Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Асимптотические проставления решения системы линейных дифференциальных уравнений, зависящих от параметра. фундаментальная матрица и формула обращения ... 28
I. Построение фундаментальной матрицы (ф.м.) 28
2. Асимптотические представления решений линейных дифференциальных уравнений при больших значениях
3. Построение ф.м. и асимптотические формулы решений одного уравнения высшего порядка 34
4. Формула обращения вектор-функции 36
ГЛАВА 2. Исследование одномерных смешанных задач для параболических систем с разрывными коэффициентами 40
I. Постановка задачи 40
2. "Правильные" краевые условия некоторого дифференциального оператора с параметром и основные формулы обращения вектор-функций . 41
3. Представимость решения в виде интеграла по лини ям в комплексной плоскости 52
4. Существование и единственность решения смешанной задачи 54
Глава 3. STRONG Исследование одномерных смешанных задач на сопряжение для систем разного типа 67
STRONG I. Постановка задачи 67
2. Асимптотическое представление решения краевой за дачи с параметром и "правильные" краевые условия 68
3. Представимость решения в виде интеграла по прямым 73
4. Существование и единственность решения смешанной з задачи 80
ГЛАВА 4. Смешанная задача для параболических систем в полупространстве 93
І. Постановка задачи 93
2. Решение всдомогательной задачи неправильные краевые условия 94
3. Представимость решения в виде интеграла до линиям в комплексной длоскости
4. Существование и единственность решения смешанной задачи 104
ГЛАВА 5. Краевые задачи для параболических систем в области с криволтшейеыми боковыми границами 113
I. Постановка задачи ИЗ
2. Фундаментальная матрица решений (ф.м.р.) и некото рые оценки 115
3. Параболические дотенциалы и формулы скачков 123
4. Формулировка основных теорем и их доказательств... 125
Дополнение - 140
I. Интегральные дреобразования 140
2. Применение интегрального дреобразования к решению смешанной задачи для одного неклассического уравнения
Литература
- Асимптотические представления решений линейных дифференциальных уравнений при больших значениях
- "Правильные" краевые условия некоторого дифференциального оператора с параметром и основные формулы обращения вектор-функций
- Представимость решения в виде интеграла по прямым
- Представимость решения в виде интеграла до линиям в комплексной длоскости
Введение к работе
В начале XIX в. Фурье предложил метод (так называемый метод разделения переменных) для интегрирования (некоторых) линейных дифференциальных уравнений в частных производных при заданных граничных и начальных условиях (задача I). Этот метод и в настоящее время успешно применяется при решении смешанных задач для линейных и квазилинейных уравнений (см. напр. [9] , ]2б\ ). Применение метода Фурье к решению смешанных задач с разделяющимися переменными приводит к задаче разложения произвольной функции из некоторого класса по собственным функциям соответствующей спектральной задачи (задача 2). Если оператор, определенный задачей 2, не является самосопряженным, то отсутствует ортогональность собственных функций и вопрос существования, лолноты системы собственных функций, вообще говоря, остается открытым.
В 1827 году Коши [28] для решения задачи I с достоянными коэффициентами предложил новый метод (вычетный метод).
Асимптотические представления решений линейных дифференциальных уравнений при больших значениях
Приравнивая к нулю у. — 0 [к-о, т) получим рекуррентные формулы (относительно 2. pf) ) из которых определяется # (*) . Вопрос о существовании Я(^(х) удовлетворяющих этим тождествам и остальным условиям ограничения 3,рассмотрен в ряде работ, напр. [29], \zf\, \ЗЇ\, [з], [іб], [32^и т.д. Ввиду того,что этот вопрос (при некоторых ограничениях на коэффициенты X ) хорошо изучен в вышецитированной литературе, мы, подробно не рассматривая смысл условия 3, принимаем его как предположениеЗадачи, рассмотренные М.Л.Расуловым в главе З [І9І , не охватывают задачу (46)-(48) (см.ограничения 3-5 на стр.І4І, [і9І ).
По формуле (4.2.16) имеем А(х) - \ + } и, следовательно, граничные условия (47) правильны (см.определение I из настоящей главы). Методами же настоящей главы эта задача решается.
