Решение методом интегральных уравнений контактных задач для параболических уравнений Шевелева, Виктория Николаевна

Введение к работе

- З -

Пусть D:=Rⁿx(0, t) ,Ts+<», точки которого будем обозначать одной буквой Р=(х,t). В работе мы будем рассматривать анизотропные пространства Гельдера функций, допускающих экспоненциальный рост по "временной" переменной t. Для любой области OsD, ає(0,1) и aiO через C'^a(Q) обозначаем линейное пространство функций f:Q—>R , для которых конечна величина

(о.«)._ „.,„ ^|f(x'^t31

f;Q.._a

= SUP ex_D+

|f(x,t+At)-f(x,t)| |At|^a/z[exp(at)+exp(a(t+ut))]

|f(x+ux,t)-f(x,t)|

+ sup

(x,t>, |&x|exp(at)

Ixtii,t >Sfi Дх*0

Через с''"(О) обозначаем линейное пространство функций f:0—>R

имеющих в Q производные д (i=1,n), для которых конечна

* і

величина

ІІЇ;ЯІ^1,в):= sup _BTP/_at> + ^a u,t)2 exp(at)

|i(x,-t+ut)-l(x,t)| n , >

-t- sup —— +- Ilia f;oir⁰'^a).

(x.t), |At|"'^tot!/H[exp(at)+-exp(a(t+ut))] і.і "і ^a

Через C(0), обозначаем линейное пространство функций

- A -f:Q—*, непрерывных в Q, для которых конечна величина:

H^f;«ll a ^:=SUP exp(at)

Р Мх , І )ЄП

При Т<+<» или а=0 введенные пространства совпадают с анизотропными пространствами Гельдера С^к, (см.[1]). Кроме того, рассматриваем подпространства

C^k^^a(Q):=ifeC^'^a (0)| f(x,0)=0

В настоящей диссертации методом теории . потенциала доказывается однозначная разрешимость (в классическом смысле) в

классе С''" контактной задачи для многомерного (по

пространственным переменным) параболического уравнения второго порядка или, другими словами, граничной задачи для параболического уравнения с разрывными коэффициентами. При этом поверхности, на которых задаются контактные и граничные условия, являются, вообще говоря, нецилиндрическими и негладкими (по t).

Теории контактных задач уделялось много внимания. В своих работах их изучали Самарский А.А. [2], Олейник О.А. [3,4],

1. ЭОвелълан С. Д. Параболические уравнения "Итоги науки и тпех-шиш", сер.собр.проб, лют., Фуна.напр., ВИНИТИ, т.63, 1990 з.

2. Самарский А. А. Уравнения параболического типа, с разрывными коэффициентами. ДАН СССР т.121, N2, 1958 г., стр. 225-228.

3. Олейник О.А. Решение основних краевых задач для уравнений второго порядка с разрывными, коэффициентатt. ДАН СССР т. 124, N6, 1959 г., стр. 1219-1222. ,

4. Олейник О.А. Краевые задачи для линейных уравнений
эллиптического и параболического типа с разривныли

-коэффициентами. Язв. АН СССР сер.лат... m.25,.til, . 1961 г.. стр. 3-2Q.

Ладыженская 0»А. [5]. Ривкинд В.Я. и Уральцева Н.Н. [6], Камынин Л.И. [7-9], Бадерко Е.А. [10], Житарашу Н.В. [11], Дринь М.М. [12] и другие авторы. Исследования проводились как для одной ([2], [7], [10]), так и для многих пространственных переменных ([3,4], [5,6], [8,9], [11],[12]).

Известно, что одним из методов решения контактных задач для параболических уравнений служит метод, в котором в качестве инструмента решения таких задач используется потенциал простого-слоя, порожденный фундаментальным решением уравнения. При помощи потенциала простого слоя впервые в работе Самарского А.А. [2], а затем - Камынина Л.И. [7], Бадерко Е.А- [10] детально изучается

5. Ладыженская О.А. 0 решении общей задачи дифракции. ДАН СССР ш.96. N3, 1954 г., аир. 433-436.

6. Ладыженская О.А., Ривкинд В.Я., Уральцева Н.Н. 0 классической разрегаилости задач дифракции. Труды лам. института ил.В.А.Стеклова АН СССР, п.92, 1966 г., стр. 116-146.

