Введение к работе
Актуальность проблемы. Многие задачи прикладного характера, такие как
гео- и биофизические, электродинамические, газо-, гидро- и аэродинамические, задачи
физики плазмы и др. сводятся к уравнениям математической физики. Фактически
само построение уравнения математической физики, адекватно описывающего
те или иные физические закономерности окружающего нас мира, представляет
собой решение некоторой задачи, которую естественно назвать "обратной".
Исследователь наблюдает явление и пытается построить такое уравнение, решение
которого обладает наблюдаемыми свойствами. Обычно в основе получаемых
уравнений лежат физические законы, которые позволяют сформулировать общий
вид дифференциальных соотношений. Как правило, в них присутствует некоторое
число произвольных функций, определяющих свойства физической среды. Если
свойства среды известны, то уравнение математической физики в сочетании с
краевыми и начальными условиями позволяет предсказать развитие физического
явления в пространственно-временной области. Это классическая задача для
уравнений математической физики. В теории обратных задач подобные задачи
называются "прямыми". В современном естествознании очень часто возникают
следующие обратные задачи: известен общий вид уравнения математической физики,
но характеристические свойства среды не известны, их требуется определить
по наблюдаемым решениям уравнения. Типичной является ситуация, когда
непосредственные измерения внутри некоторой области невозможны по тем или иным причинам, однако возможно косвенное наблюдение и качественно и количественно измерять физические поля на границе или вне этой области. В математическом отношении такие задачи должны обеспечить корректность постановки задачи.
Понятие корректности постановки задачи математической физики было
сформулировано в начале XX века известным французским математиком Ж.
Адамаром1. Задача математической физики называется поставленной корректно, если
выполняются следующие условия: 1) решение задачи существует; 2) решение задачи
хАдамар Ж. Задачи Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа.-М.: Наука, 1978.-357 с. Первое издание этой книги на английском языке вышло в 1932 г.
единственно; 3) решение задачи непрерывно зависит от данных задачи. Сформулировав понятие корректности, Ж. Адам ар привел пример некорректной задачи для уравнения математической физики, которая, по его мнению, не соответствовала никакой реальной физической постановке. Ж. Адамар показал это на примере задачи Копій для уравнения Лапласа, который стал классическим примером некорректной задачи.
Необходимость рассмотрения некорректных в классическом смысле (по Адамару) задач математической физики в связи с проблемами интерпретации данных геофизических наблюдений была впервые указана в 1943 г. дважды Героем Социалистического труда, академиком АН СССР А.Н. Тихоновым2. Он показал, что если сузить класс возможных решений до компакта, то из существования и единственности решения следует его устойчивость.
Пути развития теории и методы решения некорректных задач связаны с именами видных математиков А.Н. Тихонова, М.М. Лаврентьева, В.К. Иванова, а также с созданными ими научными математическими школами, во многом определившими пути развития теорий и приложений некорректных задач.
Большое число задач математической физики, не удовлетворяющих условиям корректности по Адамару, сводится к операторному уравнению первого рода, то есть к уравнению вида
Az = и, (*)
где z - искомая характеристика модели, и (следствие z) - величина, сопоставляемая с
реально наблюдаемой, а А - оператор связи между этими величинами (гии элементы
некоторых пространств U, F соответственно, а А - непрерывное отображение U в F).
Такая постановка задачи исследована многими авторами. В частности, развитию
теории решения некорректных задач значительно способствовал метод регуляризации,
предложенный А.Н. Тихоновым3. Метод основан на радикальной идее о стабилизации
минимума уклонения значений Az от заданной правой части й при помощи некоторого
вспомогательного неотрицательного сглаживающего функционала fl(z), определенного
2Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач. //ДАН СССР.-1943.-Т.39,№5.
3Тихонов А.Н. 1) О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации. //ДАН
СССР/-1963.-Т.151,№3. 2) О регуляризации некорректно поставленных задач. //ДАН СССР.-1963-
Т.153,№1.
на некоторой части UoCDa, которая сама является метрическим пространством. Требуется, чтобы множества Mc={z Є Uo',Q(z)
Ma[z,u]=pp(Az,u) + a[Q(z)]2,a>0.
Решение этой задачи za при определенном выборе параметра регуляризации а=а(8) принимается за приближение к искомому решению z. Доказывается, что при равномерной по 8 ограниченности отношения -^ элементы za^z в пространстве U при 8^0. В дальнейшем В.Я. Арсенин, А.Б. Бакушинский, А.В. Гончарский, А.С. Леонов, И.К. Лифанов, А.Г. Ягола и другие рассматривали разные уравнения (*), и доказывали сходимость za^z в основном пространстве Uq, если -jg—>0 и Uq - банахово (гильбертово и другие).
М.М. Лаврентьев4 показал, что при определенных условиях, наложенных на оператор А, можно заменить задачу (*) на близкую, но уже разрешимую при любых UEF. При этом существенным моментом приближенного решения (*) являлось необходимое знание как точности задания элемента и, то есть оценка уклонения Pf(u, й)<8, так и функции корректности и (а) (модуля непрерывности оператора А-1 на образе множества U). Это позволило М.М. Лаврентьеву указать алгоритм построения таких приближений zElJ, для которых рр(и,й)^0, когда Pu(z, 2^)-^-0 (где z -точное решение (*), принадлежащее компакту М), для достаточно широкого класса задач. В этом направлении вели исследования В.Г. Васильев, СИ. Кабанихин, В.Г. Романов, СИ. Шишатский и многие другие представители этой научной школы.
В.К. Иванов5, используя некоторые идеи математического программирования, избавился при приближенном решении (*) от задания функции корректности ш{а). Вместе с тем не требовалось и знания 8, характеризующего точность задания правой части (*). Однако метод В.К. Иванова требовал задания компактного множества М, то
Лаврентьев М.М. Об интегральных уравнения первого рода. //1) ДАН СССР.-1959.-Т.127,№1. 2)
ДАН СССР.-1960.-Т.133,№2.
5Иванов В.К. О линейных некорректных задачах. //ДАН СССР.-1962.-Т.145,№2.
есть множества корректности задачи (*). Полученные В.К. Ивановым приближенные решения определялись как элементы zeMCU, на которых
Pu(Az,u) = miii pu(Av,u).
Такое решение называется квазирешением, а сам метод - методом квазирешения. Метод квазирешения имеет наглядную геометрическую интерпретацию, что послужило отправным пунктом для ряда исследований. В данном направлении исследования вели В.В. Васин, Ж. Лионе, В.П. Танана и другие.
Если уравнение (*) является обыкновенным дифференциальным уравнением, то операторное уравнение содержит один "главный" член, который и определяет корректную разрешимость задачи. Если же (*) является уравнением в частных производных, то соответствующие операторные уравнения содержат, как правило, уже несколько неподчиненных друг другу неограниченных операторов.
Такая ситуация возникает, например, при изучении задачи определения гравитационного поля, задачи обтекания тел сверхзвуковым потоком, ряда гео-и биофизических, гидро-, аэро- и газодинамических задач. Задачи из области естествознания, в целом, приводят к необходимости решения краевых и начальных задач для уравнений эллиптических, гиперболических и параболических типов. Для этих задач не имеет место непрерывная зависимость решения от исходных данных, то есть решения этих задач неустойчивы по отношению к возмущению исходных данных.
Актуальность проблемы обусловлена потребностями в разработке новых подходов для построения регуляризирующих алгоритмов (РА), обладающих свойством устойчивости к малым изменениям исходных данных, легко реализуемых на компьютере.
Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию этих проблем, то есть разработке алгоритмов приближенных решений ряда некорректных задач математической физики, легко реализуемых на ЭВМ.
Отметим, что В.К.Ивановым6 было построено регуляризованное решение задачи Копій для уравнения Лапласа в полосе, используя стабилизирующий множитель 6Иванов В.К. Задача Коши для уравнения Лапласа в бесконечной полосе. //Дифференциальные уравнения .-1965 .-Т. 1, №1.
вида ехр(—a2s2). М.М. Лаврентьевым7 было предложено использование классической формулы Грина для построения регуляризованного решения задачи Копій для уравнения Лапласа. Используя идеи М.М. Лаврентьева, Ш.Ярмухамедовым8 было построено регуляризованное решение задачи Копій для уравнения Лапласа. И.О. Исломовым9, на основе работы Ш. Ярмухамедова, было построено регуляризованное решение задачи Копій для уравнения Гельмгольца. В работе И.В. Мельниковой, А.Ю. Фрейберга10 построено регуляризованное решение первой краевой задачи для волнового уравнения. В качестве регуляризующего алгоритма взят конечный отрезок ряда.
В.Я.Арсениным11 был предложен способ построения класса регуляризирующих операторов для интегральных уравнений первого рода типа свертки с помощью интегральных преобразований, легко реализуемых на ЭВМ.
В данной диссертационной работе, изучается задача Копій для уравнения эллиптического типа, когда решение не имеет непрерывную зависимость от исходных данных. Для обеспечения непрерывной зависимости решения от исходных данных, задачи рассматриваются на классе данных Копій, состоящих из быстро убывающих вместе со всеми производными функций при |:г|—>оо. Используя метод В.Я.Арсенина, построено семейство таких приближенных решений иа(х,у), что при а^О равномерно по х для каждого фиксированного у сходятся к решению и(х,у). Другой проблемой, изучаемой в данной работе, являются краевые задачи для гиперболических уравнений. Характерной особенностью таких задач является некорректность, то есть не имеет место непрерывная зависимость решения от исходных данных. На
7Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики.-Новосибирск: СО
АН СССР, 1962.-93С.
8Ярмухамедов Ш. О задаче Коши для уравнения Лапласа //Автореф. дис. доктора физ.-мат.
наук.-Новосибирск, 1983.-19 с.
9Исломов И.О. О задаче Коши для уравнения Гельмгольца //Автореф. дис. канд. физ.-мат. наук.-Новосибирск, 1986.-16 с.
10Мельникова И.В., Фрейберг А.Ю. О регуляризации краевой задачи для уравнения колебаний.
//Журнал вычислительной матем. и матем. физики.-1985.-Т.25,№5.
иАрсенин В.Я. Об одном способе приближенных решений интегральных уравнений первого рода
типа сверток. //Математическая логика, теория алгоритмов и теория множеств -Труды МИ АН
СССР: Наука.-1973.-Т.133.-С.ЗЗ-51.
основе регуляризирующих методов строится класс приближенных решений краевых задач для гиперболического уравнения. Также, используя эти методы, строятся семейства приближенных решений смешанных задач для уравнения эллиптического и гиперболического типов.
М.М.Лаврентьеву12 принадлежит идея замены исходного интегрального уравнения первого рода близким ему, в некотором смысле, уравнением, для которого задача нахождения решения устойчива к малым изменениям правой части и разрешима для любой правой части. Используя идею М.М.Лаврентьева, в работе построен метод приближенных решений задачи Копій для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу.
Целью работы является построение семейства (класса) регуляризирующих алгоритмов (РА), обладающих свойством устойчивости к малым изменениям исходных данных.
Основные задачи, решаемые для достижения поставленной цели, следующие:
- построение класса приближенных решений задачи Копій для уравнения
эллиптического типа, обладающих свойством устойчивости к малым изменениям
исходных данных, с помощью интегральных преобразований Фурье;
- построение класса РА решения краевых задач для гиперболического уравнения,
обладающих свойством устойчивости к малым изменениям исходных данных,
основанных на идее регуляризации задачи суммирования рядов Фурье;
- построение приближенных решений смешанной задачи для эллиптического
и гиперболического уравнения, обладающих свойством устойчивости к малым
изменениям исходных данных, основанных на идее регуляризации задачи
суммирования рядов Фурье;
-построение приближенных решений задачи Копій для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу (ЭПД), исходя из возмущенной задачи;
- построение приближенных решений сингулярного интегрального уравнения
первого рода, исходя из возмущенной задачи;
- исследование условий стабилизации и согласования параметра регуляризации с
12Лаврентьев М.М. Об интегральных уравнения первого рода. //1) ДАН СССР.-1959.-Т.127,№1. 2) ДАН СССР.-1960.-Т.133,№2.
погрешностью;
- выбор сглаживающей функции и последовательности множителей.
Методы исследования. Основные результаты диссертации получены с
применением теории дифференциальных уравнений, функционального анализа, методов вычислительной математики, теории обратных и некорректных задач. При построении регуляризованных решений задач, изучаемых в работе, используется метод регуляризации для интегральных уравнений первого рода типа свертки, разработанный В.Я. Арсениным. Также используется методика М.М. Лаврентьева, разработанная для операторного уравнения первого рода, исходящая из возмущенной задачи.
Научная новизна. Впервые показана возможность аналитического метода построения семейства РА для: задачи Копій для уравнения эллиптического типа на основе интегрального преобразования Фурье; задачи Копій для уравнения эллиптического типа на основе метода разделенных переменных (метода Фурье); краевой задачи для гиперболического уравнения на основе суммирования рядов Фурье; смешанной задачи для эллиптических и гиперболических уравнения, на основе суммирования рядов Фурье; задачи Копій для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу исходя из возмущенной задачи; сингулярного интегрального уравнения первого рода исходя из возмущенной задачи.
Кроме того, в работе впервые исследованы условия стабилизации и согласования параметра регуляризации для этих задач. Показаны способы выборов сглаживающих функций и последовательности сглаживающего множителя. Установлена зависимость параметра регуляризации от погрешности.
Научная ценность работы состоит в том, что полученные в ней результаты расширяют и углубляют представления о построении приближенных решении задач математической физики, имеющих прикладное значение.
Практическая значимость результатов исследования связана с возможностью их использования для создания принципиально новых, более эффективных технологий в различных областях: геофизике, радиофизике, биофизике, гидравлике, аэродинамике, газодинамике и др.
Задачи, поставленные в ходе диссертационного исследования, решались в рамках
фундаментальных и поисковых НИР, проводимых в Таджикском национальном университете (Президентского фонда фундаментальных исследований научных проектов в 2005-2007 и 2008-2010, проект 0108ТД745).
Достоверность результатов работы определяется использованием обоснованных методов построения семейств РА, способа выборов сглаживающих функций, способа выбора последовательности сглаживающего множителя и установления зависимости параметра регуляризации от погрешности.
Личный вклад автора. Выбор темы, цели и задач для диссертационного исследования осуществлялись автором лично. В совместных публикациях [11-13,20,23,24,29,35,46] автору в основном принадлежат: математическая постановка задач, идеи решений, общее руководство, а соавторам-конкретные выкладки и расчеты. В диссертацию не включены результаты работ [20, 23, 24, 29, 46].
Апробация работы. Основные положения диссертационной работы
докладывались и обсуждались на международных, республиканских конференциях и семинарах, в том числе: международной конференции по "Теории приближения и вычислительной математики" (Днепропетровск, 1993); международной конференции "Математическое моделирование и вычислительный эксперимент" (Ташкент, 2002); 3-ей международной конференции по "Математическому моделированию и вычислительному эксперименту" (Душанбе, 2002); международной конференции по "Дифференциальным и интегральным уравнениям с сингулярными коэффициентами" (Душанбе, 2003); международной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения и смежные вопросы анализа" (Душанбе, 2005); научно-теоретической конференции "Проблемы современной физики" (Душанбе, 2006, 2008); международной научно-практической конференции "Перспективы развития науки и образования в XXI веке" (Душанбе, март, 2007, 2009, 2010, 2011); научно-теоретическая конференция "Проблемы современной физики конденсированных сред" (Душанбе, май, 2007, 2010, 2011); семинаре совещания "Наука - производству" (Душанбе, июнь, 2007); международной научно-теоретической конференции "Математические проблемы технической гидромеханики, теории фильтрации и орошаемого земледелия" (Душанбе, май, 2008); Республиканской научной конференции "Дифференциальные
и интегральные уравнения" (Душанбе, сентябрь, 2008); международной конференции по "Математической физике и ее приложениям" (Самара, сентябрь, 2008, 2010, 2012); Республиканской научно-методической конференции (Душанбе, 2009); 7-ой Всероссийской научной конференции с международным участием "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, 2010); городском научном семинаре ТНУ (под руководством академика АН РТ, профессора Н. Раджабова); в Институте математики АН РТ (под руководством член-корр. АН РТ, профессора З.Х. Рахмонова) и на семинаре кафедры вычислительной математики ЮУрГУ (под руководством профессора В.П. Танана).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 47 научных работ, в том числе 26 работ в журналах, рекомендованных ВАК для защиты докторских диссертаций.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на разделы, заключения и списка использованных источников из 132 наименований, объемом 208 страниц текста.
