Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Единственность решения сингулярных задач дифракции с граничным условием типа четности на характеристической части границы 13
1.0 некоторых частных решениях уравнения Гельмгольца с оператором Бесселя 14
2. Постановка задачи дифракции с условиями сопряжения на конечных границах раздела областей. Теорема единственности 16
3. Постановка задачи дифракции с условиями сопряжения на полубесконечных границах раздела областей. Теорема единственности 24
4. Постановка задачи дифракции с условиями сопряжения на конечных границах раздела областей с общей границей. Теорема единственности 31
Глава 2. Метод потенциала в вопросах существования решения сингулярных задач дифракции с условиями сопряжения на конечных границах раздела областей 37
1. Доказательство существования решения сингулярной задачи дифракции с условиями сопряжения на трех конечных границах раздела областей методом потенциалов 38
2. Доказательство существования решения сингулярной задачи дифракции с общей нехарактеристической границей 51
3. Доказательство существования решения сингулярнойзадачи дифракции с условиями сопряжения на п конечных границах раздела областей 59
Глава 3. О некоторых сингулярных задачах дифракции с общей границей 69
1.Решение сингулярной задачи дифракции с условиями сопряжения на двух параллельных полупрямых 70
2. Решение сингулярной задачи дифракции с условиями сопряжения на двух полубесконечных кривых 81
3. Решение сингулярной задачи дифракции с условиями сопряжения на т концентрических полуокружностях 87
Литература 98
- Постановка задачи дифракции с условиями сопряжения на полубесконечных границах раздела областей. Теорема единственности
- Постановка задачи дифракции с условиями сопряжения на конечных границах раздела областей с общей границей. Теорема единственности
- Доказательство существования решения сингулярной задачи дифракции с общей нехарактеристической границей
- Решение сингулярной задачи дифракции с условиями сопряжения на двух полубесконечных кривых
Введение к работе
Актуальность темы. Задачи теории дифракции на протяжении многих лет привлекают внимание специалистов в области дифференциальных уравнений с частными производными. Необходимость изучения таких задач обусловлена многочисленными их приложениями в физике, механике сплошных сред, геофизике, океанографии, медицине и т.д. В приложениях также могут возникать задачи дифракции для уравнения Гельмгольцас сингулярным оператором Бесселя, названные нами сингулярными задачами дифракции. Методы исследования сингулярных задач дифракции существенно отличаются от методов исследования задач дифракции. Так, например, потенциалы для сингулярной задачи дифракции строятся с помощью оператора обобщенного сдвига, который представляет собой линейный интегральный оператор, не имеющий обратного. Это обстоятельство порождает отличия в вопросах обоснования и в доказательствах, связанных со сдвигом. Это и обосновывает актуальность выбранного направления исследований.
Для обеспечения единственности решения краевых задач для эллиптических уравнений в неограниченных областях, кроме условий на границе области, необходимо задавать условия на бесконечности. Эти условия, называемые "условиями излучения", для уравнения Гельмгольца впервые были найдены А. Зоммерфельдом. Доказательство принципа излучения для уравнения Гельмгольца было указано в 1933 году В. Д. Купрадзе. Условия излучения и теоремы единственности для уравнения Гельмгольца стали предметом изучения в работах большого круга авторов (Д. 3. Авазашвили, И. Н. Ве-куа, Н. Preudenthal, F. Rellicri и др.). В этих работах рассматриваются граничные задачи в бесконечных областях, когда среда занимает внешность некоторой ограниченной области. Теорема единственности решения задачи математической теории дифракции для беско-
i'UC НАЦИОНАЛЫ,.;"] *NM*OTf«A
нечиых областей с границей, простирающейся в бесконечность, впервые была доказана Ф. Г. Мухлисовым..
Среди методов решения краевых задач для эллиптических, уравнений с оператором Бесселя серьезного внимания заслуживает метод потенциалов, поскольку с помощью правильно подобранных потенциалов сингулярная задача может быть сведена к регулярной системе интегральных уравнений. Поверхностные потенциалы, построенные Н. Раджабовым, оказались достаточными при полном исследовании основных краевых задач для сингулярного уравнения.
