Содержание к диссертации
Введение
1. Введение 6
2. Теория непрерывного замедления как реализация метода последовательных приближений 19
2.1. Многопараметрический вариант теории непрерывного замедления 19
2.2. Учет неупругого рассеяния в формализме теории непрерывного замедления 27
2.3. Параметры теории непрерывного замедления 39
3. Исследование сходимости и точности транспортных р и в приближений 46
3.1. Качественный анализ транспортного приближения 46
3.2. Транспортное приближение в водородном замедлителе с постоянными и модельными сечениями 57
3.3. Транспортное приближение в водородном замедлителе с реальными сечениями 75
4. Аппроксимация. Пространственно-энергетического распределения. Расчет распределения нитронов в водородосодержащих средах 80
4.1. Расчет моментов и аппроксимация распределения 80
4.2. Численные расчеты пространственных моментов 83
4.3. Пространственные распределения 98
4.4. Угловые распределения 102
Заключение 109
- Теория непрерывного замедления как реализация метода последовательных приближений
- Параметры теории непрерывного замедления
- Транспортное приближение в водородном замедлителе с реальными сечениями
- Пространственные распределения
Введение к работе
Изучение замедления и диффузии нейтронов лежит в основе таких приложений нейтронной физики как физика ядерных реакторов, физика защиты от ионизирующих излучений, ядерная геофизика, дозиметрия и многие другие. Развиваются новые аспекты применения нейтронных полей в таких научно-прикладных областях как физика атмосферы, гидрофизика, океанология; в задачах связанных с возбуждением ионизации в атмосфере и земной коре под действием проникающих излучений.
Использование проникающих излучений для исследования свойств природных объектов (минералов, руд, насыщенных коллекторов и др.) составляет предмет ядерной геофизики. Важнейшей задачей ядерной геофизики является восстановление геолого-петрофизических свойств природных объектов (например, содержания какого-либо элемента в среде) по характеристикам поля проникающего излучения. Для его решения должен быть построен доступный для измерения набор характеристик поля наиболее чувствительный к содержанию искомого элемента и удовлетворяющий ряду дополнительных требований, отражающих помехоустойчивость метода. Реализация этой процедуры, основанная на анализе численных расчетов прямых задач, чрезвычайно трудоемка. С другой стороны ясно, что поле проникающего излучения (в дальнейшем будем говорить о нейтронных полях) с разумной точностью должно определяться некоторым конечным набором параметров, отражающих свойства природного объекта (назовем эти параметры нейтронными характеристиками; надо иметь в виду, что они зависят и от условий проведения измерений: энергии источника и регистрации нейтронов). При этом число независимых характеристик нейтронного поля равно числу этих параметров, и методику измерений желательно строить так, чтобы она позволяла восстановить набор параметров. Таким образом, задача сводится к изучению зависимости нейтронных характеристик от концентрации искомого элемента и установлению областей их взаимно-однозначного соответствия. Так в условиях применимости возрастного приближения любая характеристика стационарного нейтронного поля выражается через два независимых параметра: спектр в пространственно-однородной задаче и возраст (нормировка и дисперсия распределения Гаусса). Однако характерный для геофизики широкий диапазон изменения сред исключает возможность использования возрастного приближения. То есть два независимых параметра (спектр и возраст), характеризующие нейтронные свойства замедлителя, явно недостаточны для описания стационарных нейтронных полей в геофизических задачах.
Значительный удельный вес нейтронных методов в арсенале ядерно-геофизических исследований определяет важность задачи, заключающейся в построении совокупности параметров, позволяющих рассчитывать нейтронные поля с необходимой для геофизических приложений точностью 5-10% . Современная ориентация ядерной геофизики на непосредственное измерение нейтронных параметров (например, длины замедления) определяет актуальность построения полного (в выше: указанном смысле) набора таких характеристик. Возрастает значение непосредственных расчетов нейтронных характеристик геофизических сред, составляющих ядерно-петрофизическое обеспечение геофизических исследований.
К методике решения поставленной задачи высокие требования предъявляются условиями проведения геофизических исследований, в ряду которых уже упоминавшийся широкий диапазон изменения водородосодержания замедлителя; возможность использования жестких источников нейтронов, требующая достаточно корректного рассмотрения процессов, происходящих при высоких энергиях (поглощение, анизотропия упругого рассеяния в системе центра масс, неупругое рассеяние); проведение измерений на расстояниях от источника, характеризующихся ослаблением потока на 3-4 порядка, что накладывает ограничения на характер описания угловой зависимости нейтронных полей.
В третьей группе методов в отличии от первых двух определенные допущения делаются относительно характера энергетической зависимости плотности столкновений. Основы методов были заложены в работах (18,191. Сделанные при этом предположения о постоянстве или линейном изменении величины 2 :9( на интервале однократного рассеяния (здесь 2ГЬ; -сечение рассеяния I -го изотопа замедлителя, ф(и) -поток нейтронов) приводили к уже известным приближениям Вигнера и Грейлинга-Гертцеля. Задачи, в которых необходимо было учесть влияние узкого резонанса на фоне легкого рассеивателя, когда предположение о линейности ("или постоянстве) величины 2 s: P(u) на интервале однократного рассеяния заведомо невыполнимо, решались с заметной ошибкой. Другая трудность связана с учетом неупругого рассеяния нейтронов, при котором сброс энергии в столкновении может быть достаточно большим, и трудно надеяться, что первые члены Тейлоровского ряда точно опишут зависимость потока от летаргии на широком интервале изменения последней [20].