Краевые задачи, содержащие старшие производные в граничных условиях для лараболических уравнений, рассматривались в областях прямоугольного типа (см.налр. [22J ) или в областях, имеющих достаточно гладкие боковые границы (см.налр. [iOJ ).
А в областях с криволинейными боковыми границами рассмотрены краевые задачи для лараболических уравнений, не содержащие старшие производные в граничных условиях (см.налр. Uj , [її] ). Одним из мощных методов решения смешанных задач для лараболических уравнений является метод теории тепловых потенциалов (см.налр. [23] , [24] , [15] , [ЗО] ).
Последняя глава досвящена решению смешанных задач для дара-болических систем в областях с криволинейными боковыми границами, не долускающими спрямления с домощью гладких дреобразований. При этом краевые условия этих задач, вообще говоря, содержат дроиз-водную до времени и старшую дроизводную до дространственной де-ременной. Далее, в граничные условия входят интегро-дифференци-альные слагаемые, которые содержат глобальные граничные значения неизвестной функции.
При условиях теоремы 17 (см.в настоящем параграфе) доказывается, что если задача (51)-(53) имеет решение, обладающее классическим свойством, то оно представляется формулой (28) из 2 дополнения. Далее, при условиях теоремы 18 2 Дополнения показывается, что функция(эс,-Ь) из (28) этого же параграфа на самом деле является единственным решением задачи (51)-(53), обладающим классическим свойством.
В работе приняты обозначения: L(-ft-) - класс измеримых и почти везде конечных функций (ос) , с нормой =5 \(рс)\ Лх,9 где интеграл по области Л. понимается в смысле Лебега; С (SL) и С (-Л) " класс непрерывных и непрерывно дифференцируемых функций до порядка К включительно в области _Л_ , соответственно.
Определение. Мы будем говорить, 4Toy.(3C,A)ef(XA,I.-Ea о] A /L/Hfl- решение параметрической задачи (2.2.1)-(2.2.2) если существуют такие последовательности X Rг.,і=Цп, к-l,z,..., удовлетворяющие (2.2.1)-(2.2.2) при замене #. на у/ и f. на у/ (i = /7 ) таких, чтолрик- из i/ fr) L(zL) (зс) следует х,л) А Х .(ж,л\ Д=Т7Й.
Понятие решения других параметрических задач аналогично вышеприведенному определению.
Отметим, что если от правых частей рассматриваемой смешанной задачи требуется просто интегрируемость, то выполнимость уравнений или краевых условий этой смешанной задачи понимается почти всюду .Так, нал., если У(±)е1 (0 т), то равенство (2.1.2) выполняется почти при всех -Ь є (р т) .
"Правильные" краевые условия некоторого дифференциального оператора с параметром и основные формулы обращения вектор-функций
В начале XIX в.Фурье предложил метод (так называемый метод разделения переменных) для интегрирования (некоторых) линейных дифференциальных уравнений в частных производных при заданных граничных и начальных условиях (задача I). Этот метод и в настоящее время успешно применяется при решении смешанных задач для линейных и квазилинейных уравнений (см. напр. [9] , ]2б\ ). Применение метода Фурье к решению смешанных задач с разделяющимися переменными приводит к задаче разложения произвольной функции из некоторого класса по собственным функциям соответствующей спектральной задачи (задача 2). Если оператор, олределенный задачей 2, не является самосопряженным, то отсутствует ортогональность собственных функций и вопрос существования, лолноты системы собственных функций, вообще говоря, остается открытым.
В 1827 году Коши [28] для решения задачи I с достоянными коэффициентами предложил новый метод (вычетный метод). Суть ме тода заключается в представлении произвольной функции в виде интегрального вычета от дроби (S /ffp) t где функция 0)(, эс) яри всех значениях р удовлетворяет рассматриваемому дифференциальному уравнению, а при значениях J , обращаю щих знаменатель в "О", сверх того, и предельным условиям.