Дх.и + ВХри = О, (1)
где А.х> — YL ар ~ оператор Лапласа, х' = (zi, Х2, ..., xp_i),
ВХр = -|jt + j- gj оператор Бесселя, при условиях, когда неха
рактеристическая часть границы есть гиперповерхность Ляпунова и
образует с гиперплоскостью xv = 0 прямой угол. Метод потенциалов
неоднократно применялся разными авторами к решению краевых задач для эллиптических уравнений как второго порядка, так и высших порядков и систем. Соответствующие работы, обзор которых имеется в литературе (51. Б. Лопатинский, О. И. Панич и др.), хорошо известны. Впервые Ф. Г. Мухлисову метод потенциалов удалось применить к решению сингулярной задачи дифракции с условиями Сопряжения на конечной границе раздела областей.
Целью настоящей работы является доказательство существования единственного решения сингулярных задач математической теории дифракции с условиями сопряжения на конечных и полубесконечных границах раздела областей, а также с условиями сопряжения на конечных границах раздела областей с общей границей.
Методы исследования. В работе применяются методы клас-
сической теории потенциала, теории функций действительной переменной, теории функций комплексной переменной, дифференциальных и интегральных уравнений, методы интегральных преобразований и разделения переменных (Фурье).
Научная новизна.
Доказательство единственности решения сингулярных задач дифракции с условиями сопряжения на п конечных и полубесконечных границах раздела областей.
Доказательство существования решения сингулярных задач дифракции с условиями сопряжения на п конечных границах раздела областей методом потенциалов.
Доказательство существования решения сингулярной задачи дифракции с условиями сопряжения на конечных границах раздела областей с общей нехарактеристической границей.
Решение сингулярных задач дифракции с условиями сопряжения на двух параллельных полупрямых, на двух полубесконечиых кривых и на т концентрических полуокружностях.
Теоретическая и практическая значимость. Данная работа
содержит теоретический материал. Ее результаты могут быть использованы для дальнейшей разработки теории дифракции и найти приложение в теории краевых задач для эллиптических уравнений с оператором Бесселя, применяемых при решении многих важных вопросов прикладного характера.
Апробация работы. Данные результаты обсуждались на семинарах кафедры математического анализа Казанского государственного педагогического университета (руководитель - профессор Мух-лисов Ф. Г.). Основные результаты работы докладывались на международной научной конференции. "Спектральная теория диффе-
ренциальных операторов и смежные вопросы"(Стерлитамак, 1998), международной научной конференции "Актуальные проблемы математики и механики", посвященной 40 - летию мехмата КГУ (Казань, 2000), Четвертом Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ - 2000), посвященном памяти М. А. Лаврентьева (Новосибирск, 2000), одиннадцатой межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые зада-чи"(Самара, 2001), научной конференции "Проблемы современной математики", посвященной 125 — летию Казанского государственного педагогического университета (Казань, 2001), тринадцатой межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи" (Самара, 2003), научно - практических итоговых конференциях в Казанском государственном университете и Казанском государственном педагогическом университете.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-9].
Структура и объем работы. Диссертация содержит 105 страниц и состоит из введения, трех глав, разбитых на 10 параграфов и списка литературы из 55 наименований.
