Электронная библиотека диссертаций и авторефератов России
dslib.net
Библиотека диссертаций
Навигация
Каталог диссертаций России
Англоязычные диссертации
Диссертации бесплатно
Предстоящие защиты
Рецензии на автореферат
Отчисления авторам
Мой кабинет
Заказы: забрать, оплатить
Мой личный счет
Мой профиль
Мой авторский профиль
Подписки на рассылки



расширенный поиск

Асимптотические решения задач Дирихле для интегро-дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных Каландаришвили Давид Георгиевич

Асимптотические решения задач Дирихле для интегро-дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных
<
Асимптотические решения задач Дирихле для интегро-дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных Асимптотические решения задач Дирихле для интегро-дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных Асимптотические решения задач Дирихле для интегро-дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных Асимптотические решения задач Дирихле для интегро-дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных Асимптотические решения задач Дирихле для интегро-дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных Асимптотические решения задач Дирихле для интегро-дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных Асимптотические решения задач Дирихле для интегро-дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных Асимптотические решения задач Дирихле для интегро-дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных
>

Данный автореферат диссертации должен поступить в библиотеки в ближайшее время
Уведомить о поступлении

Диссертация - 480 руб., доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Автореферат - 240 руб., доставка 1-3 часа, с 10-19 (Московское время), кроме воскресенья

Каландаришвили Давид Георгиевич. Асимптотические решения задач Дирихле для интегро-дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных : ил РГБ ОД 61:85-1/455

Содержание к диссертации

Введение

ГЛАВА I. Задача с малым параметром для йнтегро-диф-ференциальных уравнений. регулярный'случай

1. Дифференциальные уравнения эллиптического типа с малым параметром в главной части 15

2. Первая краевая задача для интегро-дифферен циальных уравнений с малым параметром 26

3. Первая краевая задача для интегро-дифференциальных уравнений с операторами Лапласа... 36

ГЛАВА II. Задача с малым параметром для элжптйческих интегро-дифференциальных уравнений в нерегулярном случае

1. Задача для однородного интегро-дифференциаль-

ного уравнения 45

2. Неоднородное интегро-дифференциальное уравнение с малым параметром 54

3. Краевая задача для интегро-дифференциального уравнения с оператором Лапласа 73

Литература

Введение к работе

Многие практические задачи прикладной математики, физики и техники не поддаются исследованию известными классическими методами в смысле получения их точных решений. Поэтому возникает необходимость применения различных методов приближенного построения решений этих задач, которые разрабатываются по двум основным направлениям: развитие численных методов решения и развитие, так называемых, асимптотических методов решения. Среди асимптотических методов краевых задач с малым параметром при старших производных одно из центральных мест занимает метод асимптотических разложений по малым значениям параметра. Основная идея этого метода заключается в редукции рассматриваемой задачи к двум более простым, уже изученным задачам, с помощью решений которых строится асимптотическое представление искомого решения.

Идея упомянутого метода и ее реализация восходят к ранним работам А.Пуанкаре [і], И.Горна[2,з), Л.Прандтля[4], Дж.Бирк-гофа|У|, П.Нуайона[б], Я.Д.Тамаркина[т]и др. Однако систематические исследования уравнений с малым параметром начались с 30-х годов нашего столетия. Многие из них изложены в обзорной статье К.Фридрихса[8].

Исследование краевых задач для нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром были проведены в работах А.Н.Тихонова(9—її] . Один из общих результатов А.Н.Тихонова в указанном направлении изложен в работе (ilj, в которой рассматривается нелинейная система обыкновенных дифференциальных уравнений

r&FlW), зЫ^З>« (ол)

с начальными условиями

, (0.2)

где Е и ^ искомые векторы, р>0 -малый параметр. Относительно правых частей системы (0.1) установлены достаточные условия, гарантирующие сходимость при /*-*о решения

JJ-Cfc>/9 »Z(t^j рассматриваемой задачи (0.1-2) к решению вырожденной системы, которая получается из системы (0.1) при нулевом значении параметра J4 . Эти результаты нашли дальнейшее развитие в работах А.Б.Васильевой [12,13j, в которых установлена асимптотика решения исходной задачи относительно малого параметра h . Обширная библиография по этим и связанным с ними вопросами приведена в обзорных статьях [l4 - 18].

