Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Метод парных интегральных уравнений с тригонометрическим ядром
1.1 Исследуемый класс парных интегральных уравнений 15
1.2 Новые представления для функций Ц -Ор и их преобразования Фурье сс-(сс) 23
1.3 Сведение парных интегральных уравнений для функций *№) к решению бесконечных систем линейных алгебраических уравнений второго рода 28
1.4 Интегральные уравнения Фредгольма второго рода для искомых функций xf(cC) 36
1.5 Существование и единственность решения полученных бесконечных систем линейных алгебраических уравнений 2-го рода 3S
1.6. Исследование интегральных уравнений второго рода 43
1.7 0 методах решения полученных бесконечных систем линейных алгебраических и интеграль ных уравнений 2-го рода 46
ГЛАВА II. Парные интегральные уравнения в задаче ди фракции н и е - поляризованных электро магнитных волн на плоской ленте 50
2.1 Постановка рассматриваемых задач дифракции
2.2 Основные интегральные уравнения для рассмат риваемых задач 5Z
2.3 Решение парных интегральных уравнений 55
2.4 Особенности рассеяния Н - поляризованной волны лентой 57
2.5 Анализ численных результатов 3
ГЛАВА III. Применение развитого метода к решению различных задач теории дифракции 93
3.1 Строгое решение задачи дифракции Н - по ляризованной электромагнитной волны на системе плоских лент 99
3.2 Строгое решение задачи возбуждения отрез ка круглого волновода продольным электри ческим диполем
заключение
литература
- Сведение парных интегральных уравнений для функций *№) к решению бесконечных систем линейных алгебраических уравнений второго рода
- Исследование интегральных уравнений второго рода
- Решение парных интегральных уравнений
- Строгое решение задачи возбуждения отрез ка круглого волновода продольным электри ческим диполем
Введение к работе
В настоящее время в современной радиофизике сложилось специфическое положение, которое характеризуется тем, что на практике все чаще используются функциональные элементы размерами порядка длины волны, т.е. в резонансной области Fl,2] . При этом на основе известных асимптотических методов [3-7] не удается провести исследование особенностей рассеянных полей. Всесторонний анализ при такой ситуации возможен только на основе строгих математических методов. В силу этого разработка строгих математических методов решения задач теории дифракции является одной из самых актуальных задач математической физики, в частности, прикладной электродинамики. Вопросам развития подобных методов посвящены монографии [і,2,8-24J , обзорные статьи [25-29] и цикл оригинальных работ [30-32] . Причем, большинство этих монографий появились за последние 5 лет, что свидетельствует о возросшей роли строгих методов в прикладной электродинамике. Среди этих методов, прямые численные методы в сочетании с методом интегральных уравнений [12,17, 19,20,22,25-29] , по-видимому, являются наиболее общими и универсальными. С привлечением ЭВМ на основе этих методов удалось получить численное решение широкого класса задач электродинамики. Однако недостатком этих методов является то, что на их основе не всегда удается создавать эффективные вычислительные алгоритмы, обосновать достоверность окончательных результатов. Дело в том, что численные методы в конечном итоге приводят к решению системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Однако возможности даже самых современных ЭВМ при решении СЛАУ больших порядков ограничены [17,19,20,28] . Поэтому в настоящее время от разрабатываемых
методов требуется высокая эффективность. Это обстоятельство имеет первостепенное значение.
В отличие от прямых численных методов, строгие численно-аналитические методы позволяют при решении определенного класса задач теории дифракции создавать высокоэффективные вычислительные алгоритмы [1,2,10,17,23,24] . Они позволяют также оценить области применимости различных асимптотических методов. В тех случаях, когда эти методы применимы, то при минимальных затратах машинного времени они позволяют получать точные и надежные численные результаты, которые могут быть использованы в качестве эталонных для проверки точности различных прямых численных методов. В основе этих методов лежит метод полуобращения, который в течении последних 20 лет интенсивно и последовательно разрабатывается в харьковской школе радиофизиков под руководством академика АН УССР В.П.Шестопалова [1,2,10,24J . В работе З.С.Аграновича, В.А.Марченко, В.П.Шестопалова [33] метод полуобращения впервые был предложен в качестве эффективного метода решения парных сумматорных згравнений с тригонометрическим ядром, которые возникают при решении, в частности, задачи дифракции волн на плоской ленточной решетке. В результате первоначальные парные уравнения сводятся к решения бесконечной СЛАУ Фредьгольма второго рода, которая единственным образом разрешима в пространстве числовых последовательностей /2 [1,2,10] . Решая эти СЛАУ методом "усечения" можно строить приближенное решение исходной задачи с любой наперед заданной точностью. Далее строгость решения задач теории дифракции в этом смысле и будем понимать.