Постановка задачи дифракции с условиями сопряжения на полубесконечных границах раздела областей. Теорема единственности
Пусть Ер - полупространство хр 0 и Г , j = 1,п - попарно непересекающиеся полубесконечные гиперповерхности. Эти гиперповерхности разбивают Ер на n + 1 частей. Первую область обозначим через Т \ вторую - через Т и т.д. Последнюю обозначим через Пусть Qft — полушар с центром в начале координат, радиуса R такого, что пересечения Q П Т п+1 и Q П Т не пусты, 5 — полусфера, Т{1] = Т« П Q+, s-) = 5+ П Г . В этом случае задача дифракции ставится следующим образом. Найти четные по хр решения уравнений в областях соответственно Т \ j = 1, n-f 1, удовлетворяющие на рО ) (j = 1? п) условиям сопряжения и при R — со условиям излучения В условиях сопряжения (1.33) величины со знаками "+"и " — "обозначают предельные значения соответствующих функций при приближении к ГО") соответственно из Т и Т 4"1 ; - означает производную по нормали к Г в точке Є Г \ внешней по отношению к области Т \ fj{Q, .?() заданные на Г непрерывные и суммируемые с квадратом функции. Теорема 2. Задача дифракции (1.32) - (1-34) не может иметь более одного решения. Доказательство. Пусть и = (и[, и 2, ufn+1) и и 1 = (и", tig, ..., u n+i) — два предполагаемых решения. Тогда компоненты их разности ojj и л — u j, j = 1, n + 1, удовлетворяют уравнениям (1.32) в соответствующих областях, на Г , j = 1,п - однородным условиям сопряжения и при R — оо условиям излучения (1.34). ФуНКЦИИ UJj (j 1, 71 + 1) - КОМПЛеКСНО-СОПрЯЖеННЫе К Uj (j = 1, n + 1), удовлетворяют уравнениям (1.32), на Г (j — l,n) - условиям сопряжения (1.34) и при і? - со условиям излучения Применяя формулу Грина к функциям ил,- и Умножая каждое к - є уравнение на (к = 1, 2,..., n + 1), складывая их, пользуясь условиями сопряжения, находим J — 1 I л Прибавляя к обеим частям этого равенства выражение имеем Переходя в этом неравенстве к пределу при R — сю, находим, что правая часть в силу условий излучения (1.34) и (1.36) стремится к нулю и, следовательно, при R — оо Пусть начало координат принадлежит Т# Г\Т и го - положительное постоянное число такое, что S+ С Тд . Рассмотрим функции для всех г го, го = 0,1,2, ..., s l,a(m). В силу (1.28) функция Q!j,m,s(r) является решением уравнения (1.7). Пусть TJ? - область, ограниченная полусферой 5+, границами Г -1) и Г , частью 5Д полусферы Зд и гиперплоскостью Г(\ Применяя вторую формулу Грина к функциям LOJ и Uj s в области Тдг, получаем Второе слагаемое /# в силу условий излучения стр Т 4"1 ; - означает производную по нормали к Г в точке Є Г \ внешней по отношению к области Т \ fj{Q, .?() заданные на Г непрерывные и суммируемые с квадратом функции. Теорема 2. Задача дифракции (1.32) - (1-34) не может иметь более одного решения. Доказательство.
Пусть и = (и[, и 2, ufn+1) и и 1 = (и", tig, ..., u n+i) — два предполагаемых решения. Тогда компоненты их разности ojj и л — u j, j = 1, n + 1, удовлетворяют уравнениям (1.32) в соответствующих областях, на Г , j = 1,п - однородным условиям сопряжения и при R — оо условиям излучения (1.34). ФуНКЦИИ UJj (j 1, 71 + 1) - КОМПЛеКСНО-СОПрЯЖеННЫе К Uj (j = 1, n + 1), удовлетворяют уравнениям (1.32), на Г (j — l,n) - условиям сопряжения (1.34) и при і? - со условиям излучения Применяя формулу Грина к функциям ил,- и Умножая каждое к - є уравнение на (к = 1, 2,..., n + 1), складывая их, пользуясь условиями сопряжения, находим J — 1 I л Прибавляя к обеим частям этого равенства выражение имеем Переходя в этом неравенстве к пределу при R — сю, находим, что правая часть в силу условий излучения (1.34) и (1.36) стремится к нулю и, следовательно, при R — оо Пусть начало координат принадлежит Т# Г\Т и го - положительное постоянное число такое, что S+ С Тд . Рассмотрим функции для всех г го, го = 0,1,2, ..., s l,a(m). В силу (1.28) функция Q!j,m,s(r) является решением уравнения (1.7). Пусть TJ? - область, ограниченная полусферой 5+, границами Г -1) и Г , частью 5Д полусферы Зд и гиперплоскостью Г(\ Применяя вторую формулу Грина к функциям LOJ и Uj s в области Тдг, получаем Второе слагаемое /# в силу условий излучения стремится к нулю при R — со. Покажем, что при г — 0 1Г —У 0. Запишем /г в виде Известно, что при t -+ 0 Отсюда и из предельного соотношения (1,27) следует, что при г —У 0 и, следовательно, при R —) оо, S# — 0. Так как /г не зависит от R, то Ir = 0 при любом г го, то есть ЭТО тождество обозначает, что существует постоянное cms такое, что Отсюда и в силу оценки (1.41) и предельного соотношения (1.27) имеем, что Cms — 0 при г го, т = 0,1,2,..., s = l, а(т). Таким образом, j,m,s{r) 0 ПРИ г го, т = 0Д)2,..., s = 1, т(т), Отсюда и из условия полноты весовых сферических функций следует, что ujj = 0 в полушаре Q+. Так как любые решения уравнения (1.32) голоморфны в области Т \ то ш$ 0 в этой области и, следовательно, Отсюда и из емится к нулю при R — со. Покажем, что при г — 0 1Г —У 0. Запишем /г в виде Известно, что при t -+ 0 Отсюда и из предельного соотношения (1,27) следует, что при г —У 0 и, следовательно, при R —) оо, S# — 0. Так как /г не зависит от R, то Ir = 0 при любом г го, то есть ЭТО тождество обозначает, что существует постоянное cms такое, что Отсюда и в силу оценки (1.41) и предельного соотношения (1.27) имеем, что Cms — 0 при г го, т = 0,1,2,..., s = l, а(т). Таким образом, j,m,s{r) 0 ПРИ г го, т = 0Д)2,..., s = 1, т(т), Отсюда и из условия полноты весовых сферических функций следует, что ujj = 0 в полушаре Q+. Так как любые решения уравнения (1.32) голоморфны в области Т \ то ш$ 0 в этой области и, следовательно, Отсюда и из условий сопряжения (1.35) следует, что Докажем, что шп+\ ЕОВ Г("+1). Применяя первую формулу Грина к функциям шп+\ и шп+і в области Тд , с учетом граничных условий (1.43), получим Прибавляя к обеим частям этого равенства выражение При R —у оо правая часть этого равенства в силу условий излучения стремится к нулю. Переходя в этом равенстве к пределу при R —) оо, получаем Так как по условию Xn+i - положительное действительное число, то из последнего равенства следует, что Аналогично этому с учетом граничных условий (1.43) показывается, что и \ = 0 в Т . Отсюда следует, что и — и" = 0, т.е. и = и", что и требовалось доказать.
Постановка задачи дифракции с условиями сопряжения на конечных границах раздела областей с общей границей. Теорема единственности
Пусть Гі - гиперплоскость Xp-i = —ai {ах 0) в полупространстве Е, Ер+ = {х Є Ер : хр-1 —ах} и Г (j — 1,п) - конечные непересекающиеся гиперповерхности. Эти поверхности разбивают область Е++ на п + 1 частей. Первую часть обозначим через Т \ Область Х ограничена гиперповерхностью Г и гиперплоскостями Г и ГЇ; вторую часть — через Т и т. д. j-ую часть обозначим через Т (j = 1,п + 1). Область Х ограничена гиперповерхностями Г _1\ Г ") и гиперплоскостями Г и Гь Г } = ХШ П Гї {j = l,n + l). Задача дифракции с общей границей ставится следующим образом. Требуется найти четные по хр решения уравнений в областях соответственно удовлетворяющие на p(i) j — 1 ) условиям сопряжения граничным условиям и при R —У оо условиям излучения где S++ = S+ П E++. Теорема 3. Задача дифракции (1-44) (1-4V не мооюет иметь более одного решения. Доказательство. Пусть и = (и 1} и 2) ..., и п+1) и и" = (и {, «2, ..-, u n+i) Два предполагаемых решения. Тогда компоненты их разности coj = и , — u j (j = 1, п + 1), удовлетворяют уравнениям (1.44) в соответствующих областях, на Г (j = 1,п) — однородным условиям сопряжения однородным граничным условиям при R — со условиям излучения д ФуНКЦИИ U7j (j = 1, П + 1) - КОМПЛекСНО-СОПрЯЖеННЫе К Wj (j = 1, п -f 1), удовлетворяют уравнениям (1.44), на Г") (j = 1,п) — однородным условиям сопряжения (1.48), граничным условиям (1.49) и при R - со условиям излучения (1.51) Применяя вторую формулу Грина к функция полупространстве Е, Ер+ = {х Є Ер : хр-1 —ах} и Г (j — 1,п) - конечные непересекающиеся гиперповерхности. Эти поверхности разбивают область Е++ на п + 1 частей. Первую часть обозначим через Т \ Область Х ограничена гиперповерхностью Г и гиперплоскостями Г и ГЇ; вторую часть — через Т и т. д. j-ую часть обозначим через Т (j = 1,п + 1). Область Х ограничена гиперповерхностями Г _1\ Г ") и гиперплоскостями Г и Гь Г } = ХШ П Гї {j = l,n + l). Задача дифракции с общей границей ставится следующим образом. Требуется найти четные по хр решения уравнений в областях соответственно удовлетворяющие на p(i) j — 1 ) условиям сопряжения граничным условиям и при R —У оо условиям излучения где S++ = S+ П E++. Теорема 3. Задача дифракции (1-44) (1-4V не мооюет иметь более одного решения. Доказательство. Пусть и = (и 1} и 2) ..., и п+1) и и" = (и {, «2, ..-, u n+i) Два предполагаемых решения. Тогда компоненты их разности coj = и , — u j (j = 1, п + 1), удовлетворяют уравнениям (1.44) в соответствующих областях, на Г (j = 1,п) — однородным условиям сопряжения однородным граничным условиям при R — со условиям излучения д ФуНКЦИИ U7j (j = 1, П + 1) - КОМПЛекСНО-СОПрЯЖеННЫе К Wj (j = 1, п -f 1), удовлетворяют уравнениям (1.44), на Г") (j = 1,п) — однородным условиям сопряжения (1.48), граничным условиям (1.49) и при R - со условиям излучения (1.51) Применяя вторую формулу
Грина к функциям utj и Wj соответственно в областях Т (j = 1,п), Т , получаем / (игАвЩ - 1 Умножая первое равенство на —, второе - на —, а третье - на — и складывая их, с учетом однородных условий сопряжения, получаем s+R+ Отсюда и из (1.52) следует, что Прибавляя к обеим частям равенства (1.49) выражение 7-7 Д С++ получаем С помощью неравенства Коши - Буняковского можно доказать, что правая часть последнего равенства при R -» оо стремится к нулю. Так что при R —) оо Пусть начало координат принадлежит части TR О П) гиперплоскости Г , Го такое число, что S + С Гд . Обозначим через Тд" область, ограниченную гиперповерхностью Т п\ гиперплоскостью Г]" = {ж Є " : Жр-і — — ai} и частью 5д+ полусферы S#. Применяя вторую формулу Грина к функциям ujn+i и ищт (г,9) в области Tftr , получаем a 1 + /)n + SR не зависит от г. Поэтому и, следовательно, Отсюда следует, что Далее, по схеме, которая м utj и Wj соответственно в областях Т (j = 1,п), Т , получаем / (игАвЩ - 1 Умножая первое равенство на —, второе - на —, а третье - на — и складывая их, с учетом однородных условий сопряжения, получаем s+R+ Отсюда и из (1.52) следует, что Прибавляя к обеим частям равенства (1.49) выражение 7-7 Д С++ получаем С помощью неравенства Коши - Буняковского можно доказать, что правая часть последнего равенства при R -» оо стремится к нулю. Так что при R —) оо Пусть начало координат принадлежит части TR О П) гиперплоскости Г , Го такое число, что S + С Гд . Обозначим через Тд" область, ограниченную гиперповерхностью Т п\ гиперплоскостью Г]" = {ж Є " : Жр-і — — ai} и частью 5д+ полусферы S#. Применяя вторую формулу Грина к функциям ujn+i и ищт (г,9) в области Tftr , получаем a 1 + /)n + SR не зависит от г. Поэтому и, следовательно, Отсюда следует, что Далее, по схеме, которая была проведена выше, доказывается, что Это означает, что и — и" = О, т.е. и г 7. Таким образом, доказательство теоремы завершено.
Доказательство существования решения сингулярной задачи дифракции с общей нехарактеристической границей
Пусть Е+ = {(#і,ж2,з) е - 3 : #2 0, #з 0} - четверть трехмерного пространства Е$ . Непересекающиеся поверхности Г 1 и Г 2) разбивают область Е+ на три части. Внутреннюю часть обозначим через Т \ среднюю - через Т 2\ внешнюю - через Т . Также обозначим Sf} = SRf]T \ TRS) = QRnT&\ где QR = {\х\ R} - шар радиуса R, такого, что Т UT С QR, SR = {\х\ = R] - сфера радиуса R. Координатную полуплоскость {х% = 0, Х2 0} обозначим через Г , а полуплоскость {#2 — 0, х$ 0} - через Г . Они представляют собой общую границу областей Т 1\ Т и Т . Рассматривается следующая задача. Требуется найти четные по #3 решения уравнений где Ав = щ + щ + щ +1; , fc 0, в областях соответственно Т(1\ Т(2), Т 3 , удовлетворяющие на Г (j = 1,2) условиям сопряжения и граничным условиям В условиях сопряжения (2.32) величины со знаками "+"и " — "обозначают предельные значения соответствующих функций при приближении к Г соответственно из Т и Т +1); означает производную по нормали к Г в точке z Є Г , внешней по отношению к области Т ; fj(z), fj{z) - заданные на Г непрерывные функции. Известно [26], что функции где г = \/х\ + х\ + а З) = г" являются фундаментальными решениями уравнений (2.31) с особенностью в начале координат. Они удовлетворяют условиям излучения (2.33). Если к функциям (2.35) применим оператор обобщенного сдвига T\ i 3, то получим фундаментальные решения С ОСОбеННОСТЬЮ В ПРОИЗВОЛЬНОЙ ТОЧКе (l, 2) &) Очевидно, они являются решениями уравнений (2.31) соответственно в областях Т (j = 1,3). Используя представление ганкеле-вой функции в виде ряда и свойства оператора обобщенного сдвига, получаем, что функции gj(,x) имеют такую лее особенность, что и фундаментальные решения уравнения А и = 0. Поэтому потенциалы Vji и Wji (j — 1,3, і 1,2) имеют на соответствующих поверхностях Г ) (j — 1,2) такие же предельные значения, что и их аналоги для уравнения А и = 0. Эти предельные значения на Г имеют вид: а на Г 2): Здесь величины с волнистой линией обозначают так называемые прямые значения потенциалов и их нормальных производных на соответствующих поверхностях Y \ которые являются непрерывными функциями точки о 6 Г \ а соответствующие ядра имеют слабую особенность на Г К Эти функции являются решениями уравнений (2.31) соответственно в областях Т [j = 1,3), удовлетворяют граничным условиям (2.34) и функция щ(х) удовлетворяет еще и условиям излучения (2.33). Неизвестные плотности pbj (j = 1,4) найдем из требования, чтобы эти функции удовлетворяли условиям сопряжения (2.32). Подставляя их в эти условия и заменяя на у, с учетом формул а) — h), получаем Существование единственного решения системы интегральных уравнений доказываем с помощью теоремы Фредгольма. Докажем, что система (2.37) разрешима. Известно, что альтернатива Фредгольма сводит вопросы существования решения к вопросам единственности.
Докажем, что однородная система интегральных уравнений Нетрудно показать, что эти функции удовлетворяют всем условиям задачи (2.31)-(2.34) с однородными условиями сопряжения. В силу единственности решения задачи дифракции Рассмотрим теперь функции Щ в области Т \ Щ в области Е$+\ Т \ Щ в области Т и Щ в области Е+ \ Т г\ Обозначим их соответственно через щ , Щ!, гЇ2 , Щ . Пользуясь снова формулами а)-п) и тождествами (2.39), получаем равенства (2.40) и (2.41), получаем Сложение равенств (2.42) и (2.43) дает, что Если U\ = Щ1, U2 = —U2, то функции U\ и \]% четны ПО Жз, удовлетворяют уравнениям на Г однородным условиям сопряжения граничным условиям на бесконечности условиям излучения / Задача (2.49)-(2.51) представляет собой задачу дифракции с коэффициентами Xj = Q jf3p где а - = 1, & — aj{3j,j — 1,2. В силу единственности решения задачи дифракции U\{x) = 0 в Е%+ \ Т 1 и U2(x) 0 в Т \ Отсюда, и из равенств (2.40) - (2.43) следует, что Щ — О и Щ = 0. Аналогично, используя равенства (2.44) - (2.47) доказываем, что дз — О и Щ О Итак, однородная система (2.38) имеет только тривиальное решение. Тогда, согласно альтернативе Фредгольма, неоднородная система (2.37) однозначно разрешима, тем самым однозначно разрешима поставленная задача. Пусть Т \ j = 1, п, конечные попарно - непересекающиеся поверхности Ляпунова в полупространстве Е% % образующие с координатной плоскостью xz 0 прямой угол. Эти поверхности разбивают Е% на п + 1 частей. Эти части обозначим через Т, j = 1, п + 1. Области Т ) [j = 2, п) ограничены поверхностями Г -1), Г и частью плоскости жз = 0, область Т — поверхностью Г и частью плоскости
Решение сингулярной задачи дифракции с условиями сопряжения на двух полубесконечных кривых
Заменой переменных всегда можно добиться того, что 0 XJ 71-Обозначая через /?m = у — А, получим общие решения уравнений (3.26) в виде Функции, определяемые рядами (3.25) могут удовлетворять условиям излучения только при Віт = В%т = 0. Тогда функции (3.27) запишутся в виде гі3т = Агте- тХ. Подставляя (3.25) в условия сопряжения (3.23), получаем Умножая скалярно на отрезке [0,1] эти равенства на зЛіпУ)у2і/+1 получаем бесконечную систему алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов Aim, А%т, В2т и Asm (т Є iV), которая будет иметь вид: Функция xi(y) = e V 1 интегрируема с квадратом на отрезке [0,1]. Используя равенство эту постоянную через /І, получаем Таким образом, относительно функции Ф{ф) получена краевая задача Штурм а-Л иу вилл я (3.49), (3.47). Эта задача с помощью подстановки сводится к следующей задаче: найти решение уравнения удовлетворяющее условиям Известно [2], [3], что решением задачи (3.50), (3.51) является функция где a + b — fc, —ab = . Учитывая равенство находим, что значения / = n(n+2—fe), п = 0, 1, 2,... - суть собственные числа, при которых дифференциальное уравнение (3.50) имеет нетривиальное решение на отрезке [—1,1], удовлетворяющее условию (3.51). Соответствующими собственными функциями, которые определены с точностью до постоянного множителя, являются функции 1-fc где Рп2 () - полиномы Якоби (Гегенбауэра). Возвращаясь к старой переменной р, получаем Уравнения (3.48) при / = п(п + 2 — fc) принимают вид Общие решения уравнений (3.52) имеют вид где JVJT) И У (Г) функции Бесселя соответственно первого и второго родов порядка vm — л/к? + 4ra(n -Ь 2к)/2. Решение задачи (3.41)-(3.44) будем искать в виде (3.54) Так как Y Ajr) в начале координат имеет особенность, то в (3.54) при j — 1 следует взять Bin равным нулю. Чтобы функция um+i удовлетворяла условию излучения (3.43), m+i,n следует взять равным гЛт+і!