Преодоление первой трудности заключалось в использовании Тейлоровского разложения для более гладких функций, чем 2TS: ("). Так в [21] использовано разложение полной плотности столкновений Ц 0(и) , на которой менее заметно сказываются индивидуальные особенности сечений отдельных компонент замедлителя.
Формальное использование изложенной схемы ТНЗ для учета неупругого рассеяния приводит к заметным ошибкам. В соответствии с (III.26) интервал изменения летаргии при неупругом рассеянии имеет порядок U-JT+(U) И, вообще говоря, не может считаться малым. И хотя интервал интегрирования в интеграле столкновений даже меньше, чем при упругом рассеянии (Л -«ЗГ- ) , но тот факт, что он достаточно ощутимо сдвинут относительно летаргии U (на этом факте основан метод дополнительного источника 1.24]), не позволяет осуществить разложение плотности столкновений в этой точке в ряд Тейлора, что необходимо для использования формализма ТНЗ. Так формальный учет неупругого рассеяния в рамках приближения Грейлинга-Гертцеля, проведенный в работе [20І, обнаружил существенное отличие рассчитанных спектров от точных численных результатов. Представляется естественным избежать разложения плотности столкновений в ряд Тейлора в задачах учета неупругого рассеяния. Такой подход используется в работе 1.25], где сохранена структура решения, полученная при использовании приближения Грейлинга-Гертцеля, и выбирается параметр %(и) так, чтобы получить точное решение при нулевом поглощении. Однако для выбора параметра \{и) предложена слабо аргументированная процедура, больше напоминающая метод подгонки для каждой коніфетной ситуации. Свободная от Тейлоровского разложения методика, сводящаяся к решению дифференциально-разностных уравнений, используется в работах [26,27], позволяющих провести качественное рассмотрение некоторых частных случаев.
В ряде работ (28,29] для численных расчетов спектра используется так называемая Вигнеровская теория непрерывного замедления, не связанная с разложением плотности столкновений в Тейлоровский ряд.
На основании численных расчетов показано [29], что решение на третьей итерации практически не отличается от решения задачи многогрупповыми программами с мелким шагом по летаргии. Методика равным образом хорошо учитывает как резонансы, так и неупругое рассеяние; используется лишь как численная.
Рассмотрение общей задачи с пространственным переносом, стимулированное, в основном, проблемами физики защиты, вносит дополнительные трудности, обусловленные, в основном, необходимостью описания угловой зависимости рассеянного потока, которая может варьироваться в зависимости от соотношения пространственной и энергетической переменной в крайне широких пределах: от почти изотропного распределения при малых Ъ и больших Ц , до распределения типа о(а-{) при больших 2 и малых U . Возникают трудности и при попытке распространения методов, развитых для решения уравнения (і. 2) На более общее уравнение (і. і). В ранних исследованиях 30-33], в различных вариантах метода интегральных преобразований, для случая постоянных сечений практически решена задача нахождения нулевого углового момента плотности столкновений. Построена пространственная плотности столкновений е(г,и) , получены некоторые оценки для случая, зависящего от летаргии свободного пробега ЛиЛ««Л +с ів . Подробный обзор этих работ проведен в монографии І34І. Строгое рассмотрение задачи проведено в работе t35], где доказано существование решения и получена его асимптотическая оценка. В работах [36-38] для решения проблемы Вика был использован метод парциальных вероятностей, позволивший для постоянных сечений записать не очень громоздкие выражения для нейтронной плотности.
После построения полной системы собственных функций одно-скоростного уравнения переноса [.39] появились попытки распространения результатов и для решения уравнений (1.2). Осуществляя преобразование Лапласа по летаргии, Мак-Инерней 40] для водородного замедлителя формально получает уравнение типа односко-ростного, а после этого использует методику Кейза [41] для поиска 1V(E,«,A0 . Для 1 0(г,и) (постоянные сечения) получено для небольших значений летаргии довольно громоздкое выражение, содержащее асимптотику Вика. Угловое распределение найдено в предельных случаях малых расстояний от источника и больших летаргии (слабая линейная анизотропия) и предельно больших расстояний (ярко выраженная анизотропия при любых летаргиях).
Анализ наиболее распространенных методов решения данной задачи (?л , В4, методика Мак-Инернея) проведен в работе Амсте-ра {42]. Введя некоторые локальные сравнительно просто вычисляемые величины, которые чувствительны к форме пространственного распределения скалярного потока в целом, Лмстер устанавливает, что Р1-и В -приближения практически точны для больших летаргии и набирают некоторую ошибку при уменьшении летаргии (ошибка связана с недооценкой фурье-компонент потока высокого порядка, которые быстро убывают с ростом летаргии на любых расстояниях). Выражение полученное Мак-Инернеем, напротив, имеет лишь первый порядок точности в разложении по степеням летаргии. В работе [43] предложено простое и достаточно точное выражение вида 1р0(2,«/)=! {«)• .Я + -кЦя "0 , где 7 0(о) -решение Мак-Инернея, а 1$ -решение типа РЛ или В . Однако предложенная конструкция не переходит в асимптотику Вика и носит характер подгонки.
Отметим, что все эти работы выполнены в приближении постоянных сечений (за исключением некоторых оценок Вика). Предпринятая в работе [44] попытка решения задачи с произвольной зависимостью сечений от энергии ограничена использованием закона Шика.
