Введение к работе
Актуальность темы. Диссертация посвящена исследованию специального класса решений гиперболических уравнений и систем, так называемых нестационарных гауссовых пучков, и их применению в прямых и обратных задачах математической физики. В работе выделены и используются два подкласса нестационарных гауссовых пучков - квазифотоны и квазиструи. Указанные решения являются быстро осциллирующими функциями по пространственным координатам и времени и сосредоточенными вблизи пространственно - временных лучей (квазифотоны) или пространственных лучей (квазиструи). Таким образом, квазифотон представляет собой компактный волновой пакет, сосредоточенный вблизи точки, движущейся по лучу (геодезической) со скоростью, определяемой типом волны. При этом для такого волнового пакета имеет место ряд законов сохранения (в асимптотическом смысле), в том числе закон сохранения энергии, что делает поведение этих решений очень схожим с поведением элементарных частиц. К важнейшей особенности таких решений относится также их гладкость, т.е. отсутствие сингулярностей. Аналогичные свойства (быстрая осцилляция, сосредоточенность вблизи геодезических, гладкость, законы сохранения и т.д.) характеризуют и другой подкласс гауссовых пучков - квазиструи. Более того, ряд высокочастотных волновых полей, в частности высокочастотные волновые поля, порождённые точечным источником с временной функцией, имеющей вид волнового пакета, могут быть представлены в виде интегралов по гауссовым пучкам типа квазиструя. Это представление даёт возможность решить актуальную прямую задачу математической физики - производить расчёты высокочастотных волновых полей как в области регулярности волнового поля, так и на каустиках, пользуясь единым представлением волнового поля и не обращая внимание на расположение и структуру каустик. Особый интерес представляет структура нестационарного высокочастотного волнового поля вблизи каустики и простейшей особенности каустической поверхности - линии возврата. Изменения характера волнового поля, перестройка волн, явления распада волн и переход от освещенной области к области тени являются важными в теории волновых процессов.
Другим актуальным классом задач математической физики
являются обратные задачи восстановления параметров среды по граничным измерениям. Оказывается, что и в этих задачах нестационарные гауссовы пучки могут быть эффективно использованы и приводить к решению важных теоретических и прикладных задач. В частности, базируясь на методе граничного управления, предложенного Белишевым М.И. [1], можно, с точностью до некоторых сомножителей, восстанавливать волновые поля, порождённые известными граничными источниками, на некотором модельном множестве - выкройке. Используя граничные источники, порождающие нестационарные гауссовы пучки - квазифотоны, мы можем описать это модельное множество, определить структуру геодезических на нём, и тем самым построить математическую модель исследуемой среды. В качестве важной проблемы, решённой с помощью нестационарных гауссовых пучков, можно отметить проблему восстановления общего эллиптического самосопряжённого дифференциального оператора второго порядка на гладком, компактном ориентируемом многообразии по граничным спектральным данным. Эта проблема в существенном была поставлена в 1954 г. Гельфандом И.М. [2]. Применение квазифотонов и метода граничного управления даёт изящное решение этой задачи. Более того, оказалось возможным решить даже более трудную задачу восстановления такого оператора по неполным граничным спектральным данным (для размерности многообразия > 2), т.е. отсутствие информации о конечном наборе данных не влияет на возможность и процесс восстановления оператора. Это является шагом в направлении изучения устойчивости решения обратных задач. Важно также то, что решение этой задачи дано в виде процедуры, пригодной для практических вычислений.
Цель диссертации. Цель диссертации - описать пространственно - временные гауссовы пучки для различных сред и использовать их для расчётов высокочастотных волновых полей в неоднородных средах, порождённых точечным источником с временной функцией типа волновой пакет, а также решения обратной задачи восстановления общего эллиптического самосопряжённого дифференциального оператора второго порядка на гладком, компактном ориентируемом дифференцируемом многообразии по неполным граничным спектральным данным.
