Введение к работе
Актуальность темы. В последние годы продолжается интенсивное исследование нагруженных уравнений, связанное, в частности, с различными приложениями задач, ассоциированных с этими уравнениями. К последним относятся, например, задачи долгосрочного прогнозирования и регулирования уровня грунтовых вод и почвенной влаги, моделирование процессов переноса частиц, некоторые задачи оптимального управления.
К первым работам, касающихся нагруженных интегральных уравнений, следует отнести работы Kneser А.(1914), Лихтенштейна Л.(1931), Понтера Н.М.(1932), Назарова Н.Щ1948).
Общее определение нагруженных уравнений дано A.M. Нахушевым.
Важными примерами нагруженных уравнений являются односкоро-стное уравнение переноса с изотропным рассеянием
х2 1-и - — \и(х,i)dt, и(х) = м(х,,х2), х є R2,
дх1 2-J
уравнение, описывающее распределение давления почвенной влаги, поглощаемой корнями растений
д \
, д2и . ди '
хг\ + Л—
^ дххдх2 йг, j
дх2 0
/*— ju(t,x2)dt,
гиперболическое уравнение Кирхгофа
|Vm|2
уравнение вида
hu(x,t)\Pdx и, = 0, p = const>0, л)
Vn J
возникающее в теории оптимального управления
В силу нелокальности нагруженных уравнений весьма актуальным является исследование вопроса существования и единственности классических или обобщенных решений краевых и смешанных задач для таких уравнений. Кроме того, представляет значительный интерес разработка численных методов решения подобных задач.
Диссертационная работа посвящена исследованию смешанных задач для класса нагруженных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка гиперболического типа.
Цель работы. Доказательство существования и единственности обобщенных решений смешанных задач для нагруженных гиперболических уравнений и построение алгоритма их приближенного решения.
Общие методы исследования. В работе применяются метод компактности, метод Галеркина, теоремы вложения Соболева и численные методы.
Научная новизна. В работе исследованы линейные краевые задачи для нагруженных уравнений гиперболического типа. В ней получены следующие результаты:
и,, -Аи +
-
Для широкого класса нагруженных дифференциальных операторов с частными производными второго порядка гиперболического типа с двумя независимыми переменными получены априорные оценки в норме L2 и на их основе доказано существование единственного обобщенного решения третьей смешанной задачи.
-
Для дифференциального уравнения (1) методом априорных оценок доказаны единственность обобщенного решения первой смешанной задачи для любого/? > 0 и его существование upwp = 3,4.
-
Предложен метод численного решения смешанной задачи для квазилинейного дифференциального уравнения с даламбертианом в главной части, моделирующего явление гидравлического удара.
-
Доказаны существование и единственность обобщенного решения первой смешанной задачи для нагруженного уравнения с даламбертианом в главной части, моделирующего явление гидравлического удара.
Практическая и теоретическая ценность. Полученные в работе результаты могут быть использованы для дальнейшего построения теории нагруженных дифференциальных уравнений в частных производных и при математическом моделировании различных процессов тепломассопереноса в капиллярно-пористых средах, в особенности в почвогрунтах.
Апробация работы. По материалам диссертации сделаны доклады и сообщения на семинаре по современному анализу, информатике и физике Института прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН, совмест-
ном семинаре математических кафедр Кабардино-Балкарского государственного университета, на Куйбышевском областном межвузовском научном совещании-семинаре (Куйбышев, 1984), на Международной конференции по прикладной математике «ELBRUS-97», на международной конференции «Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физики», посвященной 80-летию академика РАН и НАН Украины Ю.А. Митропольского (Нальчик, 1997 г.).
Публикации. Основные результаты выполненных исследований опубликованы в шести работах.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав и библиографии, содержащей 109 наименований. Объем диссертации составляет 94 страницы.