Упомянутые выше результаты А.Н.Тихонова сыграли определяющую роль для многочисленных последующих исследований в данном направлении. В работах 0.А.0лейникГі9,20] , М.И.Вишика и Л.А.Люстерника[21-2з]дан асимптотический метод решения краевых задач о малых возмущениях, в этих работах,в основном , рассмотрены краевые задачи для уравнений в частных производных эллиптического типа с малым параметром при старших производных, когда вырождение по малому параметру носит регулярный характер. Этот метод можно проиллюстрировать следующим образом: в конечной области евклидова пространства 2) рассматриваются дифференциальные операторы L2k4.: , j=oJlJ...J2tJ порядка 2k + jj соответственно. При этом операторы ілЛіс и 1^2^+21 эллиптичны» Для уравнения

JU -L-J^L^eJ f-' C Z^(j

Ц u, = Ц„ LW] + 1., Uw;Lu,]=(x; (о.з)

рассмотрена однородная граничная задача с условиями

9н"

= 0, =0,1,...,-1, (0.4)

Э2)

где производная берется по направлению внутренней нормали к поверхности

Асимптотическое решение задачи (0.3-4) построено посредством двух расщеплений оператора L . Первое представляется во всей области ?) согласно (0.3), а второе реализуется вблизи границы 92) области 2) . Затем, применением определенных рекуррентных соотношений строится асимптотическое решение исходной задачи:

u^)=2TL^w+2r^L+Vt(^bRvn+, (0.5)

v - і-. і "ті і

1*0 1=0 '

где функции W-(?0 регулярны в области 2) , а щЫ,1) являются функциями типа пограничного слоя, отличными от нуля в достаточно малой окрестности границы ЪЪ .В случае аналитических коэффициентов оператора L; и бесконечной дифферен-цируемости границы W в представлении (0.5) натуральное число уг) можно взять сколь угодно большим. Если же гладкость указанных коэффициентов и границы позволяет применение рекуррентных соотношений до какого-нибудь конечного шага уп , то существенно улучшить представление (0.5) невозможно.

- б -

Особо следует отметить, что при помощи энергетических неравенств вышеупомянутым авторам удалось доказать сходимость по норме полученных асимптотических рядов в пространстве Со-бол ев а \л/р

Б работах Н.П.Векуа[24 - 26]был предложен новый метод асимптотического разложения по малому параметру. Этот метод был применен для исследования ряда краевых задач, когда малый параметр содержался при старших производных в рассматриваемом уравнении. В работах[24-28] были исследованы задачи для обыкновенных дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений в случае комплексного аргумента. Более того, рассмотрены и сингулярные интегро-дифференциальные уравнения. Следует отметить, что в работе [2 б] выявлен а и исследована связь так называемого "сингулярного возмущения" дифференциальных операторов с теорией устойчивости движения.

Исследование краевых задач для обыкновенных интегро-дифференциальных уравнений другим методом было проведено А.Б.Ва^-сильевой, М.Иманалиевым, В.Ф.Бутузовым[29 - 32] и др. В этих работах рассмотрены обыкновенные интегро-дифференциальные

уравнения с малым параметром при старших производных:

м^+Рс^ч =АІ Ки^з&Ш+ /(*;, (о.б)

ff-fiU^Xlk^hj^oll + fa. (0.7)

Установлено, что для решений уравнений (О.б), (0.7) справедлива асимптотика относительно малого параметра, когда в вырожденной задаче однородное интегральное уравнение имеет только тривиальное решение. Одновременно с этим поставлена и

исследована спектральная задача для уравнений (0.6), (0.7) как с однородной, так и с неоднородной правой частью. Выявлены закономерности, выражающие зависимость решения от малого параметра.

Из последующих исследований в данном направлении отметим работы [29 - 38].

В настоящее время исследования по асимптотическим методам, в том числе и методом разложения решений в асимптотические ряды по степеням малого параметра, ведутся все более нарастающими темпами, как у нас, так и за рубежом, о чем свидетельствует огромное количество работ, появившихся в последнее время ( см,например,^9 - 53| ).

