Введение к работе
Актуальность работы. Работа посвящена разработке и применению метода каскадной декомпозиции задач, состоящего в поэтапном переходе от исходной задачи к аналогичным задачам в подпространствах уменьшающихся размерностей. Метод каскадной декомпозиции (каскадный метод) направлен на решение задач, в которых получение решения другими методами или невозможно, или затруднительно. Одна из таких задач — задача Коши для дескрипторного 1 уравнения
A(t)'^-= B(t)x(t) + f(t), (1)
где A(t), В{t) — операторы, действующие из Е\ в Е^\ Е\, Е^ — банаховы пространства; t Є % = [0,Т], f(t) Є і?2, с условием
х(0) = хєЕ1. (2)
Уравнением (1) описываются, в частности, динамические процессы фильтрации и влагопереноса, поперечные колебания пластин, колебания в молекулах ДНК, термо- и вязко-упругие явления в пластинах, деформации механических систем, явления в электромеханических системах, межотраслевой экономический баланс и др.
Началом исследования дескрипторных уравнений считаются работы А. Пуанкаре (1885), A.M. Ляпунова (1906), Э. Шмидта (1908). Огромную роль в развитии теории дескрипторных уравнений сыграли работы С. Л. Соболева (1954), дескрип-торные уравнения с частными производными называют уравнениями Соболевского типа. Стационарное уравнение (1) с нётеровым оператором А активно исследовалось В.А. Треногиным, им был разработан метод (метод Ляпунова-Шмидта) исследования разветвляющихся решений уравнений с параметром. В 60-70 г. прошлого столетия наиболее активные исследования стационарной задачи (1), (2) велись в г. Воронеже под руководством проф. С.Г. Крейна. В настоящее время исследование дескрипторных уравнений сосредоточено в нескольких математических школах, крупнейшие из них — иркутская (Ю.Е. Бояринцев, Н.А. Сидоров, Б.В. Логинов, В.Ф. Чистяков, А.А. Щеглова, Н.В. Фалалеев и их ученики), новосибирская (А.И. Кожанов, С.Г. Пятков, Г.В. Демиденко, СВ. Успенский и другие), челябинская (Г.А. Свиридюк, В.Е. Фёдоров и их ученики) и екатеринбургская (И.В. Мельникова и её ученики). Зарубежные школы возглавляют A. Favini, A. Yagi, S. Campbell,
^^Дескрипторным уравнением называют дифференциальное уравнение с необратимым оператором при производной от искомой функции по выделенной переменной.
R.E. Shouolter, P. Kunkel, V. Mehrmann, Marz, P.Chen, K.J. Engel, R. Nagel и др. Обзоры работ с исследованиями в конечномерных пространствах содержатся в монографиях В.Ф. Чистякова и А.А. Щегловой 2, P. Kunkel и V. Mehrmann 3. Значительные библиографии по исследованиям задачи Коши для уравнения (1) содержатся в работах A. Favini и A. Yagi 4, А.Г. Баскакова и К.И. Чернышева 5.
Подавляющее большинство исследователей рассматривают для стационарного уравнения (1) случай регулярного пучка А — ХВ 6. Случай существования (А — ХВ)~1 в некотором секторе комплексной А-плоскости исследовался в работах Г.А. Свиридюка, В.Е. Фёдорова и их учеников. Такие свойства пучка А—ХВ позволяют применить для исследования уравнения (1) методы спектрального анализа, теории полугрупп, преобразования Лапласа-Фурье. Другое направление исследований связано с использованием свойства полноты >-жорданова набора для А (В.А. Треногий, Ю.Е. Бояринцев, Н.А. Сидоров, М.В. Фалалеев и др.).
В случае нерегулярного пучка А — ХВ и в случае неполноты >-жорданова набора для А авторы отмечают лишь возможную неединственность решения задачи Коши. В связи с этим, исследование разрешимости задачи (1), (2), исследование свойств решений и построение дифференцируемого при/: G % решения в нерегулярном случае и в случае неполноты >-жорданова набора — крайне важная, актуальная задача.
