Асимптотика решений некоторых краевых задач для эллиптических уравнений Ершов, Александр Анатольевич

Введение к работе

Актуальность темы. Математические модели физических явлений в электродинамике, акустике, теории упругости и т.п., описываются при помощи краевых задач для дифференциальных уравнений математической физики. Все краевые задачи можно условно разделить на регулярные и сингулярно возмущенные. К последнему типу задач относятся краевые задачи в областях с малыми отверстиями, задачи со сменой типа граничного условия на малом участке границе, краевые задачи в перфорированных областях и другие.

Значительный вклад в исследование сингулярно возмущенных краевых задач внесли В. М. Бабич, Н. С. Бахвалов, В. Ф. Бутузов, М. И. Вишик, Р. Р. Гадыльшин, В. В. Жиков, А. М. Ильин, Л. А. Калякин, О. А. Ладыженская, В. Г. Мазья, В. П. Маслов, С. А. Назаров, В. Ю. Новокшенов, О. А. Олеин и к. Б. А. Пламе- невский, Э. Санчес-Паленсия, А. Н. Тихонов, М. В. Федорюк, Г. А. Чечкин, А. С. Шамаев, D. Gomez, R. Hempel, С. Leal, Sh. Ozawa, J. Sanchez-Hubert и многие другие.

В диссертации рассматриваются сингулярно возмущенные краевые задачи для оператора Лапласа с граничным условием, изменяющимся на одном или двух малых участках. Такие задачи возникают, например, в электротехнике в связи с необходимостью учёта контактного сопротивления в случае малого сечения контактов.

В диссертации исследованы поведения решений этих задач при стремлении к нулю малого параметра, характеризующего размер участков изменения граничных условияй, а также получены равномерные асимптотические разложения решений таких краевых задач.

Задачи, подобные исследуемым, начали изучать относительно недавно, что стало возможным во многом благодаря появле- нию метода согласования, широкие возможности которого были продемонстрированы в монографии A.M. Ильина. Там, например, исследованы эллиптические краевые задачи, в том числе с переменными коэффициентами, в ограниченной области, из которого исключено малое подмножество. Решения таких задач имеют схожую структуру асимптотики и её коэффициентов со случаями, рассматриваемыми в данной диссертации.

Поведение собственных значений эллиптических краевых задач в ограниченных областях с граничными условиями, изменяющимися на одном малом участке, исследовано в работах P.P. Гадыльшина' .

Степень разработанности темы. Контактному сопротивлению и его вычислению посвящено множество работ различных авторов: Р. Хольм, Н.Н. Поляков, В.В. Филиппов, А.В. Дмитриев, С.Ф. Смирнов, В.Т. Неумержицкий и др.

Результаты настоящей диссертации позволяют практически полностью закрыть этот вопрос в двумерном случае.

Цель диссертационной работы. Основная цель работы - построение и обоснование полного равномерного асимптотического разложения решений уравнения Лапласа в ограниченной области с граничными условиями, изменяюшимися на малых участках.

Научная новизна. Основные научные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.

1. Построена и обоснована полная равномерная асимптотика решения уравнения Лапласа с граничными условиями, изменя- ющиимися на двух малых участках, в двумерной ограниченной области.

1. Построена и обоснована асимптотика некоторых функционалов от исследуемых решений, имеющих физическое приложение, а именно, найдена асимптотика электрического сопротивления пластинчатого образца в случае малых контактов и асимптотика толщины приповерхностного слоя, в котором выделяется заданная часть энергии.

2. Построена и обоснована полная равномерная асимптотика решения смешанной краевой задачи для уравнения Лапласа с граничными условиями, изменяющимися на малом участке, в трёхмерной ограниченной области. Выписаны в явном виде первые два члена асимптотических разложений.

Теоретическая значимость:

2. 1. Построено полное равномерное асимптотическое разложение решение смешанной задачи для уравнения Лапласа в двумерной ограниченной области с гладкой границей, на которой задано условие Неймана, кроме двух малых участков, на которых задано условие Дирихле.

   2. Построено полное равномерное асимптотическое разложение решения аналогичной задачи в трёхмерном случаи с одним малым участком смены типа граничного условия.

