Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Обратная задача для нелинейного уравнения переноса с финальным переопределением 18
1.1 О задаче управляемости для нелинейного уравнения переноса с финальным переопределением 18
1.1.1 Предварительные сведения. Обозначения 18
1.1.2 Формулировка основного результата 23
1.1.3 Строгая дифференцируемость оператора S 25
1.1.4 Завершение доказательства основного результата 32
1.2 О локальной разрешимости обратной задачи для нелинейного уравнения переноса с терминальным переопределением 34
1.2.1 Оценки нелинейных добавок в дифференциальных операторах для прямой задачи 35
1.2.2 Оценки нелинейных добавок в операторах, обратных к дифференциальным операторам для прямой задачи 40
1.2.3 Оценки нелинейных добавок в операторах для обратной задачи 42
Глава 2 Задача управляемости для нелинейного уравнения переноса с финальным переопределением в классеограниченных функций 55
2.1 О задаче управляемости для нелинейного уравнения переноса с финальным переопределением в классе ограниченных функций 55
2.1.1 Предварительные сведения. Обозначения 55
2.1.2 Формулировка основного результата 64
2.1.3 Строгая дифференцируемость оператора S 65
2.1.4 Завершение доказательства основного результата 68
2.2 О локальной разрешимости обратной задачи для нелинейно го уравнения переноса с терминальным переопределением в классе ограниченных функций 71
2.2.1 Оценки нелинейных добавок в дифференциальных операторах для прямой задачи 71
2.2.2 Оценки нелинейных добавок в операторах, обратных к дифференциальным операторам для прямой задачи 75
2.2.3 Оценки нелинейных добавок в операторах для обратной задачи 77
Глава 3 Обратная задача для нелинейного уравнения переноса по переопределениям интегрального типа 89
3.1 О задаче управляемости для нелинейного уравнения переноса с интегральным переопределением 89
3.1.1 Предварительные сведения. Обозначения 89
3.1.2 Формулировка основного результата 97
3.1.3 Строгая дифференцируемость оператора S 99
3.1.4 Завершение доказательства основного результата 104
3.2 О локальной разрешимости обратной задачи для нелинейного уравнения переноса с интегральным переопределением . 107
3.2.1 Оценки нелинейных добавок в дифференциальных операторах для прямой задачи 108
3.2.2 Оценки нелинейных добавок в операторах, обратных к дифференциальным операторам для прямой задачи 112
3.2.3 Оценки нелинейных добавок в операторах для обратной задачи 114
Глава 4 О задаче управляемости для нелинейного уравнения переноса с интегральным переопределением в классе ограниченных функций 122
4.1 О задаче управляемости для нелинейного уравнения переноса с интегральным переопределением в классе ограниченных функций 122
4.1.1 Предварительные сведения. Обозначения 122
4.1 2 Формулировка основного результата 130
4.1.3 Строгая дифференцируемость оператора S 132
4.1.4 Завершение доказательства основного результата. 133
4.2 О локальной разрешимости обратной задачи для нелинейного уравнения переноса с интегральным переопределением в классе ограниченных функций 136
4.2.1 Оценки нелинейных добавок в дифференгщальных операторах для прямой задачи 137
4.2.2 Оценки нелинейных добавок в операторах, обратных к дифференциальным операторам для прямой задачи 139
4.2.3 Оценки нелинейных добавок в операторах для обратной задачи в классе ограниченных функций 141
Заключение 148
Литература 150
- О локальной разрешимости обратной задачи для нелинейного уравнения переноса с терминальным переопределением
- Предварительные сведения. Обозначения
- О локальной разрешимости обратной задачи для нелинейно го уравнения переноса с терминальным переопределением в классе ограниченных функций
- О локальной разрешимости обратной задачи для нелинейного уравнения переноса с интегральным переопределением
Введение к работе
Актуальность темы диссертации
Задачи управляемости в математической физике для линейных и нелинейных объектов, описываемых уравнениями в частных производных, приобрели особенную популярность в последнее время в связи с возросшей возможностью их численного решения па современной вычислительной технике, хотя потребность в решении этих задач была и раньше, и теоретические исследования на эту тему ведутся уже не одно десятилетие. В диссертации доказана теорема о локальной однозначной разрешимости обратной задачи с финальным и интегральным переопределением для нелинейного уравнения переноса, которую в данной постановке можно рассматривать как задачу локальной управляемости.
