Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Уравнение теплопроводности в полосе с переменным коэффициентом теплопроводности 20
1. Априорные оценки решения задачи (6)-(7) 20
2. Существование решения задачи (4)-(5) 31
3. Аналитичность решения задачи (4)-(5) 38
4. Асимптотика решения задачи (1)-(3) 41
Глава 2. Уравнение теплопроводности в полупространстве с переменным коэффициентом теплопроводности 47
5. Априорные оценки решения задачи (9)-(10) 47
6. Существование решения задачи (9)-(10) 54
7. Аналитичность решения задачи (9)-(10) 61
8. Асимптотика решения задачи (6)-(8) 66
Глава 3. Малые колебания экспоненциально стратифицированной жидкости в предположении Буссинеска 80
9. Доказательство существования, единственности и построение точных асимптотик решения задачи (11)-(13) 80
Построение формального решения задачи (11)-(13) 80
Существование решения задачи (11)-(13) 82
Единственность решения задачи (11)-(13) 84
Принцип локализации 87
Построение асимптотики при t —> оо компонентов решения 87
Глава 4. Малые колебания стратифицированной жидкости 90
10. Априорные оценки решения задачи (17)-(18) 90
11. Доказательство существования решения задачи (17)-(18) 104
12. Аналитичность решения задачи (17)-(18) 108
13. Построение оценки асимптотики по времени решений задачи (14)-(16) 113
Литература 128
- Существование решения задачи (4)-(5)
- Существование решения задачи (9)-(10)
- Построение формального решения задачи (11)-(13)
- Доказательство существования решения задачи (17)-(18)
Введение к работе
Актуальность работы. Одним из важных направлений качественной теории дифференциальных уравнений является определение поведения решений начальных и начально-краевых задач математической физики при t —> со. Решению этой задачи посвящено большое количество работ.
Определению условий стабилизации и построению асимптотик решений параболических задач в цилиндрических областях были посвящены работы Ю. В. Егорова, В. А. Кондратьева, О. А. Олейник [1] и др.
Вопросы стабилизации при t —» со решений уравнений математической физики параболического типа изучены в работах С. Д. Эдельмана [2], [3], В. Д. Репникова [2], [4], В. П. Михайлова [5], Ф. О. Порпер [6].
Одним из классов задач математической физики, для которых изучают поведение решений при t —> со, являются задачи гидродинамики, см., например работы следующих авторов: С. Л. Соболева [7], [8], В. П. Маслова [9], О.А.Ладыженской [10], В.Н.Маслениковой [11], [12], С.А. Габова [13], Ф. X. Мукминова [14], С. Г. Крейна [15] и др.
В настоящее время в связи с проблемами океанологии, физики атмосферы, а также охраны окружающей среды возрос интерес к изучению динамики неоднородных, в частности стратифицированных, вязких жидкостей.
При изучении таких задач авторы часто используют дополнительные гипотезы, такие как предположение Буссинеска и предположение об определенном виде стратификации, см., например работы Г. В. Демиденко, С. В. Успенского [16], В. Н. Маслениковой, А. В. Глушко, А. В. Перовой, Ю. Д. Плетнера, А. Г. Свешникова [17], Л. М. Бреховских, В. В. Гончарова [39] и др.
В диссертации предложен подход, разработанный на основе принципа локализации, который в некоторой степени позволяет отказаться от этих предположений. Методика была разработана на основе исследования модельных задач, которыми стали начально-краевые задачи для уравнения теплопроводности в полосе и полупространстве. Далее разработанный подход применен к иссле-
4 дованию задачи, описывающей малые колебания вязкой стратифицированной
жидкости без использования предположений о виде стратификации и предположения Буссинеска.
Целью работы является разработка методов, позволяющих получать асимптотические оценки решений задач, описывающих поведение стратифицированной жидкости. Основным техническим приемом, позволяющим сделать это, является принцип локализации. Поэтому еще одной целью работы является развитие принципа локализации.
Методика исследований. Используются идеи и методы современной теории дифференциальных уравнений с частными производными, функционального анализа, теории функций комплексного переменного. В частности, используются теоремы о вложении функциональных пространств, принцип локализации для исследования задач гидродинамики, развитый А. В. Глушко и его учениками.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Среди них можно выделить следующие наиболее важные:
Доказаны теоремы существования и выделены классы единственности решений рассмотренных задач для дифференциальных уравнений и систем уравнений с частными производными;
Для обыкновенных дифференциальных уравнений и систем уравнений, являющихся образами Фурье-Лапласа исходных задач, на основе априорных оценок выявлены области аналитичности и, как следствие, проведена локализация, позволяющая установить связь между асимптотическим поведением решений исходных задач и поведением в окрестностях точек поворота решений задач в образах Фурье-Лапласа. Точность проведенных оценок подтверждена рассмотрением частного случая задач с постоянными коэффициентами;
Показано качественное изменение скорости стабилизации решений начально-краевых задач, описывающих распределение тепла, в зависимости от того, в каких областях они исследуются;
5 4. Разработана и реализована методика, позволяющая при исследовании
скорости стабилизации решений задач гидродинамики отказаться от предположений о конкретном виде стратификации и от предположения Буссинеска.
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы в учебном процессе, спецкурсах и научных исследованиях, проводимых в Воронежском, Московском, Белгородском, Самарском государственных университетах, РУДН, в Институте математики им. С. Л. Соболева СО РАН и др.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались в рамках работы Воронежской весенней математической школы (2006), Воронежской зимней математической школы (2007), на семинаре под руководством д. ф-м. н. А. В. Глушко (Воронеж 2006, 2008), научной сессии ВГУ (2006), международной молодежной научной конференции «XXXIII Гагаринские чтения» (Москва, 2007), на международной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», посвященной памяти И. Г. Петровского (Москва, 2007), семинаре под руководством профессора А. Г. Баскакова (Воронеж, 2008), семинаре под руководством профессора В. Д. Репникова (Воронеж, 2008).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[11]. Из совместных работ [9],[10] в диссертацию вошли только результаты, принадлежащие лично диссертанту.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на тринадцать параграфов, и списка литературы, включающего 52 источника. Общий объем диссертации 133 страницы.
Существование решения задачи (4)-(5)
Одним из важных направлений качественной теории дифференциальных уравнений является определение поведения решений начальных и начально-краевых задач математической физики при t — со. Решению этой задачи посвящено большое количество работ.
Определению условий стабилизации и построению асимптотик решений параболических задач в цилиндрических областях были посвящены работы Ю. В. Егорова, В. А. Кондратьева, О. А. Олейник [1] и др.
Вопросы стабилизации при t —» со решений уравнений математической физики параболического типа изучены в работах С. Д. Эдельмана [2], [3], В. Д. Репникова [2], [4], В. П. Михайлова [5], Ф. О. Порпер [6].
Одним из классов задач математической физики, для которых изучают поведение решений при t — со, являются задачи гидродинамики, см., например работы следующих авторов: С. Л. Соболева [7], [8], В. П. Маслова [9], О.А.Ладыженской [10], В.Н.Маслениковой [11], [12], С.А. Габова [13], Ф. X. Мукминова [14], С. Г. Крейна [15] и др.
В настоящее время в связи с проблемами океанологии, физики атмосферы, а также охраны окружающей среды возрос интерес к изучению динамики неоднородных, в частности стратифицированных, вязких жидкостей.
При изучении таких задач авторы часто используют дополнительные гипотезы, такие как предположение Буссинеска и предположение об определенном виде стратификации, см., например работы Г. В. Демиденко, С. В. Успенского [16], В. Н. Маслениковой, А. В. Глушко, А. В. Перовой, Ю. Д. Плетнера, А. Г. Свешникова [17], Л. М. Бреховских, В. В. Гончарова [39] и др.
В диссертации предложен подход, разработанный на основе принципа локализации, который в некоторой степени позволяет отказаться от этих предположений. Методика была разработана на основе исследования модельных задач, которыми стали начально-краевые задачи для уравнения теплопроводности в полосе и полупространстве. Далее разработанный подход применен к иссле 4 дованию задачи, описывающей малые колебания вязкой стратифицированной
жидкости без использования предположений о виде стратификации и предположения Буссинеска.
Целью работы является разработка методов, позволяющих получать асимптотические оценки решений задач, описывающих поведение стратифицированной жидкости. Основным техническим приемом, позволяющим сделать это, является принцип локализации. Поэтому еще одной целью работы является развитие принципа локализации.
Методика исследований. Используются идеи и методы современной теории дифференциальных уравнений с частными производными, функционального анализа, теории функций комплексного переменного. В частности, используются теоремы о вложении функциональных пространств, принцип локализации для исследования задач гидродинамики, развитый А. В. Глушко и его учениками.
Существование решения задачи (9)-(10)
Все основные результаты диссертации являются новыми. Среди них можно выделить следующие наиболее важные: 1. Доказаны теоремы существования и выделены классы единственности решений рассмотренных задач для дифференциальных уравнений и систем уравнений с частными производными; 2. Для обыкновенных дифференциальных уравнений и систем уравнений, являющихся образами Фурье-Лапласа исходных задач, на основе априорных оценок выявлены области аналитичности и, как следствие, проведена локализация, позволяющая установить связь между асимптотическим поведением решений исходных задач и поведением в окрестностях точек поворота решений задач в образах Фурье-Лапласа. Точность проведенных оценок подтверждена рассмотрением частного случая задач с постоянными коэффициентами; 3. Показано качественное изменение скорости стабилизации решений начально-краевых задач, описывающих распределение тепла, в зависимости от того, в каких областях они исследуются; 4. Разработана и реализована методика, позволяющая при исследовании скорости стабилизации решений задач гидродинамики отказаться от предположений о конкретном виде стратификации и от предположения Буссинеска.
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы в учебном процессе, спецкурсах и научных исследованиях, проводимых в Воронежском, Московском, Белгородском, Самарском государственных университетах, РУДН, в Институте математики им. С. Л. Соболева СО РАН и др.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались в рамках работы Воронежской весенней математической школы (2006), Воронежской зимней математической школы (2007), на семинаре под руководством д. ф-м. н. А. В. Глушко (Воронеж 2006, 2008), научной сессии ВГУ (2006), международной молодежной научной конференции «XXXIII Гагаринские чтения» (Москва, 2007), на международной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», посвященной памяти И. Г. Петровского (Москва, 2007), семинаре под руководством профессора А. Г. Баскакова (Воронеж, 2008), семинаре под руководством профессора В. Д. Репникова (Воронеж, 2008).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[11]. Из совместных работ [9],[10] в диссертацию вошли только результаты, принадлежащие лично диссертанту.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на тринадцать параграфов, и списка литературы, включающего 52 источника. Общий объем диссертации 133 страницы. Краткое содержание работы
Нумерация приводимых ниже лемм и теорем совпадает с их нумерацией в диссертации. Первая, вторая и четвертая главы имеют общую структуру исследования. Для изучения поведения рассматриваемых задач при t— x применен принцип локализации, который сводится к изучению контуров потери аналитичности образов Фурье-Лапласа решения задач из глав 1, 2 и образа Лапласа решения задач из глав 3, 4. В отличие от главы 3 в главах 1, 2 и 4 нельзя получить явное представление образа решения. Исследование задач в образах осуществляется при помощи априорных оценок. На их основе выделены области аналитичности образа решения и доказано существование решения задач в образах. Перейдем к более детальному изложению результатов диссертации.
Построение формального решения задачи (11)-(13)
Будем говорить, что функция g(x,t) удовлетворяет условию 1, если: 1. g(x,t) непрерывна по совокупности переменных при х = (xx,x2) zR2, х3 e[0;d],t 0; 2. При некотором S 0 функция g{x,t)eSt принадлежит пространству ,( ). Условие 2. Будем говорить, что функция g(x,t) удовлетворяет условию 2, если: di+J+k g(x t) 1. Для функций , где 0 і 1, 0 j, к 2, выполнено условие 1; дх2дх(дґ 2.g(x,t)\t=0 = 0. Условие 3. Будем говорить, что функция g(x,t) удовлетворяет условию 3, если: 1. Функция g(x,t) удовлетворяет условию 2; 2. Функции Г [ eSt dtdx принадлежат пространству Z,2([0;c/]), где di+J+kg(x,t) R2Q dxk2dx{dtl О z 1, 0 у 2, 0 2, норма вычисляется по переменной х3. Условие 4. Будем говорить, что функция g(x,t) удовлетворяет условию 4, если: d +J+k g(x t) 1. Для функций вида , где 0 / 2, 0 j 4, 0 к 4, выполнено дхк2дх(дГ Я v Я v- Я/ условие 1; = 0; g(x,t) dg(x,t) dt 2. g(x,t)\t=0=0n GO 3. Функции вида Г j dxkdx{dt k д „J я R20 eSt dtdx принадлежат пространству Z,2([0; i]), где 0 / 2, 0 y 4,0 & 4, норма вычисляется по переменной х3. Определение. Будем говорить, что непрерывная функция v{(x,t) принадлежит классу Ta{Q)b если справедливы следующие оценки: dkvx(x,t) dtk ceat, где = 0,1; dkvx(x,t) дх. ceat, где к = 1,2, j = 1,2,3, постоян ная о 0 не зависит от t 0, х є Q a R3 После применения к задаче (1)-(3) преобразования Лапласа L по переменной t и преобразования Фурье F по касательным переменным х задача (1)-(3) примет следующий вид: [ -(rb2{x3) + \s\2)u(x3,r,s) = f(x3,y,s) С/ -Л"7 (4) u{x3 r ).=u(x39r9s) .=0 x-x=d (5) где 2 Ь2(хз)= 2, ЛА = si+sh уєС, f(x3,y,s) = а (х3) A-r [Д,2- 2 [S(x,t)\ a (x3) Приведем основные результаты, полученные в главе 1. Теорема 1.2. Если функция u(x3,y,s) является решением задачи (4)-(5) и dku(x3,y,s) функции f{x3,y,s), дхк3 -, к = 0,1,2 принадлежат пространству /,2([0;оф по переменной х3 при Re у -, 0 и всех 5 є і?2, то найдутся є 0, t , 0, такие что при К&у -є и любом яєі?2 будет справедлива оценка d2u(x3,y,s) дх + Л/И + И +Ji ( 3,7,- ) 9 л;, + (/ + \sf + 5x)\u(x3,y,s)\ c\\f(x3,y,s)\\, с постоянной о 0, не зависящей от , s. На основе априорной оценки, полученной в теореме 1.2, при помощи метода продолжения по параметру доказывается следующая теорема. Теорема 2.1. Пусть функция g(x,t) удовлетворяет условию 3. Тогда существует є 0, такое что при Re - и любом SGR2 задача (4)-(5) имеет решение и(х3,y,s), при этом функции u(x3,y,s) 95 : к = 0,1,2 принадлежат про странству L2([0; йф попеременной л:3. При помощи априорной оценки из теоремы 1.2 и теорем вложения доказана следующая лемма. Лемма 2.5. Пусть функция g(x,t) удовлетворяет условию 3, тогда при некотором є = Б{8) О Key —є и всех s є R2 для функции u(x3,y,s), являю щейся решением задачи (4)-(5), будет справедлива оценка і I с \\/(хз 7 s)\\ г 1 \u(x3,y,s) - 2 — с постоянной о 0, равномерной по х3 є [0; d\. (г + И +5Х?" На основе априорной оценки, полученной в теореме 1.2, доказывается, что решение задачи (4)-(5) является функцией аналитической по параметру у, а его производные являются решением краевой задачи, которая получается из задачи (4)-(5) в результате формального дифференцирования по параметру у. Эти результаты сформулированы в следующем утверждении.
Пусть функция g(x,t) удовлетворяет условию 3. Тогда существует є 0, такое что при Кеу -є и всех SGR2 И Х3Є[0;С/] решение u(x3,y,s) задачи (4)-(5) будет аналитической по переменной у функцией. Из анализа решения задачи (4)-(5) следует теорема 4.2. Теорема 4.2. Пусть функция g(x,t) удовлетворяет условию 4, тогда задача (1)-(3) имеет решение v(x,t), непрерывно дифференцируемое по / 0 и дважды непрерывно дифференцируемое по X GR2, 0 x3 d, причем v(x,t) є Ta (R2 x (0;d)) при a 0 и v(x,t) - единственное решение задачи (1)-(3) в классе Ta{R2 x(0;d)). Кроме того, найдется такое 0, что равномерно по х = (хх,х2,х3) є R2 х (0;d) при t - оо будет выполнена оценка v(x,t) = 0(е є ). Результаты, изложенные в главе 1, опубликованы в работах [21], [24], [26], [27]. В главе 2 рассматривается начально-краевая задача для уравнения теплопроводности j - -a2(x3)Av (х, 0 = g(x, 0 (6) с начальными и граничными условиями y(x,t)[=o=0, (7) v( OU=v( ,OU=0, (8) где t 0,x=(xl,x2,x3), x = (xvx2)eR2, x3 є[0,оо), а2(х3)єС([0,оо)), 3f1,2:0 f1 я(х3) є2. Сформулируем условия, которые будут использованы в диссертации. Условие 5. Будем говорить, что функция fx(x,t) удовлетворяет условию 5, если: 1. fx{x,t) непрерывна по совокупности переменных при х = (X1,X2)GR , х3 0,/ 0; 2. При некотором S 0 функция fx(x,t)eSt принадлежит пространству Lj(i?+). Условие 6. Будем говорить, что функция fx{x,t) удовлетворяет условию 6, если: di+J+k f(x t) 1. Для функций к , , где 0 і 1; 0 j 2; 0 к 2, выполнено усло dx2dx(dtl виє 5; 2./ ,01 =0: оо 3. Функции \\ я2 о di+J+k fx{x,t) дхкдх(дґ е dtdx принадлежат L2(R+)nI (R+), где О і 1; 0 j 2; 0 к 2, а норма вычисляется по переменной хъ. Условие 7. Будем говорить, что функция fx (х, t) удовлетворяет условию 7, если: і тт л, - di+J+k fx(x,t) , где 0 / 2; 0 j 4; 0 к 4, выполнено усло 1. Для функции . dx2dx(dt вие 5; 2./(X,0L=0H dt t=0 О 3. Функции . yiv / e dtdx принадлежат L2 (R+ ) n Zj (R+), где 0 z 2;0 j 4;0 & 4,a норма вычисляется по переменной х3.
Доказательство существования решения задачи (17)-(18)
После применения к задаче (6)-(8) преобразования Лапласа по t и преобразования Фурье по касательным переменным х задача (6)-(8) примет следующий вид: д u(x3,y,s) dxl -(jb2(x2)+s )u(x3,y,s) = f(x3,y,s) (9) Фз, Г, )Lo = М(Х Г J)L- = (10) а (х3) где Ь\х3) , х I 12 2 . 2 5 - 1) 2/5 Р — 1 2 : а , А [ . л ( »0]] /( Г,з) = j— д (х3) Приведем основные результаты, полученные в главе 2. Теорема 5.1. Пусть ysC, у 0 при 0 (р я: - б:0 и seR2 ((p = argy) du(x3,y,s) d2u(x3,y,s) функции f(x3,y,s),u(x3,y,s), , принадлежат пространст вах, дхъ ву L2([0,oo)) попеременной х3 при всех у и s, функция u(x3,y,s) является решением задачи (9)-(10). Тогда справедлива оценка d2u(x3,y,s) дхі +VH+N du(x3,y,s) дх. + (\y\ + \s\2)\\u(x3,y,s)\\ c\\f(x3,y,s)l с постоянной о 0, не зависящей от у, s, причем є0 0 может быть сколь угодно малым. Обозначим \ - sup Z?(x3). Тогда верна теорема 5.2. 3є[0;а ) Теорема 5.2. Пусть \у\ (1 - Sy-\- при 8 є (0; 1), s є R2 функции /(х3, у, s), du{x3,y,s) d2u(x3,y,s) г . u(x3,y,s), , Y—- принадлежат пространству Z,2(0,ooj) по пе дх3 дх3 ременной хъ при всех у и s, а функция u(x3,y,s) является решением (9)-(10). du(x3,/,s) + /її і i2\ (И+И) d2u{x3,y,s) + VH + N Тогда справедлива оценка дх. дх23 \\u(x3,y,s)\\ c\\f(x3,y,s)\\. Теорема 6.1. Пусть функция g(x,t) удовлетворяет условию 6, є0 0 сколь угодно мало. Тогда существует є = є{5) 0, такое что при yeD, где D=(yeC, уфО при 0 Ы 7i-)n(Rey -) и всех SGR2 задача (9)-(10) имеет решение, при этом функции u(x3,y,s). du(x3,y,s) d2u(x3,y,s) дх3 дх2 принад лежат пространству Х2([0,оо)) попеременной х3. Теорема 6.2. Пусть функция g(x,t) удовлетворяет условию 6, тогда при і і2 і і И любом 5 є (ОД) и при 1 (1-(5))- - задача (9)-(10) имеет решение и(х3,y,s). "\ ди(х у БЛ О ы(х у S\ При этом функции u(x3,y,s), --—, 1 — принадлежат простран дх3 дх3 ству Z,2([0,oo)) по переменной Xj. Теорема 7.1. Пусть функция g(x,t) удовлетворяет условию 6, тогда в области D= (у є С, у&0 при 0 # л: - s)r\(Rey -є) решение u(x3,y,s) задачи (9)-(10) будет аналитической функцией переменной у при всех х3 0 и всех s GR2 . Теорема 7.2. Пусть функция g(x,t) удовлетворяет условию 6. Тогда при любом SG(Q;1) И всех s GR2 решение w(x3,y,s) задачи (9)-(10) будет анали 13 I 2 тической функцией переменной у в области D, = (\у\ (1 - S)- ) о ь\ n(Rey -є) при всех х3 О. Теорема 8.3. Пусть функция g(x,t) удовлетворяет условию 7, тогда задача (6)-(8) имеет решение v(x,t), непрерывно дифференцируемое по t О и дважды Непрерывно Дифференцируемое ПО -00 JCj 00,-00 х2 оо, 0 х3 оо, v(x,t) =Ta(Rl) ПРИ « 0 и v(x,0 является единственным решением в классе Ta(Rl). Кроме этого, для функции v(x,t) при t—»00 будут справедливы следующие оценки, с константами, не зависящими от їєі? : \v(x,t)\ cr5/4, \v(x,t)\ c(e-e +х2ґІА +(х3 + х2)Г2). Результаты, изложенные в главе 2, опубликованы в работах [20], [22], [25], [27]. В главе 3 рассматривается система дифференциальных уравнений Г d2V(t,x) 1 dP(t,x) g dV(t,x) dt Я+ 2// V Ро J + - -+- -p(t,x) = 0; dx p0 dx p0 -( VM+A =»; do dt ч ox dp(t,x) _2 dP(t,x) -c - N2p0V(t,x) = 0,x 0,t 0. dt dt Система дополнена начальными условиями r(f, )L =0; PML=0; Р( х)1л=0 х 0 (12 и граничным условием V(t,x)\x0=W(t). (13) Начально-краевая задача (11)-(13) описывает в линейном приближении малые акустическо-гравитационные колебания вязкой жидкости. Колебания считаются одномерными (в направлении однородного поля тяготения).
Начально-краевая задача (14)-(16) описывает в линейном приближении малые акустическо-гравитационные колебания вязкой жидкости. Колебания считаются одномерными (в направлении однородного поля тяготения). Использованы следующие обозначения: V{t,x), S(t,x), P(t,x) - ско рость, отклонение от стационарной плотности, отклонение от стационарного давления в частице жидкости, находящейся в момент f 0 в точке х 0; v коэффициент вязкости среды; с - скорость распространения звуковых колеба ний в среде; р0(х) - стационарная плотность; g - ускорение свободного па дения; N - частота Вяйсяля-Брента, N2 (х) = -(— 1- gc 2 )g. Ро(х) Сформулируем условия, используемые в диссертации. Условие 10. Существуют єх,є2 0 такие, что при хє[0,оо) выполнено неравенство 0 ех р0(х) є2, р0(х) є С2 [0,со). Существует такая константа с, что р0 (х) с при х є [О, оо). Сформулируем основные результаты, доказанные в главе 4. принадле dv(y х) д У (у х) Лемма 10.3. Пусть функции ft(y,x),v(y,x), дх дх2 жат пространству 72([0,со)) по переменной х при каждом фиксированном у, лежащем правее некоторого контура /J1, тогда существует контур Цх Рх такой, что правее контура /"" будет выполнена следующая оценка: d2v(y,x) 24" И д\(у,х) дх2 дх + y\2\\v(y,xf c(y)\\My,x)( Теорема 11.1. Пусть функция f (/,x) принадлежит пространству Z2([0,oo)) по переменной х при Reу -є, для функции р0(х) выполнено условие 10. Тогда существует контур 1"3 Рз такой, что при каждом фиксированном у, лежащем правее контура /"3 А, у задачи (17)-(18) существует единственное решение из пространства Н2 ([0,оо)). Теорема 12.1. Пусть при каждом фиксированном у, лежащем правее юс в г, ч / ч dv(y.x) d2v(y,x) контура V , функции f(y,x),v(y,x), - , -— принадлежат про 3 дх дх странству 2([0,со)) по переменной х, для функции р0(х) выполнено условие 10, функция v(y,x) является решением задачи (17)-(18), функция f(y,x) является аналитической функцией переменной у при любом хє[0,оо). Тогда при дх дх2 у, лежащем правее контура /3 А, функции v(y,x), — , — 2 будут аналитическими функциями переменной у при любом х є [0,со). Теорема 13.3. Пусть функция F(t,x) удовлетворяет условию 13, для функции р0(х) выполнено условие 10. Тогда у задачи (14)-(16) существует классическое решение, принадлежащее классу Qa при а 0 и единственное в нем, а для функции V(t,x) равномерно по хє[0,оо) при t— оэ справедлива следующая оценка Результаты, изложенные в главе 4, опубликованы в работе [29].
