Приближенные симметрии и решения дифференциальных уравнений с малым параметром Багдерина Юлия Юрьевна

Полнота систем уравнений на инвариант приближенной группы

Из теории интегрирования линейных уравнений в частных производных первого порядка [17], [53] следует, что система Г _9, q = 0, ... ,р, полна на решениях систем IQ: . . . , Г2р_9_і, если скобка Якоби любой пары ее уравнений представима как линейная функция уравнений систем Г&0, , Slp-q- Иначе получившееся в результате вычисления скобки Якоби уравнение, содержащее функции I (z),. .. , / .)(2), к р — g, добавляется к системе ftk- Как показано в [55], скобка Якоби уравнений системы Qp-q с операторами Хр и Х7, /?, 7 = 1, ,fg, имеет вид Условие того, что операторы (1-4) образуют базис приближенной алгебры Ли недостаточно, как в случае точных групп, для полноты систем (1.8). Например, коммутатор [Xp,Xj] операторов Хр pXy(o), /3, 7 = rp_i + l, ... ,гр, всегда равен о(єр) независимо от того, чему равен коммутатор [Х до), Х7д0)]- Для полноты системы Г2о необходимо, чтобы [Xgдо)5 7.(0)] ыл линейной функцией операторов Xiд0), , Хг до). Операторы (1.4) можно представить в виде используя вспомогательные операторы Согласно теореме 1.2 [55] в качестве достаточного условия полноты систем (1.8) предлагается для одних и тех же операторов (1.10) вычислять коммутаторы с разным порядком точности. Чтобы не повторять одинаковых действий, можно вычислять коммутатор пары операторов (1.10) только один раз с некоторым наибольшим порядком точности. Этот порядок равен р — д, если уравнения с обоими операторами одновременно входят в системы QQ, . .. , Qp-q: а в системе fip_f/+i хотя бы одно из них отсутствует. Полученный коммутатор с точностью o(ep q) должен быть линейной функцией операторов (1.10) с некоторыми коэффициентами tu(z,e). При этом, так как уравнения с операторами Ya , ар = rp_i+l, ... , гр, входят только в Г о, то коэффициенты при Уа должны иметь вид ep quj(z). Уравнения с операторами Ya _г, ар-\ = гр_2 В соответствии с соглашением о повторяющихся индексах, знак суммирования по сні от Г{-\ + 1 до г І будет опущен. Кроме того, положим т х = 0. Теорема 1.2 [55] может быть переформулирована в виде следующего достаточного условия полноты систем (1.8). Доказательство. Докажем полноту системы Qp-q для произвольного q = 0, ... , р. Система 07J_g состоит из уравнений с операторами Yi,... , УГ(. По условию теоремы для операторов Yp и Уу, /3 = rfy_i + l, ... ,rr/, 7 = rfc_i + l, ... , г ;, fc g, с точностью о(єр 9) выполняются равенства (1.11) с некоторыми функциями CJ (Z,S). Уравнения с операторами УП/, jf = 0, ... , q — 1, кроме По? , р-5 входят также в системы Ор_ч+і, ... , Clp_j. Для них равенства вида (1.11) выполняются с больпіей точностью чем o(ep q). Тем более эти равенства выполняются с точностью o(ep q).