Настоящая работа посвящена исследованию краевых задач для интегро-дифференциальных уравнений с частными производными в трехмерном случае, с эллиптическим дифференциальным оператором второго порядка

LU = ZUu + Uu = ^W; (0-8)

с малым параметром е*о , где

и с интегральным оператором

Ядро КГОхл) интегрального оператора (0.10) предполагается непрерывным по обеим аргументам. Относительно функции 1$с) требуется выполнение неравенства

;fC*M^O. (O.II)

Поведение асимптотики решения краевой задачи для уравнения (0.8) существенно зависит от характера вырожденного уравнения, которое получается из (0.8) при =о . Если вырожденное уравнение с оператором (0.10) фредгольмово, а параметр А -регулярная точка оператора (0.10), то асимптотическое разложение по степеням малого параметра устойчиво. Если же параметр А окажется характеристическим числом оператора (0.10), это разложение, вообще говоря, может оказаться неустойчивым. В зависимости от этого работа разделена на две главы.

В первой главе мы рассматриваем случай, когда вырожденное интегральное уравнение

фредгольмово и число X не является характеристическим.

В I первой главы приводятся некоторые необходимые для дальнейшего изложения определения и вспомогательные предложения.

В 2 в конечной области 3) с гладкой границей из класса Я ' рассматриваем интегро-дифференциальное уравнение (0.8) с однородными граничными условиями

olte) Ug

= 0 (0.13)

где функция и[е) определена следующим образом

oC(e)zj{ 'К0ГДа Є>0> І0 ,когда г о.

Вырожденной же задачей является неоднородное интегральное уравнение Фредгольма (0.12) без каких-либо граничных условий. При помощи функции Грина &е&}^) задачи

tL±U +^(?OU -Со(^)> (0.14)

с граничным условием (0.13) при ^о , рассматриваемая задача (0.8), (0.13) редуцирована к следующему эквивалентному интегральному уравнению

Ы(*)+А( GU^ ^)^0^0=^ (*,), (0.15)

Для ядра &(«,,,) уравнения (0.15) устанавливается асимптотическое представление

где точка 2еЭ) связана с точкой зс определенным образом.

На основании этого представления устанавливается справедливость следукщих теорем:

Теорема 2.1. Если параметры задачи (0.8), (0.13) удовлетворяют условиям:

<Х;:Сх)бС5^»); lM)eCZ'\i)- С&еС^Съ).

то для достаточно малых значений параметра эта задача имеет единственное решение.

Теорема 2.2. Если параметры задачи (0.8), (0.13) удовлетворяют условиям:

a;j(x)eC ($)-J-i^)eC (%)-а*-)еС '()

и скалярное произведение в Ь2С^)

где оператор L0 определен формулой (0.10), а интегральное уравнение (0.12) для любой правой части имеет единственное решение, тогда решение задачи (0.8), (0.13) можно представить в виде

UgC*? ^2 l W(5c; + Ц' Є1 ІГ: О, 0+ 2^+l> (0.17)

где Wc(?0 решение вырожденного уравнения (0.12), W;(?0,

1-1,2,..,,^ -ограниченные, независящие от параметра функции, tr.(xjk) » L*0jij..vw -решения определенного обыкновенного дифференциального уравнения, представляющие собой функции типа пограничного слоя, отличные от нуля в малой окрестности границы 3 области ?) , а 2^+1 допускает оценку

IU.+1IIL =0(е"\). («-И)

В третьем параграфе рассмотрен частный случай уравнения (0.8), когда в главной части оператора UL фигурирует оператор Лапласа:

- II -

Исследована задача с однородным краевым условием (0.13) в единичном шаре с центром в начале координат. В таком случае асимптотика соответствующего решения (0.17) принимает более конкретный вид, ибо все итерационные процессы строятся в явном виде. Из полученного асимптотического представления заключаем, что решение задачи (0.19), (0.13) в любой замкнутой подобласти единичного шара, не содержащего граничных точек, при Є -»о стремится равномерно к решению вырожденного уравнения (0.12). При стремлении точки ос к границе шара последний факт уже не имеет места, ибо асимптотическое представление имеет вид

где ifiQoiJt)J t = o,ljv..,»*i -функции типа пограничного слоя.

