Введение к работе
Актуальность темы. Изучению дифференциальных уравнений в частных производных, к которым приводят многие задачи физики, экологии, экономики и ряда других отраслей естествознания, посвящено огромное множество работ. Важным классом дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка являются уравнения, для которых изучаются различные реальные задачи с начальными и краевыми условиями.
* Уравнениям в частных производных первого порядка (напри
мер, уравнения переноса) и задачам, связанным с ними, посвящены
многочисленные работы зарубежных и отечественных авторов. В
них изучаются вопросы корректности соответствующих задач в ко
нечномерных и бесконечномерных пространствах, рассматриваются
и разрабатываются эффективные методы их решений.
В связи математизацией экономики, физики и общественных наук возникают новые постановки задач для дифференциальных уравнений. К этим задачам относятся так называемая задача с функциональными условиями. Для уравнения в частных производных первого порядка эти задачи были изучены в работах Вольтера ,Webb , Свирежева Ю.М и Логофета Д.О., Моисеева Н.Н., Юнуси М., и др. Отличительная черта этих задач заключается в том, что неизвестная функция в начальный момент времени является функционалом неизвестного решения. Кроме того, временной оператор
— в самом уравнении заменяется на смешанно-временной опера-bt
тор типа JL- + _2_ , где а - возрастное время. Причем,
Э/ да предполагается, что t = a + const.
Одна из главных особенностей приложения дифференциальных уравнений к решению практических задач состоит в определении экстремального свойства рассмотренных уравнений по отношению к некоторым параметрам и коэффициентам, входящим в них. Такие уравнения с экстремальным свойством возникают при решении ряда задач моделирования и оптимального управления. При этом само исходное уравнение, описывающее состояние управляемого объекта, обладает экстремальным свойством. Мы будем говорить, что рассматриваемая система (объект) имеет экстре-
і.С. Петербург 2007ТК
мальное свойство, если система будет функционировать лучшим образом по отношению к некоторым ее параметрам. Функционирование систем с экстремальным свойством бьши изучены в самых общих предположениях в работах М.Юнуси Согласно работам М.Юнуси, общее уравнение с экстремальным свойством, характе-ризирующее состояние некоторого объекта (система, процесс, субстанции и др.), имеет следующий вид:
(s«,Mj-
(1)
Lu = max|
где ,/,- некоторые заданные операторы, характеризирующие изменения состояния объекта с неизвестной плотностью распределения
и = м(.)> а = \а = (а, ат): О <а; < 1, ІаІЬ = і|>
п> S,S~>l,m>2. Параметры v могут характеризовать доли
наилучшего изменения общего состояния, образовывающиеся из
суммы частных изменений объекта. Например, если мы будем рас
сматривать экономическую систему, то такими долями могут быть
доли национального дохода, идущие на капиталовложения и раз
личные отрасли потребления. Мы будем рассматривать частный
случай рассмотренного уравнения (1), а именно случай, когда
^ з
L. ~а. > J' = \>т, = —,
1 Jdxj dt
где а = а (jc) - заданные функции своих аргументов. Тогда объектом изучения диссертационной работы будет уравнение, предложенное проф. М.Юнуси:
ди ИГ
= max
огє А
a
ди дх,
Y
(2)
t>0, х = (х{ xm )є E
m
Уравнение (2) будет исследоваться в различных случаях, когда а - являются константами, когда Qj- являются переменными функциями и в случае, когда коэффициенты а} - нелинейные функции,
т.е. Clj=ajxU,X,t). Интересным на наш взгляд вопросом является
случай с сингулярными коэффициентами.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер и может быть непосредственно применена к решению многих практических задач. Результаты, полученные в работе, могут быть использованы при моделировании эколого-экономических, физических процессов и других процессов естествознания и обществоведения. С теоретической точки зрения ценность работы состоит в исследовании уравнений в частных производных первого порядка (типа переноса) с экстремальным свойством и определении класса возможных решений, а также различных постановок задач, связанных с ними.
Цель работы состоит в исследовании уравнений в частных производных первого порядка (переноса) с экстремальным свойством (2) в различных классах решений и получении явного вида решения в случае, когда коэффициенты являются постоянными, переменными и сингулярными. Отличительная черта данной работы состоит в сведении уравнения (2) к другому уравнению, характеризи-рующему законы сохранения динамических процессов, связанных с уравнением (2).
Научная новизна. Новыми являются следующие результаты:
-для уравнения в частных производных первого порядка (переноса) с экстремальным свойством (2) получено эквивалентное уравнение, характеризирующее законы сохранения динамических процессов;
-определены классы допустимых решений уравнения (2);
-получено представление решений уравнения (2) для различных классов допустимых решений;
-исследовано уравнение (2) с сингулярными коэффициентами и определены его решения;
-проведены компьютерные эксперименты с уравнений в частных производных первого порядка с экстремальным свойством.
Методы исследования. Основными методами исследования являются современные методы теории дифференциальных уравнений в частных производных и функционального анализа, методы математического моделирования и компьютерных экспериментов на основе языка высокого уровня MathCAD.
Апробация работы. Основные результаты диссертации обсуждались на научных семинарах кафедры высшей математики Таджикского технического университета имени академика М.С. Осими, кафедры информатики Таджикского государственного национального университета, на объединенном научном семинаре кафедр дифференциальных уравнений и функционального анализа, высшей математики, математического анализа ТГНУ, ежегодных апрельских конференциях ТТУ и ТГНУ, на Международной конференции "Актуальные проблемы математики и ее приложения" в г. Худжан-де (2003), на международной научно-практической конференции «16 сессия Шурой Оли Республики Таджикистан (12 созыва) и ее историческая значимость в развитии науки и образования». (Душанбе, Таджикистан 27-28 сентября 2002г.), на третьей конференции молодых ученых и исследователей (выпуск 3). (14 ноября 2003г.), г.Душанбе.,на шестой конференции молодых ученых, посвященной 80-летию г. Душанбе (18-19 июня 2004г.), г.Душанбе., на республиканской научно-практической конференции «Перспективы развития науки и образования в XXI веке» (23-24 ноября 2004г.), г.Душанбе, 2004 г.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-7].
Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка использованной литературы, включающего 77 наименований. Объем работы составляет 72 страницы машинописного текста.