   Практическая значимость:

   2. 2. 1. Найдена асимптотика электрического сопротивления образца, подключенного с помощью двух малых контактов.

         2. Найдена асимптотика толщины приповерхностного слоя, в котором выделяется заданная часть энергии, связанной с контактным сопротивлением.

         Методы исследования. Решения краевых задач понимаются в классическом смысле, т.е. рассматриваются решения, бесконечно дифференцируемые в области и непрерывные вплоть до границы, или большей гладкости. Оценки точности асимптотических приближений решений доказываются в непрерывной норме. Асимптотики строятся в два этапа. Вначале, методом согласования асимптотических разложений, проводится формальное построение асимптотических разложений, затем формальные асимптотики строго обосновываются. Обоснование формальных асимптотик осуществляется с помощью оценивания точности выполнения граничных условий и последующего использования принципа максимума.

         На защиту выносятся следующие основные положения:

         2. 2. 2. 1. Получена полная асимптотика суммы ряда, сингулярно зависящего от малого параметра, и которая физически интерпретируется как электрическое сопротивление.

                  2. Построена и обоснована полная равномерная асимптотика решения смешанной задачи для уравнения Лапласа в ограниченной двумерной области с краевыми условиями, изменяющимися на двух малых участках границы. Приведена физическая интерпретация решения.

                  3. Построена и обоснована полная равномерная асимптотика решения смешанной задачи для уравнения Лапласа в ограниченной трёхмерной области с краевыми условиями, изменяющимися на одном малом участке. Явно выписаны два первых члена асимптотических разложений.

                  Степень достоверности результатов. Обоснованность и достоверность полученных результатов обусловлена математической строгостью постановки задач, корректным использованием математического аппарата. Полученные в работе исследовательские результаты согласуются с результатами других авторов.

                  Апробация работы. Результаты диссертации докладывались автором на семинаре кафедры вычислительной математики ЧелГУ, на Международной конференции «Дни дифракции- 2010» (Санкт-Петербург, Санкт-Петербургское отделение математического института им. В. А. Стеклова РАН, 2010), на фи-

                  нале конкурса Августа Мёбиуса (Москва, МЦНМО, 2012), где работа заняла третье место.

                  Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[7].

                  Личный вклад автора. Все результаты диссертации получены лично автором. Из шести опубликованных статей пять написаны автором диссертации, и одна в соавторстве А.В. Дмитриевым. Научному руководителю A.M. Ильину принадлежат общий замысел работы, постановки задач, выбор пути и методов их решения и оценка достоверности и согласованности с предполагаемым результатом.

                  Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, разбитых в совокупности на 14 параграфов и списка литературы, содержащего 79 наименований. Общий объем диссертации - 98 страниц.

                  Похожие диссертации на Асимптотика решений некоторых краевых задач для эллиптических уравнений

                  

                  Асимптотика решения начальной задачи для квазилинейного параболического уравнения с малым параметромЗахаров Сергей Викторович

                  Асимптотика решения задачи Коши для полулинейных возмущенных гиперболических уравненийКиселев, Олег Михайлович

                  Асимптотики решений сингулярно возмущенных краевых задач для системы уравнений теории упругостиДавлетов, Дмитрий Борисович

                  Асимптотика решений краевой задачи с начальным скачком для линейных дифференциальных уравненийШарипова, Жанат Умирсеитовна

                  Асимптотика решения смешанной задачи с начальным скачком для сингулярно возмущенных гиперболических уравненийКубесов, Нуржан Ауданбекович

                  Асимптотика решения краевых задач с начальными скачками для сингулярно-возмущенной системы дифференциальных уравненийАухалиева, Айгуль Келесовна

                  

                  Метод задачи о скачке в задачах сопряжения решений уравнений с частными производнымиАхмед Махер Абдель Басет

                  

                  Задачи сопряжения решений уравнения Гельмгольца в координатных областяхТумаков Дмитрий Николаевич

                  Исследование решений граничных задач для уравнения Бицадзе в ограниченной плоской области с общими линейными граничными условиямиИбрагимов, Натиг Сохраб оглы

                  Точные решения граничных задач для уравнений, описывающих поведение плотного газаТимченко, Ольга Владимировна