В параграфе один главы П мы рассматриваем аналогичную задачу для однородного уравнения (0.8), когда однородное интегральное уравнение (0.12) имеет одно нетривиальное решение. При помощи соответствующей функции Грина (^) рассматриваемая задача, при , эквивалентно редуцирована к интегральному уравнению

Ы(х) + А \ GL^^t^^Mi^O (0.20)

и установлена асимптотика ядра &(ос;ч,е] по параметру . На основании (0.16) и полученных асимптотических представлений

даны асимптотические представления детерминантов Фредгольма. Применением этих разложений доказываем справедливость утверждения:

Если А0 простой корень уравнения J2)(A) = 0 , то можно
указать малую окрестность числа А0 , в которой всегда будет
существовать корень уравнения ЖХ,є)-0 ,причем будет

соблюдено равенство

Здесь через Ю(\) обозначен детерминант Фредгольма ядра (х(ос,у) интегрального уравнения (0.12), а через )(А,є) -детерминант Фредгольма ядра G(x,4,). Собственные функции 9Чх,е) и УЧэс) , соответствующие характеристическим числам л(і) и А0 , удовлетворяют равенству

У(х,е)=УЫ-У(г)хрН]+ 0(е>, (0,22)

где точка z$d%) связана с точкой X определенным образом. СКэс) везде в работе величина порядка эсч

Во втором параграфе главы П рассматривается краевая задача при аналогичных предположениях для неоднородного уравнения (0.8) при однородных граничных условиях. Опираясь на результаты предыдущего параграфа, исследован случай, когда интегральное уравнение (0.12) с однородной правой частью имеет одно нетривиальное решение. В таком случае, естественно, неоднородное интегральное уравнение (0.12) для произвольной правой части (Цх) из пространства L^№J і вообще говоря, не будет разрешимым без дополнительного условия. Устанавливая априорную оценку

- ІЗ -

*IMUCI|Leul|, (0-23)

где С не зависит от е » для всех решений задачи (0.8), (0.13), доказываем, что асимптотическое представление этих решений относительно малого параметра содержит отрицательные степени не выше второго порядка. Это представление имеет вид

Ц= г

—г- + z + Lu0 + lC,u( + C2uJ>--/-

*?Г +2 (0.24)

где функции Ue;U,, U0)k.., LU не зависят ої ^ , a функции tr0, IT, , iro ;..., ir^ -представляют собой функции типа пограничного слоя. Все они строятся явно на основании специальных итерационных процессов.

В качестве примера в параграфе три главы П мы рассмотрели задачи с однородными граничными условиями для конкретного уравнения

Uu = -^Аив + UW - 2^ J Н&Нї ~ fa) (0*25)

г>

При рассмотрении этой задачи в оценке (0.23) постоянная С выражается в явном виде. Для решения уравнения (0.25) в единичном шаре с однородным граничным условием (0.13) точно ус-

- и -

танавливается , в каких случаях начинается асимптотическое представление решения с отрицательной первой степенью параметра , или же, когда отрицательная степень параметра вообще отсутствует.

В заключении выражаю благодарность моему научному руководителю академику АН ГССР Н.П.Векуа за постановку задачи и проявленное им внимание при выполнении настоящей работы.

Дифференциальные уравнения эллиптического типа с малым параметром в главной части

Исследована задача с однородным краевым условием (0.13) в единичном шаре с центром в начале координат. В таком случае асимптотика соответствующего решения (0.17) принимает более конкретный вид, ибо все итерационные процессы строятся в явном виде. Из полученного асимптотического представления заключаем, что решение задачи (0.19), (0.13) в любой замкнутой подобласти единичного шара, не содержащего граничных точек, при Є -»о стремится равномерно к решению вырожденного уравнения (0.12). При стремлении точки ос к границе шара последний факт уже не имеет места, ибо асимптотическое представление имеет вид -функции типа пограничного слоя.

В параграфе один главы П мы рассматриваем аналогичную задачу для однородного уравнения (0.8), когда однородное интегральное уравнение (0.12) имеет одно нетривиальное решение. При помощи соответствующей функции Грина ( ) рассматриваемая задача, при о , эквивалентно редуцирована к интегральному уравнению Ы(х) + А \ GL t Mi O (0.20) и установлена асимптотика ядра &(ос;ч,е] по параметру . На основании (0.16) и полученных асимптотических представлений - 12 даны асимптотические представления детерминантов Фредгольма. Применением этих разложений доказываем справедливость утверждения:

Если А0 простой корень уравнения J2)(A) = 0 , то можно указать малую окрестность числа А0 , в которой всегда будет существовать корень уравнения ЖХ,є)-0 ,причем будет соблюдено равенство