Вот далеко неполный список математиков, занимавшихся этими проблемами : Прилепко А.И., Иванков А.Л., Орловский Д.Г., Волков Н.П., Султангазин У.М., Тихонов И.В., Kaper H.G., Lekkerkerker G.G., Heitmanek J., Greiner G., Voigt J.
Цель работы
-
Доказательство теоремы о локальной однозначной разрешимости обратной задачи с финальным переопределением для нелинейного уравнения переноса, которую в данной постановке можно рассматривать как задачу локальной управляемости, состоящую в переводе системы из нулевого состояния в заранее заданное (достаточное малое яо норме) состояние за фиксированный промежуток времени. При этом управлением является множитель в правой части, зависящий только от пространственных переменных.
-
Доказательство теоремы о локальной однозначной разрешимости обратной задачи для нелинейного уравнения переноса с интеграль-
ным переопределением, которую можно трактовать как задачу, состоящую в поддержании режима, при котором заданный функционал, значение которого является результатом измерения в текущий момент времени некоторой характеристики (физической, химической или еще какой-нибудь), принимал в каждый момент времени заранее заданное (малое по норме) предписанное значение, зависящее от времени, а управлением является множитель в правой части уравнения, зависящий так же только от времени.
Научная новизна работы
Все результаты диссертации являются новыми. Главные из них:
-
Локальная однозначная разрешимость обратной задачи для нелинейного уравнения переноса с финальным переопределением в случае, когда правая часть уравнения принадлежит пространству Lp, 2 < р < оо и в случае пространств Ьх с уточнением размера допустимой окрестности, из которой можно брать функцию из условия переопределения.
-
Локальная однозначная разрешимость обратной задачи с интегральным переопределением для нелинейного уравнения переноса в случае, когда правая часть уравнения принадлежит пространству Lp, 2 ^ р < оо и в случае пространств Д» с уточнением размера допустимой окрестности, из которой можно брать функцию из условия переопределения.
Приложение.
Диссертация носит теоретический характер.
Апробация работы
Результаты работы неоднократно докладывались на семинарах кафедры дифференциальных уравнений и функционального анализа (руководители: д.ф.-м.н. проф. М.Ф. Сухинин, д.ф.-м.н. проф. А.В. Фамин-ский, к.ф.-м.н. доц. М.Е. Боговский, к.ф.-м.н. доц. Н.А. Шананин), и на Всероссийских научных конференциях по проблемам физики, химии, математики, информатики и методики преподавания Российского университета дружбы народов.
Публикации
По материалам диссертации опубликовано 7 печатных работ, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем работы
О локальной разрешимости обратной задачи для нелинейного уравнения переноса с терминальным переопределением
В этом параграфе использованы обозначения из 1.1, Мы докажем достаточные условия на размер окрестности, из которой можно брать функцию из условия переопределения, с тем чтобы исходная обратная задача для нелинейного уравнения переноса была однозначно разрешима. 