Введение к работе
Актуальность теш. Важность асимптотических методов в теории дифференциальных уравнений Сила ясно осознана математиками во второй половине девятнадцатого столетия. Однако только в последние пятьдесят лот стало ясно, насколько вапш асимптотические рады для понимания структуры решений дифференциальных уравнений, и что они неизбежно возникают во многих вопросах прикладной математики. Число задач, при ренегата которых такие ряды могут бить использованы, весьма велико и непрерывно возрастает.
Начало новому направлению в области дифференциальных уравнений и математической физики - теории сингулярных возмущений - положили работы академика РАН Л.Н. Тихонова.
Сингулярно возмущенные уравнения, т.е. уравнения с малыми параметрами при старших производных, являются важным классом дифференциальных уравнений. Это связано с большей прикладной значимостью этих уравнений. Они выступают в качестве математических моделей при исследовании разнообразных процессов з физике, механике, химии, биологии, технике. Так некоторые прикладные задачи химической кинетики и горения, физики полупрс— * водников, задачи о распостранепгл тепла в тонких телах, задачи об акустических колебаниях в среде с малой вязкостью, задачи оптимального управления, а также задачи биохимия и биофпзп-ки приводятся к сингулярно возмущённым уравнения/л.
В вышеуказанных работах А.Н. Тихонова была дана общая постановка задачи Кошп для системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром при старлей производной, и доказана фундаментальная теорема о предельном-переходе от репенкя сингуяярію воэмуденнбй задачи п реаешга невоз-мущоияой задачи.
Существенный вклад в развитие теории сингулярно воэмущеп-
ішх дифференциальных уравнений внесли работы М.И. Brsnna, Л.А.
Люстерника, И.С. -Градшгейна, В.'Базова, К. Ван-Дайка, Л.С.Пон-
трягина, Е.Ф. Мгацекко, Н.Х. Розова, А.Б. Васильевой, В.Ф. Ку
тузова, W.11. й/.аналкева, С.А. Лсмова, В.А. Трекопша, В.Л.
Тупчяева, К.А. Касимова, М.М.'Хзпаева, Д". Коула, А.Х. Найфэ,
К. Чанга, . Хауэса и др. .
Особнй интерес в теории сингулярных возмущений-представ-
_ 4 -
ляют так называемые задачи с начальным скачком. Впервые М.И. Бшпиком, Л.А. Люстертаком и К.А. Касымовым было отмечено следующее явление: решение сингулярно возмущенной задачи при стремлении малого параметра к нулю стремится к решению невозмущенного уравнения, но уже с измененным условием. Это явление принято называть явлением начального скачка. Причем характерной особенностью этого явления является то, что производные решений этих задач неограничены в точке начального скачка при стремлении малого параметра к нулю. Кроме того, оказывается, что некоторые краевые задачи для сингулярно возмущенных уравнений эквивалентны задаче Коли с начальнши скачком.
Построение асимптотических разложений решений сингулярно возмущенных краевых задач является ванной задачей как с теоретической, так я с прикладной точек зрения.
Цальп работы являются получение оценок решений ::раевых задач с начальным скачком для линейного дифференциального уравнения третьего порядка с малым параметром при двух старших производных с невозмущешшми и возмущенными краевыми условиями, получение оценок разностей между решениями сингулярно возмущенных и невозмущенных задач, выяснение характера поведения решений сингулярно возмущенных краевых задач и их производных в точка начального скачка, а также построение асимптотических разложений решений с оценкой остаточного члена с любой степенью точности по малому параметру.
Научная новизна. Во многих работах, посвященных исследованию краевых задач для сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений и систем, в основном изучались такие задачи, в которых наличие начального скачка m -го порядка решения было обосновано соответствующим характером поведснші решения и его производных в точке начального скачка. В частности, явление начального скачка нулевого порядка тлело место там, где наблюдался неограниченный рост первой производной решения при стремлении малого параметра к гулю. Оказывается, что при определенных условиях такая взаимосвязь может нарушаться. Изучению этого явления и посвящена настоящая диссертационная работа. Проведенные исследования показали, что наличие малого параметра при нескольких старших производных качественно меняет свойст-
ва решений сингулярно возмущенных краевых задач. Для обеих рассмотренных сингулярно возмущенных краевых задач имеет- место /тление начального скачка нулевого порядка, но решения в начальный момент времен'/, при стремлении иалого параметра к нули имеют различный характер поведения, т.е. необходимо различать степень начального скачка нулевого порядка. Впервые вводятся понятия начального скачка нулевого порядка первой п второй степени.
Теоретическая и практическая ценность.. Результати диссертации і/огут бить приг/енены при качественном исследовании и при практическом решении некоторых задач чизшш', моханкки и другкх областей науки. Получешшо асимптотические разложения решений пригодны в качество начальних приближений для реализации численних методов.
Связь хами диссертанта с. пшшшя дідайлпа науки- Диссертационная работа выполнена б соответствии с темой $уцдамвнта-лышх исследований КазГУ или Лль-Фарабт* "Асимптотические методи сингулярно возмущеших уравнений".
Апробация рзлкцк. Основные результати диссертации докла-'днваллсь на научных семинарах кафедр механикс-математичоского факультета КазГУ км. Аль-Фараби / руководители семинаров: профессору К.А, Кликов, Д."Л. Мырзалпов, Ш.С. Смагулов, СИ. ?е-штрбулатов, Н.Т. Темиргалиев, Л.Б. Тунгатаров /, на гапсип-се-' минаре по математике п механике, посвященном GO-летяв члона-корр. ЖЇЇ РК, профессора К.Л. Касимова /Ллматн, 1995/, на научно-методической конференции КааГАУ /1995/.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в пяти работах, список которых приведен в конце автореферата.
Структура д общ! жаезвіашш. Диссертационная работа состоит из введения, двух глав, разделенных на параграфи, п списка литературы пз 54 наименований. Обищй объем диссертации -13G страниц машинописного текста.
Похожие диссертации на Асимптотика решений краевой задачи с начальным скачком для линейных дифференциальных уравнений
