Обобщенная задача Неймана для параболических уравнений второго порядка в областях с негладкой границей Алиев Рамиз Джалалович

Содержание к диссертации

Стр.

Введение 3

Глава I. Фундаментальные решения и параболические

потенциалы 32

I.I. Свойства потенциалов Пуассона и Вейерштрасса

в областях с негладкой границей 32

1.2. Свойства объемных потенциалов 41

1.3. Построение фундаментальных решений 52

1.4. Потенциалы простого слоя, порожденные фунда
ментальными решениями 71

Глава П. Обобщенная задача Неймана в цилиндрических

областях 39

2.1. Обобщенное решение. Сведение краевой задачи к

интегральным уравнениям 89

2.2. Существование обобщенного решения 96

2.3. Теорема о слабой конормальной производной и

единственность решения краевой задачи 99

2.4. Внешняя задача Неймана 114

Глава Ш. Обобщенная задача Неймана в нецилиндрических

областях ИЗ

3.1. Допустимые области и фундаментальные решения ИЗ
3.2. Разрешимость и единственность решения краевой

задачи 124

Литература 130

Введение к работе

ле-

Пусть D - ограниченная область с границей S ,

жащая в П. - мерном евклидовом пространстве к точек X, — (X., ..... ОС_и } а^-2. Рассмотрим в цилиндрической об-ласти ^ =: D^X(^»TJ вторую краевую задачу

itCx,o)«J*ax> xeD; f(i)

<-M*C* _ _{V(sip>t> (3Cit) є} S *(o,T] ;

где матрица A (2^)^(0.^(3^1^ равномерно положитель
но определена в ) , коэффициенты о (^ХЛ\ C(x,t)
ограничены по модулю, С(Х_Э1)^ О ,а ^~- озна-
чает производную по направлению внутренней конормали, опреде -
ляемой матрицей

Хорошо известно, что если о граница класса (^

УДОВЛеТВОрЯЮТ раВНОМерНОМу УСЛОВИЮ ДйНИ В "^-г* » ^а /^

и ЦР - непрерывны, то задача (I) имеет единственное классическое решение ( [l7j , [ 29j , [зо] , [ 5з] , [бв]).

Если же отбросить требование гладкости границы о и допустить наличие точек, в которых отсутствует классическая

нормаль, то, вообще говоря, неясно, что понимать под решением задачи (І). В настоящее время нам известно несколько подходов к пониманию решения указанной задачи. Первый из них, восходящий к работам И.Племеля ( [б?] ) и И.Радона ([4і] , [бі]) ( см. также [42]) и относящийся к решению задачи Неймана для уравне -ния Лапласа в плоской области с негладкой границей. S .заключается в следующем: кривая о аппроксимируется изнутри последовательностью гладких кривых S » при этом принятие граничного условия понимается в смысле

К W^Ms-WбС(5), *"» s_m s

X - некоторая функция с ограниченным изменением. Показано, что кривая S должна быть кривой Радона.

Второй подход заключается в том, что точки S , в ко -торых отсутствует классическая нормаль, не являются носителями данных Неймана. В остальных же точках ненормальная производная

^rj понимается в обычном смысле ( [ю] , [із] , [20] , [27j , [46j , [47] ). При этом, если "количество плохих" точек невелико ( то есть соответствующая мера Хаусдорфа равна нулю), то решение задачи единственно ( [28] , [32] , [зз],

^\ы)).

И, наконец, третий подход основан на том, что на границе S задается некоторое непрерывное поле направлений, подчи -ненных ряду равномерных относительно О условий, заменяющее в формулировке задачи Неймана поле конормалеи ( [ 36J , [37]). Естественно, что вблизи "плохих" точек указанное поле не может совпадать с полем конормалеи, но при таком подходе, теорема един-

ственности решения задачи имеет место при достаточно широких предположениях относительно границ и коэффициентов рассматриваемых уравнений.

Что касается смешанной задачи (задачи Зарембы), отметим работы [l4] , [к] .

Более полный обзор результатов, касающихся краевых задач в областях с негладкими границами можно найти в монографиях [23 - 25] и статье [21J .

В настоящей диссертации предлагается иной подход к зада
че Неймана в областях с негладкими границами. Его смысл зак
лючается в том, что на границе о* [0,Tj задается
поле так называемых слабых нормалей П (х-Л) и соот-

ветственно слабых конормалей У (&Л) , которые в

точках существования классической конормали совпадают с последней. При этом каждой точке (3c,t)6 S * [0,Т] ставится в соответствие вполне определенное множество такое, что (x,t)6 k_Cx>t)(S^[0,TJ)A(S-[o,f J) , и принятие граничного условия Неймана понимается в смысле

km (viKa^-iXx^e Voe,t),

К ₄ (Sx[0,TJ)3Cy,6>-*C*,t)GS*(,T]

где Vg(i.,..., —^.

