Ильину принадлежит постановка задачи, им же предложена методика исследования, однако все результаты этих работ получены диссертантом самостоятельно. Работы [1], [6] выполнены совместно с научным руководителем А. М. Ильиным, а статья [3] — с А. М. Ильиным и Ю. А. Леонычевым. Результаты, опубликованные в совместных работах и включенные в диссертацию, получены автором самостоятельно. Автор благодарен научному руководителю А. М. Ильину за предложенную постановку задачи и помощь в работе над диссертацией.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, включающего обзор литературы, списка используемых обозначений, 3 глав, заключения, библиографии и 2 приложений. Общий объем диссертации 171 страница, из них 145 страниц текста, 26 страниц приложений, включая 4 рисунка и 4 таблицы. Библиография включает 112 наименований на 10 страницах.
Постановка задачи. Схема решения
Обычно, выбирая подход к решению научной задачи, приходится сталкиваться с тем, что простота получения приближенного решения и точность этого приближения антагонич-ны друг другу. Стремясь получить более точное решение, приходится пожертвовать высокой точностью и наоборот. Однако принцип локализации, используемый в асимптотических методах, позволяет одновременно получить и высокую точность, и значительное упрощение процесса решения при достаточном сужении области рассматриваемых значений параметров. Во многих случаях даже нахождение одних только главных членов асимптотического разложения дает почти всю основную информацию о решении, а знание нескольких первых членов (обычно, первых двух) позволяет находить решение с достаточной точностью. Но, зачастую провести обоснование только нескольких первых членов асимптотики так же сложно, как и обоснование бесконечного асимптотического ряда целиком, поэтому во многих научных трудах и в данной диссертации производится обоснование бесконечных асимптотических рядов.
Очень удобной в силу своей простоты является степенная последовательность с постоянным шагом показателя. В некоторых задачах оказывается необходимым рассматривать степенно-логарифмические асимптотические последовательности, вводя логарифмические сомножители при степенных функциях, именно такие асимптотические разложения строятся в данной диссертации. Кроме простоты этих последовательностей некоторая стандартизация выбора асимптотических последовательностей для построения приближенных решений, когда во многих научных работах используются именно степенные и степенно-логарифмические последовательности, связана с возможностью удобно производить над такими асимптотическими разложениями операции умножения, возведения в степень, почленного дифференцирования и почленного интегрирования. Произвольная асимптотическая последовательность, вообще говоря, не обеспечивает возможность производить эти операции с сохранением асимптотического характера результирующих формальных рядов. Возможность осуществления таких действий подробно исследовалась Й. Ван-дер-Корпутом, А. Эрдейи и Г. де Брей-ном [67–69]. Умножение асимптотических рядов может быть определено только если результаты попарного перемножения всех членов исходной асимптотической последовательности могут быть упорядочены в единую асимптотическую последовательность. Особенно удобно, когда результирующая асимптотическая последовательность не выходит за рамки исходной, и это выполняется для степенных с постоянным шагом показателя и соответствующих степенно-логарифмических последовательностей. Кроме того, среди всех дифференцируемых функций одной переменной только степенные функции обладают свойством масштабной инвариантности, если предположить гладкую зависимость масштабирующего коэффициента при зависимой переменной от соответствующего коэффициента при независимой переменной.
На различных этапах асимптотического исследования возникают вопросы о существовании и возможности произвести оценки решений некоторых начальных или краевых задач. Существенную роль в исследовании таких вопросов для уравнений с частными производными играют теоремы о существовании, единственности и устойчивости решения и о принципе максимума, доказанные в работах О. А. Ладыженской, В. А. Солонниковым и Н. Н. Ураль-цевой [70–72].