В работах [45-49] для решения уравнения переноса используется метод, основанный на применении неканонических форм уравнения переноса, когда ядром переформулированного уравнения является обобщенная функция Плачена. Для проведения конкретных расчетов (выявление асимптотических закономерностей для различных моделей энергетической зависимости сечений и расчет интегральных характеристик распределения нейтронной плотности) используются методы спектральных приближений (вторая группа методов из трех выше описанных) и определенные предположения о структуре угловых моментов обобщенной функции Плачека, которые эквивалентны использованию В1-транспортных приближений.
Вариант формализма транспортных приближений был развит в работе \Ъ0\ . Численные расчеты пространственной зависимости среднего времени замедления в R,- и Вл-транспортных приближениях приведены в [51], где сделаны неверные выводы о недостатках транспортных приближений.
Для решения задач ядерной геофизики в СССР рекомендована с целью сопоставимости результатов разработанная во ВНИИ ядерной геофизики и геохимии многогрупповая система констант Б-2 [52] с шагом по летаргии 0,2. Это обстоятельство значительно ослабляет требования к методике учета резонансной: структуры сечений. Неупругое рассеяние и анизотропия формально могут быть учтены в рамках метода синтетических индикатрис путем соответствующего переопределения параметров и Y • Однако построенные при этом непрерывные на интервале замедления (о и) , но невырожденные ядра не позволяют в общем случае получить аналитическое решение. Неизвестна и величина погрешности, получаемая при использовании этого метода. Построение функции Плачена в многокомпонентной среде с учетом неупругого рассеяния представляет собой задачу того не уровня сложности, что и непосредственное решение уравнения (1.2). Принципиально возможно решение задачи с использованием теории непрерывного замедления. Однако оценку точности решения можно провести лишь на основе сравнения с численными расчетами, поскольку при попытке получить приближение следующего порядка, необходимое для оценки точности, мы сталкиваемся с необходимостью решения дифференциального уравнения второго порядка с переменными коэффициентами общего вида. Учет неупругого рассеяния в рамках традиционной ТНЗ, проведенный в работе [25], носит характер подгонки и отмечен теми .же недостатками. Выражение (.1.13) в решении (J.I2), как было показано уже в монографии \.А\ имеет первый порядок точности по степени поглощения, а, тем не менее, все усовершенствования методов сводятся лишь к переопределению параметров и Y и не выходят за рамки конструкции (1ЛЗ). Исправление всех этих недостатков, как следует из результатов работы [29], может быть осуществлено посредством соответствующего уточнения выражения (І.ІЗ) в решении Сі. 12), фактически совпадающем с решением (i.IT) .
В связи с тем, что геофизические измерения могут проводиться на значительном удалении от источника, среди методов решения уравнения (l.l) особое значение приобретают методы, не накладывающие в явном виде ограничения на характер угловой зависимости рассеянного потока, т.е. Вд, -методы. Использование транспортного приближения в рамках В -метода позволяет эффективно распространить методы, развитые для решения пространственно-однородной задачи,и на случай задачи с пространственным переносом. Такая совокупность приближений требует предварительного изучения сходимости и точности получаемых результатов.
Целью работы является построение методики решения задач теории замедления нейтронов, удовлетворяющей выше изложенным требованиям ядерно-геофизических приложений, и использование ее для определения полного набора нейтронных характеристик, позволяющих рассчитать пространственно-энергетическое распределение замедляющихся нейтронов с погрешностью не более 10%.
Цель достигается решением следующих основных задач: построение решения пространственно-однородной задачи теории замедления, включающего в виде частных случаев известные приближения ТНЗ и тем самым оценка границ применимости этих приближений; разработка способа учета неупругого рассеяния на основе переопределения параметров ТНЗ; анализ возможностей транспортного приближения как способа использования результатов ТНЗ при решении пространственно-неоднородных задач; построение аппроксимации пространственно-энергетического распределения замедляющихся нейтронов. Результаты могут быть использованы при решении широкого круга задач теории замедления нейтронов.
Теория непрерывного замедления как реализация метода последовательных приближений
Использование в качестве априорной формы решения уравнения (1.2) выражения (I.I7), которое согласно численным расчётам работы [29] может быть сделано сколь угодно точным при соответствующем выборе величины M(u) , позволяет при построении теории непрерывного замедления преобразовать интеграл столкновений уравнения (1.2), основываясь не на традиционном общем тейлоровском разложении плотности столкновений, а на обычном разложении экспоненциальной функции. При этом задача формулируется относительно величины М(ЛО , что позволяет провести более полное исследование решений уравнения (1.2). 2.1. Многопараметрический вариант теории непрерывного замедления Рассеянная часть плотности столкновений в форме (1,12) с дельта-образным источником формально совпадает с (I.I7). А так как последнее выражение при достаточном числе итераций воспроизводит энергетическую зависимость плотности столкновений, то разуї.шо сохранить вид решения (І.І2) и направить усилия на соответствующее доопределение выражения (І.ІЗ). Существенный элемент произвола в это выражение привносится выбором параметра V , призванного минимизировать ряд в уравнении (1. Вычислим невязку АШ) интегрального уравнения (1.2) с решением (I.I2). Проделаем это для предельно простого случая моноэлементного замедлителя с постояішш.ш сечениями и упругим изотропным рассеянием. Степень неоптимальности выбора Y = Х в соответствии с выражением (1.10) молшо проиллюстрировать рисунком 2.1, на котором ром построена зависимость величины А(и)/%(и) от ( -\о)/ о для различных значений атомного веса замедлителя А и от величины поглощения 4. . Вид зависимостей указывает на то, что: I) всегда есть такое Y = Y » котоРое обращает невязку в ноль; 2) значение V зависит от величины поглощения и всегда Y Y . Для корректировки величины Y (или, что то же самое, МИ) выясним характер приближения итераций (і.17) к предельному значению.