Метод полуобращения, применительно к решению системы парных сумматорных уравнений с различными ядрами, нашел свое дальней-
шее развитие в работах В.П.Шестопалова и его учеников. Результаты этих работ обобщены в монографии[I], где, в частности, приводятся многочисленные примеры решения системы парных сумматор-ных уравнений, возникающих в задачах дифракции волн на незамкнутых цилиндрических, сферических экранах и структурах, образованных из них.
Методы решения парных уравнений (как сумматорных, так и интегральных), как следует из монографий[I,34], играют большую роль при решении многих задач математической физики и, в частности, теории дифракции. В этих монографиях приводятся конструктивные методы численно-аналитического решения парных уравнений. В них содержится наиболее полная библиография по методам решения различных систем парных уравнений.
Метод парных уравнений, как справедливо замечано в[34], по существу представляет собой обобщение метода разделения переменных на краевые задачи со смешанными граничными условиями. Характерным примером задачи теории дифракции, который сводится к парным уравнениям, является задача дифракции волн на незамкнутом экране, который совпадает с частью какой-либо координатной поверхностью. При этом после представления искомой функции в виде разложения по собственным функциям, соответствующих непрерывному либо дискретному спектру собственных значений, сведение краевой задачи к парным уравнениям осуществляется путем дополнения такого экрана до полной координатной поверхности и постановки на дополнительной части условия сопряжения для полей.
Целью настоящей диссертационной работы является разработка математически обоснованного нового строгого метода решения пар-
_ 7
ных интегральных уравнений специального вида с тригонометрическим ядром, позволяющего создавать эффективные вычислительные алгоритмы. К решению подобных уравнений сводятся многие задачи дифракции скалярных волн на двумерных бесконечно тонких экранах.
Идейная сторона предлагаемого метода основана на методе частичного обращения оператора и состоит в явном обращении "сингулярной" части интегрального оператора с помощью разрывных интегралов Вебера-Шафхейтлина. В результате приходим к бесконечной СЛАУ фредгольма 2-го рода, которая оказывается удобной для проведения численных расчетов на ЭВМ. Неизвестными в этих уравнениях являются коэффициенты, через которые выражаются неизвестные функции в первоначальных интегральных уравнениях в виде равномерно сходящихся рядов. Существенным моментом при этом является выбор системы функций, по которым разлагаются искомые функции. Ниже будет показано, что для рассматриваемого класса функций это делается однозначно.
Диссертация состоит из трех глав, заключения и двух приложений. В первой главе, которая носит методический характер, подробно изучается исследуемый класс парных интегральных уравнений (ПИУ) с тригонометрическим ядром. Особенностью этих уравнений является то, что неизвестными в них являются преобразования Фурье (Xi(oi)}i=1 функций {/U;(V}:t » заданных на интервале
q[-1,1l . Причем последние на концах этого интервала шле ют сле-
дующий характер поведения /U.CV)^ О Ці-її ) l] } X: = ±і/г.
К этому условию для функций {Pity}*_ , которые в теории дифракции, как правило, соответствуют функциям поверхностных токов, наводимых падающей волной на дифрагирующих телах, приводит одно из
- в -
физических условий, накладываемое на рассеянное поле. Это так
называемое условие Мейкснера на ребрахГ8,13] . Чтобы удовлетворить
этому условию функции I/И(Ц)}- разлагаются в ряды по полной
и ортогональной системе полиномов Чебышева с неизвестными коэффициентами [pi] й,л и с весовым множителем типа (/- ) l . Следствием этого является то, что для преобразования Фурье этих функ-ций (Xj {.ОС)}:, у которые принадлежат пространству функций 1р.(-^,),
где f
получена бесконечная СЛАУ второго рода с простыми матричными элементами. Более того показано, что для них имеют место рекуррентные формулы. Доказана теорема существования и единственности решения полученных СЛАУ в случае принадлежности функций, задающих свободные члены ПИУ, к классу функций Lp(-1,1) (р>1) . Бесконечные СЛАУ относительно неизвестных \fli}?? таковы, что они
позволяют получить интегральные уравнения Фредголъма второго рода с достаточно простым ядром для нахождения функций \x-(ot)} .