В 1917 году Я.Д.Тамаркин [2l] отмечает:
1. Рассмотрение интегрального вычета функции (по методу гоінсагє ) лишь в частных случаях приводит к разложению произвольной функции f(x) по фундаментальным функциям во всем пром. ( о , v )9 включая и концы. Для получения более общих результатов необходимо исследовать представление функции в виде интеграла здесь Z( f) обозначает левую часть дифференциального уравнения, которому удовлетворяют фундаментальные функции (sO30 j) - функция Qzeen а.
2. Исследование интеграла, аналогичного (Ij), приводит также к разложению функции / (с) до фундаментальным функциям термо-механической задачи huhcLtne\ { ouznoic Je C\toce
3. Метод интегрирования уравнений в частных производных, предложенный СаосЬц в мемуаре "Ъиг аррсіс&-±іоп du саРсс/ё c/es геЫс и$ etc (roczLs , 18 &?) f может быть после некоторых добавлений сделан вполне строгим.
В середине XX века М.Л.Расулов рассматривал задачу I с переменными коэффициентами. Смешанные задачи, для которых граничные условия спектральной задачи не регулярны, не входят в круг задач, рассмотренных в работе [19] В этом случае вопрос о существовании формулы разложения Тамаркина, вообще говоря, остается открытым.
Исследование автора показало, что при решении задачи I не обязательно использовать формулу разложения Тамаркина. В настоящей работе предлагается методика, позволяющая решить задачу I при более общих краевых условиях и более слабых ограничениях на данные задачи I. Настоящая работа состоит из пяти глав и дополнения, содержащего два параграфа. В первом параграфе первой главы строится фундаментальная матрица уравнения
Представимость решения в виде интеграла по прямым
Результаты этого параграфа сформулированы в теореме I. Второй параграф первой главы посвящен получению асимптотических представлений решений однородного уравнения, соответствующего (2), при больших значениях . Этому вопросу посвящен ряд работ, например Э.А.Код-дингтон и Н.Левинсон [l2] и т.д. В этих работах предполагается, при подходящих нумерациях 0. (х) , выполнение условия А в приложениях выполнимость условия (3) приводит к тому, что аргументы &,(х) $=/ 7я) и аргументы их разностей не зависят от Х [7 (например, см.ограничение 3 на стр.23, [19 ] ), что на наш взгляд является более жестким ограничением. Отметим, что для уравнений спектральной задачи для параболических и гиперболических систем выполняется условие 2 настоящего параграфа. Следовательно, при решении смешанных задач для параболических и гиперболических систем более целесообразны условия и результаты настоящего параграфа, чем ограничения и результаты работ[29],]gf\, [32]и т.д., связанные с асимптотическим представлением решений однородных систем, соответствующих (2).
Результаты этого параграфа сформулированы в леммах I и I .
В третьем параграфе первой главы строится фундаментальная матрица и изучается асимптотическое поведение решений уравнения где j - квадратные матрицы порядка 1 ; , ф - столбцы размера 7. ; Р , 1 - натуральные числа;- = . Фундаментальная матрица PC »? X) для системы (4) находит ся в виде РС » , j(X $ ) + Л;Х),ГДЄ -ИЗ (I.3.4j), которая написана в явном виде. В работе [l9J прир=! , d-0} f- для системы (4) по методу Леви-Карлемана построена фундаментальная матрица. Отметим, что при построении фундаментальной матрицы используемые главные матрицы в [l9j и в настоящем параграфе существенно различаются (сравните выражение fy(x i$ ) из (3.2.20) на стр.122, [19] с д(х , ) из (1.3.4,.) настоящего параграфа). Благодаря тому, что здесь 9 ) ) выбрана в специальном виде (1.3.4j), для остаточного слагаемого Q получается более точная оценка йК9( ,и)4Со»з+.М Є р(-іМЬН) (ом.(І.3.6і)), х О которая важна в дальнейших приложениях. Но теореме 2 настоящего параграфа вектор-функция является решением уравнения (4). Результаты связанные с асимптотическим доведением решения однородного уравнения, соответствующего (4), сформулированы в лемме 2.