Здесь через Ю(\) обозначен детерминант Фредгольма ядра (х(ос,у) интегрального уравнения (0.12), а через )(А,є) -детерминант Фредгольма ядра G(x,4,). Собственные функции 9Чх,е) и УЧэс) , соответствующие характеристическим числам л(і) и А0 , удовлетворяют равенству У(х,е)=УЫ-У(г)хрН]+ 0(е , (0,22) где точка z$d%) связана с точкой X определенным образом. СКэс) везде в работе величина порядка эсч

Во втором параграфе главы П рассматривается краевая задача при аналогичных предположениях для неоднородного уравнения (0.8) при однородных граничных условиях. Опираясь на результаты предыдущего параграфа, исследован случай, когда интегральное уравнение (0.12) с однородной правой частью имеет одно нетривиальное решение. В таком случае, естественно, неоднородное интегральное уравнение (0.12) для произвольной правой части (Цх) из пространства L №J і вообще говоря, не будет разрешимым без дополнительного условия. Устанавливая априорную оценку где С не зависит от е » для всех решений задачи (0.8), (0.13), доказываем, что асимптотическое представление этих решений относительно малого параметра содержит отрицательные степени не выше второго порядка. Это представление имеет вид где функции Ue;U,, U0)k.., LU не зависят ОЇ , a функции tr0, IT, , iro ;..., ir -представляют собой функции типа пограничного слоя. Все они строятся явно на основании специальных итерационных процессов.

В качестве примера в параграфе три главы П мы рассмотрели задачи с однородными граничными условиями для конкретного уравнения

При рассмотрении этой задачи в оценке (0.23) постоянная С выражается в явном виде. Для решения уравнения (0.25) в единичном шаре с однородным граничным условием (0.13) точно ус - и танавливается , в каких случаях начинается асимптотическое представление решения с отрицательной первой степенью параметра , или же, когда отрицательная степень параметра вообще отсутствует.

В заключении выражаю благодарность моему научному руководителю академику АН ГССР Н.П.Векуа за постановку задачи и проявленное им внимание при выполнении настоящей работы.

В трехмерном пространстве Е3 будем рассматривать одыосвязную конечную область 2) , ограниченную поверхностью

Введем понятие функции пограничного слоя порядка К как функцию 1Г6С (2))» Р К , удовлетворяющую условиям:

1. Функция \Ts(pc) и ее производные до порядка р включительно сосредоточены вблизи границы области , т.е. эти функции равномерно стремятся к нулю при - С на любом замкнутом подмножестве области 2) , не содержащем точек границы ,S.

2. Производные порядка К функции \г (х) ограничены в 2) при 8 0 , в то время как среди производных порядка (к і) от функции TJ C -) есть Функции, стрешщиеся к бесконечности по норме Liz при - 0 ; производные порядка \, функции стремятся к нулю при - о в за№" кнутой области

Предположим, что для каждой точки границы ,5 области 2) существует шар P(ZJ с центром в точке 2 при этом Г\Г() допускает двумерную параметризацию,определяемую векторным уравнением

Первая краевая задача для интегро-дифферен циальных уравнений с малым параметром

Многие практические задачи прикладной математики, физики и техники не поддаются исследованию известными классическими методами в смысле получения их точных решений. Поэтому возникает необходимость применения различных методов приближенного построения решений этих задач, которые разрабатываются по двум основным направлениям: развитие численных методов решения и развитие, так называемых, асимптотических методов решения. Среди асимптотических методов краевых задач с малым параметром при старших производных одно из центральных мест занимает метод асимптотических разложений по малым значениям параметра. Основная идея этого метода заключается в редукции рассматриваемой задачи к двум более простым, уже изученным задачам, с помощью решений которых строится асимптотическое представление искомого решения.

Идея упомянутого метода и ее реализация восходят к ранним работам А.Пуанкаре [і], И.Горна[2,з), Л.Прандтля[4], Дж.Бирк-гофаУ, П.Нуайона[б], Я.Д.Тамаркина[т]и др. Однако систематические исследования уравнений с малым параметром начались с 30-х годов нашего столетия. Многие из них изложены в обзорной статье К.Фридрихса[8].