7. Калинин Л.И. 0 существовании решения краевых задач для параболического уравнения с разрывнъики коэффициентали. Изв. АН СССР сер.лат., т.2в. N4. 1964 г., стр. 721-744.

8. Калинин Я.іі. Об одной задаче биофизики. ДАН СССР т.. 169, N4, 1966 г., стр. 761-764.

9. Калинин Л.И. Приложение параболических потенциалов Панъи к краевых задачам математической физики. Дифф. уравнения, т.. 26, N5, 1990 г., стр. 487-496.

10. Бадерко Е.А. Приленение метода параболических потенциалов к решению одной краевой задачи контактной теплопроводности. Дифф. уравнения, т.6, Ю2, 1970 е.. стр. 2200-2213.

11. Житарашу Н.В. Шаудеровские оценки и разрешимость общих краевых задач для общих параболических систел с разрывными коэффициентали. ДАН СССР т.169, N3, 1966 г., стр. 511-514.

12. Дринь П.U. Операторы Грина параболических задач сопряжения. Канд. due.-. Киев 1985 г..

решение параболического уравнения с разрывными коэффициентами в случае одной пространственной переменной (п=1).

Настоящая диссертация посвящена исследованию возможности использования потенциала простого слоя в решении контактных задач общего вида для многомерного (по х ) параболического уравнения (пг2).

Заметим, что рассмотренные в настоящая диссертации условия на гладкость данных задачи а также допускаемая нами возможность Т=+ш, не позволяют непосредственно обратиться к методам цитированных выше известных исследований контактных задач в многомерном случае (nz2).

Цель работы. 1) Установление гладкости в пространствах Гельдера основных параболических потенциалов: типа Пуассона, объемных масс и простого слоя в бесконечной (по времени) области.

2) Решение систем интегральных уравнений, к которым, посредством
потенциала простого слоя, редуцируются контактные задачи.

3) Установление существования и единственности решения
контактных задач в классе С*'".

Общая методика исследования. В диссертации используется метод граничных интегральных уравнений с применением потенциала простого слоя (порожденного фундаментальным решением уравнения).

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми и опубликованы в работах автора. Перечислим их: 1) Установлена гладкость в пространствах Гельдера основных параболических потенциалов в бесконечной (по времени) области.

2. Доказана однозначная разрешимость систем интегральных уравнений типа Вольтерра, к которым редуцируются контактные задачи в случае многих пространственных переменных.

3. Доказана однозначная разрешимость в классах Гельдера контактных задач и дано интегральное представление решения в виде суммы параболических потенциалов.

Приложения. Работа носит теоретический характер. Ее результаты и методы могут найти применение в дальнейших исследованиях различных задач для параболических уравнений и систем. Она может служить теоретической основой для числених исследований задач тепло- и массопереноса методами граничных уравнений.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах кафедры дифференциальных уравнений и математического анализа механико-математического факультета, на факультете ВМиК, а также на Всесоюзной конференции по краевым задачам для дифференциальных уравнений (Алма-ата, 1991 г.).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения и трех глав, заключающих в себе 7 параграфов. Общий объем диссертации 169 стр..Список литературы содержит 47 названий.

Похожие диссертации на Решение методом интегральных уравнений контактных задач для параболических уравнений

Разностные методы решения краевых задач для уравнений параболического типа с дробной производной в граничных условиях Худалов Марат Захарович

Коллокационно-итеративный метод решения краевой задачи для дифференциальных уравнений с параметрами и импульсным воздействиемПоселюжна, Вера Богдановна

Разностные методы решения нелокальных краевых задач для уравнения параболического типа с вырождением Олисаев Эльбрус Георгиевич

Решение краевых задач для уравнений смешанного типа методом спектрального анализа Хасанова Светлана Леонидовна

Метод каскадной декомпозиции решения задач для псевдорегулярных уравненийЗубова, Светлана Петровна

Метод задачи о скачке в задачах сопряжения решений уравнений с частными производнымиАхмед Махер Абдель Басет

Решение основных краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений методом потенциаловНигмедзянова Айгуль Махмутовна

Методы конструктивного анализа решений краевых задач для систем дифференциальных уравненийКенжебаев, Кенжегали

Решение краевых задач для некоторых вырождающихся В-эллиптических уравнений методом потенциаловХисматуллин Айрат Шамилевич

Решение краевых задач для многомерных вырождающихся B-эллиптических уравнений методом потенциаловЧеботарева Эльвира Валерьевна