Для условий, при которых получено выражение (2.1), рекуррентное соотношение (1.17) принимает вид: Заметим, что (2.2) тождественно совпадает с итерационной процедурой, предложенной на основе независимого формализма в работе [53]. Зависимости отношений Ми/Ні от величины Ч- , приведённые на рисунках 2.2 и 2.3, указывают на то, что уточнение параметра М идёт по путл учёта более высших степеней Ч. и итерации монотонно приближаются к точному значению. Построим разложение величины в ряд по степеням поглощения t . Вначале для простоты будем рассматривать моноэлементный замедлитель с упругим рассеянием произвольной степени анизотропии. На интервале интегрирования U u u выражение (I.I7) в предположении гладкости сечений (это позволяет использовать условие Ми(и )о:Мч(«), поскольку гла- При этом интеграл столкновений (I.I6) принимает вид где Тс(м) - степенные моменты индикатрисы, определённые соотношением (ПІ.39) : и Подставляя (2.4) и (ПІ.ЗЗ) в .15) и интегрируя по частям, получаем и тогда, используя правило деления степенных рядов [541 Коэффициенты Ск. удовлетворяют рекуррентным соотношениям Из (2.7) следует, что первый член разложения величины (2.3) по степеням J правильно описывается уже первым приближением и не изменяется при дальнейших итерациях; для получения правильного второго члена разложения (линейного по поглощению) достаточно ограничиться второй итерацией М2 и т.д. То есть И -ая итерация добавляет Y) -ое правильное слагаемое в разложение М (и) по степеням L ЯВНЫЙ ВИД коэффициентов в разложении трудно получить непосредственной подстановкой ряда в ряд из-за громоздкости операций уже для небольших значений К . Устре мив в (2.7) Y) к бесконечности, получим уравнение для И (и) в виде « 1К а -ая производная от уравнения (2.10) имеет вид Вычисляя производную слолшой функции 5 54\ в последнем выраже-нии и приравнивая 7 нулю, получим из (2.1і) где внутреннее суммирование производится по всем целым поло-лштельным решениям уравнения Максимально возможное значение j для данного І- равно ё-i (это соответствует следующему решению уравнения (2.14) \i -it-.,, - і .л = 0, 1\ =1, т.е. j = t-V ), откуда следует, что коэффициент j e выражается только через предыдущие. Младшие коэффициенты имеют вид где Таким образом, учёт единственного слагаемого в разложении (2.3) соответствует приближению Вигнера, а сохранение линейного по поглощению члена - приближению Грейлинга-Гертцеля. Дре- снер, представляя для упругого изотропного рассеяния с постоянными сечениями плотность столкновений в виде [4І установил, что приближение Вейнберга-Вигнера сохраняет три правильных порядка в разложении Л по степеням 5 (явный вид разложения приводится лишь для бесконечно тяжелого замедлителя А- «о , т.е. в виде числовых коэффициентов). Так как в наших обозначениях Л = $ /м , то приближению Вейнберга-Вигнера будет соответствовать разложение которое несравненно проще для анализа или конкретных расчетов. Зшлетіш, что последнее выражение соответствует проведению трех итерации по схеме (І.І4-І.І7). Аналогичное рассмотрение для произвольной смеси ядер при водит к уже выписанным выражениям, в которых моменты Тк ус реднены с помощью парциальных вероятностей рассеяния на I -ом ядре. N Таким образом, хотя итерационная схема (і.14-1.17) формально строит решение в рамках единственного параметра И(«) (что, по-видимому, и послужило основанием для того, чтобы назвать ее Вигнеровская теория непрерывного замедления), но в неявном виде содержит на различных этапах итераций все традиционные приближения.
В транспортном приближении функция, связанная простым соотношением с трансформантой нулевого углового момента плотности столкновений, удовлетворяет уравнению (112.26), формально совпадающему с (1.2), но с увеличенной вероятностью поглощения (к обычному поглощению добавляется утечка в расширенном фазовом пространстве), для учета которого может оказаться недостаточно приближения Грейлинга-Гертцеля и необходимо пользоваться выражением (2.17) (аналогично и в нестационарных задачах). Итерации по степени поглощения , к чему свелась схема (і.14 - І.І7) для случая гладких сечений, не исчерпывают всего содержания метода последовательных приближений. Так, далее для случая нулевого поглощения итерации сохраняют в "общем случае смысл как итерации по некоторому параметру "резонансности". Исследование такого характера сходимости (І.І4-І.І7) представляет значительные трудности, а, с другой стороны, использование для геофизических расчетов многогрупповой системы констант Б-2 не делает такое исследование необходимым. 2.2. Учет неупругого рассеяния в формализме ТНЗ Ограничиваясь, как и в предыдущем параграфе, случаем гладких сечений и используя индикатрису, учитывающую неупругое рассеяние нейтронов преобразуем соотношение (і.15) к виду где обозначено U =ow(tO. Используя представления Моменты Тк. , как и выше, определены соотношением (ПІ.39). Заметим, что при получении соотношений (2.19), (2.20) нам не понадобилось введение ограничений в дополнение к тем, в рамках которых получено выражение (2.7) для случая чисто упругого рассеяния, так как і Рассмотрим подробно случай нулевого поглощения (п=1; \) =0), для которого рекуррентноесоотношение (2.7) вырождалось в простое соотношение МиUO = Tf Си) , а с учетом неупругого рассеяния Для дальнейших выкладок удобно ввести обозначения: Устремляя в (2.24) 1П к бе оконечности, нетрудно получить следующее уравнение где Ограничиваясь положительным решением,находим Считая неупругое рассеяние возмущением и учитывая,что К0(ц) 1, будем считать "SC«") малым параметром. Используя разложение и формулу перегруппировки ряда Выражение (2.27) дает простой способ построения первых членов разложения параметра М(Ю по степеням неупругого рассеяния. Так разложение, имеющее правильные квадратичные члены, имеет вид Выпишем аналогичные разлолсения для нескольких первых итераций, проводимых с использованием соотношений (2.24), (2.25) Разложение приближения Мз(«) не выписываем, так как оно тождественно совпадает с (2.30). Сопоставление полученных выражений показывает, что, вообще говоря, Mi (и) правильно воспроизводит только нулевой член разложения, Мг(ч) - первый, М5(и) второй, а структура рекуррентногосоотношения (2.24) позволяет провести индуктивное доказательство того, что Мц(и) содержит И правильных членов разложения по степеням неупругого рассеяния.
