Усреднение краевых задач в областях, содержащих внутреннюю перфорированную границу или тонкие каналы малой длины Яблоков Виктор Владимирович

Случай распада на две области

Различные процессы, протекающие в средах с инородными включениями, описываются решениями эллиптических краевых задач с теми или иными граничными условиями, задаваемыми на поверхности включений. При: большом числе включений области, в которых ставятся такие краевые задачи, имеют чрезвычайно сложную структуру. Сложная структура области не вносит дополнительных трудностей в доказательство теорем существования и единственности решений краевых задач, однако при нахождении этих решений как точными, так и приближенными методами возникают непреодолимые трудности. Лишь привлекая различные физические соображения, иногда удается приближенно найти основные характеристики изучаемого процесса при помощи замены решений исходных задач решениями более простых задач. В одних случаях решения исходных дифференциальных уравнений с граничными условиями на сложной границе заменяются решениями измененных дифференциальных уравнений, рассматриваемых во всем пространстве. В других — сложная граница в исходной задаче заменяется сравнительно простой поверхностью, на которой задаются так называемые "усредненные" граничные условия. Подобными задачами занимается бурно развивающаяся в последнее время теория усреднения, имеющая яркую историю, восходящую к работам Пуассона, Максвелла, Рэлея. Как самостоятельная наука теория усреднения была развита в работах таких математиков как Н- С. Бахвалов, В. В, Жиков, В А. Марченко, Е. Я. Хруслов, Е. Де Джорджи, Ж. Лионе, Ф. Мюра, Э. Санчес-Паленсия, С. Спаньоло, Л. Тартар и многие другие [1, 5, 7, 15, 26, 42, 43, 44, 45, 52]. Особую роль в развитии теории усреднения занимают работы О. А. Олейник и ее учеников [23, 24, 25, 46, 47, 48, 49]. Примерами задач, решаемых теорией усреднения могут служить краевые задачи для уравнений частными производными; моделирующие процессы в сильно неоднородных средах, перфорированных материалах, задачи с малым параметром при старшей производной, с быстро осциллирующими коэффициентами, задачи со сменой граничного условия; на малом участке границы, задачи с частой сменой граничных условий, задачи в областях с быстро осциллирующей границей, с концентрированными массами, в перфорированных областях и многие другие (см., например, работы [1, 5, 13, 15, 23, 26], [42Н52]): В 60-ых — 70-ых годах прошлого столетия в работах В. А. Марченко и Е. Я. Хруслова [14, 15, 16] впервые были рассмотрены задачи усреднения в областях с так называемой мелкозернистой границей.

Краевое условие в такого рода задачах ставится на границе множества сложной структуры, состоящего, например, из большого количества (как правило, непересекающихся) малых областей, расположенных близко друг к другу. При этом изучается поведение решения, когда число областей неограниченно возрастает, а расстояние между ними и их размеры стремятся к нулю. Задачи в подобного рода областях возникают при исследовании, например, распределения потенциала электрического поля в электронных приборах с густыми управляющими и экранными сетками [20]; дифракции волн различной природы на экранах с большим числом мелких дырок, на решетках с малым периодом, на облаке мелких частиц (антенны, кольцевые и спиральные волноводы, "искусственные диэлектрики") [10]; деформации упругих сред с большим числом мелких неоднородностей (пустот, трещин и.т.п) [28]. При изучении задач с мелкозернистой границей В. А. Марченко и Е. Я. Хруслов использовали достаточно трудоемкую технику вариационных методов и теории потенциала, а также понятие проводимости. При этом в рассматриваемых ими задачах обычно доказывалась лишь слабая сходимость, в то время как такой важный и актуальный вопрос как нахождение оценки сходимости решений исходных задач к решениям усредненных не затрагивался. Позднее, методы, разработанные в теории усреднения дифференциальных уравнений с частными производными, позволили получить дальнейшее продвижение в задачах, рассмотренных В. А. Марченко и Е. Я. Хрусловым, для областей со сложной границей, обладающей периодической структурой. ([24, 27, 29; 30, 33, 34, 35, 36, 46, 47] и др.) В: диссертации рассматривается задача усреднения эллиптических уравнений и систем в областях с сильно изрезанной границей, содержащих либо внутреннюю перфорированную границу (области типа "сито"), либо тонкие цилиндрические каналы малой длины, расположенные є-периодически вдоль гиперплоскости. При этом на перфорированной части границы ставится краевое условие Неймана. При исследовании асимптотики решений автор применяет методы теории усреднения дифференциальных операторов, общей теории уравнений в частных производных, а также методы функционального анализа и теории пространств Соболева. Параграф 0.1 ВВЕДЕНИЕ Области, в которых происходит перфорация вдоль некоторого гладкого многообразия и раньше привлекали внимание многих математиков. Например, в работе [47] рассмотрена задача усреднения уравнения Пуассона в тг-мерной области, из которой выкинуты n-мерные множества, расположенные вдоль многообразия. Первая глава посвящена задаче усреднения решений уравнения Пуассона в областях с перфорированной внутренней границей, состоящих из двух частей, соединенных "дырками" на внутренней границе, разделяющей части. Диаметры "дырок" ає С\у их количество Ne С21-п, где є 0 — малый параметр, п — размерность пространства. Здесь и далее все константы Ср = const 0, Кр = const 0, р Є N, не зависят от є. На внешней границе ставится нулевое условие Дирихле, на внутренней границе — условие Неймана. Сформулируем основные результаты, полученные в первой главе. Пусть 1 — ограниченная область в Rn, п 2, с гладкой границей 8Q — Г. Положим