Исследование краевых задач для нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром были проведены в работах А.Н.Тихонова(9—її] . Один из общих результатов А.Н.Тихонова в указанном направлении изложен в работе (ilj, в которой рассматривается нелинейная система обыкновенных дифференциальных уравнений где Е и искомые векторы, р 0 -малый параметр. Относительно правых частей системы (0.1) установлены достаточные условия, гарантирующие сходимость при / - о решения JJ-Cfc /9 »Z(t j рассматриваемой задачи (0.1-2) к решению вырожденной системы, которая получается из системы (0.1) при нулевом значении параметра J4 . Эти результаты нашли дальнейшее развитие в работах А.Б.Васильевой [12,13j, в которых установлена асимптотика решения исходной задачи относительно малого параметра h . Обширная библиография по этим и связанным с ними вопросами приведена в обзорных статьях [l4 - 18].

Упомянутые выше результаты А.Н.Тихонова сыграли определяющую роль для многочисленных последующих исследований в данном направлении. В работах 0.А.0лейникГі9,20] , М.И.Вишика и Л.А.Люстерника[21-2з]дан асимптотический метод решения краевых задач о малых возмущениях, в этих работах,в основном , рассмотрены краевые задачи для уравнений в частных производных эллиптического типа с малым параметром при старших производных, когда вырождение по малому параметру носит регулярный характер. Этот метод можно проиллюстрировать следующим образом: в конечной области евклидова пространства 2) рассматриваются дифференциальные операторы L2k4.: , j=oJlJ...J2tJ порядка 2k + jj соответственно.

Неоднородное интегро-дифференциальное уравнение с малым параметром

Асимптотическое решение задачи (0.3-4) построено посредством двух расщеплений оператора L . Первое представляется во всей области ) согласно (0.3), а второе реализуется вблизи границы 92) области 2) . Затем, применением определенных рекуррентных соотношений строится асимптотическое решение исходной задачи: где функции W-(?0 регулярны в области 2) , а щЫ,1) являются функциями типа пограничного слоя, отличными от нуля в достаточно малой окрестности границы ЪЪ .В случае аналитических коэффициентов оператора L; и бесконечной дифферен-цируемости границы W в представлении (0.5) натуральное число уг) можно взять сколь угодно большим. Если же гладкость указанных коэффициентов и границы позволяет применение рекуррентных соотношений до какого-нибудь конечного шага УП , то существенно улучшить представление (0.5) невозможно.

Особо следует отметить, что при помощи энергетических неравенств вышеупомянутым авторам удалось доказать сходимость по норме полученных асимптотических рядов в пространстве Со-бол ев а \л/р

Б работах Н.П.Векуа[24 - 26]был предложен новый метод асимптотического разложения по малому параметру. Этот метод был применен для исследования ряда краевых задач, когда малый параметр содержался при старших производных в рассматриваемом уравнении. В работах[24-28] были исследованы задачи для обыкновенных дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений в случае комплексного аргумента. Более того, рассмотрены и сингулярные интегро-дифференциальные уравнения. Следует отметить, что в работе [2 б] выявлен а и исследована связь так называемого "сингулярного возмущения" дифференциальных операторов с теорией устойчивости движения.

Исследование краевых задач для обыкновенных интегро-дифференциальных уравнений другим методом было проведено А.Б.Ва -сильевой, М.Иманалиевым, В.Ф.Бутузовым[29 - 32] и др. В этих работах рассмотрены обыкновенные интегро-дифференциальные уравнения с малым параметром при старших производных:

Установлено, что для решений уравнений (О.б), (0.7) справедлива асимптотика относительно малого параметра, когда в вырожденной задаче однородное интегральное уравнение имеет только тривиальное решение. Одновременно с этим поставлена и исследована спектральная задача для уравнений (0.6), (0.7) как с однородной, так и с неоднородной правой частью. Выявлены закономерности, выражающие зависимость решения от малого параметра.

Из последующих исследований в данном направлении отметим работы [29 - 38].

В настоящее время исследования по асимптотическим методам, в том числе и методом разложения решений в асимптотические ряды по степеням малого параметра, ведутся все более нарастающими темпами, как у нас, так и за рубежом, о чем свидетельствует огромное количество работ, появившихся в последнее время ( см,например, 9 - 53 ).