В работе получены достаточные условия на границу о^хС0,Т] при которых существует и единственно описанное выше обобщенное решение задачи Неймана, совпадающее в классе границ

(^ с классическим. В вопросе существования решения основным инструментом исследования является изучение свойств

параболических потенциалов в областях с негладкими границами, с помощью которых удалось выписать явный вид указанного обобщенного решения. В вопросе единственности предлагается два подхода: первый из них основан на получении аналога так называемой леммы о нормальной производной (см.например [37] , [53J), а второй - на теоремах сравнения в пределах ограничений, при которых известна теорема существования (см.например [53]). Отметим, что полученные результаты удалось перенести на достаточно широкий класс нецилиндрических областей (глава Ш ), а также на задачу Пуанкаре.

Работа состоит из введения, трех глав и списка цитируемой литературы. В первой главе строится фундаментальное решение уравнения ^/«^С^)(^ЗСД) —О в областях с негладкой границей и проводится исследование параболических потенциалов,порожденных этим фундаментальным решением. На наш взгляд, результаты этой главы, помимо приложений к краевым задачам для параболических уравнений, имеют и автономное значение. Вторая глава посвящена вопросам существования и единственности обобщен -ного решения внутренней и внешней краевой задачи (I), а также задачи Пуанкаре. В третьей главе, как уже было отмечено, ана -логичные вопросы изучаются в нецилиндрических областях.

Прежде чем сформулировать основные результаты диссертации,выпишем ряд определений, обозначений и вспомогательных утверж -дений, используемых в дальнейшем.

Определение I. Континуум S П. - мерного евкли-дова пространства К. , ҐІ ^ 2, , называется (П. - I ) -мерным многообразием без кратных точек, если для любой точки

_ 7 -

X ssCX^.^X^g S найдется замкнутый П -мерный шар Qp(X)^^x^ радиуса Ґ(Х) с центром в этой точке, для которого существует взаимно однозначное непрерывное отображение (1С У) некоторого замкнутого ( П - і ) - мерного шара причем если У₀ - центр шара К- » то х*0,(В)>

Q (х) Pj S - является носителем параметрически

г л

заданной поверхности без кратных точек ( [7J , стр. 206 ).

Пусть D ^ R - ограниченная область, граница кото -

рой *bJ5 =⁵ S является (П - I ) - мерным замкнутым

многообразием без кратных точек. Будем считать, что mes S^<0.

n-i

где faeSp - к - мерная (к^1 ) лебегова мера.

Определение 2. Скажем, что S является достигаемой

границей, если для каждой ОС Є о и любого SJsDOQ ^

_{о '^}

существует путь t>(Jy,X) конечной длины, соединяю -

щий У с X и лежащий строго в Jj == JjPlQ С*).

для х 6 S , У Д)_ж положим S(y,x)binf mesE^xj

где точная нижняя грань берется по всем путям конечной длины, соединяющим У с X. .

Определение 3. Скажем, что - L следует за&Й), если SCa^X) < S(y_lsX) , ХЄ S . ^ПРИ этом будем писать ^/,^-.

Утверждение I. Область ( ф , V ) частично упорядочена,
и строго определен предельный переход 0/^ ([52J),

^.у-*х

хєБ^уєЛ

Определение 4. Скажем, что о удовлетворяет условию существования слабой нормали, если для произвольного X&S найдётся хотя-бы один И - мерный открытый шар QCoc.jo') радиуса о (0, Г(Х)] , лежащий строго внутри D (или в R \D ), такой, что *Ъ B(i',o) По ^аХ , и внешняя нормаль к границе которого в точке X направлена строго внутрь R \ D (^1МИ строго внутрь D ). Пусть сначала множество шаров В(эь*,5) С D непусто. Если множество нормалей к этим шарам в точке X (направленных строго внутрь R \D ) одноэлементно, то назовём слабой единичной внутренней нормалью к S ^в точке ос вектор П (X) , совпадающий с единичной внутренней нормалью П(х) к *uE>(ac-,d) в точке X . Если же указанное мно-жество не одноэлементно, то Г1 (л) является единичным вектором, совпадающим с направлением внутренней оси максшлального кругового конуса К , вложенного в конус, образуемый внутренними нормалями П (х) к ЪЬ(х.'>д) в точке ОС (требуется, чтобы конус К был единственным). Если множество {B(^XS^)^:B(W С- D 1 пусто, но непусто множество шатэов {B(^S):B(a:^)cR^a\D} , то в указанном определении надо заменить соответствующие внутренние нормали к "^В(х^о) на внешние. Отметим, что для гладких границ слабая нормаль совпадает с классической.