Одним из важнейших свойств динамических систем, описываемых дескриптор-ными уравнениями, является свойство чувствительности системы даже к весьма незначительным возмущениям параметров системы. Системами с малым параметром при старшей производной описывается процесс обтекания затупленного тела сверхзвуковым потоком вязкого газа (А.А. Марчук, А.А. Чудов), поведение тонких и гибких пластин и оболочек (Л.С. Срубщик, В.Н. Юдович), движение твёрдого тела с полостями, содержащими вязкую жидкость (Н.Н. Моисеев, Ф.Л. Черноусь-ко) и др. Теорию сингулярно возмущённых уравнений создавали акад. А.Н. Тихонов, Е.Ф. Мищенко, а также В.Р. Вазов, М.М. Вишик, Л.А. Люстерник, А.Б. Васильева, В.Ф. Бутузов, Н.Х. Розов, Ю.С. Колесов, С.А. Ломов, М.В. Федорюк,
2Избранные главы теории алгебро-дифференциальных систем". — Новосибирск: Наука, 2003.
3Differential-Algebraic Equations: analysis and Numerical Solution. — Zurich, Switzerland: EMA Publishing House, 2006.
4Degenerate differential equations in Banach Space. — New York—Basel—Hong Kong : Marsel Dekker, Inc., 1999.
5Спектральный анализ линейных отношений и вырожденные полугруппы операторов. Матем. сборник. — 2002. - Т. 193, № 11. - С. 3-42.
еПучок А — ХВ регулярен (пара (А, В) регулярная, уравнение (1) регулярное), если 3(Ао Є C)V(A : 0 < |А| < < |Ло|)3[(^4 — AS)-1]. В противном случае пучок, пара и уравнение — нерегулярные.
В.В. Стрыгин, В.А. Соболев, Г.С. Жукова, Н.Н. Нефёдов и многие другие авторы. Обзор работ можно найти в работе В.А. Треногина 7. Обширные библиографии приведены в монографии К. Чанга и Ф. Хауэса8, и в работе А.Б. Васильевой и А.А. Плотникова 9.
Систему (А - eC)dX^ = Bx(t,є) (3)
с линейными операторами: замкнутым, плотно определённым А; ограниченными >, С; регулярными парами (А, С), (А, >), исследовали М.М. Вайнберг и В.А. Треногий, С.Г. Крейн и К.И. Чернышев. Как и системы
А— = {В + с{е)А + eG)x{t) є), с(є) = 0, = 1, = є, (4)
система (3) не является жёсткой. Весьма важно установление свойств коэффициентов систем (3), (4), гарантирующих равномерное наТ стремление решения задачи Коши x(t,s) при є^Ок решению соответствующего предельного (є = 0) уравнения в случаях нерегулярных пар (А, В), (А, С) или (Л, G). И актуально установление этой малой чувствительности с помощью сравнения порядков полюсов некоторых операторных пучков, или сравнения длин специальных жордановых цепочек. Необходимо также установление наличия явления погранслоя в задачах Коши для уравнений (3), (4).
Актуально решение обратных задач для систем
x(t) = B(t)x(t) + D(t)u(t) + /(), (5)
Bit) Є L(R",R"), D(t) Є L(Rm,R"), f(t) Є R», = [*0,**];
Ax(t) = Bx(t) + Du(t) + /(), (6)
А, В Є L(M,1, Wn), и других систем с условием на функцию состояниях(t) (состояние) системы: x(t) Є 9Л(ж), где УЛ(х) — множество функций x(t), обладающих заданными свойствами. В частности, в задаче с контрольными точками
x(t) Є дЯ(х) = {x(t) : x(U) = x,j}, 0
7Развитие и приложения асимптотического метода Люстерника—Вишика. Успехи матем.наук. — 1970. — Т. 25, вып. 4(154). - С. 123-156.
8Нелинейные сингулярно возмущённые краевые задачи. Теория и приложения. — М. : Мир, 1988.
9Асимптотическая теория сингулярно возмущённых задач (Спецкурс для аспирантов). — Физ. фак. МГУ им. М.В. Ломоносова, 2008.