Заметим, что от известных способов решения ПИУ [34,36,37j предлагаемый метод отличается математической обоснованностью, простотой и высокой алгоритмичностью. Следует особо отметить работы [38-40J, в которых математически обоснованно решались ПИУ, являющиеся частным случаем рассматриваемых ПИУ. В работе[39] одним из способов решения ПИУ является сведение последних.к зада-
че Римана-Гильберта. Затем, используя- известный аппарат теории аналитических функций[41,75] для искомых функций получают интегральные уравнения Фредгольма второго рода. Аналогичные результаты получены и в[40] на основе метода интегрального уравнения Абе-ля[1] . Полученные нами интегральные уравнения совпадают с этими уравнениями. Отличительная особенность нашего метода заключается в том, что на его основе с одинаковой эффективностью находятся как сами функции (ill (№}*_ * так и их преобразования Фурье
{х(оС)\? (методы работ[34-40] позволяют эффективно опре-
делять лишь преобразования Фурье).
В заключении первой главы обсуждаются методы решения полученных бесконечных СЛАУ и интегральных уравнений второго рода и вопросы эффективности вычислительных алгоритмов.
Во второй главе, на основе результатов первой главы, решаются ЇЇИУ, которые возникают в задаче дифракции f-| и Е - поляризованных электромагнитных волн на плоской ленте. Эта задача является классической задачей теории дифракции и ее приближенному и строгому решению посвящено значительное количество работ. Наиболее полную библиографию по этой задаче можно найти в монографиях [6,8,16,19] . Из работ последнего времени, не вошедших в эти монографии, отметим работы[37-40,42,23,43] . По методу решения работы[23,43] в какой-то степени являются частным случаем нашего подхода. Каждая из них имеет свои недостатки. В работе [23, глава 4, 4.2J, которая появилась позже нашей[79], отсутствуют вопросы математического обоснования. А в работе[43] отсутствует частичное обращение интегрального оператора. В результате этого ПИУ в. задаче дифракции волн на плоской ленте сводится к решению
- to
бесконечной СЛАУ первого рода со слабой сходимостью матричных элементов (вопросы математического обоснования в этой работе также отсутствуют).
Необходимо заметить следующее. Задача дифракции волн на ленте имеет явное решение, которое может быть получено на основе метода разделения переменных в эллиптической системе координат. Аналитическое решение этой задачи при этом представляется в виде рядов по функциям Матье [16] . Путем суммирования этих рядов на ЭВМ, величины, характеризующие рассеянное поле, расчитываются с высокой степенью точности. Они являются эталонными для проверки различных методов решения [42] . Предлагаемый нами метод на примере этой задачи был реализован в виде пакетов программ на языке АЛГОЛ для ЭВМ БЭСМ-6. Эффективность вычислительных алгоритмов и их достоверность была установлена путем сравнения с результатами работы Г42] и с возможностями других методов [22] . В задаче дифракции И - поляризованной электромагнитной волны на ленте на основе этих алгоритмов нами проведены подробные численные расчеты таких величин, характеризующих рассеянное поле как поперечник полного рассеяния (при различных углах падения) , диаграмма направленности и распределение плотности поверхностного тока на ленте.
Третья глава диссертации посвящена строгому решению двух задач теории дифракции: рассеяние \\ - поляризованной электромагнитной волны на системе плоских лент и возбуждения отрезка круглого волновода продольным электрическим диполем. Решение этих задач получено на основе результатов первой и второй главы. Задача дифракции Ц - поляризованной электромагнитной волны на системе плоских лент, расположенных в пространстве параллель-
-//-
но друг другу и ориентированных произвольным образом сводится к решению связанных систем ПИУ (число уравнений совпадает с числом экранов). Последние, как и в главе 2, методикой, предложенной в первой главе сводятся к решению связанных бесконечных СЛАУ фред-гольма второго рода, которые позволяют с любой наперед заданной точностью определять коэффициенты, через которые выражаются функции плотности токов на лентах.
Заметим, эта задача представляет большой интерес для практики. И не случайно, что ее решению посвящено значительное количество работ [8,19,22,23,44-49] . Приближенное решение этой задачи получают, как правило, в предположении о слабости взаимодействия экранов [8,45,46] . Однако это обстоятельство выполняется далеко не всегда. Строгие подходы к исследованию задач о дифракции волн на многих экранах, основанные на методе интегральных уравнений, разработаны в основном для частного случая этой задачи, а именно, когда все экраны лежат в одной плоскости [19,44, 48,50] . В ряде случаев задача сведена к решению системы интегральных уравнений Фредгольма первого и второго рода [17,47-50] (порядок системы совпадает с числом экранов). Однако численная реализация этих подходов связана с большими вычислительными трудностями. Лишь подход работы [50], с помощью которого задача о дифракции волн на конечном числе лент, лежащих в одной плоскости сведена к решению одного интегрального уравнения Фредгольма второго рода с достаточно простым ядром, обладает высокой алгорит-мичностью. Предлагаемый нами подход к решению рассматриваемой задачи отличается от подходов работ [19,44,47-50] общностью и высокой алгоритмичностью.
Задача о рассеянии электромагнитных волн отрезком круглого
- !Z -
волновода находит широкое применение в таких областях современной физики как электроника, радиоастрономия, ядерная физика, радиолокация и антенная техника [51,52] . Поэтому решение этой задачи представляет большой интерес для практики. Приближенному и строгому решению' данной задачи посвящено значительное количество работ [7:52-65] . Приближенные методы, основанные на допущениях эврестического характера [7:52-57] позволяют провести анализ рассеянных полей при некоторых предельных значениях параметров задачи. Анализ данной задачи на основе численного решения интегральных уравнений первого рода [58-63] становится затруднительным в резонансной области. Лишь в работах [64,65] рассматриваемая задача сведена к решению интегрального уравнения Фредголь-ма второго рода, позволяющее анализировать особенности рассеянного поля в широкой области изменения параметров.
Предлагаемый нами подход, основанный на результатах первой главы, позволяет рассматриваемую задачу свести к решению бесконечной СЛАУ второго рода относительно неизвестных коэффициентов, через которые выражается функция плотности тока на поверхности кольца. Матричные элементы этих уравнений достаточно простые, что позволит провести анализ данной задачи в широких пределах изменения параметров структуры.
В заключении сформулированы основные результаты работы, а в приложениях приводится вспомогательный материал, облегчающий понимание сути основного текста.
Основные результаты диссертационной работы неоднократно докладывались на научных семинарах ИММ АН Азерб.ССР (Баку), ИРЭ АН УССР (Харьков), на Республиканской конференции молодых математи-
-/3-
ков (Баку, 1984г.) и опубликованы в работах[79-83].
Считаю своим приятным долгом выразить глубокую благодарность академику АН УССР, доктору физико-математических наук, профессору В.П.Шестопалову и старшему научному сотруднику ИРЭ АН УССР, кандидату физико-математических наук Э.И.Велиеву за многочисленные обсуждения результатов работы, а также младшему научному сотруднику ИРЭ АН УССР В.В.Веремею за консультации при создании вычислительных алгоритмов.
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ. ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ
Развит математически обоснованный строгий метод решения парных интегральных уравнении с ядром в виде тригонометрических функций, к решению которых сводится широкий класс скалярных задач теории дифракции, сформулированных как краевые задачи для уравнения Гельмгольца в одной из систем координат с разделяющимися переменными. Этот метод может быть использован при решении ряда граничных задач теории потенциала, гидродинамики, акустики, теории упругости.
Показано, что предложенный метод позволяет создавать высокоэффективные вычислительные алгоритмы при численном анализе на ЭВМ.
На основе предложенного метода получено новое строгое решение задачи дифракции волн на плоской ленте. На примере численной реализации этой задачи на ЭВМ показана эффективность данного подхода по сравнению с ранее известными. Проведено теоретическое исследование особенностей полей, рассеянных лентой в широком диапазоне изменения параметров задачи. В частности,
-/4-
изучены такие электродинамические характеристики рассеянного поля как поперечник полного рассеяния и диаграммы направленности поля при различных значениях угла падения.
4. На основе предложенного метода впервые получено строгое решение задачи дифракции плоской Ц - поляризованной электромагнитной волны на системе из плоских лент, образующие которых параллельны,и которые произвольным образом расположены в пространстве.
Сведение парных интегральных уравнений для функций *№) к решению бесконечных систем линейных алгебраических уравнений второго рода
В отличие от прямых численных методов, строгие численно-аналитические методы позволяют при решении определенного класса задач теории дифракции создавать высокоэффективные вычислительные алгоритмы [1,2,10,17,23,24] . Они позволяют также оценить области применимости различных асимптотических методов. В тех случаях, когда эти методы применимы, то при минимальных затратах машинного времени они позволяют получать точные и надежные численные результаты, которые могут быть использованы в качестве эталонных для проверки точности различных прямых численных методов. В основе этих методов лежит метод полуобращения, который в течении последних 20 лет интенсивно и последовательно разрабатывается в харьковской школе радиофизиков под руководством академика АН УССР В.П.Шестопалова [1,2,10,24J . В работе З.С.Аграновича, В.А.Марченко, В.П.Шестопалова [33] метод полуобращения впервые был предложен в качестве эффективного метода решения парных сумматорных згравнений с тригонометрическим ядром, которые возникают при решении, в частности, задачи дифракции волн на плоской ленточной решетке. В результате первоначальные парные уравнения сводятся к решения бесконечной СЛАУ Фредьгольма второго рода, которая единственным образом разрешима в пространстве числовых последовательностей /2 [1,2,10] . Решая эти СЛАУ методом "усечения" можно строить приближенное решение исходной задачи с любой наперед заданной точностью. Далее строгость решения задач теории дифракции в этом смысле и будем понимать.
Метод полуобращения, применительно к решению системы парных сумматорных уравнений с различными ядрами, нашел свое дальней - 6 шее развитие в работах В.П.Шестопалова и его учеников. Результаты этих работ обобщены в монографии[I], где, в частности, приводятся многочисленные примеры решения системы парных сумматор-ных уравнений, возникающих в задачах дифракции волн на незамкнутых цилиндрических, сферических экранах и структурах, образованных из них.
Методы решения парных уравнений (как сумматорных, так и интегральных), как следует из монографий[I,34], играют большую роль при решении многих задач математической физики и, в частности, теории дифракции. В этих монографиях приводятся конструктивные методы численно-аналитического решения парных уравнений. В них содержится наиболее полная библиография по методам решения различных систем парных уравнений.
Метод парных уравнений, как справедливо замечано в[34], по существу представляет собой обобщение метода разделения переменных на краевые задачи со смешанными граничными условиями. Характерным примером задачи теории дифракции, который сводится к парным уравнениям, является задача дифракции волн на незамкнутом экране, который совпадает с частью какой-либо координатной поверхностью. При этом после представления искомой функции в виде разложения по собственным функциям, соответствующих непрерывному либо дискретному спектру собственных значений, сведение краевой задачи к парным уравнениям осуществляется путем дополнения такого экрана до полной координатной поверхности и постановки на дополнительной части условия сопряжения для полей.
Целью настоящей диссертационной работы является разработка математически обоснованного нового строгого метода решения парных интегральных уравнений специального вида с тригонометрическим ядром, позволяющего создавать эффективные вычислительные алгоритмы. К решению подобных уравнений сводятся многие задачи дифракции скалярных волн на двумерных бесконечно тонких экранах.
Исследование интегральных уравнений второго рода
Нам остается показать, что однородные уравнения Mj-Jlj fJi имеют тривиальное (нулевое) решение. Для этого воспользуемся эквивалентностью этих уравнений к однородным ПИУ (1.23), (1.24) и (1.25), (1.26) (эти уравнения без правых частей). Но согласно . теореме I (теорема единственности) (см. I.I) эти однородные уравнения имеют только нулевое решение. Следовательно и однород І .4- + ные уравнения Ul-црі имеют только нулевое решение. Нами по существу доказана следующая теорема. ТЕОРЕМА 2. Решения бесконечных систем линейных алгебраических уравнений (І.ЗІ), (1.33) и (1.43), (1.46) существуют, они единственны и дают решение систем парных интегральных уравнений (1.23), (1.24) и (1.25), (1.26) в виде
Как следует из формул (1.48) и (1.53), функции K L(oi,fi) представлены в виде билинейных форм по бесселевым функциям, что очень важно при исследовании самих интегральных уравнений.
Заметим, что на основе суммирования рядов в формулах (1.48) и (1.53) [67J , для функций .r(tf,8) можно получить простые представления. Они имеют вид
Доказательство проведем на примере интегрального уравнения (1.49). Для остальных уравнений все проводится аналогично. Схема доказательства идентична схеме, приведенной 1.5, где мы исследовали эти же вопросы для бесконечных СЛАУ 2-го рода.
Сперва оценим норму ядра интегрального уравнения (1.49) 00 00 Q00O 00 J Р оо Р Поскольку согласно условию (1.4) / їі(ЮІ М » то используя для функций К ( х в) представление в виде билинейной формы (1.48) из (І.6І), получим кимЪ: »1й4-±. 00 Р 00 W Ал 2. Интегралы в фигурных скобках вычисляются следующим образом Г35] - 45 oo Следовательно, г Щ) — ZZ -aeonst (I.62)
Мы получили, что N1 4Ш$Т , т.е. норма ядра ограничена. Тем самым интегральный оператор уравнения (1.49) является вполне непрерывным оператором Гильберта-Шмидта в пространстве
Покажем, что свободный член этого уравнения является квадратично интегрируемой функцией, т.е. также принадлежит пространству 1ц(0 (я) . В самом деле, используя (1,.50), получим
Однородное уравнение, соответствующее уравнению (1.49) имеет нулевое решение. Это следует из эквивалентности уравнения (1.49) к ПИУ (1.23), (1.24), которые согласно теореме I имеют единственное решение. Следовательно, как и выше, из альтернативы Фредголь-ма[б9] получим, что решение интегрального уравнения (1.49) существует и оно единственно. Это и требовалось доказать.
О методах решения полученных бесконечных систем линейных алгебраических и интегральных уравнений 2-го рода В 1.5 и 1.6 рассматриваемые системы ІШУ (I.I), (1.0) свелись к решению бесконечных СЛАУ 2-го рода (.1.31), (1.33) и (1.43), (1.44), либо интегральных уравнений Фредгольма 2-го рода (Т.49), (I.5I), (1.52)-. Там же мы показали, что решения этих уравнении существуют и они единственны. Теперь остановимся на методах их решения и об их эффективности.
Поскольку полученные бесконечные СЛАУ являются фредгольмо-выми, то для их приближенного решения пригоден метод редукции (усечения)f69,70J . Этот метод наиболее универсальный и позволяет получить решение бесконечных СЛАУ с любой наперед заданной точностью.
Для простоты мы ограничимся исследованием бесконечной СЛАУ (I.3I). Сущность метода редукции заключается в том, что бесконечная СЛАУ (I.3I); заменяется конечной Ак - « -Д о2пгн ju2n , O N, (і.ез) где р2к - решение "усеченной" системы. Причем, л/ Ifltte "PL 1 при - «. і т.е. при #-»оо , jj стремятся к точному решению. С помощью соотношения (Т.59) на основе формулы Стирлинга[7і] для гамма функции можно получить следующую оценку матричных эле -/ ментов СЛАУ (I.3I) С U С0№ —- (1.64) Используя оценку (1.64) из уравнения (I.3I) для неизвестных /fi/JKl можно получить следующую асимптотику
Заметим, что метод редукции позволяет не только отыскать приближенные значения неизвестных I ffi/tJu- пУтем решения конечной СЛАУ (1.63), но и найлги приближенные значения всех коэффициентов \ pi /.,_ «В самом деле, из (I.3I), кроме (1.63}, следуют также прямые формулы J 2К 2К 2l),2K J 2П где \ 2Ь }п-п Решение СЛАУ (1-63 .
Отметим также, что для нахождения аналитической оценки погрешности можно воспользоваться подходом, приведенным в монографии [2]. Из оценки (1.64) следует, что матричные элементы СЛАУ (I.3I) с ростом индексов К и ЇЇ быстро убывают. Более того, на основе рекуррентных формул для функций Бесселя можно показать, что для матричных элементов I Сл [ имеют место простые рекуррентные соотношения - 4a 2tt,2K 2Ц \ 2П-1,2К-1 M-U 2П+1 J 2K-2,. Міг 2ичГги/2 c+i/z п+1/2 (1.66) ,2/7 Очевидно, что аналогичные соотношения имеют место и для ве +ІІ2 -1/2 -1І2 личин С С С . Поскольку 2П+и К+1 2П,2К » гП±и2К + 1 величины С согласно (1.29) представляют собой определенные интегралы, то соотношения (1.66) позволят заметно уменьшить число вычисляемых интегралов. К примеру, если СЛАУ (І.ЗІ) и (1.33) имеют одинаковый порядок усечения /V , то соотношения (1.66) позволяют для нахождения их матриц вычислить всего 3/У интегралов. А без соотношений (1.66) потребовалось бы вычислить N(N+1) интегралов.
Соотношение (1.66) заметно облегчит и ускорит процесс вычисления при решении СЛАУ (І.ЗІ) методом редукции на ЭВМ. Все это говорит об эффективности предлагаемого метода решения системы ПИУ. К вопросам эффективности решения мы еще раз вернемся при решении конкретных задач теории дифракции (см.глава П).
Решение парных интегральных уравнений
В этой главе получено строгое решение задачи дифракции /-/ -поляризованной электромагнитной волны на системе плоских лент и задачи возбуждения отрезка круглого волновода продольным электрическим диполем. Решение этих задач представляет большой интерес для прикладной электродинамики.
Рассматриваемые краевые задачи теории дифракции сводятся к ПИУ, к решению которых применима методика первой главы. В результате эти задачи сведены к решению бесконечных СЛАУ 2-го рода. Искомыми величинами в этих уравнениях являются коэффициенты, через которые определяются преобразования Фурье функций, описывающих плотности поверхностных токов на лентах и. на кольце» Решая полученные СЛАУ 2-го рода методом редукции на ЭВМ, можно расчитывать характеристики рассеянных полей с любой наперед заданной точностью.
Пусть на систему из ft (я= /,2,... tN) плоских лент (см.рис.ва) наклонно падает Н - поляризованная электромагнитная волнах а) ленты бесконечно тонкие и идеально проводящие, б) образующие лент параллельны и контура их не пересекаются.
Введем следующие обозначения (см.рис.8а): X п0пУд - локальные системы координат, связанные с лентами (л? 1,2,...,N)\ углы ( {.) задают ориентацию лент относительно осей О У ; г \N с \2&j)iZ4 - ширина лент; (2гЛ.-_. - углы падения волны в системах координат Хп 0п Уп
Рассматриваемая задача заключается в нахождении рассеянного поля совокупностью таких экранов. Оно должно удовлетворять (см. 2.1) волновому уравнению вне поверхности лент, условию излучения на бесконечности, условию конечности энергии в любом ограниченном объеме пространства (условие Мейкснера) и граничному условию Неймана на поверхности каждой ленты.
Единственную отличную от нуля компоненту (для рассматриваемого типа поляризации) магнитного поля на основе принципа суперпозиции [8,73] представим в виде
Здесь неизвестные IL(oc)) являются преобразованием Фурье функций {/из(х)}? » которые продолжены нулем вне интервала [-QS QS] и описывают плотности поверхностных токов на лентах і косое. -00 Для определения неизвестных //fcfa)L подчиним полное поле (3.1) граничному условию Неймана д (H: + ZH 1L O,L UL (з.з) 7 /7
Здесь Zg - контур ленты в плоскости Х$ Os ys , направление нормали п совпадает с положительным направлением осей 0$У$ Чтобы удовлетворить граничному условию (3.3) необходимо поля ]HSj записать в выделенной системе координат, связанной с лентой с номером j (см.рис.8а). С этой целью воспользуемся связью между локальными системами декартовых координат, которая имеет вид где і о і - расстояние между центрами лент с номерами / и о , а угол ML - задает ориентацию taj относительно осей OjXj .
Используя (3.4) для поля //2 в системе координат Х;0.У: из (3.2) при Уа 0 получим следующее представление Здесь введены обозначения Теперь на основе (3.2) и (3.5) из условия (3.3) для нахождения неизвестных функций l j jj-f получим связанную систему ПИУ (число уравнений совпадает с числом лент) Функции {nj{ jjsf кроме системы ПИУ (3.6) должны удов летворять соотношениям -oo которые следуют из конечности энергии рассеянных волн в любой ограниченной части пространства (условие Мейкснера).
Нетрудно убедиться в том, что система ПИУ (3.6) принадлежит классу ПИУ, которые мы изучали в главе І. В самом деле, во-первых (см. 2.3) K(oc) \[i 1 1«!(1 /(оО) ; /(а) 0(-+-2) , (3.7) / /- оо 1 1 а во-вторых легко можно показать, что правая часть неоднородного уравнения в системе (3.6) принадлежит классу функций р (-/,/) ,
Следовательно, к решению системы ПИУ (3.6) применим метод, предложенный в главе I. Как и в 1.5 и 1.7 можно показать, что бесконечные СЛАУ (3.12), (3.13) единственным образом разрешимы методом редукции. Причем искомые коэффициенты {fi(i}h D принадлежат пространству числовых последовательностей К , т.е.
Заметим, что в бесконечных СЛАУ (3.12), (3.13) суммы по ве личинам { М J описывают электродинамическое взаимодей ствие ленты с номером / со всеми остальными лентами. По найденным коэффициентам J/1/J } _ из СЛАУ (3.12),, (3.13) кроме функций поверхностного тока на лентах можно определить также порциапьные поперечники полного рассеяния по следующей формуле (см. 2.4)
Строгое решение задачи возбуждения отрез ка круглого волновода продольным электри ческим диполем
Чтобы удовлетворить этому условию функции I/И(Ц)}- разлагаются в ряды по полной и ортогональной системе полиномов Чебышева с неизвестными коэффициентами [pi] Й,Л и с весовым множителем типа (/- ) l . Следствием этого является то, что для преобразования Фурье этих функ-ций (Xj {.ОС)}:, у которые принадлежат пространству функций 1р.(- ,), где f pj 2 , р2 2 , получаются представления в виде равномерно сходящихся рядов по бесселевым функциям. Это обстоятельство позволяет обратить "сингулярные" части интегральных операторов в парных уравнениях с помощью разрывных интегралов Вебера-Шафхейт-лина [36j . В результате для отыскания неизвестных {lit!:}
получена бесконечная СЛАУ второго рода с простыми матричными элементами. Более того показано, что для них имеют место рекуррентные формулы. Доказана теорема существования и единственности решения полученных СЛАУ в случае принадлежности функций, задающих свободные члены ПИУ, к классу функций Lp(-1,1) (р 1) . Бесконечные СЛАУ относительно неизвестных \fli}?? таковы, что они позволяют получить интегральные уравнения Фредголъма второго рода с достаточно простым ядром для нахождения функций \x-(ot)} .
Заметим, что от известных способов решения ПИУ [34,36,37j предлагаемый метод отличается математической обоснованностью, простотой и высокой алгоритмичностью. Следует особо отметить работы [38-40J, в которых математически обоснованно решались ПИУ, являющиеся частным случаем рассматриваемых ПИУ. В работе[39] одним из способов решения ПИУ является сведение последних.к зада че Римана-Гильберта. Затем, используя- известный аппарат теории аналитических функций[41,75] для искомых функций получают интегральные уравнения Фредгольма второго рода. Аналогичные результаты получены и в[40] на основе метода интегрального уравнения Абе-ля[1] . Полученные нами интегральные уравнения совпадают с этими уравнениями. Отличительная особенность нашего метода заключается в том, что на его основе с одинаковой эффективностью находятся как сами функции (ill (№} _ так и их преобразования Фурье {х(оС)\? (методы работ[34-40] позволяют эффективно опре делять лишь преобразования Фурье).
В заключении первой главы обсуждаются методы решения полученных бесконечных СЛАУ и интегральных уравнений второго рода и вопросы эффективности вычислительных алгоритмов.
Во второй главе, на основе результатов первой главы, решаются ЇЇИУ, которые возникают в задаче дифракции f- и Е - поляризованных электромагнитных волн на плоской ленте. Эта задача является классической задачей теории дифракции и ее приближенному и строгому решению посвящено значительное количество работ. Наиболее полную библиографию по этой задаче можно найти в монографиях [6,8,16,19] . Из работ последнего времени, не вошедших в эти монографии, отметим работы[37-40,42,23,43] . По методу решения работы[23,43] в какой-то степени являются частным случаем нашего подхода. Каждая из них имеет свои недостатки. В работе [23, глава 4, 4.2J, которая появилась позже нашей[79], отсутствуют вопросы математического обоснования. А в работе[43] отсутствует частичное обращение интегрального оператора. В результате этого ПИУ в. задаче дифракции волн на плоской ленте сводится к решению бесконечной СЛАУ первого рода со слабой сходимостью матричных элементов (вопросы математического обоснования в этой работе также отсутствуют).
Необходимо заметить следующее. Задача дифракции волн на ленте имеет явное решение, которое может быть получено на основе метода разделения переменных в эллиптической системе координат. Аналитическое решение этой задачи при этом представляется в виде рядов по функциям Матье [16] . Путем суммирования этих рядов на ЭВМ, величины, характеризующие рассеянное поле, расчитываются с высокой степенью точности. Они являются эталонными для проверки различных методов решения [42] . Предлагаемый нами метод на примере этой задачи был реализован в виде пакетов программ на языке АЛГОЛ для ЭВМ БЭСМ-6. Эффективность вычислительных алгоритмов и их достоверность была установлена путем сравнения с результатами работы Г42] и с возможностями других методов [22] . В задаче дифракции И - поляризованной электромагнитной волны на ленте на основе этих алгоритмов нами проведены подробные численные расчеты таких величин, характеризующих рассеянное поле как поперечник полного рассеяния (при различных углах падения) , диаграмма направленности и распределение плотности поверхностного тока на ленте.
