О разрешимости краевых задач для некоторых классов нелинейных уравнений неклассического типа Касенов Шамкен Касенович

Содержание к диссертации

стр.

Введение 4

Глава I. Начально-краевые задачи для некоторых классов нелинейных уравнений третьего порядка

вырождающихся на границе области

1.1. Функциональные пространства. Вспомо
гательные утверждения 15

1.2. Разрешимость задачи Дирихле для одного класса нелинейных уравнений третьего порядка

1.3. Корректность краевой задачи для одного класса нелинейных уравнений третьего порядка

1.4. 0 разрешимости краевой задачи для

стационарного уравнения третьего порядка

1.5. Разрешимость смешанной задачи для одного класса нелинейных уравнений третьего порядка (в полупространстве хуО )

Глава П. Начально-краевые задачи для некоторых классов
нелинейных зфавнений нечетного порядка вырож
дающихся внутри области 57

2.1. Разрешимость краевой задачи для одного
класса уравнений нечетного порядка
вырождающихся внутри области .."..'...

U_t -Х^2П*¹и_лхх->-ии_х -flAU = f .... 57

2.2. Разрешимость задачи Дирихле для одного класса уравнений нечетного порядка вырождающихся внутри области

U_t + х^2п**и_ххХ-УНД tl + /uj^Pu = />.... 63 2.3. Задача Коїли для одного класса уравнений нечетного порядка вырождащихся внутри области

Щ -f- ^хиосхх~У^нли ^^uUxx ⁼ f ' 67 2.4. О разрешимости краевой задачи для стационарного уравнения нечетного порядка вырождащихся внутри области

Заключение 80

Литература 81

Введение к работе

В наше время воздействие математики на научно-технический прогресс и на ускорение темпов его развития осуществляется через построение математических моделей, реализуемых с помощью ЭВМ.

Однако, прежде чем приступить к численному исследованию построенных моделей, необходимо убедиться в корректности поставленной математической задачи. Поэтому вопросы существования и единственности решения изучаемых задач имеют большое значение.

В связи с расширением сферы приложений математических методов в настоящее время часто возникают задачи, связанные с исследованием уравнений в частных производных, не принадлежащих ни к одному из классических типов. Примером такого уравнения является уравнение Буземана-Кармана

Сейчас ещё недостаточно хорошо развита теория краевых задач для уравнений, обобщающих классические уравнения математической физики. Следовательно, представляет большой интерес дальнейшее развитие теории граничных задач, посредством которой можно было бы выделить корректные краевые задачи для неклассических операторов. Например, продольные колебания составных стержней, состоящих из упругих и упруго-вязких участков, описываются системой уравнений третьего порядка.

Некоторые задачи в теории мелкой воды и распространение 'длинных волн - пунами приводят к уравнению Кортевега де Фриза

Уравнение Кортевега-де Фриза одновременно зачитывает нелинейность и дисперсию волн. И поэтому является удобной моделью при исследовании нелинейных диссипативных процессов. В настоящее время эти уравнения получены в физике плазмы, гидродинамике, акустике, радиоэлектронике, оптике. Уравнение Кортевега-де Фриза имеет, с физической точки зрения, интересный класс решений, описывающий отдельные волны - солитоны.

Впервые на важность изучения уравнений смешанного типа указал С.А.Чаплыгин в 1902 году в своей работе "0 газовых струях". Начало систематическому изучению уравнений смешанного типа было положено в двадцатых годах в работах Ф.Трикоми Г58І , результаты которого в тридцатых годах обобщил С.Гел-лерстедт [62J .

В 1937 году в работе И.Г.Петровского [47 J была исследована задача Коши в области неаналитических функций для систем вида ^d^4=F(b х ос и и BW-**u,\

7? 1 П ^ГДЄ S *e^{J' *Є>0' KKnJ' nJ'> j-M,...,Nl пу - некоторые положительные числа.}

В 1958 году в работе С.Л.Соболева 166І была рассмотрена смешанная задача для уравнения г?⁷² г)^К+^11 - б - в предположении, что выполнено условие корректности задачи Коши.

В том же году А.А.Дезин [15J доказал существование и единственность обобщенного решения первой краевой задачи для уравнения где L - эллиптический оператор по переменным У=*(у ,...,у ) с постоянными коэффициентами, 2) - ограниченная область в X³ . После работы 1945 года Ф.Н.Франкла [бО] дальнейшее развитие теорий уравнений смешанного типа получила в исследованиях К.И.Бабенко [2] , А.В.Бицадзе [б] , В.Н.Врагова [іІ-ІЗ ] , М. В. Келдыша [25] , И.А.Киприянова [26] , В.П.Михайлова [41] , Л.В.Овсянникова [44] , О.А.Олейник, Е.В.Радкевич [45] , М.С. Салахитдинова [бі] , М.М.Смирнова [52] , С.А.Терсенова [55 J , Г. Фикера [59] , П.Лакса [бз] , К.Моравец [б4] , Р.Проттера [бб] и других авторов.