в задаче экспоненциальной стабилизации программного движения с контрольными точками
Tt(x) = {x(t): x(t0)=x0, x(U)=0, \\x(t)\\ < с-е~ш\ш > 0}
с произвольным ио > 0, где x(t) — разность между реальным и программным состояниями системы.
Для мягкой посадки летательных аппаратов, для плавной стыковки различных технологических процессов требуется решение задач со следующими условиями:
(JP її
u(t) Є Ш(и) = {u(t) : ~^\и=< j = 0,n}. (8)
В случае УЛ(х) = {x(t) : x{t{) = Хі, і = 0,1}, % = [to,ti] — это задача, поставленная Р.Е. Калманом 10 при постоянных В, D и f(t) = 0. В случае существования соответствующей функцииu{t) (функция управления, управление) система (3) называется полностью управляемой на % (п. управляемой).
Абстрактную и прикладную теорию управления создавали акад. Р.В. Гамкре-лидзе, В.А. Ильин, Н.Н. Красовский, А.Б. Куржанский, Е.Ф. Мищенко, Н.Н. Моисеев, Ю.С. Осипов, Н.Н. Петров, Л.С. Понтрягин, А.И. Субботин, А.Н. Тихонов, Ф.Л. Черноусько, а также А.П. Афанасьев, Ю.Н. Андреев, А.Г. Бутковский, Р.Ф. Габасов, И.В. Гайшун, А.А. Давыдов, М.И. Зеликин, В.И. Зубов, Ф.М. Кириллова, В.И. Коробов, A.M. Летов, В.М. Марченко, М.С. Никольский, В.М. Тихомиров, Е.Л. Тонков, М. П. Харламов; Р. Калман, Р. Беллман, E.L. Yip, R.F. Sincovec, L. Dai, A. Ailon, S. Campbell, A. Chang, P. Chen, H. Qin, A. Ilchmann, V. Mehrmann, M.C. Joshi и многие другие авторы.
Несмотря на колоссальное количество публикаций (только монографий отечественных и зарубежных насчитываются сотни), некоторые свойства систем (5), (6) изучены не полностью. Не решена задача инвариантности состояний x{t) от широкого круга возмущений коэффициентов системы; не полностью исследована "свободность" системы (5), то есть не определён набор фазовых составляющих состояния x{t) системы, не влияющий на свойство п. управляемости системы; не сформулированы критерии п. управляемости системы (6) в нерегулярном случае.
Использование формулы Коши в задачах для названных уравнений приводит к интегральным уравнениям, исследование которых связано со значительными трудностями (В.А. Треногий, Н.А. Сидоров, Е.Л. Тонков, А.В. Глушак и др.).
10Р.Е.Калман "Об общей теории систем управления". — Труды IFAC, Москва. — 1960. — С.521-546.
Явно недостаточно методов конкретного предъявления управляемого процесса в различных видах, удобных для дальнейшего исследования. В частности для стационарной системы (5) недостаточно используется метод неопределённых коэффициентов, ведущий к построению алгебраических систем, в результате чего управляемый процесс численно реализуем современными вычислительными средствами (Mathlab, Mathcad, Mathematica, ...).
Одним из операторов А, для которых пучок А — ХВ нерегулярен, или даже $(А — XB)~l, VA Є С, является нётеров12 оператор с ненулевым индексом ее(А). Нётеров оператор А вполне определяем свойством 13:
Ei = Coim А+ KerA, Е2 = Im A+Coker А, (9)
dim Ker А < оо, dim Coker А < оо, и сужение А на Coim А имеет ограниченный обратный A~l . Здесь Coker А — дефектное подпространство, Coim А — прямое дополнение к Кег А в Е\. В случае нулевого индекса оператор называется фред-гольмовым.
Предлагаемый каскадный метод основан на
-
расщеплении уравнения типа Av = w, t) Е ^, w Є Е2 на уравнения в подпространствах Im Л и Coker А;
-
получении в одном из подпространств уравнения, аналогичного исходному уравнению;
-
получении для новой неизвестной функции условий, аналогичных заданным условиям;
4) повторении перечисленных действий с новыми уравнением и условиями.
Схожие расщепления пространств применяли в различных ситуациях М.И.