П. Таким образом, решение задачи (3.41)-(3.44) принимает вид Здесь Ajn (j = 1, m 4-1), i?j-+i,n 0 — 1, m — 1) - неопределенные постоянные. Их найдем из требования, чтобы функции щ (j = l,m + l), определяемые рядами (3.55)-(3.57), удовлетворяли условиям сопряжения. Подставляя uj в эти условия, получаем
Парсеваля, получаем Пусть полуплоскость у 0 плоскости Е% разбита на т+1 частей концентрическими полуокружностями Сд., j 1, т с общим центром в начале координат и радиусами Щ такими, что R\ R2 ... Rm-i Rm- Обозначим через Т = {(ж,у) Є Е2 : х2 + у2 R2, у 0}, ГИ+1 - {{х, у)еЕ2: R] x2 + y2 Щ+1, у 0}, j - l,m-l, Г(ш-Ы) = {(я.)у) є ;2 . Ї« + у2 Л»,, у 0}. Рассмотрим задачу об отыскании решений уравнений & + в областях соответственно Т , j = l,m + 1, удовлетворяющие условиям сопряжения задача (3.37)-(3.40) примет вид где Щ{г) и Ф((/?) - пока неопределенные функции. Их найдем из требования, чтобы функции (3.45) удовлетворяли уравнениям (3.41) и граничным условиям (3.44). Подставляя (3.45) в уравнения (3.41) и граничные условия (3.44), получаем Левая часть этого равенства зависит от г, а правая часть от ip, что возможно только тогда, когда они равны одной и той же постоянной. Обозначая эту постоянную через /І, получаем Таким образом, относительно функции Ф{ф) получена краевая задача Штурм а-Л иу вилл я (3.49), (3.47). Эта задача с помощью подстановки сводится к следующей задаче: найти решение уравнения удовлетворяющее условиям Известно [2], [3], что решением задачи (3.50), (3.51) является функция где a + b — fc, —ab = . Учитывая равенство находим, что значения / = n(n+2—fe), п = 0, 1, 2,... - суть собственные числа, при которых дифференциальное уравнение (3.50) имеет нетривиальное решение на отрезке [—1,1], удовлетворяющее условию (3.51). Соответствующими собственными функциями, которые определены с точностью до постоянного множителя, являются функции 1-fc где Рп2 () - полиномы Якоби (Гегенбауэра). Возвращаясь к старой переменной р, получаем Уравнения (3.48) при / = п(п + 2 — fc) принимают вид Общие решения уравнений (3.52) имеют вид где JVJT) И У (Г) функции Бесселя соответственно первого и второго родов порядка vm — л/к? + 4ra(n -Ь 2к)/2. Решение задачи (3.41)-(3.44) будем искать в виде (3.54) Так как Y Ajr) в начале координат имеет особенность, то в (3.54) при j — 1 следует взять Bin равным нулю. Чтобы функция um+i удовлетворяла условию излучения (3.43), m+i,n следует взять равным гЛт+і!П. Таким образом, решение задачи (3.41)-(3.44) принимает вид Здесь Ajn (j = 1, m 4-1), i?j-+i,n 0 — 1, m — 1) - неопределенные постоянные. Их найдем из требования, чтобы функции щ (j = l,m + l), определяемые рядами (3.55)-(3.57), удовлетворяли условиям сопряжения. Подставляя uj в эти условия, получаем