Определение 5. Пусть о - (Jl-i) - мерное замкнутое гшогообразие без кратных точек, являющееся достигаемой границей области D и удовлетворяющее условию существования слабой нормали. Многообразие S назовём допус-

тимым для задачи Неймана ( I ), если для конормали

Ж*) = ( <*>,..., \ (х)), \ (х) э 2 а_чел)л; да, і »4. л,

связная часть которой, за исключением ОС , строго лежит
в ^ас ' ^сУЩ^ествУ^[0Т константы

^{HCS) Є Со, mind, inf rw)J}

и d(S)>0 такие, что для произвольного X Є S множество .

K„(S)=s (а: зеЭ_а , ix-ак HCS),

ХХ) Ц-эО > CS) "г непусто. Многообразие S назовём строго допустимым для задачи Неймана ( I ) , если

^<2CS)>o.

Определение 6. Назовём внутренней по отношению к С
слабой допредельной конормальнои производной дифференцируе -
мой функции JU в точке Ос б о функцию,

определяемую равенством ^ЛІІМ) — У Q. Са) С0(/г с»> а' ) /.

где матрица А (эс) =s (0._{„ С*)) - положитель-

но определенная матрица непрерывных на S функций,

Определение .7.Пусть А Сзс,Г) =s (й (Х»)) _ матри
ца, обратная к матрице А С*»^) ^=а (.^-ік ^ , где
(pc,t) G Rⁿ⁺¹ . Функция j^Cac-^t-x)з Xtt-r^«

называется параметриксом ( см [53 ] ) . Здесь

tT* C*-fc> =? C«-f/ А" СЧЖ*-р ( (x-& ^ _ вектор
столбец); oL (У, О ^ СгШУ^П(с1еІ А 0/,Є>Г^ ;

В дальнейшем будем пользоваться тем, что для любой симметричной матрицы А ( У , 6* ) , С-У, б"} Є D_. непрерывных на D_ функций существует ортогональная матрица

столбцы которой, образуют базис в ft , и справедливы следующие утверждения ( [ 2б] ); при фиксированном ( у , ff ) є_т

а) Оуществует система действительных чисел
Л₁(У,6)^^(а,в^—^Л_|1(!/_>&) такая, что

j»_t(a,e)gbo є R*\ А^^э^С^б) =а_к(у,Є)^СУ,«, «_ЯД,
где X(s,5)s mux Д Cp.

^ ЄК Иначе говоря, если ^ = о(У,), - ЄR, ,

то г'А'^У.^г^^ЛС^в-)^ , где

^{о а}_л^су,в>

- II -

б) Если \(^>э(\_+1в|1СИ,*0"\ *^яі~^а>

*_ts3 max ЛіСу.є) _э д_л == irif Я_Л (*,*),

(У,6) СУ,6)

то из утверждения а) следует, что

det Асу,*>= ГЇ\(у,є:> > la^^U^¹,

где матрица Д (У, Б) положительно определена,

^{й (аЮ я}₄ ^{^ed(«,s^(2j5) я}_л ^,

в) Если ввести матричную операцию -. (A') (y,⁶>S Ё>'&,б)А (У₅^ , и обозначить

^{Jet А^У,^ = *Т^& СУ,Є>) П і; ^}

якобиан замены переменных

Х-^ ^А*(У,5> Ь _э * К , | Є D .в кратном

интеграле с интегрированием по ^ равен

Jet ^D^J Ы -_ Jet A (a,S) _s П А Vo ,

sl_?a(det B"⁴tt_tett):s-i.

Определение 8. Для произвольного CKstteDrp » введем функцию, называемую расстоянием до границы S :

P(X;S)= milt |Х-УІ . Для любого

(^)6^⁴^ d(U;D)s max |y-z|,

d(a-,S) = max |y-2l, d(y,r;D )i max |(y/C)-|:

^(D ) _s sup max ( ix-yf + lt-гіУ*. cy,x)6D_T Ca,t)eD_T

Обозначим через d(S) » cl(D) » cK^L.) диаметры границы о и областей D ^й iDf* соответственно.

