Введение к работе
-:„-',',- - Актуальность темы Краевые задачи для дифференциальных
уравнений в частных производных возникают при математическом ' моделировании многих физических процессов: теплопередачи, диффузии, деформирования упругих тел и других. Поэтому актуальной является разработка эффективных приближенных методов ранения таких задач, характеризующихся-быстрой сходимостью приближенного решения к точному.
Дополнительные трудности при построении таких методов возникают в случае, когда внутри двумерной области, для которой решается задача, имеются разрезы (линии, на которых терпят скачок искомая функция либо ее производные, причем величина скачка заранее неизвестна). Это связано с тем, что концы линий являются особыми точками репения, в которых производные искомой функции могут обрашатся в бесконечность и учет этого факта является необходимым условием быстрой сходи- мости приближенного решения к точному. Наиболее широко при решении таких задач используется подход, основанный на сведении задачи к сингулярному интегральному уравнению, поскольку наличие особенности в большинстве случаев может быть учтено введением весовой функции в решение интегрального уравнения. Исследованию получаемых интегральных уравнений и построению их точных и приближенных решений посвящено значительное число работ. Наиболее весомый вклад в этой области принадле-sht В.И.Александрову, Г.П.Артюхину, Р.Д.Бандури, В.А.Бабеш-ко, Т.В.Бурчуладзе, Н.П.Векуа, И.И.Воровичу, Ф.Д.Гахову, Т.Г.Гогелиа, Д.В.Грилицкому, Р.В.Дудучаве, 1'.С.Киту, М.Г.Крейну, В.Д.Купрадзе, Г.Ф.Манджавидзе, Н.И.Мусхелишвили, В.В.Панасюку, В.З.Партону, П.И.Перлину, Г.Я.Попову,
М.П.Савруку, В.М.Толкачеву, Ю.И.Черскому и др.
Специфические сложности при решении задач для областей с разрезами возникают в случаях, когда один из концов разреза находится на границе области (решение имеет сложную асимпто-тику, которую лишь в исключительных случаях можно учесть введением весовой функции) Для преодоления указанных сложностей может бить использован метод базисных правых частей (предложенная О.В.Онищуком модификация метода ортогональних многочленов, разработанного Г.Я Поповым). Реализация на ЭВМ показала високую эффективность этого метода, еднако теоретических оценок, увязывающих скорость сходимости метода с геометрическими параметрами задачи, до настоящего времени получено не было. Этим определяется актуальность темы диссертации, посвященной получению указанных оценок.
Тема диссертации является составной частью научной тематики "Краевые задачи математической физики с усложненными граничными условиями и дефектами"типа разрезов и тонких включений", которой кафедра методов математической физики Одесского госуниворситэта занимается.в соответствии.с планом фундаментальных исследований в области естественных и общественных наук АН УССР, й госрегистрации 01860083955.
Целью предлагаемой диссертационной работы является исследование скорости сходимости метода базисных правых-частей для некоторых краевых задач для дифференциальных- . уравнений в частных производных при наличии указанных специфических сложностей.
Методика исследования.- Обобщенным методом интегральных преобразований задачи сводятся к интегральному уравнению:. Мотодом факторизации строится точное решение соответствующего
харшстеристического уравнения. Методом базисних правых частей полное уравнение сводится к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений второго рода. ' .
Научная .новизна и основные результаты, выносимые на защиту.
I. Теоремы о скорости сходимости метода редукции при решении бесконечных систем линейных алгебраических уравнений ' второго рода с коэффициентами и правыми частями, убывавшими со скоростью геометрической прогрессии.
, 2. Постановка гармонической задачи для полосы с разрезом, ортогонально выходящим на одну из сторон полосы. Построение приближенного решения задачи и оценка скорости сходимости приближенного решения к точному.
3. Постановка бигармонической задачи для прямоугольника с разрезом, ортогонально выходящим на одну из сторон. Построение приближенного решения задачи и оценка скорости сходимости приближенного решения к точному.
Теоретическая и практическая ценность. Теоретически ценность полученных в диссертации результатов состоит в доказательстве сходимости метода редукции со скоростью геометрической прогрессии и увязке знаменателя прогрессии с геометрическими параметрами задачи. Эти результаты имеют также прикладное значение, так как могут быть использованы для расчета напряжений в упругих телах.
Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на конференции профессорско-преподавательского состава Одесского госуниверситета , на v. "Всесоюзном симпозиуме по методу дискретных особенностей в" математической физике (1991г.), на заседании кафедры методов математической
физики ОГУ
Публикации. По тема диссертации опубликовано две научные работы.
Структура и обЪем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, прдлоявния и списка литература, содержащего 122 наименования и занимает 107 страниц машинописного текста.