Настоящая работа посвящена исследованию краевых задач для интегро-дифференциальных уравнений с частными производными в трехмерном случае, с эллиптическим дифференциальным оператором второго порядка LU = ZUu + Uu = W; (0-8) с малым параметром е о , где и с интегральным оператором

Ядро КГОхл) интегрального оператора (0.10) предполагается непрерывным по обеим аргументам. Относительно функции 1$с) требуется выполнение неравенства

Поведение асимптотики решения краевой задачи для уравнения (0.8) существенно зависит от характера вырожденного уравнения, которое получается из (0.8) при =о . Если вырожденное уравнение с оператором (0.10) фредгольмово, а параметр А -регулярная точка оператора (0.10), то асимптотическое разложение по степеням малого параметра устойчиво. Если же параметр А окажется характеристическим числом оператора (0.10), это разложение, вообще говоря, может оказаться неустойчивым. В зависимости от этого работа разделена на две главы.

Краевая задача для интегро-дифференциального уравнения с оператором Лапласа

Исследована задача с однородным краевым условием (0.13) в единичном шаре с центром в начале координат. В таком случае асимптотика соответствующего решения (0.17) принимает более конкретный вид, ибо все итерационные процессы строятся в явном виде. Из полученного асимптотического представления заключаем, что решение задачи (0.19), (0.13) в любой замкнутой подобласти единичного шара, не содержащего граничных точек, при Є -»о стремится равномерно к решению вырожденного уравнения (0.12). При стремлении точки ос к границе шара последний факт уже не имеет места, ибо асимптотическое представление имеет вид -функции типа пограничного слоя.

В параграфе один главы П мы рассматриваем аналогичную задачу для однородного уравнения (0.8), когда однородное интегральное уравнение (0.12) имеет одно нетривиальное решение. При помощи соответствующей функции Грина ( ) рассматриваемая задача, при о , эквивалентно редуцирована к интегральному уравнению Ы(х) + А \ GL t Mi O (0.20) и установлена асимптотика ядра &(ос;ч,е] по параметру . На основании (0.16) и полученных асимптотических представлений даны асимптотические представления детерминантов Фредгольма. Применением этих разложений доказываем справедливость утверждения:

Если А0 простой корень уравнения J2)(A) = 0 , то можно указать малую окрестность числа А0 , в которой всегда будет существовать корень уравнения ЖХ,є)-0 ,причем будет соблюдено равенство

Здесь через Ю(\) обозначен детерминант Фредгольма ядра (х(ос,у) интегрального уравнения (0.12), а через )(А,є) -детерминант Фредгольма ядра G(x,4,). Собственные функции 9Чх,е) и УЧэс) , соответствующие характеристическим числам л(і) и А0 , удовлетворяют равенству У(х,е)=УЫ-У(г)хрН]+ 0(е , (0,22) где точка z$d%) связана с точкой X определенным образом. СКэс) везде в работе величина порядка эсч

Во втором параграфе главы П рассматривается краевая задача при аналогичных предположениях для неоднородного уравнения (0.8) при однородных граничных условиях. Опираясь на результаты предыдущего параграфа, исследован случай, когда интегральное уравнение (0.12) с однородной правой частью имеет одно нетривиальное решение. В таком случае, естественно, неоднородное интегральное уравнение (0.12) для произвольной правой части (Цх) из пространства L №J і вообще говоря, не будет разрешимым без дополнительного условия. Устанавливая априорную оценку - ІЗ IMUCILeul, (0-23) где С не зависит от е » для всех решений задачи (0.8), (0.13), доказываем, что асимптотическое представление этих решений относительно малого параметра содержит отрицательные степени не выше второго порядка. Это представление имеет вид Ц= г —г- + z + Lu0 + lC,u( + C2uJ --/ Г +2 (0.24) где функции Ue;U,, U0)k.., LU не зависят ОЇ , a функции tr0, IT, , iro ;..., ir -представляют собой функции типа пограничного слоя. Все они строятся явно на основании специальных итерационных процессов. В качестве примера в параграфе три главы П мы рассмотрели задачи с однородными граничными условиями для конкретного уравнения Uu = - Аив + UW - 2 J Н&Нї fa) (0 25) г

При рассмотрении этой задачи в оценке (0.23) постоянная С выражается в явном виде. Для решения уравнения (0.25) в единичном шаре с однородным граничным условием (0.13) точно ус - и танавливается , в каких случаях начинается асимптотическое представление решения с отрицательной первой степенью параметра , или же, когда отрицательная степень параметра вообще отсутствует.

В заключении выражаю благодарность моему научному руководителю академику АН ГССР Н.П.Векуа за постановку задачи и проявленное им внимание при выполнении настоящей работы.

Похожие диссертации на Асимптотические решения задач Дирихле для интегро-дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных