Обратные задачи для уравнения переноса Иванков Андрей Леонидович

Содержание к диссертации

ГЛАВА I. Определение коэффициента и правой части
нестационарного многоскоростного анизотропного уравнения
переноса по переопределению в точке и прямые задачи 17

I. Некоторые прямые задачи для уравнения переноса 17

2. Разрешимость обратных задач определения коэффициента
и правой части нестационарного уравнения переноса по
переопределению в точке границы 28

3. Разрешимость обратных задач определения коэффициента и правой части нестационарного уравнения переноса по

переопределению во внутренней точке 40

ГЛАВА 2. Определение коэффициента, индикатрисы
рассеяния и правой части нестационарного уравнения
переноса по переопределению начальным условием и обратная
задача Коши 49

4. Локальная разрешимость обратных задач определения
коэффициентов и правой части нестационарного уравнения
переноса при Т < СО 49

5. Локальная разрешимость обратных задач определения
коэффициентов и правой части нестационарного уравнения
переноса при Т= ОО 59

6. Глобальная разрешимость обратной задачи Коши

для нестационарного уравнения переноса 67

ГЛАВА 3. Некоторые теоремы единственности решения
обратных задач для стационарного и нестационарного
уравнения переноса 72

7. Единственность определения коэффициентов и
правой части нестационарного уравнения переноса по
переопределению на части границы 72

8. Обратная задача определения правой части
стационарного уравнения переноса в классе аналитических
функций 75

9. Единственность определения коэффициента и правой части стационарного уравнения переноса частиц в чисто поглощающей

среде . 82

ЛИТЕРАТУРА 89

Введение к работе

Теория переноса - одна из важных областей современной науки, быстро развивающаяся на основе достижений теоретической и матема-тической физики. Современное состояние теории уравнений математической физики, результатами и методами которой мы будем пользоваться при изучении обратных задач теории переноса, отражено в монографиях [15,16, 21, 41, 57, 77J .

Обратные задачи для уравнения переноса относятся к классу обратных задач для дифференциальных уравнений .

Теория обратных задач для дифференциальных уравнений развита в-работах А.Н.Тихонова, М.М.Лаврентьева, В.К.Иванова, Ю.Е.Аниконо-ва, В.В.Гласко, А.Д.Искендерова, А.Й.Прилепко, В.Г.Романова и других [7, II, 14, 23-25, 30-33, 42-45, 58-60, 64, 65, 67, 68, 72-7б]. Обратным задачам для дифференциальных уравнений посвящены также работы [і, 18, 38, 52, 53, 56, 71, 78, 8l] .

Обратные задачи как правило некорректны, поэтому для их решения часто используются методы теории некорректно поставленных задач, развитые в работах А.Н.Тихонова, М.М.Лаврентьева, В.К.Иванова и других [ЗО, ЗІ, 42-45, 72-76] .

Обратные задачи возникают при исследовании реальных физических явлений в тех случаях, когда требуется определить некоторую характеристику рассматриваемого процесса, непосредственное измерение которой затруднительно или невозможно, по её косвенным проявлениям, т.е. по тем характеристикам явления, которые доступны непосредственному измерению.

Прикладная важность обратных задач для дифференциальных уравнений настолько велика, что они становятся в ряд актуальнейших проблем современной математики.

В диссертации рассматриваются обратные задачи для уравнения переноса, которое описывает процессы, происходящие в ядерном реакторе, рассеяние света в атмосфере, прохождение &" - лучей через рассеивающую среду, перенос излучения в звездных атмосферах и другие физические явления. Линейное нестационарное анизотропное многоскоростное уравнение переноса имеет вид

где \1_Л - область, в которой происходит процесс переноса, область изменения скоростей частиц, Т - время наблюдения. Функции *Z! и 2L_S характеризуют свойства среды, а р -источники излучения. Уравнение переноса /I/ называется односкоростным, если 1І2 - единичная сфера, изотропным, если индикатриса рассеяния 2L 5 зависит только от ос и "b , и стационарным, если Ю- П * П » коэффициенты и правая часть не зависят от времени и отсутствует первое слагаемое в уравнении /I/.

Обратные задачи, которые будут рассмотрены в данной диссертации, состоят в одновременном определении решения прямой задачи и какого-нибудь коэффициента либо правой части уравнения /I/ по условиям, составляющим прямую задачу и некоторому дополнительному условию, которое называется условием переопределения.

Примером пряной задачи для уравнения /I/ может служить задача определения функции It , удовлетворяющей уравнению ./I/, начальному

и граничному

/з/. е(0,Т)*дП<*П_г: С/г*,іг)<0 J

- б -

условиям.

Прямые задачи для уравнения переноса ,в различных видах и геометриях изучались в работах В.С.Владимирова [l9, 20] , Т.А.Гермогеновой [22] , К.Кейза и П.Цвайфеля [37J , Ю.А.Кузнецова и С.Ф.Морозова [39, 40J , М.В.Масленникова [49] , У.М.Султангази-на [70] , С.Б.Шихова [79] , К.Йоргенса [8б] , А.Дуглиса [84 ] , К.В.Пао [88, 89 J , а также в работах [35, 51, 82, 85, 92] и в монографии [бб стр. 410-413J . Численным методам решения прямых задач для уравнения переноса посвящены монографии [48] и [б9] .

Первые постановки обратных задач для уравнения переноса были даны в работах Г.И.Марчука и А.И.Прилепко [46, 47] и [61] соответственно.

Обратные задачи для уравнения переноса в плоско-параллельной геометрии изучались в рабртах [l7, 34, 36, 71, 90, 9і] . В работе М.В.Масленникова [49J исследовались обратные задачи асимптотической теории переноса. Обратным задачам рассеяния для уравнения переноса посвящены статьи [55] и [80] . В докладе [83І дан отчет о Седьмой международной конференции по теории переноса, на которой наряду с другими вопросами рассматривались обратные задачи теории переноса в -плоской геометрии.

Прямые и обратные задачи для других видов кинетических уравнений , а уравнение переноса относится именно к кинетическим уравнениям, изучались в работах [2, 8, 9, 12, I3J .

Исследование многомерных обратных задач для стационарного уравнения в произвольной геометрии было впервые проведено Д.С.Ани-коновым в работах [з - 6J , в которых исследуются обратные задачи определения правой части и коэффициентов стационарного уравнения переноса. В этих работах выделены классы единственности решения обратных задач и разработаны методы доказательства соответствующих теорем единственности.

Диссертация посвящена исследованию обратных задач для нестационарного и стационарного уравнений переноса. Проведенное в диссертации исследование обратных задач может найти применение в таких областях, как диагностика материалов, легирование материалов, физике защиты реакторов и других.

Диссертация содержит три главы, каждая из которых состоит из трех параграфов. Нумерация параграфов и формул в диссертации сквозная. Нумерация теорем сквозная в пределах одной главы. Ссылка на теорему без указания номера главы, в которой находится теорема, означает, что теорема относится к той главе, в которой делается ссылка.

Первая глава диссертации посвящена изучению обратных задач определения правой части и коэффициента 2L уравнения /I/ по переопределениям в точках _Г2₁ . Во второй главе рассматриваются аналогичные задачи и задачи определения функции Zl_s ^{с пе}Р^е~ определением начальным условием /2/ и обратная задача Коши. В третьей главе изучаются вопросы единственности определения коэффициентов и правой части как нестационарного,, так и стационарного уравнений переноса.

Прежде, чем перейти к изложению результатов диссертации по главам, отметим некоторые общие ограничения. Будем предполагать, если особо.'Не оговорены иные условия, что ІІ.) - ограниченная строго выпуклая область из () с границей класса С » Q₂ " ограниченная область в Я2 или (И-4)-мерная поверхность класса С / в этом случае интеграл' в уравнении /I/ понимается как поверхностный/.

Перейдем к обзору содержания глав диссертации.

В первой главе диссертации рассматриваются обратные задачи определения коэффициента и правой части уравнения /I/ по переопределению

^иа,х₀₎^іг_о^)=у:(і)₁ ^{tecoj) /4/}

в точке (cc_0tv₀)e ЪЛ^й₁₉ (п>ъ,1Г₀)>0

и по переопределению

U,(-t,oc₀,v) = JC(i,v) , &,v)e6-(0,T)*n_z ^/5/

в точке СС₀ П_і

В первом параграфе рассматриваются прямые задачи определения решения К, из условий /І/-/3/; из условий /I/ и

U(t,x,v)= (t,x,v) , tt,x,v) q. =

In/

при T= OO ; из условий /1/,/6/ и "конечного" условия

U(T₉ x,v) - JC(x,nr) , (*,itfв Л ; /7/

а также прямая задача Коши определения функции. It из условий /1/,/2/ в случае fl₁ — (й . Доказательства теорем существования и единственности решения прямых задач приводятся полностью, так как при исследовании обратных задач нам понадобятся некоторые утверждения и формулы, приводимые в этих доказательствах. Для того, чтобы привести формулировку одной из теорем, введем следующие классы функций:

^{ф)= ыав- |f е сад cj}_r^{/)=f иесш:}

^|и(і_>3^с₊^«,,)|_5=оЄ^{сш},с^(Ф)=с>пс;}_г^,сФ).

ТЕОРЕМА. I Пусть^ Ч*С+ i^Cvaiad ^на замыкании своих областей определения,Z f С, ftD)U СготплСФ) ^и выполнены условия согласования

У(*,іг)^в^0,ас,іг), (х,1г)еЪП^П₂₉ (n_Xfv)<0 ^х fvW+ F(0,x,v;, (3c,ir)e&2<*12₂, (л_л, vj < 0

тогда существует единственная функция It Є С. _1Г__гас/СФ^ ^и удовлетворяющая условиям /1/,/2/,/3/.

Во втором параграфе доказывается глобальная разрешимость, т.е. глобальная теорема существования и единственности решения обратной задачи определения пары функций ( UCtjX,!/") , F(t,,v)=

= #(t)Q(t,X,ir) + /2(t,X,ir^ , где функции 0. и R, заданы, из условий /I/-/4/ при выполнении определнных условий согласования. Для обратной задачи определения пары функций (U(-fc,CC,v)₉ 1(Ь,Х^=б&)Ш&р)+&(к1Х_чк) , где функции CL и R, также заданы, доказана следующая теорема

ТЕОРЕМА 6 Пусть Z_S9f С[ Оі^^уапші ^{на замыкании св}-их областей определения,/^BeС^)СС^СФ) , lQ,(t₇X_0}V₀)X(i)l> ЗД^О на С0,Т) . В этих условиях найдется такое число Ct , что при T

W«,v;= no,x,v), (x,v)e дП^Пі, (rix,v)<0 ;

* y(%o,v^l)dv'-&(0,к₀,%)У(х_Оі%) - F(O,x_0lv₀)]* 0.(0 cc.v) <-PCce If) г

+ F(0,ar,ir;, Сх,1г)еЪП^П₁₉ (n_X9os)<0

существует единственная пара функций

удовлетворяющая условиям /I/-/4/, причем имеет место глобальная единственность решения обратной задачи, т.е. при любом Т>0 не может быть двух различных пар функций, удовлетворяющих условиям /I/-/4/ из класса С^щ^СЮ) * C(L 0,Т])

В дальнейшем функции Q и R, считаются заданными и мы не будем это оговаривать в каждом случае отдельно.

В третьем параграфе рассмотрены две обратные задачи определения пары функций (U(t,X,tfJ, F(l,x,v)= f(t,v)Q(t,»,v)+ fl(t,x,v)) и пары функций (tC(-t,oc,v),Z(t,oc_;v)=6(t,v)(2(t,a:,i;_/} + ^(t,a:,ir)) из условий /1/-/3/,/5/. Для первой задачи доказана глобальная разрешимость, а для второй - теорема локального существования и глобальной единственности решения. Оба утверждения доказаны в предположении выполнения определённых, для каждой задачи своих,условий согласования. Приведем точную формулировку теоремы о глобальной разрешимости первой задачи.

ТЕОРЕМА 7 Пусть Z_s, У Є С\. , й^С^а^сС на замы-

кании своих областей определения, ^ ^(Ф^Ц^^Ой),), 0<0,$ ^ lQ(t,X₀,i;)l на Q и выполнены условия согласования

JC(0,v) = №₀,ir;, vel_z;

WW) = f (0, X,V)_f (х,іг)е ЪП<*Пг , Cn_x,v) < 0 ; %(0,x,ir) + Vflwd4>(x_fv) = -Z(0,x,v)Wx,v) + SZ_S (0,х₀,ігУ)>

Тогда существует единственная пара функций (U, X)& ^^дгас(^)^{х х} C(G) і удовлетворяющая условиям /1/-/3/,/5/.

Бо второй главе рассматриваются обратные задачи определения коэффициента, индикатрисы рассеяния и правой части уравнения /I/ по переопределению начальным условием /2/ и переопределению начальным условием при фиксированном V^s % ⁶ ±*z

и обратная задача Коши для уравнения переноса /I/.

- II -

В четвертом параграфе доказывается локальная разрешимость обратной задачи определения пары функций С U(t,,ir) _f F(t,5C,U") = fC0C,tr)QCt,5C,V) + Й(t,3C,v)) из условий /1/,/2/,/5/,/6/ и локальная разрешимость ещё двух задач в классе функций, ограниченных по норме определенным числом. В первой из них необходимо определить

пару функций (u(t₄x,v)₉Z(t,x,v-)=6(x,v)Q(t,x,v) + R(t,x,ir))

из условий /1/,/2/,/5/,/6/, а во второй - пару функций(16tt,X,v) Z_s(t,ОС,V^-e^X^Qit^^) ⁺ R>{ip№if') из тех же условий. В каждой теореме требуется выполнение определенных условий согласования. Приведем точную формулировку теоремы о локальной разрешимости последней обратной задачи этого параграфа.

ТЕОРЕМА 3 Пусть Q_? ,9^ Є С. , 9ЄC^axad ^на замыкании

своих областей определения, 7L, VC_±()UCjL_Tae((3)) > 0

и выполнены следующие ус-ловия согласования:

fi(x,v)=_fv)dQ.^a_if (n_x,ir)>0; 9{х,ф _г9 (n_x,v)>0;

Тґг\ W„ \ су л ^0^^,^) $(*&№

^{2-(0,х,к)У(х^)- F(0,x, ; +}

+ F(T,x,v), (ос,іг;еїД*Д, (n_x,v)>0

Тогда найдется такое число (X , зависящее от данных задачи, что при с/< а существует пара функций 0>6,6_s)eC_t ,,-^(3)) * * C(fl) і удовлетворяющая условиям /1/,/2/,/6/,/7/. В классе

функций ШН(Щб_$)еС^т'СШ):Іиі^_т^,Іб_$і_с{3)^ } .

где г1>0, при достаточно малом 01 решение рассматриваемой задачи единственно.

В пятом параграфе рассматриваются обратные задачи для уравнения /I/ при Т = оо . Для обратной задачи определения пары

функций(u(t,аз,tr), F(t,x,v)= ^)Q(t,,V") +(t,oc,ir)) из условий /1/,/5/,/8/ доказана локальная теорема существования и единственности. Для обратной задачи определения пары функций (U(t,ОС ,1Г), Z!Ct,OC,v)=6(x)Q(t,X,v)+R,(i,x,'ir)) из тех же условий доказана локальная разрешимость в классе функций, ограниченных по норме определенным числом. Точная формулировка теоремы о локальной разрешимости первой обратной задачи этого параграфа выглядит так:

ТЕОРЕМА 4 Пусть Z_S,Q,^ Є $ , У^С^тші. ^{на за}"
мыкании своиз областей определения, ZL_fR, Є Зд^(^им^ашдСФ) и
I Q.C0, Х,1Г₀)| ^ ^ > 0 на Сі і . Тогда найдется такое число

d , зависящее от данных задачи, что при d< d и выполнении условия согласования

Ш,х,%) = Кх), хеЩ ,(n_x,v-₀)>0, ^

существует единственная пара функций (и, )Є й^д_гас{()^ЛС(і1/) , удовлетворяющая условиям /1/,/6/,/8/.

В этом же параграфе сформулированы теоремы о локальной разрешимости в определенных классах функций обратных задач , рассмотренных в четвертом параграфе, если их решения определять из условий /1/,/2/,/5/ при Т-ОО . Поясним, что класс функций tjo^itfj) отличается от класса функций С±(<и) тем, что от функций из класса (So±(ffD) дополнительно требуется ограниченность самих функций и соответствующих производных. То же самое относится к классам Jo("JJ),

^irgxod^ и т. п.

В шестом параграфе обратные задачи изучаются в предположении, что S1j[ — /В . Переопределение задается на плоскости

(х?, ,х,,х^, ,оО-суил*е^~* «^я(^, ,х_п);

Y=(.tf, ,сс) - фиксирован.

и(і,^,^,іг)-/(ід,і/), (t,%,r): (0,7>Jfc^rl"*^Q«G /9/

- ІЗ -

Для того, чтобы привести ограничения обратной задачи определения пары функцийС^Сі,{»,іг),Г(і,ас,іг)^в^№,2,и)0.(і,х,і;)+ R,Lt,x,v) из условий /1/,/2/,/9/, введем класс функций

и приведем формулировку глобальной теоремы существования и единственности для этой обратной задачи, которая доказана в 6.

ТЕОРЕМ 9 Пусть функции Z,Q., Є S&L (2D), Z_sG@ty%(35*

на Gr и выполнено условие согласования

то существует единственная пара функций (U,f) (й«₂()П^(9))/^я *$*((?) » удовлетворяющая условиям /1/,/2/,/9/. Как следствие теоремы 9 получены теоремы единственности для обратных задач определения коэффициента 2- и индикатрисы -2і₅ » которые ищутся в виде, аналогичном виду р в теореме 9.

В седьмом параграфе рассмотрена обратная задача определения пары функций(^(^,^^,0:,^)== ^(х,^й(^1Г)+й№,Ж,1Г) , где Ц^С^Ш/, Iv^C^CSJUC^^CSy - известны, a f - искомая, из условий /I/-/3/ и условия переопределения

ТЕОРЕМА! Пусть 2.^ Сщ^ШиС^Ш ,І^,УєС{ ^V

на замыкании своих областей определения, У^Су^А

(П.) . Тогда

при достаточно малых <х< <о , do зависит от данных задачи, решение задачи /I/-/3/ с таким условием переопределения единственно в классе функций С^_гйс^(Й)) ^х С(Г2) , если IQ,(0,C,V)/^^ >0 на

^{л .}

Как следствие теоремы получены теоремы единственности решения обратных задач определения коэффициентов из тех же условий в аналогичном виде.

В восьмом параграфе рассматривается обратная задача определения пары функций (y(cc,S), F(x,S)= *[<&)) , удовлетворяющей односкоро-стному изотропному стационарному уравнению переноса

⁺ F(*,s), (x,s)eG*Q. ^/I0/

граничному условию

%ад=0, ccc,s) C={(»,5;6?e*ii: C^,s;<0 ] /n/

и условию переопределения

9(K,s) = ^Cx,s;,(oc,s)er;^e{(x,s)e?&*n:(^,s;

где -Ті- - единичная сфера в (R- , Si2 , А - параметр.

Прямая задача определения функции 9⁷ из условий /10/,/II/ исследовалась в работах В.С.Владимирова [J9, 20] , в которых при весьма общих ограничениях на данные задачи доказаны теоремы существования и единственности решения.

Обратная задача, которая рассматривается в восьмом параграфе, уже изучалась в работе Д.С.Аниконова^З^ , где доказана теорема единственности в классе аналитических функций в предположении линейности функции (X и малости параметра % . Теорема единственности 8 обобщает основной результат работы |_3 J . От функции (X, требуется аналитичность в Q , а % предполагается не принадлежащим множеству характеристических чисел некоторого интегрального оператора._чОтметим, что результаты и методы работы существенно используются при доказательстве теоремы единственности 8.

В 9 рассматриваются две обратные задачи для уравнения /І/ в случае чистого поглощения, т.е. в случае 0=0

Для задачи определения функции (L к классе кусочно-аналитических функций и функции ^ методом квазимонотонности Ю.Е.Ани-конова [7, icf] доказана теорема единственности при определенных условиях, наложенных на функцию р

Доказана также теорема единственности определения правой части F(X,S)=;f (0C)Ck(S)'+ (x)ty_z(S) при определенных условиях на заданные функции % ^ %

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [26 ] -[29 J , [62] » [63] ^ совместных работах [62] и [63] А.Й.Прилепко принадлежит общая идея постановок обратных задач, которые рассмотрены во второй главе диссертации. К идее рассмотрения обратных задач в классе функций С^^^С) и общей схеме исследования этих задач авторы работы [62] пришли одновременно. То же самое относится и к первой части работы [63] , обратные задачи для уравнения теплопроводности, рассмотренные во второй части этой работы в диссертации не приводятся. Доказательства всех теорем проведены автором самостоятельно.

Результаты диссертации докладывались:

1. В МИАНе им. В.А.Стеклова на семинаре, руководимом чл.-корр. АН СССР А.В.Бицадзе.

2. В МГУ им. М.В.Ломоносова на семинаре, руководимом профессором В.А.Ильиным и профессором Ш.А.Алимовым.

3. В ВЦ СО АН СССР на семинаре, руководимом профессором В.Г.Романовым.

4. В МИШ на семинаре, руководимом профессором А.Й.Прилепко.

5. На ІУ Всесоюзном семинаре "Обратные задачи и идентификация процессов теплообмена". Москва, 1982 г.

6. На Третьей школе молодых ученых Сибири и Дальнего Востока. Новосибирск, 1983 г.

7. На Всесоюзной школе-семинаре по теории некорректных задач и их приложениям. Самарканд, 1983 г.

НА ЗАЩИТУ ВЫНОСЯТСЯ СЛЕДУЮЩИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ: I. Теоремы о разрешимости обратных задач определения коэффициента 2— и правой части F уравнения /I/ по переопределе-

ниям в точках.

2. Теоремы о разрешимости в малом обратных задач определения коэффициента 2L » индикатрисы 2L_S и правой части F уравнения /I/ по переопределению начальным условием /2/ и условием /8/.

3. Теорема о разрешимости обратной задачи Коши.

4. Теорема единственности решения обратной задачи определения правой части F уравнения /I/ по переопределению на части границы при малых d

5. Теорема единственности решения обратной задачи определения правой части F стационарного уравнения переноса /10/ в классе аналитических функций.

6. Теоремы единственности решения обратных задач определения коэффициента & и правой части F стационарного уравнения переноса /10/ в чисто поглощающей среде.

Автор пользуется случаем выразить глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Алексею Ивановичу Прилепко за постоянное внимание, всестороннюю поддержку и помощь в работе.

Похожие диссертации на Обратные задачи для уравнения переноса

Задачи управляемости для нелинейных уравнений переноса Хамди Набил

Задачи управляемости для модифицированного уравнения переносаАбдел Басет Исмаил Ахмед

Исследование нелинейной асимптотической устойчивости состояния равновесия для системы моментных уравнений переноса заряда в полупроводникахБушманов Роман Сергеевич

Определение коэффициента ослабления уравнения переноса при разрывном типе источникаПрохоров, Игорь Васильевич

Интегрируемость по Пенлеве систем нелинейных дифференциальных уравнений с приложениями к теории переноса Баландин Сергей Павлович

Аналитические исследования нелинейных задач уравнения теплопроводностиХакимова Олима Хафизовна

Исследование локальных бифуркаций дифференциальных уравнений задач небесной механикиБеликова, Оксана Николаевна

Спектральные вопросы задачи Франкля для уравнения смешанного типа и разрешимость аналога этой задачи для уравнения ГельмгольцаАмбарцумян Ваграм Эдвардович

Решение методом интегральных уравнений контактных задач для параболических уравненийШевелева, Виктория Николаевна

Смешанные краевые задачи для уравнения Лапласа вне разрезов на плоскости Сгибнев Алексей Иванович