Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. О разрешимости задачи Стокса в случае области с негладкой границей 16
1.1. Основные обозначения и определения 16
1.2. Некоторые факты из функционального анализа 20
1.3. О двух разложениях пространства LP(G) в прямую сумму замкнутых подпространств 26
1.4. Разрешимость первой краевой задачи для уравнения дивергентного вида в двумерном случае 31
1.5. Разрешимость задачи Стокса в двумерном случае 43
1.6. Пример области, в которой LBB-неравенство не справедливо 54
Глава 2. Приложения к задачам теории функций комплексного переменного и теории упругости 61
2.1. Разложение гармонического пространства в случае конечносвязной области 61
2.2. Декомпозиция пространства гармонических функций: "классический" случай 66
2.3. Пример: область в виде кольца div AQ l V 76
2.5. Связь с исследованиями спектра пучка операторов теории упругости 81
Глава 3. О разрешимости некоторых краевых задач многомерного комплексного анализа 85
3.1. Разложение функции на аналитическую и коаиалитическую составляющие с параметром 85
3.2. Разложение функции на аналитическую и коаналитическую составляющие по многим комплексным переменным 92
3.3. О разрешимости одной комплексной краевой задачи 96
3.4. О некорректности постановки краевых задач для комплексного уравнения дивергентного вида в пространствах Соболева 106
Литература
- О двух разложениях пространства LP(G) в прямую сумму замкнутых подпространств
- Разрешимость задачи Стокса в двумерном случае
- Пример: область в виде кольца
- Разложение функции на аналитическую и коаналитическую составляющие по многим комплексным переменным
Введение к работе
Актуальность темы. Наряду с классическими задачами математической физики, корректными в смысле Адамара-Петровского (т. е. имеющих единственное решение, непрерывно зависящее от исходных данных), в настоящее время активно изучаются задачи, имеющие не единственное решение, или же разрешимые не для любой правой части. Помимо классических задач, имеющих конечномерное ядро (например, задача Неймана или задача Стокса), возникает необходимость исследования задач, имеющих бесконечномерное ядро или коядро. Корректность таких задач означает нормальную разрешимость в смысле Хаусдорфа.
Условие корректной разрешимость подобных задач может быть описано в виде факторизационного неравенства. Примером может служить первая краевая задача для дивергентного уравнения. Как известно из работ Ладыженской О. А. и Солонникова А. В., разрешимость указанной задачи эквивалентна т. н. LBB-неравенству.
Наряду с факторизационным неравенством, корректная разрешимость краевой задачи может быть описана в терминах разложения банахова пространства в прямую сумму замкнутых подпространств. Последний подход получил развитие в работах Дубинского Ю. А., Зубкова П. В., Осипенко А. С, ReissigM., где рассматривались разложения банаховых пространств в прямые суммы замкнутых подпространств, эквивалентные разрешимости ряда задач комплексного анализа, а также задачи Стокса. Таким образом, корректная разрешимость краевой задачи оказывается тесно связана с результатами из различных областей анализа. Рассмотрение подобных связей представляет собой комплексный подход к изучению поставленной задачи, способствует взаимному дополнению результатов, полученных по решению различных проблем.
Например, исследование первой краевой задачи для дивергентного уравнения в случае двух переменных приводит к целой группе эквивалентных формулировок условия корректной разрешимости этой задачи. Наряду с упомянутым LBB-неравенством, это неравенство Харди-Литтльвуда для сопряженных гармонических функций, неравенство Корна из теории упругости. Кроме того, корректная разрешимость этой задачи оказывается эквивалентна замкнутости суммы аналитического и антианалитического подпространств в Lp. В случае односвязной области этот факт приводит к разложению подпространства гармонических функций в сумму аналитического и антианалитического подпространств. Упомянутые результаты получены в работах Horgan С. О., Payne L. Е., Дубинского Ю. А., Красногорского А. М.
В последние годы в работах Дубинского Ю. А. начато исследование ряда комплексных краевых задач, в определенном смысле являющихся аналогами хорошо известных задач вещественного анализа. Это т. н. комплексное дивергентное уравнение (дополняемое краевыми условиями Стокса), комплексная задача Неймана и др. Корректная постановка данных задач требует введения специальных функциональных пространств, соответствующих рассматриваемой задачи. В вещественном случае отсутствие разрешимости в пространствах Соболева имеет место лишь в случае областей с негладкой границей.