В четвертом параграфе дервой главы доказывается (см.теорему 3) формула обращения Смешанная задача для параболических систем изучалась другими методами рядом авторов (см.напр.[і],[2],[із] ,[17] ,[20] и т.д.). Вторая глава настоящей работы посвящена исследованию одномерной смешанной задачи, содержащей, вообще говоря, в граничных условиях производную по времени для систем с разрывными коэффициентами, т.е. задачи нахождения решения системы (6) і при граничном условии ь= J=0 и начальном условии где квадратные матрицы порядка ; Л -скалярная функция; размера %і ; f - столбец размера - натуральные числа; зе. - о или неотрицательные целые числа, меньшие или равные - конечные числа.
Представимость решения в виде интеграла до линиям в комплексной длоскости
Доказательство теоремы 12-15. Плотности, входящие в (1)-(4), априорно лредполагаем непрерывными. Пользуясь (2.4),(2.5) получаем что в (L) (=1,2-,3,4) лри (X,±)SLL операцию дифференцирования вида Ьк ft (грк+т zp) (р-\ при і- /, Z) можно перенести под знаком интеграла. Далее, принимая во внимание неравенства (2.4),(2.5) иД ГС , ; ; г) = 0 і o t получаем, что ядра параболических потенциалов (0 при (x,t)$$L. о г -ё Т ,как функция (xji) t удовлетворяют уравнению 3 -2, ,где. Следовательно, вектор-функция U. (х.}4:) (из (i) ) в JL. удовлетворяет уравнению и, как следует из неравенств (2.4),(2.5), лри ХЕ. выполняется начальное условие (I. 3 - ) » где 1=1,2,3., Ч . Теперь покажем, что лри подходящем выборе плотности потенциалов в (І-) вектор-функции U. (эс, ) удовлетворяют граничному условию
Оценки (II) и (14) показывают, что интегральные уравнения (5) и (6) являются системами интегральных уравнений Вольтерра второго рода с квазирегулярными ядрами. Решая эти системы методом последовательных приближений (см.напр. [б] , [б] ), находим непрерывные функции. Подставляя эти вектор-функции в (1),(2) получим справедливость теоремы 12 и 13. Теоремы 12,13 доказаны.
Для доказательства теорем 14 и 15 достаточно показать разрешимость системы интегральных уравнений (7) и (8) соответственно.
Система (7) представляет собой систему интегральных уравнений Вольтерра первого рода с квазирегулярными ядрами. Покажем, как при предположениях теоремы 14 она может быть преобразована в эквивалентную систему интегральных уравнений Вольтерра второго рода с квазирегулярными ядрами с помощью оператора дробного дифференцирования.
Пусть - комплексная. - вещественные функции действительного аргумента -Ь (ОІІІТ , т - некоторое положи-тельное число) И f у 00 1 (о т) .
Определение. Изображением функции f (-fc) назовем функцию , ), определенную формулой /М= fa)(r) P[-x jV?)W?]f(fr) Jr , it [о f] , (і) где Л - комплексное число. Имеет место Теорема 1. Пусть (-ь) С(( Т\)пЦо т); 5a)( d? 0,0 r T;f W ограниченная и непрерывная (кроме счетного числа точек, в которых она может терпеть разрыв первого рода) ло-Н[0 т]. Тогда, при всех4 (о 4 т) f функция т( ) представляется через свое изображение в виде где І - бесконечная гладкая линия в Л- плоскости, достаточно далекая часть которой совпадает с продолжениями лучей Пользуясь (43) и овойотвами функции Грина G- , получаем, что функция U(: c,-fc) , олределяемая формулой (28), удовлетворяет уравнению (I) и граничным условиям (2) при ( )-0 , =1 2,3 . Как видно из (43), функции A Ufo±) (к=о ),Ъ Щ ±) (к о,і) непрерывны при Х[0 ] , і 0 . Из условия теоремы следует, что
Пользуясь (10),(19)-(22),(44) легко убедиться, что функция U(x , 4-) , определяемая формулой (28), обладает классическим свойством. Единственность решения задачи (1)-(3), обладающего классическим свойством, вытекает из следствия I. Теорема доказана.
