Содержание к диссертации
Введение
1 Аппроксимативная управляемость системы Навье-Стокса в неограниченных областях 15
1.1 Постановка задачи и основные результаты 1.5
1.1.1 Управляемость посредством граничного управления 15
1.1.2 Управляемость посредством локально распределенного управления 17
1.1.3 Некоторые приложения 19
1.2 Задача управления для линейной системы 21
1.2.1 Постановка задачи управления 21
1.2.2 Построение векторного поля коэффициентов 21
1.2.3 ДоЕсазательство управляемости линейной системы 29
1.2.4 Линейная система с условием соленой дальности 34
1.2.5 Сжатие по времени 36
1.3 Аппроксимативная управляемость системы Навье-Стокса 38
1.3.1 Вывод вспомогательной нелинейной задачи 38
1.3.2 Доказательство аппроксимативной управляемости системы Навье-Стокса 40
1.4 Существование решения нелинейной задачи 44
2 Об одной задаче управления для параболического уравнения
2.1 Постановка задачи 63
2.2 Экстремальная задача 65
2.3 Вывод оценок 67
Приложение.
- Управляемость посредством граничного управления
- Построение векторного поля коэффициентов
- Аппроксимативная управляемость системы Навье-Стокса
- Существование решения нелинейной задачи
Введение к работе
Актуальность темы
В диссертации изучаются две задачи аппроксимативной управляемости для уравнений математической физики, заданных в неограниченных областях. Первая глава работы посвящена доказательству аппроксимативной управляемости для двух- и трехмерной системы Навье-Стокса, заданной во внешности ограниченной области или во всем пространстве. Доказана возможность управления решением с помощью граничного или локально распределенного управления так, что через заданное время решение системы Навье-Стокса будет сколь угодно близким к любому заданному сол еноидаль ному векторному полю. Этот результат является главным в работе. Во второй главе диссертации рассматривается одна задача аппроксимативной управляемости для параболического уравнения, заданного на вещественной оси.
Математическая теория управляемости для эволюционных уравнений в частных производных начала развиваться в начале 60-х годов. Первыми были работы Ю.В. Егорова [8], А.Г.Бутковского [4], а позднее - Д. Рассела [71j,[70j, Г. Фатторини [44].
Подавляющее большинство работ до 90-х годов прошлого века было посвящено задачам управляемости линейными эволюционными уравнениями. В случае нелинейных уравнений известно значительно меньше.
Вопросы об управляемости систем Навье-Стокса и Эйлера и параболических уравнений с простейшими нелинейностями начали активно исследоваться сначала 90-хгодов после того, как Ж.-Л.Лионсом [64], [65] была выдвинута гипотеза о глобальной управляемости системы Навье-Стокса с граничным или локально распределенным управлением.
Управляемость посредством граничного управления
Пусть и С Mrf, d = 2, 3 - ограниченная область с гладкой границей дси класса С, задано Т 0. Рассматривается смешанная краевая задача для системы Навье-Стокса в области Ша \ и: где Є [0,T], х = ( ,..., ) Є Rd \ ш, 6 t = , и(і,х) = (v\(t,x),. . . ,vfi{tjx)) - векторное поле скорости течения жидкости, Vp(t,x) - градиент давления в жидкости, Д - оператор Лапласа, внешних сил. Начальное условие о(х) - заданное векторное поле, ско рость потока на бесконечности г задана. Векторное поле u(t, х), определенное на границе дсо не считается заданным, а является управлением. Введем необходимые функциональные пространства. Для произвольной области О через Hk(fl), к - натуральное число, будем обозначать пространство Соболева векторных полей, квадратично суммируемых на области Q вместе со всеми производными до порядка к. Положим Vk(Q) = {v{x) = (vu ...vd)e Hk(Q) divv = 0} , ff1,2((0,T) xl)) = {v(t,x) Є /,2(0,Т;Я2( )) : dtv Є 2(0, Г; Н\Щ)} , И 2((0,Т) х fi) = {v(t,or) Є І2(0,Г; V2(ft)) : 0,и Є 2(0, Т; V( ))} . Определение пространств Соболева H (Q,) с дробными к см. в [22j,[3]. В дальнейшем будем обозначать Vk = Vk(Kd). Пусть задано конечное условие v\(x), которое вместе с начальным векторным полем VQ(X) ИЗ (1.3) удовлетворяет условиям: (Vi - и»,) Є l/4(Erf \u)) / Vi(x) n(x)dx = 0, г = 0, 1, (1.6) J дш где п(ж) - нормаль к границе Оси. Определение 1.1 Задача (1.1)-(1.5) для системы Навье-Стокса называется аппроксимативно управляемой на (0, Т) х (Kd \ ш) с границы дм, если для произвольного є 0 и любых VQ,VI, удовлетворяющих (1-6), найдутся момент времени Т = T(e,v$,vi) и граничное условие (т.е. управление) u(t,x) Є іг(0,Т; Н3 2(дш)) такие, что существует, решение v(t,x) краевой задачи (1.1)-(1.5), удовлетворяющее включению {v - Uoc) Є К1]2((0,Т) х (Md\w)) и оценке Отметим, что решение v(t,x) краевой задачи (1.1)-(1.5) при заданных UJ\VQ единственно в классе v(t. х) : (v — v ) Є V/1,2((0,T) x (Wd \ cu)). Одним из основных результатов данной работы является Теорема 1.1 Для любых f(t,x) Є L2{(0,T) х (Rd \ш)) и Щ(Х),УІ{Х), удовлетворяющих (1.6), задача (1.1)-(1.5) является, аппроксимативно управляемой с границы, причем управление и время Т = T{E,VQ,V{) можно выбрать так, что Т(є, і о, г і) - О при є — 0. Пусть задана и С Ш? - некоторая ограниченная область. Обозначим х to. Рассмотрим систему Навье-Стокса, заданную на QT Определение 1.2 Задача (1.8)-(1.11) называется аппроксимативно управляемой на Q? посредством локально распределенного управления, если для произвольного 0 и любых v$,v\, удовлетворяющих включению (vi—v ) Е VА, г — 0, 1, найдутся момент времениТ — T(z.vo, v\) и управление u(t.x) Є / (Qj), удовлетворяющее соотношению siipp и С Q j-, такие, что существует решение v{t,x) задачи (1.8)-(1.11), удовлетворять включению (и — UQC) Є V1,2{QT) и оценке Отметим, что решение v(tyx) краевой задачи (1.8)-(1.11) при заданных UJ.VQ единственно в классе v(t,x) : (v — v ) є V1,2{QT) Теорема 1.2 ДЛЯ любых f(t,x) Є (Qr) и vo( x)ivi{x), удовлетворяющих (v-i — Уж) E V4, і = 0.1, задача (1.8)-(1.11) является аппроксимативно управляемой посредством локально распределенного управления, причем управление и время Т — Т(є,і;о,иі) можно выбрать так, что T(e,VQ.,v\) — 0 при є — 0.
Доказательству этой теоремы посвящена вся работа. Сейчас же покажем, что теорема 1.1 следует из теоремы 1.2. Доказательство теоремы 1.1. Условия (1.6) позволяют продолжить векторные поля Vi(x), Ї = 0, 1 из теоремы 1.1, определенные в Mrf\cj, до щ(х), определенных в Md так, что (щ — v ) V3(Rrf), (щ—у ) Є V3(Rd) (см. [50]). Продолжим правую часть f(t, х) є L2({0,T) х (Md\w)) из (1.1) до/є2( 9т). По теореме 1.2 для задачи (1.8)-(1.11) с / в правой части, начальным условием щ и конечным условием Oi, существует управление й. сосредоточенное в QT. и решение v(t,x) Є Vli2(Qx), что выполнено (1.12). Теперь, чтобы получить решение v{t, х) задачи (1.1)-(1.5). достаточно взять ограничение решения v на WLd \ ш. Граничное управление u(t,x) получается как след решения v{t,x) на (0,Т) х дш. По теореме о следах (см, Бесов, Ильин, Никольский, [3]), u(t, х) є г(0, Т; Н3 2(дш)). Условие управляемости (1.7) для v(t, ) будет выполнено в силу (1.12) для v(t, ). Ш Обсудим некоторые замечания. Замечание 1.1 В теоремах 1.1 и 1.2 не накладывается условий на малость нормы \\VQ — vi\\\/\ и /L2, т.е. решаемая задача не является локальной. Условий па ограниченность нормы управления не наклады-вается, т.е. вообще говоря, \\и\\ — оо при є —У 0. Замечание 1.2 В теоремах 1.1 и 1.2 время Т зависит от є и начального и конечного условий и стремится к нулю при є — 0. Тем не менее, оценки (1-7), (1.12) можно получить и в произвольный заданный момент времени Т. Действительно, достаточно управлять решением, так, чтобы решение v — v существовало в пространстве Vl (Qr) па интервале (0,Т — т), и так, чтобы приблизиться к конечному условию в момент времени Т па интервале времени (Т — т, Т).
Построение векторного поля коэффициентов
Для того, чтобы система (1.14) была аппроксимативно управляемой, выберем соответствующим образом коэффициенты m{t,x). Докажем следующее утверждение: Лемма 1.1 Для произвольного вещественного R 0 существуют Т О и векторное поле m(t, х) : rn(t, ) Є i/4(Rd) такие, что справедливы следующее условия: 1. ДЛЯ произвольного XQ Є 1 = {ж : я і?,} выполнено соотношение: { г ( о)Мє[О,Т]}П /0, (1.17) где ж(і,хо) - решение задачи Коти: Доказательство. Предъявим явный вид векторного поля m(t,x), для которого выполнены условия 1 и 2 леммы, а условие 3 выполнено для некоторой подобласти шара BR. Построение проводится для случая размерности пространства d — 3, с комментариями в скобках для размерности d — 2. Построение начнем с выбора гармонической в Rrf\{0} функции 7( ): где я; — (.?;i,..,, ж ). Прямая проверка показывает, что Д7 = 0 при \х\ 0. Вне шара В\/2 = { : М } определим поле т(х) следующим образом: Выпишем mix) в явном виде, используя выражения для 7 (1-19): (1.20) где х = ( 1,.. ., Xd). В силу А7 = 0 поле 7т?,(х) будет соленоидальным: divm(x) = 0 при х Є Rd \ Ву2. Продолжим гладким образом внутрь области В\ векторное поле т(х), определенное в M.d \ В -, TaiS чт0 для продолженной функции тпр(х) выполнено условие c\\vmnp = 0 во всем ШГІ. Для этого рассмотрим следующую задачу: где Я 1/2. Известно (Темам, [23]) что для ограниченной области Q с границей дО., состоящей из конечного числа связных множеств Г : dU = Ui i i, выполнено соотношение: 1. т(х) Є Я4(Вд \ Bifi) т.к. 777,(х) в этой области является гладким векторным полем. 2. div т(х) = 0 в BR \ Я/2 по построению. 3. Выполнено следующее равенство: где Sr - сфера радиуса г: Sr — {х : \х\ = г}, п - внешняя нормаль к этой сфере. Действительно, внешняя нормаль к сфере в точке х = (xi, ... ,Х І) имеет вид п — (xi . . . ,Xd) и прямая проверка показывает, что из (1.20) имеем: Проинтегрирован эти выражения по Sr. в силу (т(—ху, т,2, ,Xd).n) — —{т{х]. ... , х ), п) получим нуль, стало быть, (1.23) выполнено. Таким образом, из (1-22) получаем, что задача (1.21) разрешима: существует такая f(x) Є Н5(В \ 4./2), что rot /(ж) = т{х). Продолжим f(x) гладким образом внутрь шара В\ Д функции fnp(x), определенной в В л. Построим продолжение тпр{х) векторного поля т(х) следующим образом: По построению fnp, вне шара B\i i выполнено равенство Из (1.24) получаем что div rhnp(x) = 0 при х Є M.d. Найдем фазовые кривые уравнения (1.18): x(t) = rtnnp(x(t)) во внешности шара Bij2-, т.е. там, где для тпр(х) имеется явное представление (1.20): тпр = V7. Заметим, что т.к. направление градиента V7 перпендикулярно поверхности уровня у(х) = const, то достаточно построить линии, перпендикулярные поверхностям у(х) — const, это и будут искомые фазовые кривые.
Рассмотрим, что представляют собой эти поверхности уровня. В двумерном случае линии уровня у(х) = const в полярных координатах имеют вид г = с cost/?. Это окружности с центрами на оси xi, пересекающие начало координат. Перпендикулярные им линии - это также семейство окружностей, задающееся формулой г с sintp, с центрами на оси Х2, проходящие через начало координат. Учитывая явный вид (1.20) для т(х) во внешности шара B\j2, и взяв, например, х\ 0, получим, что движение по фазовым кривым будет происходить по часовой стрелке при X2 0, и против часовой стрелки при Х2 0, это показано на рисунке 1. Явный вид фазовых кривых в координатах [х\,Х2)\ х\ + х\ = сх2, х Є М2. В трехмерном случае поверхность уровня j(x) = const задается уравнением г 2 = с cos с/?, где ср - угол между радиус-вектором и осью х\. Таким образом, поверхность уровня является поверхностью, образованной вращением некоторой фигуры вокруг оси х\. А значит, достаточно рассмотреть, что происходит в сечении плоскостью хз — сх2- В этом сечении ситуация аналогична двумерному случаю (см. рис. 1), Единственное отличие - вместо окружностей будут кривые, заданные уравнением г 2 = с cos (р. Предъявим теперь явный вид фазовых кривых для трехмерного случая. где постоянные с, с определяются начальными данными ж(0) = х$. Непосредственной проверкой убеждаемся, что формулы (1-25) действительно являются фазовыми кривыми. Обозначим через О множество, образованное пересечением конуса {х : х\ \{х\ + х 1)) с областью {х : 1 .х Я,х\ 0} (Для двумерного случая это пересечение конуса {х : х\ 2} и области {х : 1 \х\ R, х\ 0}). На рисунке 1 представлена эта область О для двумерного случая.
Аппроксимативная управляемость системы Навье-Стокса
С їюмощью замены неизвестного векторного поля v в задаче (1.8)-(1.11) на v — г оо избавимся от условия (1.11). В результате замены в (1.8) добавится один линейный член с WQO и мы получим следующую задачу: Требуется найти управление u(t,x), сосредоточенное в , и время Т, такие что: (здесь также исходные , ,;, г = 0, 1 заменены на г і — v ). Будем искать решение этой системы в следующем виде: где z(t,x), m$(t,x) определены в (1.50). Подставим это выражение в систему (1,54).(1.55) и запишем полученные выражения в виде уравнений относительно y(t,x), определенных при (і, ж) Є QTS f{t, x)+u{t,x), divy = 0, (1.58) где последнее равенство выполнено в силу div v — divz j = divmj = 0, Заметим, что по построению m {t,x) (лемма 1.1), существует функция 7( %), такая что ггц = V7 при Ed\u;. Поэтому существует такая функция T(t, х), что выполнено dims — реіпение существует и принадлежит пространству V] 2(QTS) при условии малости правой части (1.60). А именно, справедлива следующая теорема: Теорема 1.3 . Пусть задана система (1.60)-(1.62) где т, z$ в (1.60) - построенные во втором разделе работы векторные поля. Пусть j\ обладает следующим свойством: Тогда найдется SQ такое, что для всех 5 6$ решение задачи (1.60)-(1.62) существует, определено при х Є M.d, t Є [0,Т 5], принадлеоюит пространству V1,2(QTS) V выполнена оценка: где с не зависит от у, Д и от д. Эта теорема доказана в четвертом параграфе первой главы диссертации. Сейчас же с помощью этой теоремы мы докажем аппроксимативную управляемость задачи (1.54),(1.55). Оценим правую часть системы (1.60). Лемма 1.4 Векторное поле fi(t,x), определенное в (1.63) обладает следуюищм так как / є L%(QT) фиксировано. 2. С помощью замены s = , получим: при 5 — 0 т.к. z(i, ) не зависит от 5, а из условия V{(-) Є К4, і — 0,1 и леммы 1.3 следует, что 2(і, ) Є Vм. 3. Аналогично, с помощью замены s , получим: при 6 0 т.к. из непрерывности вложения Я3(Кгі) в C R ) (см, напр. [6]) и условия z(t, Є V4 следует ограниченность нормы lklc(0,T;C] (11 )) 4. Последний член оценивается также: Лемма доказана. Приведем теперь доказательство основного результата данной работы. Доказательство теоремы 1.2.
Доказательство аппроксимативной управляемости для системы Навье-Стокса (1.8)-(1.11) мы свели к доказательству аппроксимативной управляемости системы (1.54),(1.55). А чтобы показать что система (1.54),(1.55) является аппроксимативно управляемой, мы рассматриваем систему (1.60)-(1.62). полученную из (1.54),(1.55) в результате замены (1.57). Заметим, что: Из леммы 1.3 следует, что существует такое управление us, что выполнена оценка (1,53): (Т(5, -) — Di(-)(1 1 Стало быть, для доказательства аппроксимативной управляемости системы (1.54),(1,55) необходимо доказать следующую оценку: Воспользуемся оценкой (1,65) из теоремы 1.3: выберем столь малое до, что при всех 6 SQ решение задачи (1.60) - (1-62) существует и выполнена оценка: ; ,-)11 с f /i(r, ОІІІ т, te[0,TS]. (1.69) Из леммы 1.4 известно, что I ll/i( )lia(R-) - 0 при 6 0. .10 Поэтому Arris + (m , V)m s + (i , V)mj = VT(t, x) при ж Є E. \ш. Действительно, для линейных членов очевидно, что они являются градиентами некоторой функции. Для квадратичного же равенство {(тё,У)т$У = т\діт25 — d didjj = 8 ((8 )2), (по повторяющимся индексам идет суммирование) показывает, что этот член также является градиентом некоторой функции. Следовательно, продолжая T(t,x) до гладкой в M.d функции Го (і, х) и обозначая получим: supp щ С Qj-$ = [О, TVS] х ш. Выберем управление u(t, х) в правой части (1.58) следующим образом: u{t,x) = ui{t,x) +щ(і,х), supp и С Qy5, где u$(t,x) определено в (1.50). Тогда ввиду (1.51.) и (1,59) система (1.58) примет вид: где pi = p + Го + q$, начальное условие равно нулю в силу (1.55), (1.52) и т$(0,х) — 0, a j\ определено следующим образом: Для системы (1.60)-(1.62) мы покажем, что реіпение существует и принадлежит пространству V] 2(QTS) при условии малости правой части (1.60). А именно, справедлива следующая теорема: Теорема 1.3 . Пусть задана система (1.60)-(1.62) где т, z$ в (1.60) - построенные во втором разделе работы векторные поля. Пусть j\ обладает следующим свойством: Тогда найдется SQ такое, что для всех 5 6$ решение задачи (1.60)-(1.62) существует, определено при х Є M.d, t Є [0,Т 5], принадлеоюит пространству V1,2(QTS) V выполнена оценка: где с не зависит от у, Д и от д. Эта теорема доказана в четвертом параграфе первой главы диссертации. Сейчас же с помощью этой теоремы мы докажем аппроксимативную управляемость задачи (1.54),(1.55). Оценим правую часть системы (1.60). Лемма 1.4 Векторное поле fi(t,x), определенное в (1.63) обладает следуюищм так как / є L%(QT) фиксировано. 2. С помощью замены s = , получим: при 5 — 0 т.к. z(i, ) не зависит от 5, а из условия V{(-) Є К4, і — 0,1 и леммы 1.3 следует, что 2(і, ) Є Vм. 3. Аналогично, с помощью замены s , получим: при 6 0 т.к. из непрерывности вложения Я3(Кгі) в C R ) (см, напр. [6]) и условия z(t, Є V4 следует ограниченность нормы lklc(0,T;C] (11 )) 4. Последний член оценивается также: Лемма доказанаПриведем теперь доказательство основного результата данной работы. Доказательство теоремы 1.2. Доказательство аппроксимативной управляемости для системы Навье-Стокса (1.8)-(1.11) мы свели к доказательству аппроксимативной управляемости системы (1.54),(1.55). А чтобы показать что система (1.54),(1.55) является аппроксимативно управляемой, мы рассматриваем систему (1.60)-(1.62). полученную из (1.54),(1.55) в результате замены (1.57). Заметим, что: Из леммы 1.3 следует, что существует такое управление us, что выполнена оценка (1,53): (Т(5, -) — Di(-)(1 1 Стало быть, для доказательства аппроксимативной управляемости системы (1.54),(1,55) необходимо доказать следующую оценку: Воспользуемся оценкой (1,65) из теоремы 1.3: выберем столь малое до, что при всех 6 SQ решение задачи (1.60) - (1-62) существует и выполнена оценка: ; ,-)11 с f /i(r, ОІІІ т, te[0,TS]. (1.69) Из леммы 1.4 известно, что I ll/i( )lia(R-) - 0 при 6 0. .10 Поэтому можно выбрать такое 6 6$, что
Существование решения нелинейной задачи
В этом параграфе мы докажем теорему 1.3 о существовании решения задачи (1.60)-(1.62). Доказательство теоремы 1.3 Пусть в M.d задана задача (1.60)-(1.62). Мы будем использовать разложение Вейля векторных полей из L2(W1)-. где VHl(Wl) = {Vp : р Є L2joc( d): Vp Є L2(Rrf)}. Обозначим через оператор 7г ортопроектор в пространстве L2(Mrf) на подпространство V0. Применим оператор тг к системе (1.60) и обозначая получим, что с учетом divy = 0, а значит пу у. задача (1.60),(1.62) принимает вид: Лемма 1.5 Векторное поле y(t,x) Є V1,2{QTS) является решением задачи (1.71),(1,78) тогда и только тогда, когда существует векторное поле Vp(t,x) Є Ь2{Отб) такое, что пара (г/, Vp) является решением задачи (1.60),(1.62). Доказательство этой леммы приведено, например, в книге Фурсикова [П]. Таким образом, для того, чтобы получить решение задачи (1.60),(1.62), достаточно найти решение задачи (1.71),(1.72). Будем строить решение этой задачи методом, основанным на методе Галеркина (см. например, Темам [23]). При этом метод содержит некоторые дополнительные конструкции, необходимые для получения оценок производных решения и галеркииских приближений. Основной идеей при получении этих оценок в случае ограниченной области является выбор спсциалыюго базиса, состоящего из собственных векторов оператора Лапласа (оценки: [23],[11]; спектральные свойства: [20]). При этом проектор на линейную оболочку к первых векторов этого базиса и оператор Лапласа коммутируют, а это используется при выводе оценок для производных галеркинских приближений. В случае неограниченной области вместо построения приближений, принадлежащих линейной оболочке к первых векторов базиса, мы будем строить приближения из пространства векторных полей II С V0, имеющих преобразование Фурье с носителем в шаре фиксированного радиуса N. Проектор на это пространство и оператор Лапласа коммутируют, поэтому удается доказать оценки норм производных для этих приближений. Мы докажем существование решения задачи (1.71),(1.72), спроектированной на HN с помощью метода Галеркина,
Затем мы докажем сходимость при N — оо полученных решений к гладкому решению системы (1.71),(1.72). Определим проектор Qjv: Vа — V0 следующим образом: где BN = { Є Rd : N] - шар радиуса N, XBN{0 -характеристическая функция этого шара, Т - оператор преобразования Фурье, а Т х - обратный к нему. Определим пространство Ядг Элг . Непосредственная проверка показывает, что для у Є Ядг выполнено свойство: а значит ImQ действительно содержится в V0 т.е. для произвольного у Є К0, выполнено div (QNV) — 0. Заметим также, что для пространства Лдг справедлива оценка Оценка (1.74) показывает, что элементы пространства #л - - гладкие векторные поля, стремящиеся к нулю на бесконечности вместе со всеми производными; (1.75) Будем искать решение ум Є Н для следующей спроектированной системы: Построение решения задачи (1.76),(1.77) производится хорошо известным методом Галеркина. Пусть {wz(x)} - некоторая полная линейно независимая в HN система, ШІ Є C (Rd). Определим проектор Рц на линейную оболочку Вк первых К векторов: Для каждого К определим приближенное решение у к Є Ек системы (1.76),(1.77) следующим образом: где а„, Aji, 7» Є R. Нелинейная система обыкновенных дифференциальных уравнений (1.81),(1.82) имеет "максималыгое"решение - решение, определенное на некотором максимальном интервале [0,х]- Априорные оценки, которые мы получим ниже, показывают что # можно выбрать общим для всех К. При интегрировании по частям внеинтегральные члены равны нулю ввиду (1.75) и yNK Є #лг. Проинтегрируем (1.84) по і с учетом (1.79) и отбросим HV vxH// Б левой части, С помощью неравенства Гельдера для члена в правой части, получим: Здесь используется ограниченность Чгп(і.х) в Mrf (Лемма 1.1) и ограниченность Vz(,;r), которая следует из z(t..-) V3 (лемма 1.3) и непрерывности вложения H3(Rd) в С1 ) Из оценки (1.85) с помощью леммы Гронуолла (см. [24]) получаем оценку решения:
