Введение к работе
Актуальность работы. Как известно, многие задачи физики, механики и ряда других отраслей естествознания приводятся к дифференциальным уравнениям в частных производных. Важным классом дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка являются уравнения параболического типа, для которых изучаются различные задачи с краевыми и начальными условиями. Уравнениям параболического типа и задачам связанным с ними, посвящены многочисленные работы отечественных и зарубежных авторов. Сюда в первую очередь относятся книги: А.Н.Тихонова, А.А.Самарского, С.Л.Соболева, Р.Куранта, 0.А.Ладыженской, Н.Н.Уральцевой, В.А.Солонникова, А.Фридмана, В.С.Владимирова, В.П.Михайлова, Ж.Л.Лионса и работы A.M.Ильина, А.С.Калашникова, О.А.Олейник, В.А.Солонникова, А.Ф.Филі-.ліова, С.Н.Кружкова и многих других.
В этих работах изучены корректности задач с начальными и краевыми условиями в конечномерных или бесконечномерных областях, получены априорные оценки и формулы для представления решения, а такяе исследованы вопросы устойчивости стационарных решений, доказаны принцип максимума и теоремы сравнения решений и других вопросов.
В связи с математизацией биологии и общественных наук возникли новые постановки задач для уравнения в_ частных производных. К этому относится так называемая задача с функциональными условиями. Для уравнения первого порядка линейные - задачи с функциональныш условиями были изучены в работах Вольтерра В., Полузктова Р.А., Webb о.Р., моисеева Н.Н., М.Енуси, G.B.Blasio.
Отметим, что термин задача с функциональными условиями был впервые введен в работах Ы.Шуси, в которых было проведено наиболее полное исследование этих задач как для уравнения первого порядка, так и для уравнения второго порядка параболического типа. В этих работах рассматривается воцросы нахождения решения следующей задачи:
дївх N " ?^'а>*)» ЯеСйВ", 00
(1)
Mfcr.O.t) = J B{N(s,f,t).5.t) d , . 0
a-
hpffj
_ з
'tar 5* fla
4 ex.
дХ^ідХ^
?( ), B( ), no( ), ф( ), a, p, D(( ) -заданные функции, v;>o -
постоянные числа, t=l,2, п. Дня задачи (І) в работах
Ы.Шуси в случае a »0, GcE*, доказаны принцип максимума, теоремы сравнения, получены априорные оценки, выяснены условия образования нелинейных волн, а также для линейных задач (I) получены представления решения в виде рядов Фурье, коэффициенты которых являются решениями интегрального уравнения типа восстановления. В этих работах также изучены вопросы устойчивости нетривиального стационарного решения. Оставались не изученными эти вопросы в случае- третьей краевой задачи с , функциональными условиями и когда G-E*. Для линейных неоднородных задач с фушсциональными условиями также не было получено представления решения.
Таким образом, изучаемый класс задач типа (I) является важным классом задач для уравнения в частных производных второго порядка.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер и может быть непосредстгюнЕО црименвна к практике. Результаты, полученные в . работе, могут быть использованы при моделировании численности популяции биосообществ, медицине и в других областях естествознания. С теоретической точки зрения, ценность работы состоит в исследовании линейных однородных задач с функциональными .условиями в бесконечномерных областях.
Цель работа сост. лт в исследовании корректности третьей краевой (однородной и неоднородной) задачи с функциональными условиями типа (I), в конечномерных и бесконечномерных областях, в линейном, случае, т.е. в случае, когда F(N,a,t)=?D(a,t)N +
+X(X,a,t)H B(N,a,t) = B0(a!t)N^ —— "
____0їлгчат8льная черта рассматриваемых в данной- работе
линейных задач типа (I)' от ранее исследованных заключается в том, что здесь изучаются представления решения в виде рядов Фурье в случав бесконечномерных областей и неоднородных правых частей.
Научная новизна. Новыми являются слэдущае результата: для линейных неоднородных интегро-дифференциальних задач доказана теорема о представлении решений в виде рядов Фурье, где коэффициенты Сурье удовлетворяют интегральному уравнении типа восстановления;
получены априоршо оцэяки, из которых, в частности, следует корректность- постановки линейной задачи;
исследованы линейные интегро-дифференциальнка системы для 3-ей краевой задачи;
изучены пространственно-одномерные задачи и задачи с функциональными условиями на плоскости. Доказана существование и единственность классического решения.
Метода исследования. Основными методами исследования являются современные метода функционального анализа и теории дифференциальных уравнений в частных производных. " Это црэадо всего принцип максимума, теорема сравнения, метод рпрлоршх оценок, метод разделения переменных, метод преобразования Фурье, принцип сжимающих отобрааений и метод последовательных приближений.
Апробация работы. Основные' результаты диссертации обсуждались на научных семинарах кафедры Математического моделирования и оптимизации механико-математического факультета Тадаикского государственного университета (рук. профессор Н.К.Шуси), на объединенном научном'семинаре отделов "Математического моделирования" и "математической экологии" Института математики АН PC (рук. академик АН РТ З.Д.Усманоз, кандидат физико-математических наук М.Юсупов), на апрельских.конференциях Тадаикского госукиверситета (Душанбе 1994г., 1995г.), на научном семинаре отдела "Вычислительной математики" Института математики АН РТ (рук. доктор физ.-мат. наук С.Джумаев), на научном семинаре "По уравнениям математической физики" механико-математического факультета ТГУ (рук. доцент Д.И.Нуртазоез, доц. Р.Абдурахмонов).
Публикации. основные результаты диссертации опубликована в работах [ (-з ], список которых приведен в кешів автореферата.
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы, включаидего 55 наименований. Объем работы 9S страниц машинописного твкюа.