Параметры теории непрерывного замедления
Параметры ТНЗ Ш)Л(и) и введенный выше [М выражаются через степенные моменты индикатрисы (ПІ.37). Подставляя в (ПІ.37) индикатрису упругого рассеяния в форме (ЦІ.16) и предполагая гладкость функций ,.( ) на интервале и-е и и, получим для моментов ТкС") соотношение В случае тяжелых замедлителей, для которых и тлеет смысл учет анизотропии рассеяния, нетрудно получить разложение последних коэффициентов по малому параметру ( ( е1)/(1 ы) Д (см. приложение I). Так для небольших значений К имеем откуда следует, что роль коэффициентов анизотропии \LM в формировании величины Щ монотонно убывает с ростом L , причем вклады коэффициентов разной четности имеет противоположные знаки. Значения коэффициента ог%1т при I =1 и і =2 имеют один и тот же порядок малости ( -«0х/(-f+ )1 , откуда следует, что значения параметра у практически в равной степени определяются как величиной и (и) , так и t(u) . Аналогично можно показать, -что в формировании величины [( ) в равной степени важно значение коэффициента - (и) . Это же следует из точных значений коэффициентов (2.46) , приведенных для ряда элементов в таблице ПІ.І (вычислены по формуле (ПІ.4І)). Зависимость параметра (и) от коэффициентов Ыи) и %г(и) для железа приведена на рис. 2.9. Энергетическая зависимость функций -н и 4-І. здесь и далее взята из работы [45]. Ограничение линейной анизотропией рассеяния нейтронов в системе центра масс может привести к отрицательнш.і значениям паршдетра Yfa) в области высоких энергий нейтрона, что было отмечено и в работе L56]. Вычисление значения параметра 5( ) для кислорода в приближении линейной анизотропии на рис. 2.10 сравнивается с расчетами работ [22,5б]. Описание угловой зависимости сечения рассеяния в работе t_22l получено на основе ЕЛ/фР/-з , а в работе [5б] - E/V$P/&. Так как расчеты параметра ( ) в настоящей работе и в [56] выполнены по одной и той же формуле (и) = 1іСи) , то отличие результатов отражает лишь различие использованных функций Ь(ц) . В работе [22] используется итерационная методика расчёта 5W»ориентированная на учет резонансного характера энергетической зависимости $4(ц) . Сопоставление кривых показывает, что они в общих чертах"неплохо повторяют друг друга. С другой стороны, степень неопределенности функции +і(«) может оказать большее влияние на значение параметра Ъ(ц) » чем использование более совершенной методики расчета. Так, если с заданной энергетической зависимостью и(и) рассчитать спектр нейтронов многогрупповыми методами и по ТНЗ, в которой параметр 5ftO вычисляется либо как Ті (u) , либо по методике [22], то в последнем случае мы получим результат, более совпадающий с многогрупповым расчётом.
Однако, как следует из рисунка 2.10, вполне возможна ситуация, когда отличия расчетов по методике І2] (или многогрупповых} от расчётов по ТНЗ с =Т (") будут находиться в пределах ошибки, обусловливаемой неопределенностью величины li(u) Эта неопределенность может привноситься как на этапе экспериментального определения дифференциального сечения рассеяния нейтронов Т(Б,и) , так и на этапе численного разложения O (Etjt) в ряд по полиномам Лежаидра. Отсюда следует, что для библиотек нейтронных констант, использующих достаточно крупномасштабное разбиение по оси летаргии с соответствующим осреднением например, таких, как библиотека Б-2 [52\, используемая для ядерно-геофизических расчетов, вполне достаточно ограничиваться, например, приближением Грей-линга-Гертцеля с традиционным определением параметров X, и . Параметр 5 ДДЯ железа для тех же трех случаев приведен на рис. 2.11. Значение функции 1г(и) , как следует из (2.49), не сказывается на значении параметра \(ti) . Однако в расчетах [22] 11 , практически не изменяя для Ми и Ре , заметно сказывается на значении этого параметра в случае кислорода (рис. 2.10) для некоторых интервалов энергий,ничем,казалось бы,не примечательных с точки зрения наличия в них особенностей функции І2. . Возможно это указывает на нелинейный характер зависимости % ОТ +І Отметим такх:е большую гладкость параметра, полученного в работе [22] по сравнению с выражением типа Тл(ц) . Это представляется вполне естественным, так как ТДи) непосредственно отражает флуктуации величин («0 , тогда как "SC") - это, вообще говоря, некоторый функционал от (t/) , сглаживающий эти флуктуации. Параметр ") Для железа приведен на рис. 2.9 и подтверждает отмеченные закономерности. Для замедлителя, представляющего собой смесь элементов, параметр («0 в случае упругого рассеяния получается усреднением параметров %L (с/) , полученных для каждого конкретного элемента где ht.(u) - Х4 ;(")/-2Г$ 0 " парциальная вероятность рассеяния на і -ом элементе.
