Содержание к диссертации
Введение
1 О базисности собственных функций видоизмененной задачи Франкля . 35
1.1 Собственные значения и собственные функции видоизмененной задачи Франкля с нелокальным условием сшивания второго рода 35
1.1.1 Постановка видоизмененной задачи Франкля 35
1.1.2 Нахождение общего решения уравнения (1.1) 36
1.1.3 Нахождение собственных значений и собственных функций поставленной задачи 39
1.2 О базисности собственных функций задачи Франкля с нелокальным условием четности второго рода 43
1.2.1 Постановка видоизмененной задачи Франкля 43
1.2.2 Нахождение собственных значений и собственных функций задачи 44
1.2.3 Полнота возникшей в собственных функциях системы синусов в Lp(0, |), р > 1 45
1.2.4 Базисность Рисса системы собственных функций в L2(D+) 46
1.3 О базисности собственных функций задачи Франкля с нелокальным условием нечетности второго рода 53
1.3.1 Постановка видоизмененной задачи Франкля с нелокальным условием нечетности второго рода 53
1.3.2 Нахождение собственных значений и собственных функций задачи 54
1.3.3 Полнота, базисность системы синусов, возникших в собственных функциях 55
1.3.4 Базисность системы собственных функций в 2(-^+)- 61
1.3.5 Исследование задачи при нулевых значениях параметров 63
2 Разрешимость некоторых нелокальных краевых задач для гармонических функций в полукруге . 64
2.1 О разрешимости нелокальной краевой задачи с равенством потоков на части границы и сопряженной к ней задачи 64
2.1.1 Постановка задачи 64
2.1.2 Единственность и существование решения 65
2.1.3 Интегральное представление решения 66
2.1.4 Полнота, базисность систем типа Самарского-Ионкина в различных пространствах 67
2.1.5 Постановка сопряженной задачи. Единственность и существование решения, интегральное представление решения 80
2.2 О разрешимости нелокальной краевой задачи с противоположными потоками на части границы и сопряженной к ней задачи 84
2.2.1 Постановка задачи 84
2.2.2 Единственность и существование решения 84
2.2.3 Интегральное представление решения 86
2.2.4 Полнота, базисность систем типа Самарского-Ионкина в различных пространствах 88
2.2.5 Постановка сопряженной задачи. Единственность, существование, интегральное представление решения 98
3 Разрешимость некоторых нелокальных краевых задач для уравнения Гельмгольца в полукруге . 102
3.1 О разрешимости нелокальной краевой задачи для уравнения Гельмгольца с равенством потоков на части границы и сопряженной к ней задачи 102
3.1.1 Постановка задачи 102
3.1.2 Единственность решения задачи (3.1)- (3.5) 103
3.1.3 Существование решения задачи (3.1)- (3.5) 105
3.1.4 Постановка сопряженной задачи. Единственность, существование решения 111
3.2 О разрешимости нелокальной краевой задачи для уравнения Гельмгольца с противоположными потоками на части границы и сопряженной к ней задачи 115
3.2.1 Постановка задачи
3.2.2 Единственность решения задачи (3.37)- (3.41) . 116
3.2.3 Существование решения задачи (3.37)- (3.41) 117
3.2.4 Постановка сопряженной задачи. Единственность, существование решения 124
Литература 127
- Нахождение собственных значений и собственных функций поставленной задачи
- Полнота, базисность систем типа Самарского-Ионкина в различных пространствах
- Полнота, базисность систем типа Самарского-Ионкина в различных пространствах
- О разрешимости нелокальной краевой задачи для уравнения Гельмгольца с противоположными потоками на части границы и сопряженной к ней задачи
Введение к работе
Актуальность темы. Теория краевых задач для уравнений смешанного типа является одним из важных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными.
Впервые задача для уравнения смешанного типа была рассмотрена С.А.Чаплыгиным приминительно к проблеме течения потока газа. В ней были изучены частные решения следующего уравнения
где коэффициент К (а) монотонно возрастает, положителен при а > О (дозвуковая скорость) и отрицателен при а < 0 (сверхзвуковая скорость); таким образом, при переходе из дозвуковой области в сверхзвуковую уравнение изменяет тип с эллиптического на гиперболический.
Фундаментальное значение для последующего развития теории уравнений смешанного типа имела опубликованная в 1923г. работа Ф.Трикоми1. В этой работе была поставлена краевая задача для уравнения
уихх + иуу = 0 (2)
в области, ограниченной при у > 0 простой дугой Жордана Г с концами в точках А(0,0) и 5(1,0), а при у < 0 - характеристиками уравнения (2), выходящими из точек А и В и пересекающимися в некоторой точке С, при этом граничные значения заданы на Г и на характеристике АС. Трикоми доказал существование и единственность решения этой задачи. Обобщение результатов Трикоми на случай уравнения
sign{y)\y\muxx + uyy = 0, т > 0, (3)
было сделано Геллерстедтом; кроме того, им была построена функция Грина для решения задачи в эллиптической части области.
В 50-ых годах прошлого века А.В. Бицадзе и МА. Лаврентьев предложили рассматривать модельное уравнение смешанного типа
sign{y)uxx + Uyy = 0. (4)
1Трикоми Ф. О линейных уравнениях в частных производных второго порядка смешанного типа. М. 1947.
Одним из преимуществ, которые возникают при рассмотрении модельного уравнения (4) вместо уравнения (3), является возможность применения теории функций комплексного переменного. Это позволяет рассматривать решения задач в терминах аналитических функций и использовать при построении решений хорошо разработанную теорию краевых задач для таких функций.
Ф. И. Франкль доказал единственнность решения краевой задачи для уравнения (1) при некоторых ограничениях на коэффициент К (а). Франклем была поставлена задача для уравнения (1) в области, граница которой в гиперболической части отходит от характеристики внутрь области, причем граничные значения заданы на этом участке границы и на дуге, ограничивающей эллиптическую часть области. Франкль доказал единственность решения данной задачи, а также существование в случае, когда нехарактеристический участок границы достаточно близок к характеристике.
В 1956 году Ф. И. Франкль предложил смешанную задачу для уравнения Чаплыгина (1) с нелокальным условием
u(0,y)-u(0,-y) = f(y), -1<у<1.
Доказательство единственности и существования решения поставленной задачи можно найти в монографии А. В. Бицадзе2.
Новые краевые задачи для уравнений смешанного типа, в том числе задачи для неоднородного уравнения, задачи для уравнений смешанного типа второго рода, задачи со спектральным параметром, были поставлены и изучены в работах многих авторов К.И. Бабенко, В.Н. Врагова, И.М. Гельфанда, Т.Д. Джураева, А.Н. Зарубина, В.А. Ильина, Н.И. Ионкина, Т.Ш. Кальменова, Н.Ю. Капустина, А.С. Макина, Е.И. Моисеева, A.M. Нахушева, А.А. Полосина, А.В. Псху, К.Б. Сабитова, М.С. Салахитдинова, А.П. Солдатова, C.S. Morawetz, М.Н. Protter.
Спектральный метод является одним из наиболее эффективных методов исследования задач математической физики. Изучение спектральным
2Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных. Москва "Наука", 1981
методом нелокальных краевых задач математической физики позволяет исследовать корректность постановки задачи, выявить структурные свойства решений и дает возможность получения точных априорных оценок решений.
Спектральные свойства задач для уравнения смешанного типа активно изучались с 80-ых годов прошлого столетия. СМ. Пономарев выписал собственные функции задачи Трикоми для уравнения Лавреньтева-Бицадзе (4) и доказал их полноту в эллиптической части области, являющейся круговым сектором. Е. И. Моисеев доказал базисность этой системы и, используя свойство базисности, построил спектральный метод решения краевых задач для уравнений смешанного типа. В частности, для уравнения (4) решения удалось получить в виде ряда в некоторых специальных областях, также были получены интегральные представления решений. Для уравнения (4) решения были получены в виде ряда.
Полнота собственных функций задачи Геллерстедта для уравнения Лавреньтева-Бицадзе была доказана К.Б.Сабитовым и А. Н. Кучкаровой. Полнота собственных функций задач Трикоми, Неймана-Трикоми, Геллерстедта для уравнения
\у\т+1ихх + уиуу + quy + Х\у\т+1и = О, q < 1, т > -2. (5)
была доказана Е. И. Моисеевым и Ф. Могими3 при условии т + 2q > 0.
Спектральные вопросы видоизмененной задачи Франкля для уравнений смешанного типа начали рассматриваться относительно недавно в работах Е. И. Моисеева и его учеников. В частности, вопросами полноты, базисности собственных функций в эллиптической части области видоизмененной задачи Франкля с условием сшивания первого рода занимался Н. Аббаси4.
Цель работы. Целью работы является исследование вопросов полноты, базисности и минимальности собственных функций видоизмененной задачи Франкля с условием сшивания второго рода в зависимости от
3 Могими Ф. Мохаммад Багер. Спектральные свойства задачи Геллерстедта и связанных с ней двух задач для вырождающегося уравнения смешанного типа. Дисс. к. физ.-мат. наук. — М., 2005.
4Аббаси Н. Спектральные вопросы задачи Франкля для уравнения смешанного типа. Дисс. к. физ.-мат. наук. — М., 2009.
параметра задачи. Также целью является изучение свойств полноты и базисности систем типа Самарского-Ионкина в различных пространствах и, далее, доказательство единственности и существования путем построения аналитического решения нелокальных краевых задач в полукруге для операторов Лапласа и Гельмгольца, являющимися аналогами задачи Франкля.
Методы исследования. Собственные функции видоизменной задачи Франкля с нелокальным условием сшивания второго рода выписываются с помощью метода разделения переменных с использованием функций Бесселя. Базисность Рисса, полнота, минимальность собственных функций задачи исследуются с помощью теорем о базисности систем синусов и косинусов в пространстве Lp: а также с использованием свойства ортонормированности системы функций Бесселя, являющейся решением соответствующей краевой задачи. Полнота и базисность в различных пространствах систем типа Самарского-Ионкина были изучены с привлечением свойств полноты и базисности синусов и косинусов в соответствующих пространствах. С помощью доказанных свойств систем типа Самарского-Ионкина было получено решение в явном аналитическом виде различных нелокальных краевых задач в полукруге для уравнений Лапласа и Гельмгольца. Единственность нелокальных краевых задач для уравнения Лапласа была доказана с помощью принципа максимума и принципа Зарембы-Жиро. Единственность нелокальных краевых задач для уравнения Гельмгольца в полукруге была доказана построением функции Грина, применением второй формулы Грина и теории Гильберта-Шмидта для самосопряженных положительно определенных операторов.
Научная новизна. В первой главе построено решение видоизменной задачи Франкля с нелокальным условием сшивания второго рода. Далее, при четном и нечетном условии сшивания изучен вопрос базисности Рисса, полноты, минимальности соответствующей системы собственных функций в пространстве L,2(D+) в эллиптической части области в зависимости от параметра (коэффициента зависимости) задачи. Показано
также, что при нулевом коэффициенте зависимости в гиперболической части области решение становится тривиальным, а в эллиптической части полученные собственные функции образуют базис Рисса, что согласуется с общим результатом. Ранее была изучена видоизменная задача Франкля с нелокальным условием сшивания первого рода.
Во второй главе изучены полнота и базисность систем типа Самарского-Ионкина в пространствах С[0,7г]; Ьр[0,тг] р > 1; И^[0,7г], р > 1, / Є N. Ранее аналогичные системы были изучены в L2[0,7r] и Lp(K), р > 1, где К—любой компакт интервала (0,7г). На основе полученных результатов получено в аналитическом виде классическое решение некоторых нелокальных краевых задач для оператора Лапласа в полукруге. Кроме того, была доказана единственность этих задач.
В третьей главе изучены различные нелокальные краевые задачи для уравнений Гельмгольца в полукруге. Были найдены условия единственности. На основе доказанных свойств систем типа Самарского-Ионкина и асимптотики производной по порядку функции Бесселя при больших значениях порядка построено в аналитическом виде классическое решение поставленных задач. Удалось доказать, что при четном нелокальном условии суммирование собственных и присоединенных функций можно произвести независимо друг от друга.
Практическая и теоретическая ценность работы. Полученные результаты и предложенные методы исследования представляют теоретический интерес и могут быть использованы в спектральной теории нелокальных краевых задач для уравнений математической физики.
Апробация результатов работы. Основные результаты, приведенные в диссертации, докладывались и обсуждались на научном семинаре кафедры функционального анализа и его применений факультета ВМК МГУ имени М.В. Ломоносова, а также на конференции "Тихоновские чтения"в октябре 2009 года.
Публикации. Основные результаты работы подготовлены и оформлены в трех статьях ([1]-[3]) в изданиях, рекомендованных ВАК.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, разбитых на разделы, и списка литературы. В работе использована сквозная тройная нумерация теорем, лемм, замечаний, следствий, в которой первая часть номера соответствует номеру главы, вторая часть указывает на номер раздела в главе, а третья - на номер в разделе. В формулах использована сквозная двойная нумерация: номер главы, номер формулы. Список литературы состоит из 44 наименований. Общий объем диссертации составляет 131 страниц.
Нахождение собственных значений и собственных функций поставленной задачи
В данном разделе рассматривается краевое условие второго рода на интервалах (—1,0) и (0,1) оси OY, для которых производные функции по у на каэюдом из этих интервалов связаны линейной зависимостью. Доказано, что если коэффициент зависимости больше —1 (коэффициент не может равняться 0, иначе задача вырождается), то система собственных функций задачи образует базис Рисса в эллиптической части области. При доказательстве основной теоремы были исследованы базисность, полнота, минимальность одной системы синусов, что может представлять самостоятельный интерес.
Найти функцию и(х,у) Є C{D+ U _) П C2(D+) П С2( _), удовлетворяющую в D+ U D- уравнению ихх + sign(y)uyy + fj?sign(x + у)и = 0, (1-12) и условиям Г 7Г1 и(1, в) = 0, О Є 0, — - в полярной системе координат, (1-13) LA и(0,у) = 0, у Є [-1,1], (1.14) дії ди (0,?/) = (0,-7/), у Є (0,1), xeR\0, (1.15) х lim иу(х,у) = lim uy(x,y), x Є (0,1), (1-16) где D+— область в верхней полуплоскости, ограниченная окружностью 7= {(ж,2/) :х2 + у2 = 1} и сегментом [0,1] оси Оу, а ГЛАВА 1. Задача Франкля 44 D- — D-i U D-2 область в нижней полуплоскости, где D_i ограничена характеристиками у = х-1, У — —Х и сегментами [0,1] оси Ox. -D-2 ограничена характеристиками У = Х-1, У=-Х и сегментом [—1, 0] оси Оу. 1.2.2 Нахолсдение собственных значений и собственных функций задачи Теорема 1.2.1 Собственные функции и собственные значения задачи (1.12)- (1.16) можно представить в виде двух серий. В первой серии собственые значения р,пк находятся из уравнений ЛпЫ) = 0, п = 1,2,3---, : = 1,2,3---, (1.17) Ja(z) - функции Бесселя [5, с. 12], а собственные функции определяются формулой 7Г unk(r, в) = AnkJ4n(jj,nkr) sin4п(--в) в D+, (1.18) ипк(р, Ф) = -AnkxJAniVnkp) sh Апф в D_i, unk(R,ip) = Ank JAni nk shAmp в Г _2, і гдеАпк = (J Jln{nnkr)rdrj 2 и z = rcos6 , y = rsin9, 0 г 1, O 0 в D+, (1.19) х = рсЪф, у = рБЬ.ф, 0 р 1, — со ф 0 в D-i, x = Rshcp, у — — Rch.(p, 0 R 1, 0 cp oo в D_2. Во второй серии собственные значения Jink удовлетворяют уравнениям Л+4(п-Д)(Д ) = 0, 71 = 0,1,2---, = 1,2,3---, (1.20) ГЛАВА 1. Задача Франкля где A = arcsin . 2, Д є (—, ) \ 0, а соответствующие им собственные функции имеют вид 7Г unk(r,6) = AnkJan{Jinkr) sino;n(- -в) в D+, (1.21) 2лг , . ж2 - 1 -— ch апф - Х-1Г— + 1 и + unk(R, ф) = AnkycJan{JinkR) sh апір в D_2, un (p» Ф) = AnkJan{Vnkp) (—о"-г ch«nV _ 2,1 sn ) e -ь Vx + 1 x"z + 1 / где Ank = (/ Jln{flnkr)rdrj \ an = 2 + 4(n - Д). 1.2.3 Полнота возникшей в собственных функциях системы синусов в Lp(Q, ), р 1 Теорема 1.2.2 Система функций sin4n(- - 0) } , {sin[2 + 4(п - Д)] (- - 0) }п=о полна в пространстве Lp(0, ), р 1 при Д — , Д \ + & Є N, то есть если /(0) Є Ьр(0, f), р 1 и /" /(0) sin 4гс( - 0)d0 = О, п = 1, 2,3, , (1.22) о У /(0) sin [2 + 4(п - Д)] ( - 0)d0 = 0, п = О,1, 2, , о тоо /(0) = 0 в Lp(0, ), р 1. Доказательство. Пусть J /(0) sin4n( — 0)d0 = О, п = 1, 2,3, , разобьем интеграл на о два от 0 до J и f до f. Во втором интеграле сделаем замену ip — 5 — 0, ГЛАВА 1. Задача Франкля получим 2 4 0= f f(O)sm4n( -0)dB= //(0) sin4n( - 0)d0+ 4 /( - p) sin 4n / dp = J (/( -0)- /(0)) sin 4n0, Система синусов {sin4n0} ,, согласно работе [20], образует базис на kp(O) І) Для Ур 1 поэтому /(0) = /( — 0). Далее, используя полученное условие, рассмотрим равенство 7Г / /(0) sin[2 + 4(п - Д)] ( - 0)d0 = 0, п = 0,1,2, . 0= //(0)sin[2 + 4(n-A)](-0)d0 = о 7Г = / /(0) (sin [2 + 4(п - Д)] ( - 0) + sin [2 + 4(п - А)] 0) dB = = 2(-l)ncos(7rA) J /(0) cos [2 + 4(n - A)] ( - 0)d0. cos [2 + 4(n — A)] ( — 0) полна [20] на Ьр(0,),р 1, при A - , получаем/(0) = 0 на Lp(0, f), p 1, A - иД 4 + ) keN. Значит, учитывая /( - 0) = /(0) на p(0, J), p 1, получаем /(0) = 0 на Lp(0, ), p 1, при A - иД -j + fc, /c Є N. Теорема доказана.
Полнота, базисность систем типа Самарского-Ионкина в различных пространствах
Покажем, что в этом случае задача имеет только тривиальное решение в гиперболической части области, а в эллиптической части собственные функции образуют базис в 1 (.0+)- Действительно, в области D_2 задача превращается в задачу Копій для волнового уравнения с нулевым начальным условием и нулевой начальной производной, соответственно имеет только нулевое решение в D-2. Учитывая условие непрерывности на границе между D_! и D-2, получаем в области D-\ задачу Дарбу [6], которая имеет единственное, а значит нулевое решение. Опять же, воспользовавшись непрерывностью решения задачи (1.30)- (1.34) при смене типа уравнения, получаем первую краевую задачу в эллиптической части области со спектральным параметром и нулевыми значениями на границе, которая имеет собственные функции вида где п = 1,2,3 , к — 1, 2,3 , J2n{ nk) = 0; образующие базис в Z/2(-D+). Если в системе собственных функций unk (1-36), йпк (1-38) устремить к к 0, то в гиперболической части области получим 0, а в эллиптической систему (1.49), что согласуется с полученными в этом пункте результатами.
Разрешимость некоторых нелокальных краевых задач для гармонических функций в полукруге. В этом разделе рассматривается нелокальная краевая задача для оператора Лапласа в круговом секторе с равенством потоков на радиусах и равенством нулю решения на одном из радиусов. Таксисе рассматривается сопряженная задача. Доказана единственность решения этих задач, с помощью спектрального метода получен явный вид решения. При доказательстве разрешимости задач исследована полнота и базисность в Lp(0,7r), р 1; С[0,7г]; И [0,7г], р 1, / Є N систем корневых функций задач типа задачи Самарского-Ионкина, что мооїсет представлять самостоятельный интерес. Найти функцию и(г, в) Є C(D) DC2(JD), удовлетворяющую в D уравнению Аи = 0, (2.1) с граничными условиями «(1,0)=/(0), f(0)eCa[O,7r], /(0) = 0, а Є (0,1], (2.2) ГЛАВА 2. Разрешимость некоторых нелокальных краевых задач для оператора Лапласа 65 2.1.2 Единственность и существование решения Теорема 2.1.1 Задача (2.1)- (2.4) имеет единственное решение. Доказательство. Предположим, что существуют две функции Ui(r, 9) и w2(r, в), удовлетворяющие условиям задачи (2.1)- (2.4). Покажем, что функция ІІ(Г, в) = щ(г, 9) — щ(г: 9) равна 0. Введем на Di = {(г, 9) : 0 г 1, 0 9 } функцию U(r 9) = ц(г )+ц(г - ) Заметим, что АС/ = 0, Щ - = 0, ) = 0, 17(1, в) = 0 при 0 9 . Следовательно, согласно работе Моисеева Т. Е. [23], U(r, 9) — 0 в Di, значит и(г,9) = — w(r, 7г — 0), а отсюда, в свою очередь, следует, что w(r, 7г) = 0. Поэтому в силу принципа максимума для оператора Лапласа и(г: 9) — 0 в D. Теорема доказана. Теорема 2.1.2 Решением задачи (2.1)- (2.4) является ряд оо сю и(г, 9) = 2 A 2n sin 2n9+Y1Впг2п (ln r sin 2n 9+е cos 2п6 ) (2-5) 71=1 71=0 2С?Є 7Г Ап = — / (тг - r)/(r) sin 2nrdr, те = 1,2,3, , (2.6) о 7Г 7Г У /(r)dr, Bn = 2 J r)cos2nrdr n = X 2 3 Bo 2 7Г2 ГЛАВА 2. Разрешимость некоторых нелокальных краевых задач для оператора Лапласа 66 Доказательство. Несложно показать, что слагаемые r2n sin 2nd и r2n(ln г sin 2n9+9 cos 2п0) являются гармоническими функциями и, кроме того, удовлетворяют условиям (2.3), (2.4). Удовлетворение условию (2.2) будет доказано ниже в теореме 2.1.8. Остается доказать равномерную сходимость ряда (2.5). Ряды оо оо Y Kr2n sin 2nQ, Г B"r2n cos 2n9 n=l n=0 сходятся равномерно по признаку Абеля, так как суммы Y2 An sin 2п61 71=1 оо Y Bncos2n9 сходятся равномерно по теореме 2.1.8, а последовательность 71=0 г2п при каждом фиксированном г является монотонной ограниченной, поскольку 0 г 1. Ряд In г Y2 Bnr2nsm2n9 сходится равномерно, так 71=0 как из условия f{9) Є Са[0,7г] следует, что f(9) Є Ьг[0,7г], а значит, по ею неравенству Коши-Буняковского, Y2 &n +оо. Оценим теперь остаток 71=0 ряда:
Полнота, базисность систем типа Самарского-Ионкина в различных пространствах
В этом разделе рассматривается нелокальная краевая задача для оператора Гельмгольца в круговом секторе с равенством потоков на радиусах и равенством пулю решения на одном из радиусов. Таксисе рассматривается сопряженная задача. Доказаны единственность решения этих задач и разрешимость с помощью спектрального метода.
Найти функцию и(г,в) Є C(D) П C2(D) такую, что Igrad l — в окрестностях угловых точек (0,0), (1,0), (—1,0), (0,1), (3.1) 7 1, Л — константа, удовлетворяющую в D уравнению с граничными условиями Замечание 3.1.1 Задача (3.2)- (3.5) с параметром \х — 0 рассматривалась в работе [41]. 3.1.2 Единственность решения задачи (3.1)- (3.5) Теорема 3.1.1 Пусть ц не совпадает с //„&, являющимися корнями уравнения ЛпЫ) = 0, 71 = 0,1,2-.- , = 1,2,3..-, (3.6) где J\(z) - функции Весселя [5, с. 12], и градиент решения удовлетворяет условию (3.1), тогда задача (3.1)- (3.5) имеет единственное решение. Доказательство. Предположим, что существуют две функции щ(г,в) И U2(r,0), удовлетворяющие условиям задачи (3.1)- (3.5). Покажем, что функция и(г, д) = щ(г, в) — щ(г, 0) равна 0. Введем на D\ = {(г, 0) : 0 г 1, 0 в } функцию U (г, в) = ц(г 0) + ri У-0) Тогда функция U(r, в) из того же класса что и функция u(r, в), кроме того, на D\ удовлетворяет уравнению (3.2) и граничным условиям /(1,0) = 0 приО 0 , (Г 0)=0 при г Є (0,1), (3.7) Щг, ) дв дв Данная задача имеет тривиальное решение тогда и только тогда, когда /І. не совпадает с /ink, являющимися собственными значениями для оператора = 0 при г Є (0,1). ГЛАВА 3. Разрешимость некоторых нелок. краевых задач для уравнения Гельмгольца 104 Лапласа с граничными условиями (3.7), то есть цп не являются корнями уравнения (3.6). Обоснование этого факта проводится с помощью построения функции Грина и, далее, применения второй формулы Грина с учетом условия (3.1), которая сводит задачу к интегральному уравнению с симметричным вполне непрерывным ядром. Учитывая, что система собственных функций Ы/w) cos 2п0, п = 0,1,2 , к = 1, 2,3 - (3.8) задачи образует полную ортогональную систему вДив силу возможности применения теории Гильберта-Шмидта заключаем, что других собственных значений, кроме указанных в (3.6), не существует, иначе система собственных функций была бы переполненной. Учитывая U(г, в) = 0 на D\, для нахождения и(г,в) на D\ запишем граничные условия и(1,0) = О приО 0 , u(r, 0) = 0 при г Є [0,1], (3.9) 7Г uiri ) = 0 при г Є [0,1]. Zi Кроме того, u(r,6) удовлетворяет на D\ уравнению (3.2) и условию (3.1). Данная задача, как и предыдущая для U(r,6), может иметь тривиальное решение тогда и только тогда, когда ц не совпадает с /хп&, являющимися собственными значениями для оператора Лапласа с граничными условиями (3.9), то есть /ink не являются корнями уравнения J2n(/infc) = 0, n = l,2,3--- , = 1,2,3---. (3.10) При этом собственные функции имеют вид J2n(frikr)sm2n0, п= 1,2,3- , к = 1,2,3---. (3-П) Равенство w(r, 9) нулю на всем D следует из нечетности м(г, 9) относительно 9 — . Теорема доказана. ГЛАВА 3. Разрешимость некоторых нелок. краевых задач для уравнения Гельмгольца 105 3.1.3 Существование решения задачи (3.1)- (3.5) Теорема 3.1.2 Пусть f(6) Є Ca[0, тг], а Є (0,1], /(0) = 0 u fi не является корнем уравнения (3.6), тогда решение задачи (3.1)- (3.5) существует и представимо в виде ряда (г, в) = У2\лп І8Іп2пв+ (3.12) r)sin 2ггг г - 5- Эа (, Г " ri = 1,2,3, Доказательство. Проверкой можно убедиться, что слагаемые 2n(Mr)sin2n и J2n{l r)в cos 2п9 + —Jaiftr) sin 2п# а=2п являются решениями уравнения (3.2) и удовлетворяют условиям (3.4), (3.5). Следовательно, ряд (3.12) является решением (3.2) и удовлетворяет условиям (3.4), (3.5). Покажем выполнение условия (3.3). Необходимо доказать равномерную сходимость ряда (3.12) при г = 1.
О разрешимости нелокальной краевой задачи для уравнения Гельмгольца с противоположными потоками на части границы и сопряженной к ней задачи
Предположим, что существуют две функции Ui(r,9) И U2 (?",#), удовлетворяющие условиям задачи (3.37)- (3.41). Покажем, что функция и(г, 9) — щ(г, 9) — щ(г, 9) равна 0.
Введем на D\ = {(г, в) : 0 г 1, 0 в } функцию U (г, в) = и 0)- г в) Тогда функция U(r, 9) из того же класса что и функция и(г, 9), кроме того, на D\ удовлетворяет уравнению (3.38) и граничным условиям [/(1,0) = 0 при 0 9 , - = 0 при г Є (0,1), (3.43) tf(r,)=0 при г Є [0,1]. Данная задача имеет тривиальное решение тогда и только тогда, когда \± не совпадает с дп&, являющимися собственными значениями для оператора Лапласа с граничными условиями (3.43), то есть fj,nk не являются корнями уравнения (3.42). Обоснование этого факта проводится с помощью построения функции Грина и, далее, применения второй формулы Грина с учетом условия (3.37), которая сводит задачу к интегральному уравнению с симметричным вполне непрерывным ядром. Учитывая, что система собственных функций J2n-i(Vnkr)cos{2n-l)9, п = 1,2,3-.-, =1,2,3--- (3.44) ГЛАВА 3. Разрешимость некоторых нелок. краевых задач для уравнения Гельмгольца 117 задачи образует полную ортогональную систему вДив силу возможности применения теории Гильберта-Шмидта заключаем, что других собственных значений, кроме указанных в (3.42), не существует, иначе система собственных функций была бы переполненной. Учитывая U(г, 9) — 0 на D\, для нахождения u{r,9) на D\ запишем граничные условия du(r, f) гі(1,0) = О приО 0 -, u(r, 0) = 0 при г Є [0,1], (3.45) 0 при г Є (0,1). d9 Кроме того, гі(г, 0) удовлетворяет на D\ уравнению (3.38) и условию (3.37). Данная задача, как и предыдущая для U(r,9), может иметь тривиальное решение тогда и только тогда, когда ji не совпадает с /ink, являющимися собственными значениями для оператора Лапласа с граничными условиями (3.45), то есть fink снова не являются корнями уравнения (3.42). При этом собственные функции имеют вид /2n-i( W) sin(2n - 1)9, п = 1,2,3, к = 1,2, 3 . (3.46) Равенство u(r, 9) нулю на всем D следует из четности u(r, 9) относительно 9 = . Теорема доказана. 3.2.3 Существование решения задачи (3.37)- (3.41) Теорема 3.2.2 Пусть f(9) Є Са[0,7г], а Є (0,1], /(0) = 0 u fi не является корнем уравнения (3.42), тогда решение задачи (3.37)- (3.41) существует и представимо в виде ряда оо u(r,9) = AnU2n-1y sm(2n-l)9+ (3.47) hn-i r) n=l r.7o_ i(n.r) +вп J2n-l(fj) hri-li r) , , 9a vMr) a=2n-l /о і\д — -7-9 cos(2n — 1)9 H = T sm(2n —1)9 LJ2n_!(/i) J2n-lW ГЛАВА 3. Разрешимость некоторых нелок. краевых задач для уравнения Гельмгольца 118 где Вп = 7Г 7Г / /(г) cos(2n - 1)тгіт, n = 1,2,3,---, (3.48) n = 1,2,3, Ап = \І /М(тг - r) sin(2n - l)rdr - Bn JttH«=2n-i О Доказательство. Проверкой можно убедиться, что слагаемые Лп-і (/"") sin(2n — 1)0 и J2n-i{/ir)0cos(2n - 1)6» + —Ja(/j,r) sin(2n - 1)6» С/а а=2п-1 являются решениями уравнения (3.38) и удовлетворяют условиям (3.40), (3.41). Следовательно, ряд (3.47) является решением (3.38) и удовлетворяет условиям (3.40), (3.41). Покажем выполнение условия (3.39). Необходимо доказать равномерную сходимость ряда (3.47) при г = 1. Имеем, оо д т / \ оо № = J2 (Ап + Я„ аа ttW -i) sin(2n - 1)9 + V Вп9cos(2n - 1)0 = (3.49) = - 2( /М(тг - r) sin(2n - l)rdr) sin(2n - 1)0+ n=l 7Г /1 Г + ( / T) C0S(2n !Мт)б cos(2n - !) n=l 0 Равномерная сходимость данного ряда на [0,7г], причем именно к /(0), при /(0) Є Са[0,7г] и /(0) = 0 доказывается в теореме (2.2.9). Остается доказать равномерную сходимость ряда (3.47). Рассмотрим асимптотику j _ ЛЛ при больших значениях индекса п = -1(1 + 0(/1-1)). (3.50) Jb-iH 1 ( -41 + 0( )) _,,,„,. Лп-і(м) ( -1(1 + 0 -1)) ГЛАВА 3. Разрешимость некоторых нелок. краевых задач для уравнения Гельмгольца 119 Используя (3.50), докажем равномерную сходимость ряда An f± sin(2n - 1)0 = (3.51) oo = J2 Апг2п-г sin(2n - 1)0 + Anr2n-lO{rrl) sin(2n - 1)0, где 71=1 OO oo n=l 71= 1 7Г 4 /" Л = 2 / /(т)(тг - r) sin(2n - l)rdr. 00 _ „271-1 Ряд Anr2n 1 sin(2n — 1)6 сходится равномерно по признаку Абеля, так 71=1 оо _ как сумма J3 Ansm{2n — 1)9 сходится равномерно по теореме (2.2.9), а п=1 r2n-i ПрИ кажд0М г образуют монотонную последовательность и ограничены в совокупности, так как 0 г 1. Абсолютная и равномерная 00 _ сходимость ряда Anr2n lO(n 1)sin(2n — 1)9 следует из выполнения 71=1 неравенства J] А2 ро и неравенства Коши-Буняковского. Действительно, 71=1 f{6) Є Са[0,7г], значит f{9) Є Ьг[0,7г] и по неравенству Бесселя oo _ Y2 А„ +со. Оценим теперь остаток ряда, используя неравенство Коши 71=1 Буняковского.
Похожие диссертации на Спектральные вопросы задачи Франкля для уравнения смешанного типа и разрешимость аналога этой задачи для уравнения Гельмгольца