"Критический" случай

Рассмотрим случай (1.5) при п 3, то есть ап-21-п _ д__ CQnst 0 ПрИ _ 0, 71 3. Будем предполагать, что область О имеет вид Q = {х . Є М" : — I х\ I,0 rcj 1, = const 0, г = 2, ...,п}, Г+ = {х с?Гї, xi = /},Г = {х Є дП, хі = -/}, Г = Г+ U Г-, є 1 Є N, точки Р находятся в узлах е-периодической решетки, G{ — (п — 1)-мерные шары радиусов а с центрами в Р = (. ...,.). Р А s 0, j = 1,..., JV«, iVs = є1"", C U G, 7 = Г2 П {жі = 0}, 7є = 7 \ С?є. Введем параллелепипеды Q = {x : х; —PgJ , і = 2,... ,n, jxi }\G, j =-1,..., JVg, боковую поверхность которых обозначим через 5 = {х : х» — P/J = , г = 2,... ,п, \хі\ I}. В области Qe = П+ U П U ? (Рис. 4) будем изучать краевую задачу щ — 1-периодическая по х функция. Параграф 1.4 Обозначим через H iP L) пространство 1-периодических по х функций (р Hl{D,L). При L = 0 положим H D, 0) = H D). Под обобщенным решением задачи (1.40) будем понимать функцию иє Є Н г є Г), удовлетворяющую при любой функции (р є Нрет(1Г2е,Г) интегральному тождеству / (\7щ, V?) dx = I f p dx. Существование и единственность обобщенного решения задачи (1.40) доказывается с помощью леммы Рисса и практически повторяет рассуждения леммы 7, кроме того несложно получить равномерную по е оценку ІКІІячп.) кМ\1т. Введем (п — 1)-мерный единичный шар Go = {у Є R : у\ = 0, \у\ 1} и рассмотрим вспомогательную функцию W(y), у Є R, являющуюся решением задачи &vw = o в Щ \ Go, W=l на Go, w- o при \у\ - оо. (1.41) Решение задачи (1.41) существует и единственно. Пусть Т = {у - (yi,...,j/ra) Є М : \у\ а} - шар радиуса овГс центром в начале координат. Из принципа максимума следуют оценки: 0 W{y) l в М%; 0 W{y) \у\2 п в RJ\7j.. В силу оценки производной гармонической функции на бесконечно сти, для каждого і = 1,...,п вне некоторого шара Т 1 имеем КА7\у\1 п Нашей дальнейшей целью будет доказательство того, что щ при є — 0 сходится в Hl(Q,+) и Я1(П ) к решению следующей задачи Функция V(у) в области Ш% \ {г/і = 0} (Рис. 6) удовлетворяет равенствам Определим є-периодическую по х функцию Ує(х), совпадающую на брусе (ft = {х : \х Р , і = 2,... ,п, \хг\ 1} с К( ), j = 1,..., JVe. Из ограниченности функции V (у) следует выполнение неравенства ІІКіи2(П) \ДЩ- Докажем лемму об оценке для у 113(п±) Лемма 9 Для функции VE справедливы оценки У I V К[2 Ki8; j\\?Ve\2dx Кт. Доказательство леммы 9 проведем в области fi+ (в П справедливы аналогичные рассуждения). \ J hdx\ КЬ6е; \JdVf )hdx\ Kb7e. Доказательство проведем в области П+ (в 0, справедливы аналогичные рассуждения). Можно предполагать, что h є С(0,+). Обозначим (0І)і = Ql П{х : хі 0,ХІ fJ, j = 1,..., JVe, « = 2,... ,n. Функция V{Pi + 2:), j = 1,..., N является четной в Q{ по каждой из переменных ХІ, г = 2, ...,п, в том смысле, что Vs(x — d) = Ve{x + d), где x = (ХІ,...,ХІ_І,Р ,ХІ+1,...,ХП)) d - (0,..., 0,dj, 0,...,0), x + d Є Q{, кроме того, для производной 1 - имеем равенство (х —d) = — {x +d). Для произвольной функции д(х) Є (fi—), такой, что д{х — d) = д(х + cQ, І5ІІь2(п+) 58 справедливы выкладки $llW) +є \vh\2dx е(\\д\\2ып+) + V ІІІ2(п+)) ЯюЄ. Утверждения леммы 10 получаются при д = :, д = — Лемма 11 Для функции Vs справедливы оценки j V2 dx Кте\ j Щ dx К61у/є. Доказательство. Возьмем произвольное 6, такое, что ає = о(5), 5 = о(є), є — 0. Положим TJ = {х : \х — Р 6}, Tj = {х = (xi,x) : хі = +0, \х — Pi\ 5}. Используя оценки на максимум функции V, получаем: и Ф используем то, что на противоположных боковых стенках параллелепипедов Si значения совпадают.

Обозначим одну из этих стенок через S3i = Sid {ХІ = V(i, )}. Используя оценку для производной гармонической функции на бесконечности и ограниченность функции /эе, получаем Рассмотрим Ф (є), р — 1,2,3. Для оценки Ф -(є) воспользуемся поведением производной второго порядка от гармонической функции на бесконечности: \щ{г)\ K$b\z\-n, і = 1,... ,п. f(e) 86 (j\AxV(±l,x)\2dx\ = ДГи а у Д (±Ш2&: J Параграф 1.4 Лемма 12 Для функции є / (Qe), (}де = 0 справедлива оценка Доказательство. Рассмотрим область Q {у : 0 уі 1, \уг\ \, і = 2,...,п] и часть ее границы 71 = 9Q П {yi = 1}. Для функции (у) Є #J(Q), {)Q = 0, ИСПОЛЬЗуЯ теорему ВЛОЖеНИЯ ВИДа f Hj i) 9б!!яі(д) и неравенство Пуанкаре Ц Ц /дч Кд?\\ V lliaW) полу436» оценку Je(y)dy K9&J\4vay)\2dy. где W{y) — решение задачи (1.41). Под обобщенным решением задачи (1.63) будем понимать функцию е Є (Qs) с нулевым средним по Qt удовлетворяющую интегральному тождеству J((f) = / (v&» W) dx = ає\ I ipdx+ / (p- - dx (1.65) % для произвольной функции p Є Hl(Qe). Условием разрешимости задачи Неймана (1.63) является равенство нулю следующего выражения Je(l)= f ds f dx+f\eadx = ar1 f dy + Хєаєєп-1 = Go+0 = 2a" J + Go+0 Параграф 1.4 "КРИТИЧЕСКИЙ" СЛУЧАЙ Ввиду определения (1.64) константы А, имеем f - ds — 0, то есть задача (1.63) разрешима. Далее нам понадобится оценка для Л(М +)1 \M[v]v+)\ = Me / [v] p+dx + / [v] p+- dx\ = J j (v&, У([Ф+)) dx\ її Qs llv(№+)lk2(a)llV lk2{Q=). (1.66) Для получения оценки для v elU2(Qs) возьмем в интегральном тождестве (1.65) в качестве пробной функции функцию р = г, применим к J ec(x неравенство Коши—Буняковского и лемму 12, а к \fe dx\ №001 = X\f[v]4 +dx\ \у/Щ\М р+\\Ыа.) Параграф 1.4 "КРИТИЧЕСКИЙ" СЛУЧАЙ Кцзу/а"- 1-" КШу/ае. (1.71) Из оценок (1.68)-(1.71) и (1.67) получаем /є+ КПь{ Д+у/ + \апє 2є1-п-А\) KneiVe+la e1-" - А\). (1.72) Подставляя оценки (1.54), (1.55), (1.56), (1.57), (1.62), (1.72) в (1.50), получаем: / (V(«e- v), W+) dx+ I (v("e - v), VV-) = n+ n где Fe Кт{у/є + \а" 2є1 п - Л), а константа Кц7 = / 117( +, -) не зависит от є. Таким образом, доказана Теорема 13 Пусть щ — обобщенное решение задачи (1.40), v — решение задачи (1.42). Предположим, что Iima"-21-" — A = const 0 при п 3, тогда последовательность и слабо в Я](0+) и Hl{Q ) сходится к функции V, При получении оценок для интегралов в правой части (1.50) был необходим класс С2 гладкости функций р и р+. Таким образом, если функция v Є С2(Ш")пС2(П_), то все рассуждения и оценки, полученные выше, справедливы для tp = v. В частности, имеет место оценка f V К - «)I2 dx + [ v (щ - v)\2dx КШ{Л + lajrV-" - А\). п+ п Используя неравенство Фридрихса, справедливое для функций из пространства Н1(0,Г—), получаем окончательную оценку IK - (П+) + \\щ - «!&(„-) 7Г119(л/ + ІаГ е""1 - Л\).. (1.73) Таким образом, имеет место теорема Теорема 14 Пусть и — обобщенное решение задачи (1.40), a v є (0+), и Є C2(fi ) - решение задачи (1.42). Предположим, что lima"_21-n — A = const 0 «ри тг 3, тогда справедлива оценка (1.73).

Общее эллиптическое уравнение второго порядка

Рассмотрим в области Пє эллиптический дифференциальный оператор второго ПОрЯДКа В Дивергентной форме L[u] = — f- ( hnk(x) ) — ТІ af- \а {х)Щ} Здесь и далее как обычно по повторяющимся ин m,k=\ m дексам предполагается суммирование. Функции атк(х) = акт{х) являются гладкими в Q и удовлетворяют для произвольного вектора = (1,... ,п) условию равномерной эллиптичности: Под обобщенным решением задачи (2.4) будем понимать функцию щ Є Я1(ПЄ,ГГ), такую, что для любой у? Є / (П Гє) выполняется интегральное тождество Существование и единственнность обобщенного решения задачи (2.4) следует из леммы Рисса. Действительно, левая часть интегрального тождества (2.5) представляет собой скалярное произведение (ui (р) = / flwfc al dx в пространстве //1(fie, Ге), эквавалентное стандартному, а правая есть линейный непрерывный ф Обозначим через А = Л(х) симметрическую матрицу с элементами {a mk(x)}mjt=i, а минор элемента а\\{х) матрицы А обозначим через В{х). Из условия равномерной эллиптичности (2.3), используя вектора вида = (0, &» , п) несложно показать, что в области Г2 det В 0. Положим где константа А определена в (2.2). Нашей дальнейшей целью будет доказательство того, что предельная задача имеет вид Здесь [v] = v(+0,x) — v{ 0tx) — скачок функции v на гиперповерхности 7, а функция {3 определена в (2.6). Под обобщенным решением задачи (2.7) будем понимать функцию v Є i/1(Q+, Г+) П Нг(0, , Г-), удовлетворяющую интегральному тождеству для произвольной функции Є # (0+,14-) П Я1 -,!1-). Существование и единственность обобщенного решения задачи (2.7) следует из леммы Лакса—Мильграма.

Действительно, правая часть тождества (2.8) есть линейный непрерывный функционал F((p) = / fipdx ft на пространстве Н = ЯХ(П+, Г+) П Я О Г-), а левая билинейная форма каН хН, такая, что Далее будем предполагать, что и Є С2(Г2+) С\С2(Ог). По правилу Крамера получаем bk(x) = 1 & = 2,...,гг. Здесь матрица Bk{x) получается из матрицы В(х) заменой (к — 1)-го столбца на вектор (-021( )) - і — апі(х)У Положив В\ 5, получим Параграф 2.2 Введем в цилиндрах Тє вектор X = (Лі,..., Л ), определенный в Т/ как X = (х - РД j = \,...,N, то есть, Рассмотрим в цилиндрах Те функцию Прежде всего найдем оценки для vGlli (п+) и II V7lli2(n-v Для любого к = 1,..., п справедливо max {Кца 1) Kns q, то есть уг2 K\2 2q. Следовательно, Нашей дальнейшей задачей будет оценка 7 (cJe)j, р = 1,..., 10. Для этого нам понадобится лемма, позволяющая оценивать j«eLa(re) Лемма 13 Для произвольной функции и Є /f1(17) справедлива оценка Откуда ункционал F{ p) = f f pdx на том же пространстве. Заметим, что в областях С1 справедливо неравенство Фридрихса вида константой К і = const 0, не зависящей от є. Используя неравенство Фридрихса, условие эллиптичности (2.3) и интегральное тождество (2.5) при р = ие, получаем равномерную ограниченность иЕ в Я1(І7Є) : Обозначим через А = Л(х) симметрическую матрицу с элементами {a mk(x)}mjt=i, а минор элемента а\\{х) матрицы А обозначим через В{х). Из условия равномерной эллиптичности (2.3), используя вектора вида = (0, &» , п) несложно показать, что в области Г2 det В 0. Положим где константа А определена в (2.2). Нашей дальнейшей целью будет доказательство того, что предельная задача имеет вид Здесь [v] = v(+0,x) — v{ 0tx) — скачок функции v на гиперповерхности 7, а функция {3 определена в (2.6). Под обобщенным решением задачи (2.7) будем понимать функцию v Є i/1(Q+, Г+) П Нг(0, , Г-), удовлетворяющую интегральному тождеству для произвольной функции Є # (0+,14-) П Я1 -,!1-). Существование и единственность обобщенного решения задачи (2.7) следует из леммы Лакса—Мильграма. Действительно, правая часть тождества (2.8) есть линейный непрерывный функционал F((p) = / fipdx ft на пространстве Н = ЯХ(П+, Г+) П Я О Г-), а левая билинейная форма каН хН, такая, что Далее будем предполагать, что и Є С2(Г2+) С\С2(Ог). По правилу Крамера получаем bk(x) = 1 & = 2,...,гг. Здесь матрица Bk{x) получается из матрицы В(х) заменой (к — 1)-го столбца на вектор (-021( )) - і — апі(х)У Положив В\ 5, получим Параграф 2.2 общее эллиптическое уравнение ВТОРОГО ПОРЯДКА Введем в цилиндрах Тє вектор X = (Лі,..., Л ), определенный в Т/ как X = (х - РД j = \,...,N, то есть, Рассмотрим в цилиндрах Те функцию Прежде всего найдем оценки для vGlli (п+) и II V7lli2(n-v Для любого к = 1,..., п справедливо max {Кца 1) Kns q, то есть уг2 K\2 2q. Следовательно, Нашей дальнейшей задачей будет оценка 7 (cJe)j, р = 1,..., 10. Для этого нам понадобится лемма, позволяющая оценивать j«eLa(re) Лемма 13 Для произвольной функции и Є /f1(17) справедлива оценка Откуда и следует справедливость утверждения леммы 13. Применяя лемму 1 параграфа 0.2 к функции ф\и)иє) єЯ1 "), (/?[и]ше) Є Я Г "), получаем оценки Для оценки і(шє),/(ше) и ij(we) используем формулу Грина, неравенство Коши—Буняковского и гладкость функции v: Параграф 2.2 ОБЩЕЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА Применяя неравенство Коши—Буняковского и учитывая предположение о гладкости функции v, получаем: Подставляя оценки (2.27)-(2.36) в (2.26) и используя условие равномерной эллиптичности (2.3), получаем: Отсюда, применяя неравенство Фридрихса к функции (иє — v) Є Hl(Q,f,Г+) в области ик (щ — v) є ЯХ(І7_,Г ) в области Cl , получаем Используя лемму 13 и гладкость функций г; и Не» получаем окончательную оценку Теорема 15 Пусть функция иє — обобщенное решение задачи (2.4); v C2(Q-)nC2(Q,+) — решение задачи (2.7); А(х) = {amfc(x)} fc=1, Л(х) — иш-но/з элемента ац(х) матрицы Л, /3(0, ж) = А (0, ж). Тогда если A = lim к -іа"- 1 (n — \)-мерного единичного шара, ає — о(є9), є — 0, q -— const 0, то имеет место оценка (2.37). Параграф 2.3

Пример доказательства слабой сходимости

В параграфах 2.1-2.4 при доказательстве сильной вЯ1 ) сходимости UKV предполагался класс С2(Г2+) П С2(Г2 ) гладкости предельной функции v. Тем не менее мы приведем доказательство слабой сходимости без каких-либо дополнительных предположений на гладкость v. Для приме ра рассмотрим оператор L[u] = — $3 &Г (а (х) г) из параграфа 2.2. т,к—1 т Для произвольной ограниченной области fi с гладкой границей 00, — Г положим Q = Q П {х\ 0}, Q+ = П П {яі 0}, П+ = {я : (хі - єч,х) Є +} 7 = дОг П {xi = 0}, 7г = 9П+ П {ari = eq] и рассмотрим область с "тонкими" каналами Q = П+ U Q UT U G\ U G (Рис. 9), где множество Т определено в (2.1) параграфа 2.1, a G = {Г\&ГЄ, G\ = 7єП Г. Введем множества Г+ = дП+ \ j, Г = 50" \ 7, Г = Г+ U Г", 7? = 7 \ &% її = 7aC?J, = OTe\(G0UGl). В области с "тонкими" каналами Пе при "критическом" соотношении (2.2) между параметрами є,ає п q изучим задачу где /(х) 2( )( а у = (і і,..., і/п) — вектор внешней единичной нормали к Как обычно под обобщенным решением задачи (2.86) будем понимать функцию иє е Я1 , Г) такую, что для любой р Є Я1 ,! ) выполняется интегральное тождество Существование и единственнность обобщенного решения задачи (2.86) следует из леммы Рисса. Из (2.87) при (рє и ) используя условие равномерной эллиптичности (2.3) и неравенство Фридрихса, легко получить равномерную по є оценку По аналогии с леммой 13 можно доказать неравенство Из (2.88) и теоремы Реллиха следует, что из последовательности {є} можно выделить подпоследовательность {є }, такую, что в области U иє — и при є —+ 0,и 6 Я1 -). Кроме того, для последовательности ve(xi,x) = u{x\+eq,x) справедлива равномерная оценка иє#і(п+) К ь, следовательно, существует подпоследовательность {є} С {є}, такая, что в Q+ ve -4 и+ при є 0, причем и+ є # (fi+). Для произвольных функций ip+ є С(0,+,Г+), р є С(Гг , Г ) введем функцию р, такую, что при этом [ ]7 = +(+0,) - _(-0,#). Рассмотрим в цилиндрах Т функцию где Ьг и ХІ определены в (2.9), (2.10). Используя определение (См. (2.6)) функций (3{х)у Ъ {х) и матриц Л, В%, г = 1,... равномерной эллиптичности (2.3) и неравенство Фридрихса, легко получить равномерную по є оценку По аналогии с леммой 13 можно доказать неравенство Из (2.88) и теоремы Реллиха следует, что из последовательности {є} можно выделить подпоследовательность {є }, такую, что в области U иє — и при є —+ 0,и 6 Я1 -). Кроме того, для последовательности ve(xi,x) = u{x\+eq,x) справедлива равномерная оценка иє#і(п+) К ь, следовательно, существует подпоследовательность {є} С {є}, такая, что в Q+ ve -4 и+ при є 0, причем и+ є # (fi+).

Для произвольных функций ip+ є С(0,+,Г+), р є С(Гг , Г ) введем функцию р, такую, что при этом [ ]7 = +(+0,) - _(-0,#). Рассмотрим в цилиндрах Т функцию где Ьг и ХІ определены в (2.9), (2.10). Используя определение (См. (2.6)) функций (3{х)у Ъ {х) и матриц Л, В%, г = 1,...,п, из параграфа 2.2, а также справедливую в ТЕ оценку \Х{\ Кі2б єі г = 2,..., п, получаем равенства где , V ej fe определены в параграфе 2.2 (См. (2.12), (2.13) ). При этом Нє, !", г построены так, что ( P+(xi-q,x)+g(x))\Ci+0 = Нє(ж)[Сі_0; ( p-(x)+ (x))\Go-o = Se(x)\Go+0. Параграф 2.5 Подставляя в интегральное тождество (2.87) (рє вида (2.94), применяя к функциям ии5еВ цилиндрах Те формулу Грина и учитывая равенства (2.90)-(2.92), получаем «mfe -dx ГШ v weL2(fi+)ll V h2(nt) К аєє-Ц (2.99) ut f dxkdx - 131ll V lli3(fi-)ll VClli2(fi-) Кшу/аеЄП- (2.100) n-Кроме того, применяя форуму Грина, неравенство Коши—Буняков-ского и оценку (2.89), получаем р Є С(П+,Г+) ЛС(0 , Г-), функция и, равная и+ в Q+ я и в 1 , удовлетворяет тождеству (2.106). задачи (2.86), а и — решение задачи (2.107). Тогда если lim Kn-iaVTlEl n q = X = const 0, 0 где к„_і — объем {п — ї)-мерного единичного шара, ае o(eq), є 0, q = const 0, то иє — и при є — 0 в Q и и(х\ + sq, х) —и при є —0 в Q+. Замечание 8 (О виде оператора Ь[ие]) Аналогичными методами не составляет труда доказать слабую сходимость в задачах из параграфов 2.3-2.4. Иллюстрации