Корректная разрешимость комплексных краевых задач связана с различными проблемами, известными в анализе, например, это описание дополнения к аналитическому пространству в Lp. Дальнейшее изучение этих задач представляет несомненный интерес.
Цель работы. Исследование некоторых краевых задач математической физики, не являющихся корректными в смысле Адамара-Петровского, и доказательство их нормальной разрешимости в смысле Хаусдорфа. К таким задачам относятся комплексная дивергентная задача, задача Стокса и др.
Общая методика исследования. Вопрос о разрешимости изучаемых краевых задач сводится к справедливости соответствующего фактори-зационного неравенства, или же к разложению функционального пространства в прямую сумму его замкнутых подпространств. При этом выбор соответствующего разложения функционального пространства (равно как и факторизационного неравенства), эквивалентного разрешимости краевой задачи, не является единственным, что позволяет получить новые сведения о разрешимости хорошо известных задач.
Известные краевые задачи математической гидродинамики рассматриваются в обобщенной постановке, тесной связанной с численными методами исследования данных задач. В работе используются методы комплексного функционального анализа, которые оказываются эффективны при исследовании разрешимости не только задач в специфической комплексной постановке, но и в применении к известным задачам вещественного анализа. Основные результаты получены в рамках банаховых функциональных пространств.
Основные результаты и их научная новизна. В работе представлены следующие основные результаты:
1. Получены критерии разрешимости первой краевой задачи для ди-
вергентного уравнения в пространстве Соболева Wp(G) в случае ограниченной области GcC.
-
Получены необходимые и достаточные условия разрешимости задачи Стокса для ограниченной области G С С. Исследована связь разрешимости задачи Стокса и дивергентного уравнения.
-
Рассмотрен пример области с кусочно-гладкой границей, в которой задача Стокса не разрешима. Приведены достаточные условия разрешимости задачи Стокса, охватывающие широкий круг областей.
-
Рассматривается применение полученных результатов к задачам теории гармонических функций и теории упругости.
-
Установлена разрешимость комплексного дивергентного уравнения в случае многих комплексных переменных для областей в виде декартового произведения. Решение найдено как элемент специальных функциональных пространств, адекватных данной задаче.
-
Доказано отсутствие разрешимости комплексного дивергентного уравнения в пространствах Соболева для области в виде бикруга.
Теоретическая и практическая значимость. Уравнение дивергентного вида и задача Стокса являются объектом изучения в течении длительного времени. Однако, известные нам результаты о разрешимости данных задач не обладают достаточной общностью. В настоящей диссертации вопрос о разрешимости данных задач рассматривается во взаимосвязи с целой группой фактов, ему эквивалентных. Привлечение исследований из различных областей (комплексный анализ, теория банаховых пространств) позволяет получить новые данные о разрешимости хорошо известных задач.
Разложения функциональных пространств, полученные в рамках исследования разрешимости изучаемых задач, представляют, на наш взгляд, и некоторую самостоятельную ценность, поскольку позволяют уточнить известные результаты теории функций комплексного переменного и теории упругости.
Разрешимость комплексного уравнения дивергентного вида (в случае многих комплексных переменных) является необходимым условием для корректной разрешимости т. н. комплексного аналога задачи Неймана. Изучение последней задачи начато в последние годы з работах Ю. А. Дубинского. Отсутствие разрешимости комплексного уравнения дивергентного вида в пространствах Соболева, доказанное в настоящей диссертации, подтверждает необходимость использования функциональных
пространств специального вида для корректной постановки данной задачи.
Апробация. Основные результаты диссертации докладывались на международных научно-исследовательских конференциях:
— международной конференции "Функциональные пространства, тео
рия приближений, нелинейный анализ", посвященной столетию акаде
мика С. М. Никольского (Москва, 23-29 мая 2005 г.) — см. [2];
— международной конференции "Математическая гидродинамика"
(Москва, 12-17 июня 2006 г.) — см. [3];
— международной конференции "Тихонов и современная математика"
(Москва, 19-25 июня 2006 г.) — см. [4],
а также на научно-исследовательских семинарах:
научно-исследовательском семинаре МЭИ по дифференциальным уравнениям под руководством проф. Дубинского Ю. А.;
научно-исследовательском семинаре факультета Вычислительной Математики и Кибернетики МГУ под руководством академика РАН Моисеева Е. И.;
научно-исследовательском семинаре кафедры Вычислительной математики Механико-Математического факультета МГУ под руководством профессора Кобелькова Г. М.;
научно-исследовательском семинаре МИ РАН под руководством академика РАН Никольского, чл.-корр. РАН Бесова О. В., чл.-корр. РАН Кудрявцева Л. Д.
Публикации. Основные результаты диссертации содержатся в 5 работах, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, трех глав и списка литературы, включающего 36 наименований. Объем работы — 112 страниц.
О двух разложениях пространства LP(G) в прямую сумму замкнутых подпространств
В этом разделе, а также далее в тексте диссертации будут использоваться два нижеследующих предположения относительно области G С о П1: Область G такова, что обратим оператор Лапласа Д : Wlp(G) - Wp\G). Иначе говоря, предполагается, что в области G разрешима задача Дирихле для уравнения Пуассона W У) (1.12) u(z)\r = Q, о в следующем смысле: решение и Є Wp(G) существует и единственно для любой правой части / Є W 1(G). о
Пусть область G такова, что обратим оператор Д2 : Wl(G) Wp (G). Иначе говоря, предполагается, что в области G разрешима задача Дирихле для бигармонического уравнения A2u(z) = f(z), zeG, ! М З4 (1.13) Г о в следующем смысле: решение и Є W (G) существует и единственно для любой правой части / є W 2(G).
Будем обозначать символом Д 1 разрешающий оператор задачи о (1.12), т. е. AQ1 : W l(G) - Wp(G) определяется как обратный к оператору Лапласа Д. Соответственно, Д "2 означает разрешающий опера о тор указанной задачи (1.13), т. е. Д 2: W 2(G) -» W29(G) определяется как обратный к оператору Д2. предложение 1.9. Пусть G с Шп — ограниченная область. Тогда предположения П1 и П2 при р — 2 справедливы. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Разрешимость задачи Дирихле для оператора Лапласа в случае ограниченной области G и р = 2 известна (см., например, [30]). Отметим, что ключевую роль в доказательстве этого факта играет неравенство Фридрихса \\и\\Т ir\ С llVwlJr ir\ N \1L2\tj) II ll-L2(U)
Здесь константа С 0 не зависит от функции и Є W\{G). Аналогичным образом, основываясь на оценке о где С 0 не зависит от функции и Є W\{G), можно показать, что при р = 2 разрешима и задача (1.13). Таким образом, предположения Шг и П2г для ограниченной области G справедливы. D Отметим также следующий факт: ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.10. Пусть справедливо предположение Ш (П2), 1 р оо. Тогда справедливо предположение Ш (U2) для показателя р . ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Действительно, пусть справедливо предполо о жеиие П1. Это означает, что оператор Д : Wp(G) -4 W l{G) обратим. о Тогда сопряженный с ним оператор Д : Wh(G) - - W ,l{G) также обратим. Это означает, что справедливо предположение П1 для показателя Р . Доказательство в случае предположения П2 полностью аналогично.
Рассмотрим два известных разложениях пространства LP(G). Первое из них — разложение на аналитическую и коаналитическую составляющие — предложено и изучалось в работах [6]—[8]. В указанных работах разложение было получено в полной шкале соболевских пространств. Рассмотрим здесь лишь частный случай разложения пространства Lp(G), 1 р оо. о Пусть dzWp(G) означает образ оператора dz при отображении из о о Wp(G) в Lp(G). Будем называть dzWp{G) коаналитическим подпространством в Lp(G). Имеет место следующий результат: ТЕОРЕМА 1.3. Пусть G с С, 1 р оо и справедливо предположение Ш. Тогда имеет место разложение Lp(G) = Op(G)@dzWlp(G). (1.14) Более точно, для любой функции / є LP(G) существуют и един о ственны функции а є Op(G) иге Wp(G), такие, что f = a + dzr. а
Заметим, что коаналитическое подпространство dzWp(G) замкнуто. Действительно, в следствие разложения (1.14) оно изоморфно замкнутому пространству Lp(G)/Op(G). Обозначим символом Р а проектор на коаналитическоеподпростран-ство, действующий из Lp в dzWp(G) (символ р в обозначении проектора указывает только на то, что проектор действует из LP(G) в Lp(G)). Можно показать, что Р ?а — дг AQ l ds. В частности, из этого следует, что разложение функции / на аналитическую и («аналитическую составляющие не зависит от индекса р.
В силу того, что предположения Ш и Пір эквивалентны (см. предложение 1.10, наряду с разложением пространства Lp(G), справедливо аналогичное разложение пространства Lp(G). Отметим, что коаналити-ческие проекторы в указанных пространствах являются сопряженными:
Разрешимость задачи Стокса в двумерном случае
Определим функциональное пространство Sj(G)-juWj(G): divu = o. Следующая теорема показывает, что необходимым (а при р — 2 и достаточным) условием для разрешимости задачи Стокса является справедливость для области G LBB-неравенства. ТЕОРЕМА 1.8. Пусть G с С — ограниченная область, и 1 р оо. Сформулируем следующие утверждения: а) Для любой функции и Є LP(G) справедливо неравенство {[.24), т.е. \\U\\LP(G)/C M\№4W (G) b) Задача (ЇМ)—(ІЖ) разрешима в следующем смысле: для любой правой части g е W 1(G) существует единственное решение уравнения (1.34) {h,v} є LP(G)/C х S (G). Указанные утверждения связаны следующим образом: — при 1 р оо имеет место импликация Ь) = а); — гс/ш р = 2 утверждения а) и Ь) эквивалентны. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Ь) = а).
Разрешимость задачи (1.34)—(1.36) означает, что определено взаимо-однозначное соответствие между парой (h,v) Є Lp(G)/CxSp(G) и функцией g є W l(G). Очевидно, имеет место оценка llsllwp- G) О ftLji{G)/c + IIVH ,(G)J где константа С 0 не зависит от функций h и v. Поэтому в силу теоремы Банаха об обратном операторе для любой функции g Є W"1 } справедлива обратная оценка где константа М 0 не зависит от функции g. При v = 0 оценка (1.37) в точности дает неравенство (1.24). а) Ь) (прир = 2).
Справедливость неравенства (1.24) означает, что образ оператора V при отображении V : L2(G) - W "1(Gt) (обозначим его VI/2(G)) есть замкнутое подпространство в W "1(Gf). Поскольку пространство W "1(G) является гильбертовым (со скалярным произведением (u, v)w-i(G) - (и, До 1V)W_1(G)X (G)), определено гильбертово ортогональное дополнение к пространству У г( ) (обозначим его (Vip(G))1), и любой элемент g Є W (G) однозначно представим в виде g - u + VA, he L2(G)/, и Є (VisfG))1. Покажем, что (V2(G)) = AS fG) (в этой формуле AS fG) озна о чает образ оператора Д при отображении Д : S G) W fG)). о Пусть v є S(G). Тогда для любой функции /і є L$,{G) = (V/i,v) . с =-(ft, divv) = 0. о Таким образом, вложение AS\(G) С (VL2(G)) установлено. о Обратно, докажем вложение (VZ G)) С AS G). Пусть и Є о (Vl2(G)) . Требуется показать, что v = Д и S G), т. е. справедливо равенство divv = 0. Действительно, для любой пробной функции Ч Є D(G) divv, p = (v, Щ = (Д и, V ) = = (u,A Vtp) = (и, V )w-i(G) - 0, (1.38) т. к. по условию и є (V 2(G))1. Тем самым, доказано, что любая функция g є W2 1(G) представима в виде (1.34), где {h,v} Є Li(G)/C х Sj(G). Покажем, что представление (1.34) единственно. Предположение противного означает, что найдется пара функций {h, v} е I 2(G)/C x S G), такая, что Vft-f Av O. Таким образом, векторы Vft и — Av равны. С другой стороны, они ортогональны относительно скалярного произведения в пространстве W fG). Это означает, что Vft = — Av 0. В силу единственности ре шения задачи Дирихле, и v = 0. Единственность представления (1.34), а вместе с ней и теорема полностью доказаны. G
Назовем комплексной формой записи задачи Стокса следующую задачу: Vcft + Au = f, (1.39) divcii-0, (1.40) ur = 0. (1.41)
ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.17. Вещественная и комплексная задачи Стокса связаны следующим образом: пусть функция h и вектор-функция и = {и1,«г} — решение комплексной задачи Стокса (1.39)—(1.41) с правой частью f = {/і,/2}, где , _ 9і + т , _ 91 - %т п Л9, Л - —2— 2— Тогда решением вещественной задачи Стокса (1.34)-(1.36) с правой частью g = {01,02} является пара h и v, где «і = иі+гі2, гі2 = -ші + ш2. (1-43) Я обратно, если h и v являются решением вещественной задачи Cmo/cca (1.34)-(1.36) с правой частью g — {01,02b г е 01 = /і + /г, 02 = - /i + «/2, (1.44) то решением комплексной задачи (1.39)-(1.41) является пара h, и = {щ,щ}, где wi = —2 —1 «2-—2— (1,45) ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Во-первых, заметим, что алгебраические соотношения (1.42) и (1.44), (1.43) и (1.45) попарно эквивалентны. Поэтому докажем только, что из (1.42) следует (1.43) (т. е. первую половину утверждения). Тогда обратное утверждение будет также справедливо в силу указанной алгебраической эквивалентности.
Итак, покажем, что пара h, v,rjx&v определяется равенствами (1.43), является решением вещественной задачи Стокса (1.34)—(1.36).
Действительно, для функции v условие (1.36) очевидно выполняется. Согласно утверждению 1.14, функция v удовлетворяетуравнению(1.35). Покажем, что пара h, v удовлетворяет уравнению (1.34).
Пример: область в виде кольца
Предположим, что оператор A = div Дд У осуществляет ограниченный изоморфизм из LP(G) в Lp(G). Как следует из теоремы 1.9, утверждение A : 4(G) Ъ 4(G) эквивалентно справедливости разложения LP(G) - С ф (о« ) 01(G)) ф fal (G) П Wj( )) (2.19) Опишем некоторые спектральные свойства оператора оператора А, рассмотрев результат его применения по отдельности к каждому из пространств в этом разложении. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.12. Пусть G с С — ограниченная область, и оператор А определяет ограниченный изоморфизм из Lp(G) в Що). Тогда оператор 1-А: LP(G) Op(G) + Op{G)} причем: I). Пространство С является собственным пространством, соответствующим собственному значению, равному 1. II). Оператор 1-А осуществляет ограниченный изоморфизм 1-А: 01(G) o[(G) о 01(G) 0l(G). (2.20) о о III). Пространство dzWp{G) f\ dsWp(G) является ядром оператора 1-А.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. ТО, ЧТО оператор 1-А действует в Op(G) + 0P(G), следует из представления (1.47). Докажем утверждения в следующем порядке: I), III), затем II). Утверждение І) в точности означает, что пространство С является ядром оператора А (и, следовательно, имеет место). о о Докажем III). Во-первых, включение и Є dzWlp(G) f] dfWlp(G) означает, что и является одновременно коаналитической и коантианалитической. Тогда из представления (1.47) следует, что (/ - А) и — 0.
Обратно, рассмотрим равенство (I А)и = 0. Представим и Є LP(G) в виде и = и0 + с, и0 Є Lp(G), с є С. Получаем равенство (/ — А) и0 — —с. Поскольку (I - А) к0 Lp(G), находим с = 0, т. е. и Lp(G). Тогда из равенства (i"-A)u = -(ua + uu) = 0, следует, что иа = и-а = 0, т. е. функция и является одновременно коаналитической и коантианалитической. Это и означает включение и Є dzwl(G) Г) d-zwl(G). Наконец, докажем II). Покажем сначала, что образ оператора / — А при отображении 7-А: ЩС) - Ol(G) 0P(G). есть все пространство Op(G) ф Op(G).
Докажем только, что пространство Op(G) принадлежит образу one-ратора 1-А (для пространства Op(G) доказательство аналогично). Действительно, пусть и є Op(G). Как элемент пространства Lp{G), и представима в виде и — Av, v = A_1u Є LP(G). В силу аналитичности U = Ua = \(Vca-\-Vca)a = \{У м)а- Но ТОГДЭ (I - A) Vm = (fe)a + (Voo)a) = \{Vm)a = V . ТаКИМ обрЭЗОМ, ПрОИЗВОЛЬНЭЯ фуНК ция и є Op(G) представлена как образ оператора / - А от некоторой функции %G LUG). Факторизуя отображение по ядру оператора / — А, т. е. по простран- ству dzWlp{G) Г) dsWp(G), получаем, что оператор / — А осуществляет требуемый изоморфизм (2.20). В соответствии с теоремой Банаха об обратном операторе, этот изоморфизм является ограниченным. Как следствие, получаем следующие свойства оператора А: ТЕОРЕМА 2.3. Пусть G с С — ограниченная область, и оператор А определяет ограниченный изоморфизм из L (G) в (G). Тогда: I). Пространство С является ядром оператора А. II). Оператор А осуществляет ограниченный изоморфизм A : Ol(G) 0 o\(G) о Ol{G) 0 o[(G). о о III). Пространство dzW\(G) f] dzWp(G) является собственным подпространством оператора А, соответствующим собственному значению, равному 1.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пункты I) и III) настоящего утверждения эквивалентны, соответственно, пунктам I) и III) утверждения 2.12, Докажем II). Во-первых, докажем, что пространство 0\(G) Op(G) является инвариантным подпространством оператора А, т. е. A : 01(G) ф 0\(G) - Ol(G) 0 o\(G).
Действительно, пусть и = аі + аг, UI,U2 Є 0 (G). Тогда, согласно формуле (1.47), Au = u-i(wa + Us)e0 (G)0(G), что и требовалось.
Далее, пусть и Є С{( ) Ф 0 p(G). Покажем, что ее прообраз v = а А"1 и Є Oyfi) C?p(G). Действительно, в соответствии с (1.54) функция v представима в виде v = ai + a2 + g, где ah а2 є 0P(G), q Є dzWlp{G) f] d,Wlp(G). Тогда A v = q + A(ai + a2) - и Є 0 (G) ф 0 (G). Поскольку A(oi + a2) є C (G) ф Cp(G), и разложение (1.54) одно- значно, получаем, что q = 0. Это означает, что v C (G) ф OJG), что и требовалось. П Оператор А позволяет определить отношение двойственности между пространствами Lp(G) и Ify(G) по формуле (и.v)VCxv/c = (Au, и) = уу Аий Й (г). (2.21) G Достаточно очевидно, что оператор А является симметричным, т. е. (А и, v) = (и, A v). При р = 2 это отношение двойственности согласовано с нормой IIUIILS(69 llVullir3-l(G) = (Aw,и). Это наблюдение позволяет уточнить геометрический свойства разложений (1.52), (1.49), т. е. LP{G)/C = Op(G)/C Ф Op(G)/C e Uwlp(G) f Wj(G)) , Lp(G)/C = Hp(G)/CAW2p(G). ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2.13. Разложения (1.52), (1.49) "ортогональны" относительно двойственности (2.21). и Более точно, (А и, и) = 0 для любых функций и є Oj(G) ф Op(G), о о v є 6 Wy(G) П dzWp(G) в случае разложения (1.52) и функций и Є Щ(0), v е AWp(G) в случае разложения (1.49).
Разложение функции на аналитическую и коаналитическую составляющие по многим комплексным переменным
По ходу доказательства был сделан следующий вывод; функция / Є ff(Pa) ) т- е. является коаналитической по векторной комплексной переменной z, если она представима в виде суммы функций, коаналитических по каждой комплексной переменной ZJ в отдельности. Т. е. / = EUfj = ?=iVi. Ъ Є V$(G), где /,- = dZjr3 -функции, коаналитические по переменной Zj. Естественно, такое представление не однозначно. Подчеркнем еще раз, что речь идет об области в виде декартового произведения.
Очевидно, ядром оператора divz при отображении из V}Q{G) в Lp(G) является пространство CSj,0(G) = {и Є VJ,0(G) : divzu - 0 в D (G)}. Таким образом, доказана следующая теорема: ТЕОРЕМА 3,3. Пусть G = Y[Gj, и для каждой из областей Gj с С, j = 1,га выполнено предположение П1. Тогда справедливо разложение LP(G) = Op(G) ф divz (Vj]0(G)/CSjj0(G)). (ЗЛО) Будем далее для коаналитического подпространства Я{Р%) — div2 (Vp0(G)/CSp0(G)) использовать краткое обозначение Afp(G). ЗАМЕЧАНИЕ 3.4. Равенство (3.10) (как разложение банахова пространства в прямую сумму замкнутых подпространств) означает существование ограниченного изоморфизма Mp(G) = Lp(G)IOp{G). (3.11) Более точно, каждой функции / є NP(G) ставится в соответствии класс смежности в Lp(G)/Op(G), определяемый формулой / Op(G).
Для дальнейшего изложения понадобится следующее свойство аналитического проектора. ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.15. Имеет место равенство Предложение 3.15 следует из предложения 3.11. На основании утверждений 1.7,1.8иЗ.15, немедленно заключаем следующее: ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.16. Пусть ре (1,оо). Тогда Op(G) = (MP,(G))\ MP(G) = (Op{G))L, (QP(G)) = CV(C7), {MP{G)) = MV.(G). Отметим также еще одно свойство: ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.17. В пространстве MP(G) плотно линейное многообразие divzD(G). ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Действительно, NP{G) = {Op(G))L (см. предложение 3.16). С другой стороны, функция и є 0P (G) тогда и только тогда, когда {VzU,v) = - (щ divz v) О для любой функции v Є 1 {G). Это в точности означает равенство Op (G) — (divz D(G))1. В соответствии с предложением 1.2 получаем, что MP(G) = (Ojy(G))1 совпадает с замыканием divzD(G) в LP(G). П
О разрешимости одной комплексной краевой задачи Пусть v = (cosai,cos/?i,... ,cosamcos/3„) — внешняя нормаль к границе Г, назовем вектор vz = (coscti + г cos ,..., cos an + icos&) комплексной нормалью к Г. Будем говорить, что функция и Є LP(G) является обобщенным решением краевой задачи divBu = /, (3.12) u-i r = 0, (3.13) с правой частью / Є Lp(G), если справедливо интегральное тождество (u, V-Zv) = -(/,«) (3.14) для любой функции v Є Wl{G). Рассмотрим равенство (3.14). Поскольку оно справедливо для любой функции v Є W (G), в частности, для любой функции v Є T)(G), получаем, что равенство (3.12) выполняется в смысле T) (G). Таким образом, функция и, априори принадлежащая Lp(G), и удовлетворяющая (3.14), где / Є Lp(G), в действительности принадлежит пространству Dj(G) - {и Є LP(G) : divz и Є LP(G)}. Это пространство естественно наделить нормой HDj(G) = llullLp(G) + lldiv»ullLp(G) Пусть G — ограниченная область с липшицевой границей. Известно, что в этом случае справедливы следующие утверждения (см. [1]): - существует оператор jo Є С (Wp,(G),Lp (T)), такой, что 7о« = и\т для каждого и Є 2)(С7). Обозначим 7о (W (G)) через р(г). - существует оператор поднятия /с Є (W!_, (Г), Wi(C?)), такой, что 7о IG — тождественный оператор; W, (Г) снабжено нормой, индуцированной 7о; о - если и Є W (G) и 7о" = 0,то и Є W (G).
Поскольку основным рассматриваемым случаем в данной главе является область в виде декартового произведения, отметим, что произведение областей с липшицевой границей также является областью с липшицевой границей.
В указанном случае справедливо следующее предложение, означающее, что для любой функции и Є Dj(C?) определен след и - vz Є 1 1/р(Г) = ( /У(Г)) : ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3.18, Пусть G — ограниченная липшицева область. Тогда существует линейный непрерывный оператор jv є С (pliG), Wp1/p{T)\, т.акой, что 7Иі=іі-і/яг, VueD(G), (3.15) причем для всех u е D (G), v є W (G) верна следующая формула интегрирования по частям: (divz и, г?) = - (u, Viv) + (7 11,7ог ). (3.16) ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть р є WJ/P(T) и для w є W (G) пусть jow = р. Для и Є Dp(G) положим u(v) = / [divz u(z) w(z) + u(z) Vzto(z)] dG(z) = = (divz u, w) + (u, Vi,v). ЛЕММА 3.1. X( p) не зависит от выбора w, при условии что we Wj(G) ujow = p. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть w\ и w2 принадлежат W (G) и 70 1 = 7о 2 = р. Положим w — w\ — W2- Нам надо показать, что (divz и, г«і) + (u, VgWi) = (divz u, w2) + (u, Vzu 2), т. е. что (div2u,w) + (u,Vzw) = 0. (3.17) о Но поскольку w Є Wy(G) и QW = 0, то w Є И (С?) и является пределом в WUG) гладких функций с компактным носителем: ги = lim wm, шт Є (G). Очевидно, что (divzu,wm) + (u, VrLwm) = 0, Vwm Є 2)(0), и (3.17) получается отсюда при т - оо.