Достаточно полную библиографию по исследованию уравнений смешанного типа можно найти в монографиях А.В.Бицадзе [б] , Т.Д.Джураева [l9j , О.А.Олейник, Е.В.Радкевич [45] , М.М.Смирнова [52] .

В математической литературе имеются многочисленные работы отечественных и зарубежных авторов, в которых поставлен и исследован ряд краевых задач для уравнения составного типа. Отметим здесь основопологающие работы С.Л.Соболева [53] , А. Джураева [l8] , Т.Д.Джураева [і9], Ж.АдсІмара [б9] - [70]. Исследования Ж.АдсАмара были продолжены О.Сестраидом [71-72] , Р.Б.Дэвисом [73-74] и Л.КаттабридЯф. [75J . Р.Б.Дэвисом отмечается прикладное значение уравнений третьего порядка, связанное с изучением уравнений четвертого порядка с малым параметром при старших производных.

В дальнейшем вышеназванные уравнения исследовались в работах: Б.А.Бубнова [7] - [ю] , В.Н.Врагова [ю] - [14] , Т.Ш.Кальменова [24] , М.Отелбаева [24] , И.М.Петрушко [48] , М.С.Салахитдинова [ol] , М.М.Смирнова [52] , С.А.Терсенова [56] и др. . Исследование нелинейных уравнений неклассического типа - это. сравнительно- новое направление. Отметим здесь работы Т.И.Зеленяка, В.А.Новикова, Н.Н.Яненко [22] , А.И.Ко-жанова, Н.А.Ларькина, Н.Н.Яненко [27] и многих других^на которые мы будем ссылаться.

Сравнительно недавно были исследованы начально-краевые задачи для уравнения Кортевега-де Фриза: j&ut *#4 [67 ₉ Б.А.Бубнов [7] - [ю], С.М.Круж-ков, Н.В.Фоминский [ЗО] , В.В.Хаблов [?] . В работе Б.А.Бубнова доказана однозначная разрешимость в целом по t и исследовано поведение решений при і —- со краевых задач для уравнений Кортевега-де Фриза и Кортевега-де Фриза-Бюргерса.

В.В.Хабловым показана корректность постановки краевой задачи для модифицированного уравнения Кортевега-де Фриза. У.У.Абылкаиров Гі] доказал разрешимость различных краевых задач для модифицированных уравнений Кортевега-де Фриза высокого порядка.

Настоящая работа, состоящая из введения и двух глав,объединенных девятью параграфами, посвящена исследованию разрешимости краевых задач для некоторых классов нелинейных уравнений нечетного порядка.

Перейдем к рассмотрению содержания диссертации.

В первой главе рассматриваются начально-краевые задачи для некоторых классов нелинейных уравнений третьего порядка, вырож- дающихся на границе области.

I.I. В этом параграфе введены основные функциональные пространства и вспомогательные утверждения, которыми мы будем пользоваться.

1.2. Пусть У = (0,1 )х (0,1) - ограниченная область в /? с достаточно гладкой границей. В цилиндрической области Q = (о, TJx Q рассмотрим дифференциональное уравнение

Щ -xU_XXJC - и_уу -jhUjcjc -t-lufu = f- (0.1)

Краевая задача. Найти решение уравнений (0.1) удовлетворяющее начальным и краевым условиям lt = 0 uf = и / = О, и/ = и/ = О. ⁽⁰'³⁾Jx=o ІХ=1 /у=о /У=1

Основным результатом этого параграфа является следующая

Теорема I. Пусть -f_te l^fQj.)_г U₀MW^CQ)n^(Q)_t xU_oxxx6L₂&) и ju--j-*Ji, JS>0.

Тогда существует и притом единственное сильное решение задачи (0.1) - (0.3). И для решения задачи имеют место следующие оценки

I/UII² ₀ + Hull² ± С Iff II^і (0.4) Loo(0_tTih/₂¹(QJl L₂(0,T-W₂²)) L₂(0,T;L₂(Q)y /IUJ² + 1IVUJ1² йС llfll^{2 v}loofO,TU₂)) ^v L₂(0,T;l.₂(Q)) ^lf L₂ (Q_T) где С - постоянная не зависящая от гі, -р .

В конце этого параграфа рассматривается слабое решение задачи fo.lj - ^0.3^ .

Определение I. Слабым решением задачи (ОЛ) - ^0.3^ называется функция удовлетворяющее тождеству для любой функции ft Є Z? ^⁷^ йъ(&))

Теорема 2. Пусть f є l₂ (ох і*а»), % (*> e wf&xi %($>/<- i*J*>/^y0-

Тогда существует и притом единственное слабое решение задачи (ъл)- (ъ.г).

