Введение к работе
Актуальность темы. Вырождающиеся и сингулярные эллиптические уравнения занимают важное место в современной теории дифференциальных уравнений с частными производными. Они находят широкое применение при решении многих задач прикладного характера, в их числе задачи газовой динамики, теории оболочек, теории упругости, механики сплошной среды. Краевые задачи для таких уравнений обладают той особенностью, что иногда на границе области, где происходит вырождение, граничное условие не ставится или граничное условие ставится с некоторой весовой функцией.
Уравнения эллиптического типа, по одной или нескольким переменным которых действует оператор Бесселя
д2 к д , Б* = 7Г^ + -7Г> к>0
ОХг X ох
и их решения ищутся в классе четных по этим переменным функций, И.А.
Куприяновым были названы >-эллиптическими.
В первых работах по 5-эллиптическим уравнениям рассматривалось
уравнение вида
р-1 п2
А««=Е^+в^и- (1)
И.А. Киприянов создал теорию весовых пространств, которая впоследствии была применена к изучению краевых задач для 5-эллиптических уравнений с граничными условиями на нехарактеристической части границы. На характеристической части ставились однородные условия типа условий четности.
Н.Р. Раджабов построил поверхностные потенциалы простого и двойного слоев и применил их к исследованию краевых задач для уравнения (1) при условиях, когда нехарактеристическая часть границы есть поверхность Ляпунова и образует с гиперплоскостью хр = 0 прямой угол. А.Ю. Сазонов обобщил данные результаты на общие линейные 5-эллипти-ческие уравнения с переменными коэффициентами при тех же ограничениях на нехарактеристическую часть границы области.
А.Ш. Хисматуллин исследовал основные краевые задачи для следующих вырождающихся 5-эллиптических уравнений
д и утВхи + — = 0, т > 0, у > О,
д и Вхи + ут— = 0, т>0, у>0,
Вхи + — ( Уа— \ = 0, 0 < а < 1, у > 0.
Вопросы о существовании и единственности решений основных краевых задач для многомерных вырождающихся 5-эллиптических уравнений до последнего времени оставались открытыми.
Данная диссертационная работа посвящена исследованию краевых задач для многомерных вырождающихся 5-эллиптических уравнений
LB[u{x)] = а» J _ + BXp_lU + — = 0, (2)
где т > 0, р > 3;
fill Ґ1 I //7 / \
Е*в Нх)] = Е 5^ + В^и + ^ (^) = ' (3)
где 0 < а < 1, р > 3;
дх2 Хр-' р дх2
j = l > р
Дв [«(ж)] = J] Й + Д^и + где т > 4, р > 3; Тб Иж)]=ё Щ+Б^-и+**e^ (**!)=' (5) где 0 < а < 1, р > 3. Цель работы. Постановка краевых задач для уравнений (2)—(5) и доказательство существования их единственного решения. Методы исследования. Применяются методы классической теории потенциала, теории функций действительной переменной, дифференциальных и интегральных уравнений. Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты. 1. Построены фундаментальные решения вырождающихся многомерных 5-эллиптических уравнений (2)—(5). Изучены основные свойства решений вышеуказанных уравнений, в частности, принцип максимума и их поведение при хр —> 0. Даны постановки краевых задач для вышеуказанных уравнений и доказаны теоремы о единственности их решения. Построены потенциалы простого и двойного слоев и исследованы их основные свойства, в частности, доказаны теоремы о предельных значениях потенциалов двойного слоя и конормальной производной потенциалов простого слоя на границе области. Доказаны теоремы о существовании решения краевых задач для вышеуказанных уравнений методом потенциалов. Теоретическая и практическая значимость. Данная работа носит теоретический характер. Результаты могут быть использованы для дальнейшей разработки теории краевых задач для некоторых вырождающихся >-эллиптических уравнений, а также найти приложение в осесиммет-рических задачах теории потенциала, применяемых при решении многих важных вопросов прикладного характера. Апробация работы. Результаты диссертационной работы обсуждались на семинарах кафедры математического анализа Татарского государственного гуманитарно-педагогического университета (руководитель — профессор Мухлисов Ф.Г.). Основные результаты работы докладывались на Седьмой Международной конференции "Актуальные проблемы современной науки" (Самара, 2006), Восьмой международной Казанской летней научной школе-конференции "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы" (Казань, 2007), Шестой Всероссийской научной конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, 2009), Десятой международной Казанской летней научной школе-конференции "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы" (Казань, 2009), Второй Всероссийской научно-практической конференции, посвященной памяти В.Ф. Волкодавова (Самара, 2009), научно-практических итоговых конференциях при кафедре математического анализа Татарского государственного гуманитарно-педагогического университета. Публикации. Основные результаты опубликованы в работах автора [1]-[П]- Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на 29 параграфов, и списка литературы. Объем диссертации составляет 133 страницы. Список литературы содержит 59 наименований.Похожие диссертации на Решение краевых задач для многомерных вырождающихся B-эллиптических уравнений методом потенциалов