Это позволяет пользоваться заранее рассчитанными значениями %і при компоновке параметра "5; для произвольной смеси. Однако с параметром Y эт0 го проделать нельзя, так как он выражается через значение Ж, вычисленное уке для данной смеси. Более того, с учетом неупругого рассеяния уже и параметр 5 не может быть представлен как средневзвешенное параметров Si для каждого из элементов, составляющих замедлитель, т.к. при этом /определяет- ся соотношением (2.42) , в котором І Л в Ф І. Определенную самостоятельность имеют при этом только сами моменты (2.22,2.45), характеризующие закон рассеяния на данном ядре. А именно из этих моментов можно формировать значения параметров X, ,V и У) для произвольной смеси. В приложении 2 показано, что методы, развитые в разделе 2, могут быть использованы при решении уравнения (і Л) в формализме транспортного приближения. Однако в работе [.51] указывалось на возможность получения в этом приближении нефизических результатов - отрицательных значений плотности столкновений в некоторых областях фазового пространства уравнения (I.I). Не проведены оценки скорости сходимости с увеличением порядка приближения /V , По двум причинам ограничимся рассмотрением чисто водородного з аме длит еля: I) использование транспортного приближения в произвольном замедлителе приведет к результату, который будет по крайней мере не хуже, чем аналогичный результат в водородном замедлителе; 2) возможность точного решения интегрального уравнения (П2.26), которое в общем случае решается с использованием ТНЗ, позволяет изучить "чистую" погрешность транспортного приближения. Предварительное изучение особенностей транспортного приближения проведем с использованием критерия Амстера. В работе [42] отмечено, что величины чувствительны к форме всего распределения оС2.") и могут служить критериями качества различных приближений. Так как вычислить значение потока в точке 2 =0 в общем случае не удается, а наклон кривой считается достаточно просто, ограничим анализ второй половиной критерия.
Транспортное приближение в водородном замедлителе с реальными сечениями
Будем рассматривать замедление нейтронов в водороде с плотностью,соответствующей его плотности в воде (или замедление в воде при условии, что все сечения взаимодействия нейтронов с ядрами кислорода равны нулю). В этом случае средний свободный пробег вычисляется по формулеІ58] Вычисление 2 с зависимостью (3.40) приводит к громоздким интегралам. Это вынуждает нас воспользоваться приближенным выражением для 1 . На рисунке 3.16 приведена зависимость средней длины свободного пробега от летаргии и две кривые: ограничивающие реальную зависимость іХ(") сверху и снизу (летаргии U = 0 соответствует начальная энергия Е0 = 10 Мэв) . Для модельных выражений (3.41) и (3.42) посчитать JT , гораздо проще, чем для реальных сечений (3.40). Соответствующие зависимости изображены на рисунке 3.17 . Для Ц они хорошо аппроксимируются формулами: То обстоятельство, что зависимость (3.40) в области высоких летаргии имеет плато, привело к тому, что выражения (3.43) , (3.44) при Cf-»oo стремятся к 2/3 (как и в случае постоянных сечений) . Однако это значение достигается при неразумно больших значениях летаргии I 000, а в интервале реальных значений U (0-5-20) поведение 7(0 лучше аппроксимируется выражением, полученным для случая модельных сечений (3.36) , которым мы и будем пользоваться в расчетах. Все особенности транспортного приближения как вычислительной схемы остаются в силе, и мы останбвимся только на физических результатах. Как и в случае модельных сечений,разобранных в предыдущем параграфе, функция трв(2,«) при U S практически перестает зависеть от U ,т.е.пространственное распределение складывается в основном при первых трех,четырех пробегах, несмотря на более слабое убывание среднего свободного пробега (3.40) с ростом летаргии.Естественно ожидать, что и угловое распределние остается таким же, как и в случае модельных сечений. Пространственная зависимость функции (, ,1)/ ,,(1,(4) для нескольких летаргии приведена на рисунке 3.18 . С увеличением 2 и W угловые распределения очень быстро становятся изотропными. Это подтверждается и расчетом по методу Монте-Карло. Проведенное рассмотрение показывает, что с увеличением энергии источника характер угловых зависимостей не изменится.
Пространственное распределение опять же будет складываться при нескольких первых пробегах, а все последующие будут сглаживать угловые зависимости. При уменьшении энергии источника все особенности поля рассеянных нейтронов будут приближаться к картине, описанной для случая постоянных сечений. Когда же энергия источника попадет в область плато сечений (практически 9 Мэв), то угловые распределения с увеличением 2 становятся все более анизотропными даже при больших значениях летаргии,полностью повторяя результаты для случая постоянных сечений. Возрастное приближение при соответствующей параметризации правильно описывает нулевой и второй пространственные моменты функции Ч 0(г,и) , но плохо воспроизводит асимптотические свойства распределения. Они могут быть значительно улучшены, если обобщить аналитическое выражение для 0(г,и) так, чтобы оно включало очередной неисчезаіощий пространственный момент - четвертый. Такая программа может быть реализована на основе анализа трансформанты 0 полученной с использованием развитых методов. Использование Bt -транспортного приближения и ТНЗ для расчета плотности столкновений от плоского изотропного моноэнергетического источника в произвольном замедлителе приводит к соотношению Выражения (4.18) и (4.19) согласуются с известными условиями применимости возрастного приближения, выделяя соответственно малые расстояния и тяжелый замедлитель или сильно замедленные нейтроны. Однако, условие (4.18) мягче, чем соответствующее ему классическое условиеz roo/yu), т.е. возрастное приближение применимо в более широком интервале расстояний. При сохранении условия (4.19) и обращении знака неравенства .18) выражение (4.16) принимает вид и согласуется с асимптотической оценкой Вика [_3і] для случая монотонноубывающей средней длины свободного пробега 4.2.1. Результаты сопоставлений. На рисунке 4.1 приведена завист.юсть возраста нейтронов от водородосодержания железовод-ного замедлителя для источника нейтронов V . В случае чи- сто водного замедлителя расчет хорошо совпадает с экспериментальными результатами работы [59]. Для промежуточных водородо-содеряаний проведено сопоставление с экспериментальными результатами работы [60J и расчетами работы [бі] , выполненными с 18 и 26 групповыми системами констант. Результаты этих расчетов в интервале объемного водородосодержания 0,3 YY\ 0,7 неплохо совпадают как с экспериментальными результатами так и с расчетами настоящей работы, выполненными с 24-х групповой системой констант Б-2, использующейся для ядерно-геофизическ их расчетов. Расчет возраста в воде для моноэнергетического источника нейтронов с энергией 14,1 мэв и источника деления был проведен в работе J.62], результаты которой в сравнении с результатами настоящей работы сведены в таблице 4.1. Для энергий регистрации близких к энергии источника (или малых летаргии) %9{ц) і/М(и), а Ми) %(и). Средняя логарифмическая потеря энергии ,М определяется составом замедлителя и тем меньше, чем тяжелее замедлитель (чем больше его эффективный атомный номер). При увеличении летаргии tye(u) изменяется как под влиянием нерегулярных изменений ММ , отражающих нерегулярный ход энергетической зависимости сечений, так и в результате поглощения нейтронов, описываемого экспоненциальным множителем 4 (и) . В замедлителе с малым поглощением определяющим является первый фактор, с большим - второй.
Эти закономерности иллюстрируются рисунком 4.2. Замедлитель с малым водородосодержанием (m=o,oi) имеет низкое значение («) и при малых летаргиях соответствующее значение 11)0 на порядок выше, чем 1р9 в замедлителе сШ=0,95. Однако значительная величина сечения поглощения на ядре Fe обусловливает и более быстрое затухание tyo в замедлителе с большим содержанием железа. Энергетическая зависимость возраста нейтронов Тгссг) для трех отличающихся водородосодержанием замедлителей приведена на рисунке 4.3. Обращает внимание чрезвычайно-слабая зависимость f2 от летаргии для замедлителей с большим водородосодержанием. Это свидетельствует о том, что пространственное распределение, в значительной степени определяющееся величиной гСс/) , складывается в замедлителе с высоким водородосодержанием на на- чальной "фазе замедления. Так на рисунке 4.3 это замедление в интерволе энергий 14,1 нэв Е 2 мэв. Объясняется это очень быстрым убыванием средней длины свободного пробега в водородном замедлителе при возрастании энергии, Т.Е. первые 3-4 пробега практически формируют пространственное распределение, а последующие в силу их сравнительной малости, лишь незначительно размывают это распределение. Для сред с малым водородосо-держанием, где зависимость сечений от энергии более слабая на достаточно большом интервале летаргии при усреднении мелкомасштабных резонансов , роль низкоэнергетических пробегов значительнее. На рисунке 4.3 кривая для vn = 0,01 в среднем монотонно возрастает. Формально эти закономерности выражаются : в том, что для замедлит елей с высоким водородосодержанием интегрирование в выражении (4.9) в основном существенно лишь в небольшом интервале вблизи нижнего предела, а с увеличением аргумета подинтегральная функция быстро убывает; тогда как в тяжелом замедлителе существенно интегрирование по всему интервалу замедления. Отмеченные закономерности с еще большей определенностью проявились в формировании величины Тц (см.рис. 4.3),т.к. в этом случае происходит интегрирование уже iX (и) и роль большие значений Л возрастает. Так даже для низкого водородосо-держания (YY\ = 0,0l) пробеги при летаргиях больше 5 (Е 0,95 10 мэв ) ухе не сказываются на накопленном значении величины Заметим, что при увеличении водородосодержания значение при любой летаргии монотонно уменьшается,что определяется соответствующим увеличением величины %№ (подчеркнем: при данной летаргии).
Пространственные распределения
Для плоского изотропного источника деления пространственное распределение индиевых нейтронов в воде, экспериментально измеренное в работе JJ59] сравнивается с результатом настоящей работы на рисунке 4.8. В интервале расстояний, характеризующихся ослаблением потока, на три порядка,отличие не превышает 10/э. Проверка точности приближенного выражения fe.I6) проведе-_ на также сопоставлением пространственных распределений,полученных при численном обращении преобразования Фурье (?.&) и рас читанных непосрественно по формуле &-Л6) . Результаты сопоставления приведены на рисунка:: 4.9 - 4.10. Для тяжелого замедлителя (jfY) 0,0І) пространственные распределения как силь- но (и = 16,і), так и слабо ((J= 0,244) замедленных нетронов практически совпадают вплоть до расстояний 100 см от источника (см.рис. 4.9). При увеличении зодородосодержания точность приближения несколько ухудшается. Выражение (4.1б) приводит к более бьістроілу убыванию плотности столкновений при увеличении 2 по сравнению с распределением (4.6) . Однако точность предлагаемой аппроксимации значительно выше точности возрастного приближения. Так, например, на рисунке 4.16 на расстоянии 2= = 60 см возрастное приближение приводит к результату на порядок меньшему, чем выражение (4,6), тогда как аппроксимация (1.16) отличается от (4.6) всего лишь на 10#. Существует возможность улучшения асимптотических свойств аппроксимации (4.16) . Для этого нужно определять третий параметр приближенной трансформанты (например, С (и)) не из условия совпадения четвертых пространственных моментов, а из условия совпадения точек перегиба приближенной и точной трансформант, т.к. именно положение точки перегиба определяет глубокую асимптотику по 2 . Однако найти точку перегиба точной трансформанты, т.е. решить относительно X уравнение (или хотя бы получить достаточно точные верхние и нижние оценки корня) чрезвьиайно трудно. С другой стороны, для геофизических задач точность приближения (4.16) вполне достаточна. Характерные угловые распределения 1J»(?, ) )/ (2, ) приведены на рисунках 4.II - 4.12. Основные закономерности сводятся к тому, что слабо выраженная линейная анизотропия углового рас- пределения на малых-расстояниях от плоскости источника и при достаточно больших летаргиях трансформируется на больших расстояниях, особенно при малых летаргиях, в сильно анизотропные далекие от линейной анизотропии , а при малых летаргиях и малых расстояниях в немонотонные зависимости.
Характеризуя степень анизотропии нейтронного поля выражением представляющим собой отношение плотности нейтронов,летящих от источника к встречному потоку, результаты можно описать таблицей 4.3. Использование итерационной схемы, применяемой для численных расчетов, в качестве метода аналитического решения пространственно-однородной задачи позволило провести обобщение теории непрерывного замедления нейтронов на случай произвольной величины поглощения, неупругого рассеяния и (с привлечением транспортного приближения) на пространственно-неоднородные задачи. Построенная методика позволяет проанализировать пространственно-энергетическое распределение замедляющихся нейтронов с необходимой для ядерно-геофизических приложений полнотой. При построении и использовании методики получены следующие основные результаты: I.Установлен монотонный характер сходимости известного итерационного метода к предельному и, как показано для случая модельной задачи, точному результату. Установлена связь между классическими приближениями ТНЗ и последовательными итерациями. В аналитической форме получено решение, превосходящее по точности известные приближения ТНЗ, позволяющее оценить их ошибку и устанавливающее предел точности, который нельзя превзойти переопределением параметров т и Y 2.Развита методика учета неупругого рассеяния в схеме ТНЗ, сводящаяся к переопределению параметров теории и установлены пределы ее применилости, обусловленные пренебрежением линейной по величине вероятности поглощения поправкой, неукладывающейся в рамки приближения Грейлинга-Гертцеля. 3.Изучена роль коэффициентов разложения дифференциального -сечения по полиномам Лежандра в системе центра масс ІіЛ") в формировании параметров ТНЗ "5» , \ и VI . Показано, что значение параметра достаточно точно определяется коэффициентом i . Для расчета параметра необходимо учитывать анизотропию рассеяния второго порядка, т.е. І ; в противном случае можно получить нефизические отрицательные значения параметра.
Параметр У) в равной степени определяется уже тремя первыми коэффициентами \л , г , з и практически не зависит от Установлено, что для решения ядерно-геофизических задач параметры ъ ., » f монно рассчитывать как отношения соответствующих степенных моментов индикатрисы рассеяния и не пользоваться сложными методами, ориентированными на учет резонансной структуры коэффициентов L(tO. 4.Проведено исследование транспортного приближения. Показано, что нефизические решения в области малых летаргии и обратного рассеяния не являются результатом использования транспортного приближения. Его недостаток, приводящий к более слабой зависимости скалярного потока от расстояния, может быть исправлен уменьшением среднего косинуса угла рассеяния. Предложен алгоритм корректировки этой величины. Исследован характер сходимости Pv и Вд, -приближений, что позволило ограничиться в расчетах В приближением, обладающим достаточной для приложений точностью. Проведен иллюстративный расчет пространственно-энергетического распределения нейтронов в водородном замедлителе. Получены выводы о существенном влиянии энергетической зависимости сечений на характер углового распределения нейтронов, что в ряде прикладных задач может значительно ослабить требования к методу расчета, 5.На основе развитого подхода получено пространственно-энергетическое распределение плотности столкновений замедляющихся нейтронов, выражающееся черев три первых пространственных момента и обладающее достаточной для геофизических приложений точностью. Три пространственных момента являются искомым набо- ром нейтронных характеристик замедлителя. Выполнена серия расчетов интегральных характеристик нейтронных полей и проведен сравнительный анализ влияния типов приближения и физических процессов. Продемонстрирована возможность немонотонной зависимости возраста нейтронов от водородосодергл-ния замедлителя при больших энергиях источника нейтронов. 6.Создана удобная в обращении программа расчета интегральных характеристик нейтронных полей, служащая целям ядерно-пет-рофизического обеспечения геофизических исследований.