Остановимся подробнее на истории метода согласования (сращивания, matching) асимптотических разложений. Исходное название этого метода — метод внутреннего и внешнего разложений, метод двух асимптотических разложений, который является развитием и обобщением теории пограничного слоя, начало которой связывается с работами Л. Прандт-ля [8; 9; 38]. Этот метод использовался в 1940-е и 1950-е годы американскими учеными для описания течений вязкой жидкости и газа за эти годы выкристаллизовалась техническая и алгоритмическая основы метода. Так, К. О. Фридрихсом, В. Р. Вазовым [51; 52] были получены результаты по описанию течения жидкости в каналах малой глубины, способы расчета возникновения ударной волны из обычной волны сжатия в газе. С. Каплун в работе [53] ввел в теорию пограничного слоя формальные внутренний и внешний предельные переходы и понятия внутреннего и внешнего разложений. Изучение процесса согласования асимптотических разложений было подробно произведено в совместной работе С. Каплуна и П. А. Лагерстрома [55]. Применяя идеи этого метода, С. Каплун [54] и независимо от него И. Праудман and Дж. Пирсон [73], используя разложение Озеена [74], построили равно мерное приближение для неограниченно простирающегося течения несжимаемой жидкости, при малых числах Рейнольдса обтекающего тело цилиндрической формы (так называемый парадокс Стокса). В отличие от такого обтекания в условиях больших чисел Рейнольдса (парадокс Даламбера), рассмотренного Л. Прандтлем [38], при котором область неоднородности имеет вид тонкого пограничного слоя у поверхности обтекаемого тела, в задаче о парадоксе Стокса область неравномерности представляет собой окрестность бесконечно удаленной точки. С. Гольдштейн [75; 76] и И. Имаи [77] получили асимптотическое разложение решения задачи Блазиуса для пограничного слоя на полубесконечной пластине. Л. Тингом [78] была решена задача о вязком сдвиговом слое между двумя соприкасающимся, движущимися с разной скоростью, потоками вязкой жидкости. И. Д. Чжан [79] исследовал асимптотическое разложение при больших удалениях от объекта решения двумерной задачи обтекания тела, сечение которого координатной плоскостью есть конечная область, ограниченная гладкой замкнутой кривой. Б. М. Булах [15] применил этот метод для исправления линеаризованных сверхзвуковых конических течений и получения приближений высших порядков в окрестности головной ударной волны.
Начиная с 1960-х годов метод согласования стал использоваться очень широко, не только в различных задачах гидро- и аэродинамики, но так же и для других эллиптических, параболических и гиперболических уравнений математической физики и для ОДУ. По мере усложнения рассматриваемых сингулярных задач возрастала роль и сложность процесса соединения получаемых отдельно внутреннего и внешнего разложений, важнейшей части метода, связанной с обоснованием построенных разложений. Современное его название было предложено Ф. П. Бретертоном в 1962 г. в статье [80]. Большое количество конкретных примеров, иллюстрирующих процесс согласования, содержит монография М. Ван-Дайка1. Получение и обоснование с помощью этого метода составных асимптотических разложений с доказательством равномерных оценок приближения с точностью до произвольной степени малого параметра для широких классов задач для систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) и уравнений в частных производных были получены А. М. Ильиным и его учениками: Р. Р. Гадыльшиным, А. Р. Данилиным, Л. А. Калякиным и др. [19; 60–62]. Большое внимание в рамках научной школы А. М. Ильина уделяется исследованию особых сингулярных задач, для которых коэффициенты внешнего разложения имеют нарастающие особенности во внутреннем слое, такие задачи называются бисингулярными
Согласованность промежуточного и внешнего разложений
Согласно замечанию 3.3.2 именно экспоненциальная малость на бесконечности функций 0, и отсутствие степеней Іпв асимптотиках (1.5.19) обеспечивает исчезновение степеней In из рядов (1.6.6) и приобретение ими формы рядов (1.3.1). И поэтому возникает возможность построить внешнее разложение данной задачи (1.2.1), (1.2.2) независимо от начальных данных и свойств внутреннего и промежуточного разложений.