Для фиксированного (У,6Г)бС положим

(А, )"¹<и,в)(* -D)a D*(A(a,«i;x) 3D*Cx) = D*, S*(x)eS*s-bD*» xeD.

Утверждение2. а) Для произвольных X 6 R и (У,^)бБ » справедливы неравенства

б) Для произвольных ХбЗ) и (У,6) «D

в) Для произвольного -г е. Г) '

- ІЗ -

Определение 9. а) Для произвольного множества

McR^n+l, Vc*,t)sRⁿ⁺\ VS>o, M_$(*.t>tt{fl_S

6) Для произвольного (x t) R ^a+i

(см. [44] ), Q_jec^iD)ames_riO^W» fc>o,

Определение 10« Две функции класса | Ср» ^: (ОДІ-frRj

^?>0, ^ft Urin. л Со)—О j равные на некотором всюду плотном в (о, а] множестве, содержащем точку а, называют су -

Функции 0( S) =5 bUp{9:9eC0₎d(S)],GCy_;S)S }, b feCo,0WCS)-,S)] , ^($$25) «if>{9: 96С0, сІСцВД,

0_№)t)Ce;D) 1 supJa УeCqJu&fy],^0)s &},

называются обобщённо обратными функций Q (*, S3, 0 &»5), Q , (* э-Ц.; соответственно, причём справедливо равенство Vf»sS) = W^_cef»iS) (ом. [8] , [44] ).

Следующее утверждение принадлежит В.В.Салаеву ([43J ,[44]). Для произвольной монотонной функции Ч* *.R -* R и

а) Боли е' 6*6(0, d(x-,S>] , '<" , то

\ VOx-tOJS,- f

S_e„(x)\S_e,(x) 6'

( 2 )

б) Если ', *6 (0, d(xD )2 _f <* , то

^{CD.)e„(^t)\(DT),a,t) V}

в) Если e'.E'sCo.dfacjD)], є'^б" ^T0

$ VO^l)^ = fq^)de (|iD) ⁽⁴⁾
D„cx)\D,oo V ^K

Утверждение 3. ([l8]). Для любого измеримого по Лебегу
в [^ = [0,+оо] множества Ця неубывающей функции

^: М"~* R. справедлива формула:

+

⁺ _К1

U_f кі

_{xeM }.}

Определение II. Пусть граница о области Jj удовлетво -

ряет условию существования слабой нормали. Определим на о функцию C(X'J))tt Кл (6^(^))/^0 , где ХЄ S ' л " ^ос^^ъем единичного П. -мерного (П^2 ) шара (oj ПЬ_Л= ^г^ГС*)). ССхД))*ССе-,|^\В) =L

Определение 12. Неотрицательные функции

deft-

эквивалентны ( О) »

Утверждение 4. Если ф„(Ь)= h ЄХр(-Ь),

ц*о₇*1*о .то Vr-бСо.е), VS6Ce-^lr,i),
VkeW", ЗД^)е ^/ ft»]),

- 15 -Всюду ниже в целях простоты будем писать вместо константы

(!-)* » константу о

Обозначим через S » ^х S , часть произвольной (а -I)-мерной поверхности класса С * ( [ЗО] ,[32] ,[55] ), лежащей строго внутри шара Q Сх) (см. опр. I ), для которой нормаль в точке X совпадает со слабой нормалью П^С(Х) к многообразию S . Переобозначим CJ через GJ„

Утверждение 5. Существует достаточно широкий класс негладких границ S , такой , что для функции CJ Є Ч^₀ /(5)] > Фсо,^ = { «S> > О, S Є (o^CS)]. V(%) - О ,

_{(5,)/5, « с5 4)/?g ,^ИгК}

выполняются следующие неравенства : Vac6S_>V^6S ,

|cos(K^c(xCy-x)l^cf^ о₅Сіу-хіу, Vz,^ eS\e ,

mes_n._te = o, Dim »co5(H^ca)>y-cosm^cg)>r)l , .
z** o_sciz-*i) ^ «*

константа С, > О определяется только многообразием О .

Определение 13. Для произвольных функций f бССО ") и
— Т

/иєССО) » ^ввеДём следующие характеристики :

cjVf,S,)s max' " l^₃e_1>t)-fC^,t)|₇t>0,^<b_<6(0,drD)], co*(f $)S max _c I fcx,t,>- ffx,t^| ,*еОЛ₂ G(o_aTJ,

C^xm»V> ^ D_ , m.i,a , S₀ Co ,а_ы CD-)],

*,^

Для произвольной невырожденной матрицы С непрерывных функций ( аналогично для вектора ) обозначим

со; (S ) 4 шх Ст., СЧ* ф, о* сЗД

г,7П=гі,я tin і»

c_i]n, с*"_: D_T- R\ *.«, С =(c_im\ С = Cc^iw).

Функции 6. О) , Q< » , u) СЮ принадлежат классу

Определение 14. Скажем, что граница О удовлетворяет условию (6/, А ), если она является допустимой для задачи Неймана и

где функция r* йЗдСУ) і принадлежит классу ^ т^а, Замечание, а) Если S граница класса

С ^DoODi _<во » ^Т01'Д^а интегралы (5) и (6) сходятся, если

о t

б) Примеры Куранта и Никодима, описанные в работах В.Г.

Мазьи (см.например [27]), являются примерами недопустимых границ для задачи Неймана.

Приведем пример границы, которая является допустимой для задачи Неймана в смысле определения 5, но не является допустимой для этой задачи в постановке Племеля - Радона (см. [4l], [42] , [57]).

Кривая Г X _э ОС Є [О, */2 ),

<*_R = L*\ i\*i J » замкнутая гладким образом на концах Х=:0 и ac=s2 , не является кривой ограниченного изменения или кривой Радона ( l],[l2] ), и в то же время допустима в смысле определения 5.

Сформулируем теперь основные результаты диссертации.

Пусть L. равномерно параболический оператор с непрерывными в D коэффициентами

С^О» где A(*jt)»(Cl._R(^se»'t)) - симметричная положительно определенная в D матрица, то есть для любого вещественного вектора ^

для всех (а:, Г) б D_ (см.утве радение б ),следующее после определения 7).

Первая глава диссертации посвящена изучению внутренних и граничных свойств параболических потенциалов Пуассона и Вейер-штрасса, объемного и простого слоя, порожденных как параметри-ксом Q Сэс-f, Т-Т) , так и построенным методом Леви фундаментальным решением уравнения

CZ>tOC*,t)=sO , <эс,Ъб.О_т , (7)

в цилиндрических областях, границей основания которых является замкнутое (П.-І) - мерное многообразие без кратных точек ( П. 2 ).

Данная глава не является простым перенесением из -вестных результатов теории потенциала на ситуацию областей с

негладкой границей. Получен ряд качественно новых результатов (например, о предельных значениях слабой конормальной произ -водной потенциала простого слоя), которые в последующих главах применяются при построении явного вида обобщенного решения задач Неймана и Пуанкаре. В первом параграфе данной главы изучается потенциал Пуассона и Вейерштрасса

где JU - ограниченная на Q функция, -граница области D » являющаяся замкнутым (ft- I ) - мерным многообразием без края и удовлетворяющая условию существования слабой нормали. Область D предполагается ограниченной или неог -раниченной. В последнем случае дополнение CD должно быть ог -раничено. Вначале доказана равномерная ограниченность на .D, потенциала Пуассона и Вейерштрасса и показано, что(Зв/у)(я_зТ,Т;В) равномерно стремится к flte) GC С D) при Z f t на любом компакте К из JJ . Затем исследованы предельные значения потенциала 3 в случае, когда ОС 6 S .На данный воп -рос отвечает следующая теорема.

Теорема I. Если /<6 C(D) , то V X Є S 0/ООЛг;0) =*+/"*> C(xiD) , где функция ССэсзО) введена в определении II.

Теорема 2. Если функция J4 непрерывна в неограниченной области D , Ьт W№)=:/VC«)<~ , и для V t Є [О/Г]

km a_u(x±)« aj

Далее доказывается непрерывность потенциала П в D

_ Т

и показывается, что если У^~^ ^в некоторой окрестности

границы S, то С0#) СэГэЦ'ГЗ.О.) равномерно стремится

к ]Ч(Х) ,при t/t , XeD . В заключение установлена теорема о значениях слабой допредельной ненормальной производной (см.

определение 6) потенциала 3 .

Теорема 3. Если fi - равномерно липшицева в О

функция и М=0 в некоторой окрестности границы 3 , то

V t ГоТЗ справедливо равенство

И кроме того , _{п ч} . _ _N

где С, (Л⁴) зависит от константы Липшица функции /U и от

Во втором параграфе первой главы рассматриваются основные свойства объёмного параболического потенциала

(V. f) саД-, О J s і ^cx-^t-t) f(|,_t) d_?dt . где

f - ограниченная в D функция .

Т В третьем параграфе первой главы методом Леви строится

фундаментальное решение уравнения (7) , коэффициенты которого удовлетворяют равномерному условию Дини.

Фундаментальное решение ищется в виде

х q^Ca-^e-x^cLyc^ ^т ( ₈ )

где функция Cp^^.v -} является решением интегрального уравнения Вольтерра

Доказывается вспомогательная лемма, названная аналогом леммы
J.Д.Эйдельмана и М.И. Матййчука, позволяющая утверждать, что
для произвольных (x^t) бГГ , C^,t)eD ₉\\>0 я

Sc^-c) e(o,min( j oL(a:^,t-x),g(^₉S),S^^x'^S>)) ^прй

X справедлива оценка

\х(Ьб)Ж-г)В\<*^(а:-Ц^ЬбГ)) Ш12> л

где ot(a:->|,t-t)=2 Jte-'^ + lt-'tl' . Далее исполь-

зуя оценку (10) при С ^aW^? <оо , доказывается, что

^х

уравнение (9) имеет единственное решение

⁰ mti D

^x(^e<3 (М,*-г)) о^Ы^

при этом существует \\ > О такое, что справедливы неравенства

ⁿ a r-t-Ti—>

Ihl ^(Ья:)

^Jo Z

^{гДе (*,*>,}_h^{>t> D}_T^{, ix-a}_h^{i=:iu < і sc»}₅^9;_f

C^,t)g D , lx_mln-l = TTiia (1Х-Л, |x_h-^l).

Теорема 4. Пусть выполнены условия

^*&9Іій&«4_<в0> f| ^Ш.>& -со. (И)
о Ъ о о *

Тогда функция Q Сзе-ї,і:-*с) » определенная равенством

( 8 ) при (^,т) D_ 9 (*,) Є D , >Т является
фундаментальным решением уравнения (7), непрерывным по сово -
купности переменных ( at,t ), равномерно по отношению (f₉7; )
(и наоборот) (Ь-т^ЖЫ)) , имеющим непрерывные частные произ-
водные ^. , Э , 1 , і,к« ІЛ , при С*>Ъ Є D, (t,t) Є D.

Теорема 5. Если выполнены условия (II), то для произвольной непрерывной в D_ функции 7 объемный потенциал

и его производная ^Т "fr(\X/f) С*^; Q_T2 (-&)

непрерывны в D~ ; у
если функция ^ такова, что j -^—ят<о , то функ
ции ^CWKa&Qp) ^-./^ %_(«Хї^^;

также будут непрерывными в области -D«, При этом

справедливо равенство

_{a«cw-f)&-,D))(*,t)*-f ^>}^са_{*^ а}

Четвертый параграф главы посвящен изучению потенциала простого слоя, порожденного фундаментальным решением. Рассматри -вается потенциал

G Co,TJ S_C0>T] j^

где Ц> - ограничена на Sg , SgS S*E,Е ^ [0,Tj.

Теорема 6. Если функция (о ограничена на S_ro-p₇ ^и
выполнено условие (6) определения 14, то потенциал Up непре
рывен по совокупности переменных <х,Ъ D_, и удовлетво -
ряет неравенствам ^ mes^S *

_{КЦ^А-,^)- (^).^} ^c_{u»! [(і}

_{гг jT ,_ ffj, .Т}⁵_"-'⁵_!

+

Кроме того у обращается в нуль при t - 0 и ста -билизируется к нулю на бесконечности. Здесь Ъ > О

С0,ТД Следствие. Если 0Ce*,S)^Const ^ 6(0,J(S)J₅

KU_G'V>S_Co;n> - (U_s^eCrt(*i,V»Sce,Tpl*

Далее изучаются гладкостные свойства потенциала Си Затем вводится следующий интеграл в смысле главного зна -чения

CV.R) і І km ( J + \ ) ,

SeCOjTniaCrcx^t^aijS))) (см.определения I, 9 и утверждение 5).

Показывается, что если ($ непрерывна и выполнено уело -
вие (5) определения 14, то для произвольного (oc^gS спра -
ведливо неравенство me& S _v v

В заключение главы рассматривается вопрос о предельных значениях „, rv n

_{0. ^(и»<йсц,*->оГа,Тл2}

WR ^усдг^З .приводящий

к одному из центральных результатов диссертации.

Теорема 7. Если выполнены условия (5) и (6) определения 14, функция ^Р непрерывна на S^qtj » ^то справедливо равенст-

Во второй главе диссертации определяется обобщённое реше -ние задачи Неймана (Пуанкаре). Рассматривается вопрос о достаточных условиях, при которых обобщённое решение существует и единственно.

