Введение к работе
Актуальность темы. Под влиянием стремительного развития таких областей науки, как теория автоматического регулирования, теория нелинейных колебаний, газодинамика, гидродинамика, квантовал механика, химическая кинетика и др., на протяжении примерно последних сорока лет поддерживается постоянный интерес многих исследователей к сингулярно возмущенным дифференциальным уравнениям.
Исследование дифференциальных уравнений с ігалика параметрами при производных началось с работ А. Н. Тихонова, посещенных проблеме о зависимости решений дифференциальных уравнений от малого параметра, доказательству фундаментальной теоремы о предельном переходе для нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Дальнейшее развитие теории сингулярных возмущений происходило по нескольким направлениям.
В начале 50-х годов Н. Левинсоном и 0. А. Олейиикои были доказаны первые теоремы о предельном переходе для сингулярно возмущенных уравнений с частными производными. Алгоритм построения равномерного асимптотического разложения начальной задачи, рассмотренной А. Н. Тихоновым, а также рада сингулярно возмущенных краевше задач создан А.-Б. Васильевой. Общий подход к построению асимптотики решений линейных сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений в частных производных был сформулирован впервые М. И. шпиком и Л. А, Люстерником. Метод построения асимптотического разложения решений начальных а краезых сингулярно возмущенных зацач для интегро-дифференпи-альных уравнений предложен М. И. Иманалиевым. В послалущеи метод построения асимптотики, разработанный в работах А, Б. Васильевой, М. И. йгаика н Л. А. Люстерника, М. И. Иманалаева,
., 4 -стал называться методом пограничных фунюнй. В настоящее время существуют разные модификации этого метода. Например, можно отметить, что для построения асимптотики реиекий дифференциальных уравнений в частных производных в областях, границы которых содержат угловые точки, В. Ф. Бутузовым был введен новый тип пограничных функций - угловые пограничные функции.
Работы Л. С. Понгрягина, Е. Ф. Мищенко и Н. X. Розова оказали решающее влияние на развитие теории релаксационных колебаний - крупного направления в теории сингулярных возмущений. Ряд направлений связан с работами следующих математиков: С. А. Ломова/метод регуляризации/, А. Ы. Ильина и его учеип-ков/метод сращивания/, В. П. Маслова и ого учеников/ методы ВКБ/. В монографиях В. Базова, Дк. Коула, А. X. Найфэ, К. Чан-га и Ф. Хауэса изложены различные подходы к изучения сингулярно возмущенных задач. Имеется огромное множество других важных работ по теории сингулярных возмущений и ее приложений.
С обнаружением явления начального скачка для нелинейных дифференциальных уравнений М. И. Вишиком и Л, А. Люсторнкком связано возникновение направления, которое впоследствии получило развитие в работах К. А, Касымова и его учеников. В них исследованы разнообразные начальные и краевые задачи с начальными скачками для обыкновенных дифференциальных и интегро-дифференцкальных .уравнений, для уравнений в частных производил гиперболического типа, а также для систем каждого из них. Продолжению изуч; ия сингулярно возмущенных задач с начальными скачками посвящена и данная диссертационная работа.
Цель работы. Исследование при двух разных случаях вхождения.малого параметра в краевые условия поведений реаений линейных.и квазилинейных сингулярно, возмущенных краевых задач
_ 5 -с начальными скачками; построение и обоснование асимптотических представлений для решений этих задач.
Научная новизна. В диссертации сингулярно возтлущенные дифференциальные травнелия впервые рассматриваются с краевыми условиями, содержащими малый параметр. Полученные новые результаты состоят в следующем. Задано обыкновенное линейное сингулярно возмущенное дифференциальное уравнение третьего порядка с двумя краевыми условиями, отличающимися друг от друга разной расстановкой малого параметра. Для таких линейных краевых задач получены опенки решений, опенки разности между решениями сингулярно возмущенных задач и соответствующих невозмущенннх задач и выявлено наличие начального скачка. Построены с произвольной степенью точности относительно малого параметра асимптотические приближения для решений изучаемых линейных задач, а также для решений двух квазилинейных уравнений с теми ке краевыми условиями, которые определены и решения линейного уравнения.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывалась на научных семинарах кафедр механико-математического факультета КазГУ им. Аль-Фарабй/руководптели семинаров: профессора К. А. Каснмов, Д. М. Мнрзалиев, Ш.-С. Смагулов, С. И. Темир-булатов, Н. Т. Темиргалиев, А. Б. Тунгатаров/, па вколе-семи-наре по математике и механике, посвященной 60-летии чл.-корр. HAH РК К. А. Каснмова/г. Алмати, 1995 г./.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в семи работах, список которых приведен в конце автореферата.
Структура диссертации. Диссертационная работа состоит яз введения, трех глав, разделенных на параграфы, и списка литературы из 52 найменований. Общий объем диссертация - 125 стр.