Легко видеть, что ряд (1.3.1) и асимптотические ряды (1.3.11) для его коэффициентов могут быть записаны в виде ряда (1.6.6) и рядов (1.6.7), соответственно. Можно так же доказать обратное, что ряд (1.6.6) может быть записан в виде «прореженного» ряда (1.3.1), то есть все коэффициенты, стоящие в нем при нецелых степенях тождественно равны нулю. Действительно, запишем рекуррентную систему уравнений, которая получается для коэффициентов ряда (1.6.6) по аналогии с тем, как это было сделано для ряда (1.3.1): это уравнение (1.3.2) и система уравнений здесь и ниже, до конца этого раздела, будем подразумевать, что тождественные равенства верны при всех Є (0, ]; функция o() — единственное неотрицательное решение уравнения (1.3.2), найденное в лемме 1.3.1, функции j() имеют вид линейных комбинаций с постоянными коэффициентами произведений вида: откуда, используя неравенство (t, Unit)) 0 при t Є (0, f, доказанное в лемме 1.3.1, при-ходим к выводу, Uj = 0. Отсюда, совершенно аналогично последовательно получаем, что j Є {2,... , 2х - 2} имеет место уравнение (1.6.13) и, следовательно, Uj = 0. Таким образом, соотношение (1.6.12) при к = 1 верно.
Поскольку предположение индукции предполагается выполненным, остается доказать, что Uj(t) = 0, Fj(t) = F j (t) при j є N(k) \N(k- 1) = {(к- l)(2x- 1) + 1,... к{2я- 1) - 1}, где множество N(k) задано формулой (1.6.11). Зафиксируем значение j = (к- 1)(2х- 1) + 1. Из соотношения (1.6.14) получаем, что каждое из произведений (1.6.10), образующих функцию Fj{t) содержит сомножитель Uni(t), для которого щ Є Nik- 1), и поэтому из предположения индукции получаем, что Uni{t) = 0, а, значит, и функции Fj(t) и Uni{t) тождественны нулю. Далее увеличивая значение индекса j на 1 получим существование щ Є N(k-l)U {(к -1)(2х - 1) + 1}, используя результат для предыдущего значения j и проводя совершенно аналогичное рассуждение, вновь получаем, что функции Fj(t) и Uni{t) тождественны нулю. И так далее, до значение j = к{2я - 1) - 1 включительно. А тогда, поскольку все Uj(t), входящие в выражение i (2 «--i)(i) для которых j не делится на (2х- 1), тождественно равны нулю, то и функции Fj{t) и F_j(t) совпадает при t Є (0, і]. Таким образом, соотношение
Кроме того, из леммы 1.3.1 следует единственность положительной при t 0 функции Uo(t), из линейности конечных (недифференциальных) уравнений (1.3.3) следует единственность их решений. Поэтому и асимптотики (1.3.2) и (1.3.12) решений этих уравнений существуют и единственны, если выбирается именно положительная при t 0 функция Uo(t). Из согласованности рядов (1.5.5), (1.6.6) и положительности главного члена асимптотики (1.5.14) следует, что для функции o(), стоящей в ряду (1.6.6), главный член асимптотики определяемой соотношением (1.6.7), является положительным и, следовательно, для самой этой функции выполняется неравенство () 0 на некотором интервале Є (0, ). Значит, эта функция совпадает с одноименной функцией построенной в лемме 1.3.1 и то же самое можно утверждать для всех членов ряда (1.6.6). Таким образом, справедливо
Равномерное асимптотическое разложение решения Этот этап является заключительным в обосновании построенных асимптотик решения задачи (1.2.1), (1.2.2), он состоит в доказательстве оценки равномерной аппроксимации решения составным асимптотическим разложением
Здесь использованы операторы выделения частичных сумм рядов, задаваемые определениями 3.2.1, 3.3.2, и обозначение х = 1/(2х — 1). В силу замечания 3.3.2, а также равенства (1.5.2), в которое подставлены значения = , = (2х — l), и равенства (1.6.3) при = = (2х — l), формула (1.7.1) совпадает с формулой (2.5.1), и поэтому согласно замечанию 1.2.1 следующая теорема является следствием теоремы 2.5.1.