Вишик и Л.А. Люстерник , М.М Вайнберг и В.А. Треногий, С.Г. Крейн, С.А. Краснова и В.А. Уткин, Ю.Е. Бояринцев, В.Ф. Чистяков и А.А. Щеглова, А. Ailon, S. Campbell, V. Lovass-Nagy и др. Однако, одни авторы ограничивались одним этапом расщепления пространств, у других авторов получение уравнений в подпространствах затруднительно. В отличие от метода, применённого Е.В. Раецкой для исследования п. управляемости системы (3) с постоянными В, D и f(t) = 0, предлагаемый метод основан на другом подходе к формированию условий для псевдосостояния на каждом этапе расщеплений.
пПара (x(t),u(t)), удовлетворяющая системе управления и заданным условиям, называется управляемым процессом. А.Д. Иоффе, В.М. Тихомиров "Теория экстремальных задач". — М.: Наука, 1974. — 479 с.
12М.М. Вайнберг, В.А. Треногий "Теория ветвления решений нелинейных уравнений". — М.: Наука, 1969. — 527 с.
13Функциональный анализ. СМБ Под общей редакцией С.Г. Крейна. — М. : Наука, 1972. — 544 с.
Целью диссертационной работы является разработка и применение каскадного метода. В рамках данной цели выделены следующие задачи:
обоснование и применение каскадного метода к исследованию задачи Копій для уравнения с нетеровым оператором при производной: получение условий разрешимости, условий единственности решения, свойств решения, построение решения;
исследование чувствительности динамической системы, описываемой дескрип-торным уравнением с нетеровым оператором, к различным возмущениям коэффициентов системы;
разработка каскадного метода для решения обратных задач для динамических систем;
получение полных условий п. управляемости дескрипторных нерегулярных однородных и неоднородных систем;
решение обратных задач методом неопределённых коэффициентов.
Методы исследования. В диссертационной работе использованы теория полуобращения линейных операторов, теория полугрупп операторов с ядрами, спектральная теория линейных операторов, методы функционального анализа, методы теории и асимптотической теории линейных дифференциальных уравнений; из теории управления динамическими системами использовались определения и критерии п. управляемости.
Научная новизна. Все результаты, представленные в диссертации, являются новыми, стого доказанными, полученными автором самостоятельно. Основные результаты следующие.
Разработан каскадный метод исследования линейных уравнений с нетеровым оператором при производной и под знаком производной от искомой функции.
В классе нерегулярных уравнений выделены псевдорегулярные уравнения, получены условия псевдорегулярности.
Исследована псевдорегулярная задача Коши: получены условия разрешимости, условия единственности решения, свойства решения, получено решение задачи Коши.
Исследована зависимость решения задачи Коши от различного вида возмущений коэффициентов уравнения. Уточнено понятие функции погранслоя (нулевого порядка) с целью разграничения случая робастности динамической системы и случая наличия погранслойного эффекта.
Разработан каскадный метод декомпозиции моделей динамических систем для решения различных обратных задач.
Для системы с прямоугольно-матричными коэффициентами уточнено понятие п. управляемости. Получены критерии п. управляемости для однородных и неоднородных дескрипторных систем.
Для стационарных систем разработан метод неопределённых коэффициентов нахождения решений обратных задач в специальных видах.
Теоретическая значимость. Полученные в работе результаты легли в основу спецкурсов, читаемых студентам математического факультета Воронежского государственного университета, и применяются студентами при выполнении курсовых и выпускных квалификационных работ.
Предлагаемый каскадный метод нашёл применение при исследовании систем наблюдения (совместно с Е.В. Раецкой, Фам Туан Кыонгом) и дискретных динамических систем (совместно с Чан Тхань Туаном).
Практическая значимость состоит в разработанных блок-схемах решения обратных задач; в выведенных алгебраических системах, дающих возможность численной реализации управляемого процесса современными вычислительными средствами. Результаты диссертации можно рекомендовать проектным организациям
для построения управляемого стабилизированного процесса с контрольными точками; управляемого процесса с контролем за состоянием и управлением в контрольных точках;
для разработки динамических систем, малочувствительных к возмущениям, или инвариантных относительно различных возмущений.