Пусть D С R. (.П. %> 2) ограниченная область,граница которой S является (П.-І) -мерным замкнутым многообра-

зием, допустимым для задачи Неймана (см.определение 5). Через С ' (D ) обозначим класс функций, имеющих в D непрерывные производные до второго порядка по ЭС^ и первого порядка по t.

Под обобщенным решением задачи Неймана

(*)(*,*) «/сл,Ь, c*/bD_T, f Є C(D_T)i (i2)

11(1,0)^^),16 D, JK eCCD), /faO (ІЗ)

в некоторой окрестности границы S ;

понимается функция ц C^*(D )0C(DfiO» ^в класса -

ческом смысле удовлетворяющая уравнению (12), начальному условию (13) и принимающая граничные значения в смысле

^зУ ₃ tun -ьж*,Ь VsWW

^{***** К«.}_Ъ^{С W^>^ <*.Ь* S}_COjTJ^{, Mt}

Аналогично определяется обобщенное решение задачи Пуанка-

Оїїц.Мі =2^ ftSjO «о S,

^+>Tl«q?,^*0 на ^_Co,TJ

По аналогии с (12) - (14), дается определешіе обобщенного решения задачи Неймана (Пуанкаре) в случае, когда ФВ>ЄА CS J

Если граница S принадлежит классу Q , то

К 4.ЛОр ,) s(D ^x[0>TjJ . , и обобщенное решение совпадает с классическим.

Решение задачи Неймана [^>-0j (Пуанкаре [ft^OJ ) (12) - (14) ищется в виде

+ CUQ^eCP)(*»t;S_[0jTJ) , Сэс,Ъе5_т, (15)

где плотность Ср -неизвестная непрерывная на S_rnrri функция. При таком подходе разрешимость задачи сводится к разре-

шимости интегрального уравнения вида

~ (16)

Cp(x₅t)=2F(x,t)₊2(Q_Q(p)(x,t;S_Co;rJ), Oit)6S , F(x,t)=-^(x,t)₊ "^ V^t.oJ» -(ЧШ;Р_Тj

В первом параграфе доказывается следующая теорема.

Теорема 8, (0 разрешимости интегрального уравнения).Еели функция f непрерывна в Q , а /Ц - липшицева в D Я равна нулю в некоторой окрестности границы > , удовлетворяющей условию (0,А ) (см.определение 14), то

иРіі_{с(3и;г:і)}«с₁₅(ііФіі_с*іі/(и_Ні+іі{іі_с+іі^_с), b,t)eS_coT2,

и интегральное уравнение (16) имеет единственное непрерывное на S_(orn решение _

Чсх.1)=2R«,t) *S2 CQ^F)_K <*,*; S_f(yrJ), (w

^гД^е 11' Ції - норма пространства Липшица^

(Q_ScF)_l(x,t;S_C0Ta)i(Q_GoP)(x,t_;s_ro>TJ),

При этом существует достаточно большое |^>0 такое,что для C^t) S_co,T3 ' WI1_C(S ^C_i6(llVll_c+llJull_Hi+llfll_c+l^ll_c)exp(KT). (18)

Второй параграф главы посвящен доказательству теоремы су -ществования обобщённого решения.

- 26 -Окажем, что функция Шх₉Ь) принадлежит классу

существуют константы CL, >0 йо>0 такие, что выполнены нера
венства , lx_t-x_ai² у J[_T ^n-i ^> v

It -t І ¹*і-л:_гі -„

Бели Q(sS)^COnit "_эп^2, 6(^(9)] , то

указанный класс функций обозначается через

_при этом ^ач-^ов^ц-ч^З^^^-^ов^^-у*

Отсюда, в частности следует, что ікає,t) гёльдерова по t с

показателем і и по ОС с любым показателем od(0,i) (см.Гіф.
2 __

Скажем, что непрерывная в L) функция f(x>) удов -летворяет условию Дини по X (или принадлежит классуН (D)/, если её характеристика непрерывности u>>r обладает своист -

О У 7.

Если же функция J ——сі у і Є(0,Т^1/*]₉

принадлежит классу ф _v, и интеграл

\ -І2 \ Ь сходится, то говорят, что т

^У ^ U²frS N принадлежит классу Jtl v. U— ),

Теорема 9. Пусть граница S удовлетворяет условию

(в, А") іфункцяи^о^ , С (г = і,а) принадлежат классу Н (D_)

матрица А принадлежит классу Н (D-J . Пусть далее функция

Н — равномерно липшицева в D . Тогда функция 1l(X₉t) ,

(,t)GD определенная равенством (15), является непрерывно Т

зависящим от правых частей обобщенным решением задачиНеймана

(Пуанкаре) (12) - (14), принадлежащим классу

При этом функция ^(X,t), (x,t)G5 _,,, определенная равенст -

Со»ГЛ

вом (17), является единственным решением интегрального урав -нения (16) и существует достаточно большое К >0 такое, что выполняются неравенства (18),

т о ** о ^ь

В заключении параграфа приводится теорема существования обобщенного решения задачи Неймана (Пуанкаре), когда

Третий параграф второй главы посвящен вопросу единствен -ности обобщенного решения.Предлагается два подхода. Первый подход основан на следующей теореме.

Теорема 10 (типа Н.С.Надирашвяли). Пусть граница Н_оТ,- строго допустима для задачи Неймана, Ц -регулярная

^(VeCs,i(D_T^{^nC(D}_T^{^ ^єСС&}_(оЛ^.₃^»

суперпараболическая (субпараболическая) функция.отличная от
постоянной в D . Пусть далее (x',t')6S_coT, и
1Ка,Ъ»гКх'_эЛ [11(х₉Ъ$Ш'^')] ' при всех

cx,t) s S_COjTj и it Сх', t') з? о [ utx'A'y ъ о ].

Тогда в любой окрестности Q ^с ^(оТД С Q -связная ком -

понента границы Ь^оТЗ ^ ^точки (x',t' ) найдется точка

(X*t*) ^QnS^o,T] такая,что имеет место неравенство

_-",t") ^U _{L -Wast*)} ^{< U} _{J '}

Отметим, что при таком подходе не накладывается никаких ограничений на гладкость коэффициентов оператора L .

Теорема II» Если 1Г - регулярная суперпараболическая (субпараболическая) функция; допустима для задачи Неймана, *\Г>0 (ir<0) ^на D *

«^Т<0 С^+^>0) ^HaS_(OTJCjb^O) ;

Итак, если априори известно существование обобщённого решения (например, если выполнены условия теоремы 9), то справедливо утверждение.

Теорема 13. Пусть коэффициенты оператора [^ и граница Sp_nn,«i удовлетворяют условиям существования регулярного обобщённого решения. Тогда обобщённое решение задачи Неймана (Пуанкаре) единственно.

Последний четвертый параграф второй главы посвящен внешней задаче Неймана (Пуанкаре). Показано, что основные результаты для решения задачи Неймана (Пуанкаре) в ограниченных областях справедливы и в данной ситуаций, если

а) fern [чсзо=о, Vt&[o₅T] Ест а..(х,Ъ=:а?.<оо

и cim fC2C,t) = 0 . При этом функция U(X,t) опре-деленная равенством (15) равномерно стабилизируется к нулю на бесконечности; или

б) I/i(x)l^c_aexp(hlxl^a), lf(3c,t)|^Cexp(hlxi²),

hJT)"¹, (x,t)eD_T (то есть /< и / при-

надлежат классу Тихонова-Теклунда). При этом

U(x,t>|s С₂₅ exp (С^ Ixf).

Похожие диссертации на Обобщенная задача Неймана для параболических уравнений второго порядка в областях с негладкой границей

Первая крайняя задача для эллиптических уравнений второго порядка в областях с коническими и угловыми точками на границеБорсук, Михаил Владимирович

Вариационная задача Дирихле для эллиптических уравнений, вырождающихся на границе ограниченной областиКуджмуродов Абдулло Ёкубович

К теории краевых задач для параболических и ультрапараболических уравнений в областях с негладкими границамиОрынбасаров, Мамажан

О регулярных краевых задачах для уравнений смешанного типа в области с отходящией от характеристик границей Аубакиров Болат Уатаевич

Краевые задачи для дифференциальных уравнений математической физики для областей с разрезами, выходящими на границу областиАраби, Араби Джамаль

О поведении обобщенных решений краевых задач для эллиптических уравнений второго порядка в окрестности границы и на бесконечности Тюлина Анна Константиновна

Некоторые краевые задачи для вырождающихся гиперболических уравнений третьего порядка в трехмерных областях Энбом Екатерина Александровна

Краевые задачи для уравнения третьего порядка с кратными характеристиками в криволинейных областяхХашимов, Абдукомил Рисбекович

Об асимптотике и точных интегральных оценках решений краевых задач в областях, перфорированных вдоль границыКоролева Юлия Олеговна

О разрешимости некоторых краевых задач в областях с негладкой границейКрасногорский Александр Михайлович