Теорема 1.7.1. Для указанного выше составного разложения (1.7.1) и (,) — решения задачи (1.2.1), (1.2.2) справедлива оценка \(, ) — i, )\ = і1 ) V Є [0, ], при — 0, где 0иєК — произвольное достаточно большое число [101]. 1.8. Графики главных членов асимптотических разложений и составного разложения для двух частных случаев 1. Кратко рассмотрим следующий частный случай задачи (1.2.1), (1.2.2), используя те же обозначения, что в предыдущих разделах этой главы:
Эта задача относится к классу задач, рассмотренных в монографии [59, С. 64-82]. Требуемое для применения теоремы Тихонова [23], [50, С. 28-31] условие о равномерной для всех значений параметра to из некоторого отрезка [0, 8] асимптотической устойчивости неподвижной точки (0.10) присоединенной системы (0.11) здесь нарушается. Действительно, поскольку система (0.11) и ее стационарное решение (0.10) имеют вид, соответственно, dw(r) = to — (W(T)J dr W{T) = \До, (1.8.1) и при tn = 0 ее общим решением является функция w(r) = —гя, то для произвольных на-чальных значений w(0) = WQ, удовлетворяющих неравенству WQ 0 = \До соответствующее решение w(r) =-п стремится к — оо при г — —1/wn + 0, что доказывает неустойчивость решения (1.8.1) при значении параметра to = 0, а, следовательно, отсутствие равномерной устойчивости на произвольном отрезке [0,8].
Промежуточное разложение
При увеличении или — верхних пределов в сумме (3.3.2) — часть уже най-денных коэффициентов i;p)(?;r,s, входящих в выражение (3.3.7), могут измениться, несмотря на то, что все прежние коэффициенты цт П;к,і останутся неизменными, поскольку берутся из фиксированного формального ряда (3.3.1). Однако гарантированно не будет изменен ни один из коэффициентов при степенях с показателями, не превосходящими величины о — 0 + что соответствует значениям 0 1;і и 0 . Именно из этой части суммы (3.3.7) мы возьмем значения постоянных j;P)g;r.)S = i;pA;r s для ряда (3.3.3) и суммы (3.3.5).
В самом деле, если рассмотреть ситуацию, когда к стандартной форме исходной суммы (3.3.2) присоединено некоторое дополнительное слагаемое вида (3.3.8), то возникают следующие варианты.
В самом деле, по построению и согласно в пункту 1 данного доказательства разность 1 — 2 представляет собой часть суммы (3.3.7) при в которой диапазон изменения переменной сокращен до При таких значениях, в соответствии с (3.3.7), изменяется от j ( 2" (_1 Если изобразить графически эти пары чисел то получится набор отдельных точек с целочисленными координатами, лежащих в треугольнике с вершинами:
Используя сведения о пределах суммирования и шаге изменения показателя в фор-мальном ряде (3.3.3), зададим эти параметры для ФАР i(,) вида (3.1.5), указанного в замене обозначений (3.2.5). Положим Доказательство замечания сразу же следует из пункта 2. доказательства леммы 3.3.1.
Как следует из замечания 3.3.2, в частном случае, когда соотношение (3.3.30) при использовании определения 3.3.3 в точности соответствует известному термину «условие согласования», применяемому, например, в монографии [59, с. 19, 74]. В данной монографии оно определяется в словесной форме, которая в применении к рядам (3.2.6), (3.3.26) принимает вид равенства (3.3.30), которому в случае /5i;1 = f3i;0 = 0 полностью эквивалентно равенство (3.3.25), если положить в нем В,цм,к(,є) = 0. В общем случае, когда А;1 А;о Є Q П R+, равенство (3.3.25), как представляется автору диссертации, является есте-ственным обобщением стандартного условия согласования (3.3.30).
Поясним новизну и большую общность условия (3.3.25) в сравнении с условием (3.3.30). При /5j;i = f3i;0 = 0 эти соотношения эквивалентны. Но если (Зці ф 0 или (Зцо ф 0, то, во-пер-вых, как указано в пункте 2 доказательства леммы 3.3.1, возникает проблема при переразложении ряда (3.3.1) и вычислении выражения \(є х,є), связанная с тем, что выражения, получаемые при переразложении частичных сумм ряда (3.3.1) могут не являться частичными суммами результирующего ряда (3.3.3). И, во-вторых, в указанном общем случае соотношение (3.3.25) справедливо, но не может быть записано по аналогии с условием (3.3.30) в виде равенства оно должно содержать остаточный член Иі;м,к(,,є), который, вообще говоря, не может быть отброшен в рамках степенно-логарифмической асимптотической последовательности.
Еще раз подчеркнем, что условие согласования на самом деле должно связывать настоящие ФАР Wj;i(r]j,e) и Wj+\;i(r]j+i,e) вида (3.1.5) в двух смежных слоях следующим образом: коэффициенты Wj;i;mtn(r]j) заменяются их асимптотиками при r/j — оо, коэффициенты Wj-\-i;i;m,n(Vj+i) заменяются их асимптотиками при r]j+\ — 0 и для полученных таким образом формальных рядов Wj;i(r]j,e), Wj+\;i(r]j+i,e), соответственно, проверяется условие (3.3.30) с учетом замены обозначений (3.2.5). В нашем же случае о рядах Zi(,e) = Wj+i;i(r]j+i,e) пока нельзя утверждать, что они получены подстановкой асимптотических разложений в ФАР задачи при є — 0 в слое с масштабной переменной , но все же для формальных рядов Zi;p,g($,) ниже будет доказано, что они являются ФАР при — 0 уравнений рекуррентной системы ОДУ, определяющей коэффициенты ряда Zi(,e), и этого на практике (см., [98] и главы 1, 2 диссертации) обычно бывает достаточно, чтобы доказать существование точных решений данной рекуррентной системы ОДУ, для которых Zi;p,g(0 являются асимптотическими рядами, и таким способом найти ФАР при є — 0, согласующееся с рядом Wi(r],e). Кроме того, в общем случае тождество вида (3.3.30) не имеет места, поскольку результиру ющая сумма (3.3.5) перестает быть частичной суммой формального ряда Zi($,,e), но оценки для остаточного члена (3.3.6) оказывается достаточно, чтобы обосновать то, что полученное из таким образом согласованных разложений составное асимптотическое разложение равномерно при t Є [0, to] приближает точное решение задачи (3.1.1), (3.1.2).
Процесс согласования асимптотических разложений
Актуальность работы. Во многих областях науки, в том числе при исследовании физических, биологических, химических процессов, встречаются сложные задачи, описываемые дифференциальными уравнениями с так называемыми малыми параметрами, т.е. величинами, очень малыми по отношению к другим величинам, входящим в эти дифференциальные уравнения (понятие малости применяется к величинам, входящим в уравнение после того, как произведено их обезразмеривание; подробное описание методики обезразмеривания содержится, например, в монографии Л. И. Седова [1]). Такие уравнения используются для описания гироскопических систем [2], систем с автоматическим регулированием, в том числе при расчетах управления дорожным движением [3–6], применяются они и в динамике плазмы [7], газа и жидкости [1; 8–19], в термодинамических задачах с обострением [20]. Уравнения с малыми параметрами часто называются возмущенными по названию метода возмущений, применяемого для их решения. Часто требуется определить, насколько существенно сохранить запись членов с малыми параметрами (такие члены называются возмущениями уравнений) в составе уравнений, в какой мере их исключение из состава задачи (т.е. приравнивание соответственных параметров к нулю и, тем самым, упрощение задачи, переход к невозмущенной задаче) изменит поведение решения. Во многих случаях, называемых регулярными (регулярно возмущенными), решение задачи при стремлении малого параметра к нулю равномерно переходит в предельное состояние — решение предельной (невозмущенной) задачи. Но поскольку на практике малые параметры являются конечными, отличными от нуля величинами, то даже для регулярных задач высока актуальность обоснования полученных приближенных решений, оценивание погрешности приближения некоторыми функциями малых параметров. Кроме того, есть большое количество важных, необходимых на практике задач, в которых равномерный переход решения в предельное состояние оказывается невозможным, такие задачи называются сингулярными (сингулярно возмущенными). Это происходит тогда, когда порядки некоторых или всех дифференциальных уравнений предельной системы отличаются (в меньшую сторону) от порядков соответствующих уравнений исходной системы, например, когда малый параметр является коэффициентом при старшей производной в уравнении, в таких случаях предельная система уравнений не оставляет достаточной свободы, чтобы удовлетворить всем начальным или краевым условиям. Также сингулярность может быть привнесена в задачу за счет рассмотрения бесконечной области изменения независимых переменных, непостоянства типа дифференциального уравнения в частных производных на рассматриваемой области, наличия особенностей у получаемых разложений, которых нет у точного решения. В некоторых задачах эти источники сингулярности комбинируются друг с другом. Большому количеству сингулярно возмущенных задач свойственно быстрое изменение решения в некоторых узких областях — пограничных и переходных слоях.
Начало исследованиям сингулярно возмущенных задач было положено в 1904 г. докладом Л. Прандтля [8] на 3-м Международном математическом конгрессе в Гейдельберге. В докладе [8] рассматривалась задача обтекания твердого тела жидкостью с очень малой вязкостью, впервые было введено понятие пограничного слоя, его характерной толщины, также являющейся малым параметром. Опубликованные с 1948 по 1952 гг. работы А. Н. Тихонова [21–23], в которых выявляются особенности предельного перехода решения сингулярной задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) с малыми параметрами при производных к решению невозмущенной задачи, выписываются общие условия осуществимости такого перехода, обосновывается равномерность этого перехода на множестве точек, не включающем как угодно малую окрестность начальной точки, стали отправной вехой для последующего развития теории сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений. Усовершенствование теории устойчивости, построенной А. М. Ляпуновым [24], в применении ее к сингулярным задачам было выполнено И. С. Градштейном [25; 26]. Начиная с 1950-х годов основные направления развития этой теории в нашей стране и за ее пределами связаны с применением следующих методов: метода усреднения (Н. М. Крылов, Н. Н. Боголюбов, Ю. А. Митропольский [27–30], В. М. Волосов [31; 32] и др.), методов типа ВКБ (В. П. Маслов [33], М. В. Федорюк [34] и др.), асимптотических методов теории релаксационных колебаний (задач с точками срыва) (Л. С. Понтрягин [35], Е. Ф. Мищенко, Н. Х. Розов [36] и др.), методов регуляризации (С. А. Ломов [37] и др.), метода пограничных функций (Л. Прандтль [8; 9; 38], М. И. Вишик, Л. А. Люстерник [39–42], В. А. Треногин [43], А. Б. Васильева, В. Ф. Бутузов, Н. Х. Багирова [44–50] и др.), метода согласования асимптотических разложений(Л. Прандтль [8; 9; 38], К. О. Фридрихс, В. Р. Вазов [51; 52], С. Каплун, П. А. Лагерстром, Дж. Коул, [53–57], М. Ван-Дайк [10], А. М. Ильин, Р. Р. Гадыльшин, А. Р. Данилин, Л. А. Калякин, Б. И. Сулейманов [19; 58–65] и др.).
Диссертация основывается на методе согласования асимптотических разложений, который входит в семейство асимптотических методов. Основными достоинствами асимптотических методов являются, в частности следующие: 1. упрощение решения, сведение сложной задачи к цепочкам более простых, зачастую не зависящих малого параметра задач; запись приближенного решения в элементарных функциях в случае, когда точное решение не имеет такого представления; 2. интегрированность асимптотических методов с алгебраическим, вариационным, числен-ным и другими математическими подходами; 3. применение асимптотических методов сродни физическому моделированию, демонстрирует физическую суть задачи.