1.2.1. Оценки нелинейных добавок в дифференциальных операторах для прямой задачи Центральным моментом является получение оценки нелинейной части оператора S в задаче (1.1.2.18)-(1.1.2.21) в классе Wp(D), которая позволит в дальнейшем применить теорему 0.0.0.2.. Пусть Uи — открытый единичный шар в Н и Uw (D) открытый единичный шар в Wp(D); Предложение 1.2.1.2. Пусть u(x,w,f), h{x,v t) Є #, (ж,v,t) Є D, \\u(x,v,t)\\H r, \\u(x,v,t) + h(x,v,t)\\H r. Тогда 5(и+Л)-5(«)игі(Х)) Kr) II МІн, где ${r) -4 0 при г -4 +0. Доказательство. Имеем: S(u+h)—S(u) = [TQoIa](u-\-h) [IQOIQ](U), т. к. IQ — линейно непрерывный оператор, то тогда Сначала оценим первое слагаемое. В этом случае Покажем, что #І(Ї") монотонно стремится к нулю при г — +0. Заметим, что 0і(г) 8і(г ) при 0 г : г . Допустим, что это не так, положим rk = \. Тогда 3 є 0 : #і (!) є, V&, в этом случае существует щ,кку для которых выполняется и :1я 1/fe, ufc+ й я 1/fc такие, что Тогда существуют подпоследовательности щпНкп стремящиеся к нулю почти всюду на D х (0,1), для которых і всюду на D х (0,1). а это противоречит (1.2.1.37). Далее, (h Є H(D), и Є Яр)) =» (u+Oh) H(D). Тогда по теореме вложения («( + 9ht) Є LP(D). Имеем OP Теперь оценим второе слагаемое Таким образом, Заметим, что ї/я = Uwl(D) т. к. і — изометрический изоморфизм Я на WJ(D). Далее Рун(5(и + Л) - 5 (r) = 0 и w(r) = w(r ). Заметим, что если в(г) 1, Vr 0, то J% = ею. Используя теорему 0.0.0.2., получим следующую теорему: S(w(F))]- Пользуясь полученной теоремой 1.2.1.6., заключаем, что о Тогда из (1.2.1.40) имеем PWa(s(q(F+ДР))-5(Ч(Л)) б(г)Ая, і где Д = f/(F + AF) - r}{F) = / (F + sAF) AF rfs = (по теореме об обрат о ной функции 0.0.0.1.) = /[ (F + sAF dsAF. Тогда [Ая (нера о венство Минковско В этом параграфе использованы обозначения из 1.1, Мы докажем достаточные условия на размер окрестности, из которой можно брать функцию из условия переопределения, с тем чтобы исходная обратная задача для нелинейного уравнения переноса была однозначно разрешима. 1.2.1. Оценки нелинейных добавок в дифференциальных операторах для прямой задачи Центральным моментом является получение оценки нелинейной го для интегралов и свойство изометричности операто ра .я= .Lff) /[?(ri(F + sAF))]-l\\LHds\\AF\\LH (по теореме Адамара 0.0,0.3.) -— T \\AF\\LH-
Отсюда следует, что PLUH [S(T](F))/(і-0( 1№))] ft, а если / [г , со], то берем В(г ) — 0 и ш(/) = а ( ). Заметим, что если (о;-1(г/)) 1/2, W 0, то / = сю. Используя теорему 0.0.0.2., получим следующую теорему: Теорема 1.2.2.7. Пусть «(г1) = /- / [(0 40)/(1 - (аГ1 )))] rfi (г) из теоремы 1.2J.6. и r % — корень уравнения 1 — 20 (CJ"1 )) = 0, если 9 {LJ 1 (/)) 1/2, V/ 0, mo r = со. Гог В этом параграфе использованы обозначения из 1.1, Мы докажем достаточные условия на размер окрестности, из которой можно брать функцию из условия переопределения, с тем чтобы исходная обратная задача для нелинейного уравнения переноса была однозначно разрешима. Оценки нелинейных добавок в дифференциальных операторах для прямой задачи Центральным моментом является получение оценки нелинейной 9й V/ Є [0,/J Vw Є (/)14 31 F /f/LK : i"1 + K{F) = u. Из (1.1.4.34) имеем М(х) = Ф = М (0)х + [Л/(х) - Af (0)x] = Х + $(x)i гДе -A = Af (0), V (x) = Л (х) —{GXV) Т \\Р(х)\\н (ЦЛІЦГ), (1.2.3.48) ІІХ + Ь\\ыахУ)$? \\РЫ + Н)\\н ш-1(\\А1\\г). Поскольку Р{Х) = ч(Ліх), 4W = [ №))Г\ Р (Х + SA)A = (ЛДх + eA))AiA = (по теореме об обратной функции) = [е (»;(Л1(х + 5Л)))]"1Л1Л= [ (Pfc + JA))]-1 , т.е. Р (х + зА) = [f(P(x + 5 ))]_1 Ль Далее, имеем (Р(х + sh)) = (L + S )№ + sh)] = (L + 5 )[P(x + sA)] = i(/ + S H X + sh)]. Следовательно, [ (Ptx + sft))]"1 = [(/+L 15 )[P(x+5fe)]]"1oL-1, и тогда P (x + 3h) = [(I + Л-х5 )[Р(х + sh)]] 1 о L 1 о Ль (1.2.3.49) С другой стороны, имеем Р(0) = О, (Р(0)) = , L : Н — LH изометрический изоморфизм, если открытым единичным шаром в LH считать ад,, то ИК Ио))П1= ІІ-ь- ІИ і Таким образом, имеем: \\Пх+SQWCMGXV) ) ІІ ІІІІАіІІІІК/+L "S )[P(X + shw1 (по теореме Адамара) і-Ні-ЧНИРОс + вА Иедія, и из априорной оценки [jl, 1jj= 1 получаем: Теперь, чтобы оценить H-S Oc + sh))\\c(HtLH)i воспользуемся (1.2.1.40) и тем фактом, что Ve Є Н и достаточно малых по модулю і Є №\{0}, имеем При t -4 0 получаем PLH(s {P(x + sh))e) ( (НЛаЦг)) е1я, откуда в силу произвольности е Н следует, что І5 (Р(Х + ))ІІОДЯ) «(игЧИЛіНг)) , (1.2.3.51) и если подставить (1.2.3.51) в (1.2.3.50), то If Сх + )1кт.я) ! _ Д ДАЖІЮ) (L2-3-52) Используя (1.2.3.49) и равенство -Р (О) = /(0)оЛі — Хг оЛі, заметим, что Р {Х + sh) - P (O) = = [{I + ІГ ОИх + sh))]-1 о L"1 о Лі - L 1 о Лі = = ([(X + ІГ ОИх + s/i))]"1 - І) о L 1 о Л 1. (1.2.3.53) Теперь воспользуемся приемом разложения в ряд: если Г[ 1, то (/ + Г)"1 = /-74-7 -7 + В нашем случае, при ограничениях в (1.2.3.48)
Предварительные сведения. Обозначения
Введем следующие функциональные пространства и обозначения: 1. Пусть область С С Iя строго выпукла, а ограниченное замкнутое множество V содержится в шаровом слое {v Ш.п : 0 VQ \v\ V\ со}, является банаховым относительно нормы ІМІВД?) [ll llocD+IKIIoo +IKv.VjttHoo.o+lllllr lloo.r.] 2.1.1.6) функция источников представима в виде где / — искомая, ад — априори заданная функция. В нашей работе доказано, что существует единственное решение (и, /) данной задачи в окрестности нуля в соответствующем функциональном пространстве (все обозначения, пространства и условия будут введены ниже) при достаточно малых по норме ф(х, v). Здесь и в дальнейшем V = V . Напомним [15], что процесс массопереноса описывается многоскоростным анизотропным кинетическим уравнением переноса: в котором функция u(x} v, t) характеризует плотность распределения частиц в фазовом пространстве GxV в момент времени t Є. (0, Т), а функции Е(ж, и, t), J (ж, і/, і, v) и F(xt v, t) - среду, в которой этот процесс протекает, являясь при этом коэффициентом поглощения, индикатрисой рассеяния и функцией внутренних источников соответственно. К такому же уравнению приводят задачи излучения заряженных частиц, а также распространения 7-излучения. Как доказано в работе [8, с. 127], если заданы все характери 58 стики среды S, J, F, а также "входящий поток", т.е. и начальное состояние процесса, т. е. то состояние процесса и{х, v, t) может быть определено однозначно в любой момент времени і, и там же выведена оценка корректности Рассмотрим задачу управления с помощью функции источников. Интересен случай, когда допустимые управления являются стационарными, т.е. не меняющимися во времени. Предположим, что где / — искомая, ag,h — априори заданные функции. Итак, задача управления состоит в определении такой функции f(x:v) из некоторого класса, с помощью которой система с распределенными параметрами (2.1.1.8) и (2.1.1.9) может быть переведена за конечное время Т из начального состояния (р{х, v) в стационарное состояние -0(TTV), т. е. Теорема 2.1.1.9. [15, стр. 20] Пусть , Loo(D); J,Jt Є Ьоо(Д P(V)); gtgt Є L D), \g(xtv,T)\ go 0; при (x,v) Є G x V; Теорема сформулирована в [15] без доказательств и указывает на однозначную разрешимость задачи управления (2.1.1.8)-(2.1.1.10), (2.1.1.13), которая в своей постановке совпадает с линейной обратной задачей с переопределением на следе функции и при t Т. Для полноты изложения мы приведем доказательство этой теоремы. Доказательство. Предположим, что {и,/} Є Оі = Яоо(І)) х L G x V) почти всюду удовлетворяют условиям (2.1.1.8)-(2.1.1.10).
Тогда, как показано в [24], интегрируя уравнение (2.1.1.8) по характеристике, с учетом (2.1.1.9), (2.1.1.10) получаем интегральное уравнение: 60v — х — характеристическая прямая вдоль вектора v, — параметр из [С-,С+], причем у + vQ± Є dG, и (у + v( v) Є 7-ї V — - t, Ф(у,», ) = y (y + «(- ), ) при 0 t - С- и 7 = -, Ф(у,гі,і) = /i(y + -, t/.i-f+C) при f-C_ і Т; (Ри)(у+«6«, ) = —Е(у + vf, v, f)u(y + t?f, и, і) + / J(y + г , г/, , u)w(y + v, и , t) dv . В усло-виях теоремы 2.1.1.9. левая и правая части равенства (2.1.1.15) обладают следами при t — Т из пространства L G х V), и тогда в силу условия (2.1.1.13) после несложных преобразований получаем при vadium G Т второе интегральное уравнение: Итак, показано, что любое решение из класса Ж рассмотренной задачи управления (2.1.1.8)-(2.1.1.10), (2.1.1.13) является решением системы интегральных уравнений (2.1.1.15), (2.1.1.16). Необходимо теперь доказать, что любое решение системы (2.1.1.15), (2Л. 1.16) удовлетворяет почти всюду условиям (2.1.1.8)-(2.1.1.10), (2.1ЛДЗ). В силу условий теоремы 2.1.1.9. нетрудно показать, что функции и и / почти всюду удовлетворяют условиям (2.1.1.8)-(2.1.1.10). Остается доказать, что любое решение системы (2.1.1.15), (2.1.1.16) удовлетворяет условию (2.1.1.13). Действительно пусть {и, /} — решение системы интегральных уравнений (2.1.1.15), (2.1.1.16), принадлежащее классу !Коо- Тогда на основании уравнения (2.1.1,15) из соотношения (2.1 Л.16) легко получаем равенство: в котором ш(у + v, v) = и(у -\- vtv,T) — ф(у + v,v). А из условия согласования (2.1.1.14) получаем соотношение w(y+v ,v) — 0- Следовательно, получена прямая задача для стационарного уравнения переноса. Имеется ряд достаточных условий для того, чтобы полученная задача была однозначно разрешима (см., например [9]). В частности, при vadium G (Е+«/)-1 существует единственное решение этой задачи ш{у + v, w) = 0 для почти всех (у + и, v) Є G X V. А это равенство и есть условие (2.1.1.13), по-иному записанное. Итак, задача управления (2.1.1.8)-(2.1.1.10), (2.1.1.13) будет эквивалентна системе интегральных уравнений второго рода (2.1.1.15), (2.1.1.16) в классе Иоо, если v diam G Ьі min{T, (Ц+ J])-1}. Дальнейшие исследования переносим на систему (2ДЛ.15), (2Л.1.16), которую запишем в операторном виде Здесь А\ и Аі — операторы с областью определения ІКоо, действующие на пару функций {«, /} по правилу, определенному правыми частями уравнений (2.1.1.15) и (2Л. 1.16) соответственно. При этом оператор А непрерывно отображает пространство IK , банахово относительно нормы 11 11«« = 1Н1ясо(Я)+1Нкос(Ох )1 в себя поскольку Ai{uJ] обладает обобщенными производными, принадлежащими пространству Loo(D), как и он сам (в силу условий, наложенных на данные задачи (2.1.1.8)-(2.1 ЛЛО), (2.1.1ЛЗ)). След же его — элемент пространства Ь Г-). А образ Аі{щ /} принадлежит пространству L G X V). Исследуем далее оператор А на сжимаемость. Пусть {wi,/i} и {«2,/2} — Два произвольных элемента пространства іКоо. Рассмотрим разность А2{щ, /і} — Л2{«2, /г}, где Д2 — вторая степень оператора А. Получаем оценку в которой Сті — постоянная, зависящая от V и норм функций Е, J, д в соответствующих пространствах; J = (t cfa am G). Из полученной оценки видно, что при з &2 л/ т.1 + 1 — 1 оператор Д2 будет сжимающим. Тогда, в силу принципа Бапаха о неподвижной точке при v diam G Ь = min{&i, 62}, существует1 единственное решение {щ /} ІКоо системы интегральных уравнений (2.1.1.15), (2.1ЛЛ6), а следовательно, и решение задачи управления (2ЛЛ.8)-(2ЛЛЛ0), (2Л ЛДЗ). Теорема доказана. Поскольку оператор
О локальной разрешимости обратной задачи для нелинейно го уравнения переноса с терминальным переопределением в классе ограниченных функций
В этом параграфе использованы обозначения из 2.1. Мы докажем достаточные условия на размер окрестности, из которой можно брать функцию из условия переопределения, с тем чтобы исходная обратная задача для нелинейного уравнения переноса была однозначно разрешима. Центральным моментом является получение оценки нелинейной части оператора S в задаче (2.1.2.21)-(2.1.2.24) в классе W (D), которая позволит в дальнейшем применить теорему 0,0.0,2. Пусть Х1н открытый единичный шар в Н и Uyn р) — открытый единичный шар в W D); Предложение 2.2.1.4. Пусть u(x,v,t), h(x,v,t) Є Н, (х,и,і) Є D, !!«( «, )11я г, \\u(x,v,t) + h(x,v,t)\\H г. Тогда [S(u+A)-S(u)llwb,(fl) Пусть в трехмерном евклидовом пространстве R3 заданы строго выпуклая ограниченная область G с гладкой границей dG и замкнутая ограниченная область V. В области D = G х V х (О, Г) для функции u(x,v,t) рассмотрим уравнение переноса: «((ж, v, t) + (и, V) u(x, v, t) + S(x, v, і) и(х, v, t) — I J(x7 и, г/, t) и(х, г/, t) dv + F(x, v, t), (3.1.1.1) v где (x,v,t) Є D. Кроме уравнения зададим также начальное и краевое условия: и{х,v,Q) — щ(х7v), (x,v) Є (G х V), (3.1.1.2) u(x,v,t) = 0, (ж,і),і)єГ., (3.1.1.3) где Г_ = 7- х [0,Т] и 7- = {(x,v) Є #G Х V : (17,1) 0}, а пх — внешняя единичная нормаль к границе dG области G в точке х. (7+ соответственно (v, пх) 0). С физической точки зрения уравнение (3.1.1.1) описывает процесс переноса нейтронов в области G, а функция и представляет собой плотность распределения нейтронов в фазовом пространстве G х V в момент времени t Ставится задача определения функции и и F, предполагая, что плотность источников F неизвестна, но имеет следующую структуру: где функции Фи/ заданы, a 7 ) неизвестна. Для определения функции V зададим дополнительную информацию которая с физической точки зрения описывает изменение плотности нейтронов в некоторой окрестности финитной функции и», называемой «аппаратной функцией», характеризующей параметры прибора, которым производится измерение. Задачи (3.1.1.1)-(3.1.1.5) относятся к классу обратных задач теории потенциала [3]. Аналогичные задачи для линейного уравнения переноса рассматривались ранее в работах [5,7,8,25].
Существенным моментом в этих работах является принадлежность к используемым функциональным пространствам производных щ и (и, V)it. В настоящей работе требуется лишь, чтобы к основному пространству принадлежала производная вдоль «полной» характеристики щ 4- (t , V)u. Основным функциональным про странством здесь является пространство LP(G х У), и разрешимость обратной задачи устанавливается в классе функций Здесь и в дальнейшем V — V , C(Xt Y) — множество линейных непрерывных операторов X в Y. Тогда обратная задача (3.1.1.1)-(3.1.1.5) имеет решение и оно единственно в классе и Є О ([0, Г]; LP(G х 1/)), V С[0,Т]. В доказательстве данной теоремы в [18] некоторые промежуточные результаты понадобятся нам в дальнейшем. Имеет смысл их изложить. Введем обозначения: В пространстве LP(G х V) рассмотрим дифференциальный оператор Ли = —(vt V)w, с областью определения Т (Л) {и Є LP(G х V)\(v,V)u Є LP{G x V), u(x,v) — 0 при (x,v) 7-}- Оператор Л является генератором сильно непрерывной подгруппы в пространстве LP(G X V). Определим операторы: элемент «о = «о( г)- Тогда равенства (3.1.1.1)-(3.1.1.4) записываются в виде абстрактной задачи Коши Рассмотрим оператор В : LP(G х V) -» Ж (в данном случае это функцио нал), который задается соотношением: Так как в силу условия (6 ) функция w Є Zy (Gx V) с показателем j/ = rj, то Более того, из предположения (6 ) и формулы Остроградского следует, что замыкание оператора В А удовлетворяет условию: В А C(LP(G х V),l). Соотношение (3.1 Л.5) также записывается в абстрактном виде: Таким образом, обратная задача для уравнения переноса редуцируется к абстрактной обратной задаче (3.1.1.8), (ЗЛ.1.9), (3.1ЛЛ2). Для согласования классов разрешимости нужно рассматривать слабые (непрерывные) решения уравнения (ЗЛЛ.8), т.е. решения интегрального уравнения t u{t) V{t)u0 + fv(t- s)[L!(a)u(a) + L2(s)V{s) + f(s)] ds, (ЗЛЛЛЗ) о где V{t) — полугруппа, порожденная оператором А. Следовательно, доказательство теоремы 3.1.1.14. сводится к разрешимости системы уравнений (3.1.1.12), (3.1.1.13) в классе функций: и Є C([0}T\;Lp{G х V)), VeC([Q,T],R). Из предположений (1)-(7) следует, что операторные функции L\ и
О локальной разрешимости обратной задачи для нелинейного уравнения переноса с интегральным переопределением
В этом параграфе использованы обозначения из 3.1. Мы докажем достаточные условия на размер окрестности, из которой можно брать функцию из условия интегрального переопределения, с тем, чтобы исход пая обратная задача (3.1.2.30)-(3.1.2.34) для нелинейного уравнения переноса была однозначно разрешима. Центральным моментом является получение оденки нелинейной части оператора S в задаче (3.1.2.30)-(3.1.2,34) в классе Хр, которая позволит в дальнейшем применить теорему 0.0.0.2.. Пусть UJJ — открытый единичный шар в Я и Uxp открытый единичный шар в Хр] Cx-)Y — константа вложения X в У. Предложение 3.2.1.6. Пусть u(aj,v,f) Є Н, h(x,v,t) Є H, (x,u,t) Є D такие, что u# г, и+йя г. Тогда 5(и+Л)-5(п)Цл-р #„(г)Ля, где 0v(r) —$ 0 при г - +0. доказать, что 6 (г) равномерно по t Є [0,7] сходится к нулю при г - +0. Заметим, что 0 (г) # (г ) при 0 г г . Допустим, что это не так, положим г& = 1/Аг. Тогда существует є 0 : в„ (fy є V fc, Л В ЭТОМ Случае Существует Mfc, Л& ДЛЯ КОТОРЫХ ВЫПОЛНЯеТСЯ [[Ujfctf , [Wfc + М1# такие, что где Г_ = 7- х [О, Т] и 7- = {(я, v) Є dG х V : (и, п ) 0}, а пж — внешняя единичная нормаль к границе dG области G в точке х {у+ соответственно С физической точки зрения уравнение (4.1.1.1) описывает процесс переноса нейтронов в области G, а функция и представляет собой плотность распределения нейтронов в фазовом пространстве G х V в момент времени t. Ставится задача определения функции и и f, предполагая, что плотность источников F неизвестна, но имеет следующую структуру: где функции Фи/ заданы, a V(t) неизвестна. Для определения функции V зададим дополнительную информацию которая с физической точки зрения описывает изменение плотности нейтронов в некоторой окрестности финитной функции ги, называемой «аппаратной функцией», характеризующей параметры прибора, которым производится измерение. Задачи (4.1.1.1)-(4.1.1.5) относятся к классу обратных задач теории потенциала [3]. Аналогичные задачи для линейного уравнения переноса рассматривались ранее в работах [5,7,8,25]. Существенным моментом в этих работах является принадлежность к используемым функциональным пространствам производных щ и (v,V)u. В настоящей работе требуется лишь, чтобы к основному пространству принадлежала производная вдоль «полной» характеристики щ + (и, V)u. Основным функциональным пространством здесь является пространство L G х7),и разрешимость обратной задачи устанавливается в классе функций Здесь и в дальнейшем V = VXJ (Х, У) — множество линейных непрерывных операторов X nY. В теореме 4.1.1 Л9. условие р 1 можно написать в смысле 1 р со, поскольку доказательство для случая р = со по существу не отличается от случая 1 р со.
В доказательстве данной теоремы в [18] некоторые промежуточные результаты понадобятся нам в дальнейшем. Имеет смысл их изложить. Введем обозначения: В пространстве L GxV) рассмотрим дифференциальный оператор Ли — —(v, V)u, с областью определения Т {А) = {и Є L G х V)(u, V)u Є А»( 2 х V), «(#,v) = 0 при (#,v) 7-} Оператор Л является генератором сильно непрерывной подгруппы в пространстве L G х V). Определим операторы: (4.1.1.6) Введем функцию /( ) = /(, , t) и элемент щ — г о( , )- Тогда равенства (4.1.1.1)-(4.1.1.4) записываются в виде абстрактной задачи Коши Рассмотрим оператор В : LQQ{G Х V) — Ж (в данном случае это функционал), который задается соотношением: Так как в силу условия (6) функция w L\{G х V), то Более того, из предположения (6) и формулы Остроградского следует, что замыкание оператора В А удовлетворяет условию: В А Є CiL G х V),R). Соотношение (4.1.1.5) также записывается в абстрактном виде: Таким образом, обратная задача для уравнения переноса редуцируется к абстрактной обратной задаче (4.1.1.8), (4.1.1.9), (4.1.1.12). Для согласования классов разрешимости нужно рассматривать слабьте (непрерывные) решения уравнения (4.1.1.8), т.е. решения интегрального уравнения «( ) = V(t)u0 +fv{t- s)[Li(s)v{s) + L2{s)V{s) + f{s)\ ds, (4.1.1.13) о где V(t) — полугруппа, порожденная оператором А. Следовательно, доказательство теоремы 4.1.1.19. сводится к разрешимости системы уравне функций: и Є C([0,T\;Loo(G xV)), Ё Из предположений (1)-(7) следует, что операторные функции L\ и 1,2 удовлетворяют условиям: а функция при этом для любого t Є [0,7і] оператор В1 г{і) обратим, и операторная функция (Віз) 1 С([0,Т];(Щ). Далее, задача (4.1.1.1)-(4.1.1.5) сводится к линейной системе интегральных уравнений Вольтерра: Из условий теоремы следует непрерывность функций щ(t) и Vo(t) на отрезке [0, Т], а также сильная непрерывность при 0 s t Т операторных ядер Ji,J2,LuL2. Обозначим ( за W, a (JJ) за W0, оператор М: Заметим, что из того, что n-я степень оператора М (оператора Волтерры) является сжимающим отображением, следует оценка устойчивости: где (q — коэффициент сжатия оператора Мп). Из (4.1.1.13) получим оценку для u(t). Рассмотрим непрерывную функцию от t: Ии Нд схУ). Так как для й — u(xtv),