,п, из параграфа 2.2, а также справедливую в ТЕ оценку \Х{\ Кі2б єі г = 2,..., п, получаем равенства где , V ej fe определены в параграфе 2.2 (См. (2.12), (2.13) ). При этом Нє, !", г построены так, что ( P+(xi-q,x)+g(x))\Ci+0 = Нє(ж)[Сі_0; ( p-(x)+ (x))\Go-o = Se(x)\Go+0. Параграф 2.5 Подставляя в интегральное тождество (2.87) (рє вида (2.94), применяя к функциям ии5еВ цилиндрах Те формулу Грина и учитывая равенства (2.90)-(2.92), получаем «mfe -dx ГШ v weL2(fi+)ll V h2(nt) К аєє-Ц (2.99) ut f dxkdx - 131ll V lli3(fi-)ll VClli2(fi-) Кшу/аеЄП- (2.100) n-Кроме того, применяя форуму Грина, неравенство Коши—Буняков-ского и оценку (2.89), получаем Параграф 2.5 Используя (2.96)-(2.105), перейдем к пределу в (2.95): Таким образом, для произвольной р Є С(П+,Г+) ЛС(0 , Г-), функция и, равная и+ в Q+ я и в 1 , удовлетворяет тождеству (2.106). Заметим, что в силу полноты пространства C(fii, Г ) в / (fi—, Г+-), равенство (2.106) справедливо для любой є H1(Q+,T+) П Д"1 - -), следовательно, ме является решением задачи решение задачи (2.86), а и — решение задачи (2.107). Тогда если lim Kn-iaVTlEl n q = X = const 0, 0 где к„_і — объем {п — ї)-мерного единичного шара, ае o(eq), є 0, q = const 0, то иє — и при є — 0 в Q и и(х\ + sq, х) —и при є —0 в Q+. Замечание 8 (О виде оператора Ь[ие]) Аналогичными методами не составляет труда доказать слабую сходимость в задачах из параграфов 2.3-2.4. Иллюстрации

Похожие диссертации на Усреднение краевых задач в областях, содержащих внутреннюю перфорированную границу или тонкие каналы малой длины

Эллиптические граничные задачи в областях с негладкими границами в полных шкалах банаховых пространствРойтберг, Борис Яковлевич

Об асимптотике и точных интегральных оценках решений краевых задач в областях, перфорированных вдоль границыКоролева Юлия Олеговна

О разрешимости некоторых краевых задач в областях с негладкой границейКрасногорский Александр Михайлович

Асимптотические свойства решений эллиптических и параболических краевых задач в областях с особенностями границыКозлов, Владимир Аркадьевич

Вариационная задача Дирихле для эллиптических уравнений, вырождающихся на границе ограниченной областиКуджмуродов Абдулло Ёкубович

Метод гладких возмущений в задачах теории упругости с односторонними ограничениями для областей с негладкими границамиРудой, Евгений Михайлович

К теории краевых задач для параболических и ультрапараболических уравнений в областях с негладкими границамиОрынбасаров, Мамажан

Обобщенная задача Неймана для параболических уравнений второго порядка в областях с негладкой границей Алиев Рамиз Джалалович

О регулярных краевых задачах для уравнений смешанного типа в области с отходящией от характеристик границей Аубакиров Болат Уатаевич

Краевые задачи для дифференциальных уравнений математической физики для областей с разрезами, выходящими на границу областиАраби, Араби Джамаль