1.3. В ограниченной цилиндрической области рассмотрим уравнение

Ш - *U_XXJC - -ии_хх -Att^f. ₍₀₆₎ где - Дъ( = /г ZJ^x + ^М

Краевая задача. Найти решение уравнения (0.6) в области о?7»> удовлетворяющее краевым условиям и данным Коши U I _ _Л= V₀ (X, У) . (0.8) _{U I}

Определение 2. Сильным решением задачи (0.6) - (0.8) называется функция иєі₂(о,П W*(Q% Щ<ЕІ_г (о, Ті L₂(Q)) , удовлетворяющая (0.6) - (0.8). Теорема 3. Пусть Ц₀Є W*(Q), М - "f- >J8, j3 > О, достаточно мало.

Тогда существует и притом единственное сильное решение задачи (0.6) -(0.8). И для решения задач имеет место оценка ^t L_z (0,ТЫ_г(&)) L_z (0,T>b/₂³(Q)) ^C0-⁹⁾

1.4. В этом параграфе изучает ся теоремы существования и единственности для следующего дифференциального уравнения ии -носи +/иди=А д = Jl1 + Я-Ііло.іо)

Краевая задача. Найти решение уравнения (0.10) в области ^2, , удовлетворяющее краевым условиям ^и/х.о - ^U/x-i = > ^U/y=o - ^u/yt - - (0ЛІ)

Основным результатом этого параграфа является следующая

Теорема 4. Пусть выполнены условия и ^--2- /3 , j3?0;

Iff// ^ О,$?0ГДР S - достаточно малая постоянная.

Тогда существует и притом единственное сильное решение задачи (0.10), (0.11). И для решения задачи имеет место оценка

ЦхЫ II , _ч +IIUII, _х N. (0 12) " ххх\(8) W₂^Z(Q) 1>г(&) - II -

А также, в этом параграфе исследованы некоторые классы нелинейных уравнений обобщающих уравнение (0.10) хЦс_хх ⁺ P_nMU_xx +/tU = f, .(0.13) где А - эллиптический оператор второго порядка, а г_п(и) полином п -й степени с ограниченными коэффициентами. 1.5. Рассмотрим смешанную задачу для уравнения ^{дх2 ду} с начальными условиями

Щ +***** -*«хх~0*Й - -&J=ffc<.yJ (0.14) ди I =o_t ге) = о. (0.15) ^{дх 1л=й /t=o}

Теорема 5. Пусть ^ f , --. - ^к> '* L₂C0.T;tf₂'fG)}

К - достаточно малая постоянная, jn- -~- ^>yft-> У³ * ^' Тогда существует и притом единственное сильное решение задачи (0.14), (0.15) и для решения имеет место оценка ІИ.ІІ + //UJ/ + * 4 (О, T;L₂ (Я+_у)) L₂ (О, Г;kff/j + llxtt Ц ± С < оо. ,^(0Л6) *^хх L₂(0,TiL₂(R+_g))

Во второй главе рассматриваются начально-краевые задачи для некоторых классов нелинейных уравнений нечетного порядка вырождающихся внутри области.

2.1. В области Q_T = (Oj)xQ, Q = (-1,1)* (0,1)рассмотрим дифференциальное уравнение U_t - oc^!^V_xxx +-UU_x-jC(AU = f, _(0Л7) ^ - целое число больше нуля.

Краевая задача. Найти решение уравнения (0.17) удовлетворяющее граничным и начальным условиям _{-и/ = и I = о, a/ ~uf = о, (0.19)} ^{/г=-/ 1х=1 /У=0 / д2и I = dhi і ₌ о. дх2 /х=-1 дх2 /х=1 Теорема 6. Пусть -Р Є L₂ (0,Т; L_Z(Q))₉ UoW є Wfa)₉ ju~ Щ^ > 6, 5>o,}

Тогда существует единственное решение задачи (0.17) - (0.19), и для решения имеют место оценки

IIUJ + /IUI/ *С < оо, * Loo (О.Т; L_z (Q)) Lоо (О, Т; IVⁱ(О)) (0.20) Их ²^¹и_г:гг I/ +1/U)! С < оо . * L₂ (Q_r) L₂ (О, Т; W*CQ»

2.2. Рассмотрим в области Q_T= (OS) х Q начально-краевую задачу для уравнения

Щ + Х^2П+¹И_ЛХХ -jUA-ич- /ul^PU = f C0.2I) ft - целое число больше нуля ,/*>-!. - ІЗ - = U_X/ = О, UІ = -UІ =0₃ (0.23) и/ _л= U/ = О. /У=0 ly=i