Научная новизна. Впервые построены нестационарные гауссо-
вы пучки типа квазифотон для общего эллиптического самосопряжённого дифференциального оператора второго порядка на дифференцируемом многообразии и для уравнений линейной упругой среды. Впервые построены двухпараметрические пространственно - временные гауссовы пучки типа квазиструя и на основании этих построений описана асимптотика высокочастотных волновых полей точечного источника с временной функцией, имеющей вид короткого волнового пакета, в неоднородной упругой среде. Проведены упрощения для квазидвумерной упругой среды. Произведены вычисления таких полей, в том числе вблизи каустики и линии возврата на каустике. Произведено сравнение с точным решением и с лучевым методом (где это возможно).
Решена обратная задача восстановления общего эллиптического самосопряжённого дифференциального оператора второго порядка на гладком компактном ориентируемом дифференцируемом многообразии по неполным граничным спектральным данным.
Методика исследования. Пространственно - временные гауссовы пучки строятся на основе теории формальных асимптотических разложений лучевого типа с комплексной фазой. При этом используется редукция уравнений переноса к обыкновенным дифференциальным уравнениям вдоль луча, а также законы сохранения. Задача о построении высокочастотного волнового поля от точечного источника с временной функцией типа волновой пакет решается с помощью метода суммирования пространственно - временных гауссовых пучков. Для этого строятся двухпараметрические лучевые решения вблизи источника и затем они сшиваются с интегралами по гауссовым пучкам в промежуточной зоне на конечных расстояниях от источника меньших радиуса инъективности соответствующего экспоненциального отображения.
Рещение обратной задачи восстановления эллиптического дифференциального оператора на многообразии опирается на метод граничного управления (ГУ-метод). При этом создан вариант ГУ-метода, соответствующий неполным граничным спектральным данным. Далее используется специальный класс источников, соответствующих квазифотонам для волнового оператора на многообразии. В результате строится выкройка многообразия, а также дифференциал от 1-формы, соответствующей оператору, и ряд других геометрических объектов. Используя групповые и геометри-
ческие результаты, строится многообразие и некоторый канонический представитель в допустимой группе преобразований, сохраняющих неполные граничные спектральные данные.
Теоретическая и практическая ценность. Теоретическую ценность имеют 1) пространственно - временные гауссовы пучки, как некоторый специальный класс решений гиперболических уравнений и систем, 2) представление нестационарных высокочастотных волновых полей в виде интегралов по таким гауссовым пучкам, 3) решение важной обратной задачи восстановления общего эллиптического самосопряжённого оператора на многообразии по граничным спектральным данным, 4) возможность решения обратной задачи с неполными граничными спектральными данными.
Практическую ценность имеют 1) построение асимптотики решения задачи о точечном источнике с временной функцией типа короткий волновой пакет, в том числе в квазидвумерном случае, в виде интеграла по пространственно - временным гауссовым пучкам, 2) создание алгоритмов и программ для вычисления таких полей, 3) описание нестационарных высокочастотных волновых полей вблизи каустик разной структуры, 4) представление алгоритма, пригодного для решения обратной задачи восстановления параметров среды по граничным спектральным данным.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на семинарах ПОМИ в 1980-95 г.,семинарах в Геофизическом институте ЧСАН (Прага, Чекословакия, 1982, 1983), VIII симпозиуме по дифракции и распространению волн (Москва, 1983), семинаре в Институте фундаментальных проблем техники (Варшава, Польша, 1985), симпозиуме " Математические проблемы в геофизике" (Новосибирск, 1985), конференциях "Интегральные уравнения и обратные задачи" (Варна, Болгария, 1989), "Численный анализ для дифференциальных уравнений в инженерии и его приложения" (Киото, Япония, 1992), семинарах университетов г. Токио (Япония, 1992), г. Мито (Япония, 1992), университета Пурдю (Ла-файетт, США, 1993), Миссури университета (Колумбия, США, 1993), университета шт. Кентукки (Лексингтон, США, 1993-95), международной конференции "Обратные задачи" (Санкт Петербург, 1993), международной конференции "Обратные спектральные задачи. Теория и вычисления" (Лексингтон, США, 1994), семинаре университета г. Рочестер (США, 1994), международной конфе-
Г>
ренции "Многовариантные вариационные задачи управления для дифференциальных уравнений в частных производных, (Санкт Петербург, 1995).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах 1-12.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения и трёх разделов, содержащих 13 подразделов. Работа занимает 23G страниц машинописного текста и 20 рисунков. Список литературы состоит из 95 наименований.