Рекомендуются к применению тесты на неуправляемость для дескрипторных систем с прямоугольно-матричными коэффициентами с помощью установления длин жордановых цепочек, или определения порядка полюса некоторого матричного пучка.
Апробация работы. Результаты по теме диссертации были лично доложены автором на следующих научных конференциях.
Всесоюзные конференции по асимптотическим методам в теории сингулярно возмущенных дифференц. и интегро-дифференц. уравнений, по теории и методам решения краевых задач для обыкновенных уравнений и уравнений матем. физики (Фрунзе, 1975; Алма-Ата, 1979; Минск, 1982; Нальчик, 1987; Уфа, 1989; Махачкала, 1989, 1991; Куйбышев, 1982; Рига,1988; Тернополь, 1989). Всесоюзные школы по теории операторов в функциональных пространствах (Минск, 1982; Рига, 1983; Куйбышев, 1988; Ульяновск, 1990; Нижний Новгород, 1991; Тернополь, 1984). Международные, всесоюзные, всероссийские конференции и матем. школы по
изучению свойств динамических систем (Киев, 1990, 1991; Горький, 1990; Воронеж;, 2005, 2007, 2009, 2011, 2012; Ижевск, 2009; Суздаль, 2010, 2011; Тамбов, 2010). Крымские осенние матем. школы-симпозиумы по спектральным и эволюционным задачам (Симферополь, Украина, 1989-1993, 1995, 2008, 2009). Воронежские матем. школы "Современные методы теории краевых задач. Понтрягинские чтения — IV, V, VII, XI, XII, XIII, XV-ХХП"(Воронеж, 1993, 1994, 1996, 2000, 2002, 2004-2012). Воронежские зимние матем школы "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (Воронеж, 1995, 2001, 2002, 2007, 2008-2013) и школы С.Г. Крейна (Воронеж, 1974-1994 , 2006, 2010, 2012). Матем. чтения РГСУ "Матем. методы и приложения"(Москва, 1992, 1996-2010). Международные конференции: "Тихонов А.А и современная математика" (Москва, 2006); "Современные проблемы матем., механики и их приложений" , посвящ. 70-летию ректора МГУ акад. В.А. Садовничего (Москва, 2009); "Современные проблемы вычислительной матем. и матем. физики" памяти акад. А.А. Самарского (Москва, 2009); "Дифференц. уравнения и смежные вопросы" , посвященная 110 годовщине со дня рождения И.Г. Петровского (Москва, 2011); The 8th Congress of the International Society for Analysis, its Applications, and Computation (Moscow, 2011), "Международная конференция по дифференц. уравнениям и динамическим системам"(г. Суздаль, 2012), Международная конференция "Анализ и особенности" посвящ. 75-летию В.И. Арнольда (МИАН им.Стеклова, Москва, 2012).
Сделаны доклады на семинарах: кафедры математики и механики ВГЛТА (Воронеж, 1974-1992, рук. проф. С.Г. Крейн); кафедры ВМ и МК (МГУ, 1989, рук. акад. А.Н. Тихонов); кафедры высшей математики МЭИ (Москва, 1991, рук. проф. С.А. Ломов); Института математики АН Латв. ССР (Вильнюс, 1975, рук. Б.В. Квядарас); в ВГУ (Воронеж;) на кафедрах: математического анализа, 2002-2006 (рук. проф. Г.А. Курина), математического моделирования, 2000 (рук. проф. В.А. Костин), нелинейных колебаний, 2011 (рук. проф. В.Г. Задорожний); в МИАН им. Стеклова , 2012 (рук. член-корр. СИ. Похожаев).
Публикации. Результаты, изложенные в диссертации, опубликованы в работах [1]—[50]. Из совместных публикаций в диссертацию вошли только полученные автором результаты. Работы [1]—[21] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ.
Все результаты, изложенные в диссертации, получены автором самостоятельно. Работы с соавторами выполнены под руководством автора диссертации, автору принадлежат идеи, методы, основные результаты.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 5 глав,
Похожие диссертации на Метод каскадной декомпозиции решения задач для псевдорегулярных уравнений