Определение 3. Обобщенным решением задачи (0.21) - (0.23) называется функция Uє l₂ fO.Ti%&)), Щ L₂ (0,Т,L₂(Q)) и удовлетворяющая следующему интегральному тождеству (U_t, (р) +/t (vU, vcp) +2(2n+i) \x^ZnU_x%dxdy + + (2n+i)2n \oc²ⁿ~¹V (pdocclu +

Теорема 7. Пусть ytc > О, Р ъ>-1 -f_t в. L₂(0,T;L₂&))- .Тогда существует хотя бы одно обобщенное решение задачи (0.21)- (0.23). И для решения имеет место оценка

Ш+t + //U// ₀ ^ С < 274 (О, Г; 4 (Я)) L₂ {О, Г; Й//ҐО» . 2.3. Изучается разрешимость задачи Коши для уравнения

Щ +*3j!u -SZA-U + ZLU_xx=f б fi²*(0,T) _(0#26) ^{h = o} .вырождающегося внутри области. Теорема 8. Пусть f є L₂(o,T,iv₂4fi²h f_te L₂(o,r;L₂m). (0.27)

Тогда, при достаточно большом jUyO , существует единственное сильное решение задачи (0.26), (0.27. И для решения задачи имеют место оценки ^/7#Д г -> + HUP _л ^ С < ОО , + С < о=>

1х²"+¹яи// b₂faT;l₂(/?²J)

2.4. В этом параграфе доказывается теорема существования и единственности решения следующей задачи <*х*иххх + Л (^л V- <и) -н гси^ = / S _(0f29)

Теорема 9. Пусть Мf А/ /0 , ул₀70 , <Х < о Тотрр. существует и притом единственное сильное решение задачи (0.29) и для решения имеет место оценка _{1г&) г/а?) h№)}

11х²и_лхх// + //W/ _л + ІхЦсхЯ (0,.30)

Определение 4. Сильным решением задачи (0.29) называется функция U6 W* (Q) _з Х³г/_хх^ L_z (О) удовлетворяющая уравнению (0.29) почти всюду в? .

Основными методами, которые используются при получении этих результатов являются методы функционального анализа с использованием априорных оценок, метод " <5 - регуляризации", метод Галеркина, метод продолжения по параметру и теорем вложения.

Леммы, теоремы и определения занумерованы в диссертации двумя числами. Например, под теоремой 2.1 нужно понимать первую теорему главы 2. Для формул использована трехчисловая нумерация. Так, формула с номером (1.2.4) - четвертая формула параграфа 2, главы I.

Результаты диссертации докладывались на Всесоюзных школах-семинарах по неклассическим уравнениям (г. Новосибирск, 1980, 1981), на Всеказахстанской межвузовской конференции по математике и механике (г. Караганда, 1981), на семинаре "Уравнения смешанного типа" под руководством доктора физико-математических наук, профессора В.Н.Врагова (ИМ, СО АН СССР), на семинаре лаборатории обыкновенных дифференциальных уравнений Института математіши и механики АН Каз.ССР под руководством академика АН Каз.ССР О.А.Жаутыкова, на общегородском семинаре "по функциональному анализу и дифференциальным уравнениям" под руководством доктора физико-математических наук, профессора М.О.Отелбаева (ИММ, АН Казахской ССР, г.Алма-Ата).

В заключение автор выражает благодарность своим научным руководителям профессору В.Н.Врагову и доценту Б.А.Бубнову за руководство и постоянное внимание к работе. А также, кандидату физико-математических наук Ш.Смагулову за многочисленные консультации и помощь в работе. Основные результаты опубликованы в работах 76-79 _{- їв -}

Похожие диссертации на О разрешимости краевых задач для некоторых классов нелинейных уравнений неклассического типа

Задача Моравец для одного класса уравнений смешанного типаАкимов Андрей Анатольевич

Краевые задачи для некоторых классов нагруженных уравнений гиперболического типаБозиев, Олег Людинович

Задача Трикоми для одного класса систем уравнений смешанного типа Мугафаров Марат Фавильевич

Задача Геллерстедта для одного класса систем уравнений смешанного типа Идрисов Ринат Галимович

Спектральные вопросы задачи Франкля для уравнения смешанного типа и разрешимость аналога этой задачи для уравнения ГельмгольцаАмбарцумян Ваграм Эдвардович

Разрешимость краевых задач для уравнений смешанного типа высокого порядкаЧуешев Александр Викторович

Гельдеровские оценки и разрешимость начально-краевых задач для уравнений смешанного эллиптико-параболического типаБейсенбаева, Кулняр Адамбаевна

О разрешимости вариационной задачи Дирихле для некоторых классов нелинейных дифференциальных уравнений с вырождениемГаниев, Муродбек Шамсивиеч

Априорные оценки и разрешимость общей начально-краевой задачи для псевдопараболического уравнения в соболевских классахКурмушев, Иляу

Исследование одного класса уравнений соболевского типа на графахШеметова Вероника Владимировна