Поэтому для любой пары операторов Yp и У7, /3, 7 = 1, , системы f _f/ имеют место равенства вида (1.11). Приравняв в (1.11) коэффициенты при степенях малого параметра, получим уравнения Подстановка выражений (1.12) в скобку Якоби (1.9) уравнений системы Qp-q и перегруппировка слагаемых дают Таким образом, если условие теоремы выполняется, то скобка Якоби уравнений системы ftp-q представима в виде линейной функции уравнений систем Г2о, , Цу-g- Следовательно, для произвольного q = 0, ... , р, система ftp-q полна на решениях систем Гіо , Цэ-g-i- Теорема доказана. Пример 1.1. Найдем все функционально независимые инварианты трёхпараметрической приближенной группы преобразований G%, с точностью о(є) порождаемой операторами Операторы (1.13) образуют базис приближенной алгебры Ли, так как выполнены равенства Соответствующие (1.13) операторы Y\ X\, Y i — ydx — xdy + vdu — udv, Уз = tdx + ди не удовлетворяют условию теоремы 1.3, так как коммутатор [У з] = УА = tdy + dv не является линейной функцией операторов Хц , І2, Уз- В то же время и скобка Якоби уравнений системы независима от уравнений По- TO есть система По не полна и к ней необходимо добавить уравнение с оператором Y\. Обозначим По полученную таким образом систему уравнений на 1 у Она полна, так как Y± удовлетворяет соотноніениям [Хі о), І4] — У A-, [ 2) УА] = — Хз, [Кз, У4] — 0. Система Пі содержит одно уравнение, поэтому системы По, Оі совместны. Согласно теории линейных уравнений в частных производных первого порядка [17], в пространстве 5 переменных , х, у, и, v система По имеет 1 независимое решение 1(0). Подставляя его в уравнение Пі на 1 ), находим инвариант нулевого порядка Однородное уравнение на 1(\) (т.е. в нем /(0) — 0) имеет 4 независимых решения, причем 1 из них удовлетворяет системе По- Оставшиеся дают 3 инварианта первого порядка вида єІ{\) 1.3. Совместность систем уравнений на инвариант приближенной группы При исследовании совместности систем (1.8) каждая система lp-q, q = О, ... ,р, рассматривается как система алгебраических уравнений на переменные 9/(p_g)/ dzl,... , dl{p-q)/ dzN [17]. Может оказаться, что система Up-q совместна на решениях систем MQ, ... , Up-q-i. Или же появляется новое уравнение, содержащее dl fdz1,... , dl(k)/dzl, к р — д, не имеющееся в системе Ofc. Тогда оно должно быть добавлено в систему Гід-. Обозначим ХгМ = Й г,( /)11 а 1 = r -i + 1 ,П, / = 1, .. . ,iV, и будем рассматривать блочные матрицы из координат операторов (1.4) To есть Mo является матрицей однородной системы, состоящей из уравнений системы Up, рассматриваемых как алгебраические уравнения относительно dl[p)jdzl. М\ является матрицей однородной системы, состоящей из уравнений систем Цэ-i, Ц,, рассматриваемых как алгебраические уравнения относительно dl i /dz1, dl /dz1. Аналогично Мг/, q = 2, ... , р, является матрицей однородной системы, состоящей из урав- нений систем Up__q,. .. ,ПР, рассматриваемых как алгебраические уравнения относительно dl{p-q)/dz\ ..., dl(p)/ dzl. Для рангов матриц (1.14) и (1.16) используем обозначение Специальный вид систем (1.8) позволяет доказать следующее утверждение. Теорема 1.4. Условие совместности систем По, . , Up выполняется после добавления к каждой из систем Up-q, q = 1, ... , р, некоторых независимых уравнений на I p_q (z). Доказательство. Число независимых уравнений на функцию I(p)(z) в системе Qp определяется значением rankMo — RQ. I. Случай q = 1. Независимые уравнения на I(p_i)(z) могут быть получены из уравнений системы 1р, рассматриваемых как алгебраические уравнения относительно dl jdz1. Из свойств ранга матрицы имеем rankMo SQ Яо- Элементарные преобразования строк приводят матрицу Мо -ВоЦ к такому виду Некоторые из этих уравнений не являются линейной функцией уравнений системы Цэ_1 и должны быть добавлены к ftp-\. Их число определяется значением rank Оно представляет собой разность между числом независимых уравнений на /(р.!)(.г) в системе ftp-\, дополненной уравнениями (1.17), и числом независимых уравнений на I p_ (z) в исходной системе ftp \.

Редукция дифференциальных уравнений в частных производных

Доказанная в предыдущем параграфе теорема об инвариантном представлении применяется здесь для обоснования метода построения приближенно инвариантных решений дифференциальных уравнений с малым параметром. При этом отыскание решения некоторой системы дифференциальных уравнений, инвариантного относительно приближенной группы преобразований, сводится к интегрированию системы с меньшим числом независимых переменных. Доказательство соответствующего утверждения повторяет в основном доказательство аналогичного утверждения для точных групп [30, 31]. Уравнения в частных производных произвольного порядка могут быть сведены к некоторой системе уравнений в частных производных первого порядка. Поэтому будем рассматривать уравнения определяют решение уравнений (2.35), если после их подстановки в (2.35) с точностью о(єр) получаются тождества по х. Решение (2.36) называется приближенно инвариантным относительно приближенной группы G7) преобразований, порождаемой операторами инвариантны относительно этой группы. Пусть rank цо/0ч г] ,0J = RQ. Тогда согласно результатам главы 1 группа GT имеет tp = п+т—RQ функционально независимых инвариантов Установим необходимое условие существования приближенно инвариантного решения. Предположим, что уравнения определяют неособое многообразие точной группы Gv0,(o), порождаемой операторами Хідо), . . . , ХГО)(о), т.е. выполняется условие rankCo,(0) 0,(0)11(2.39) =Я0- Тогда по теореме 2.1 об инвариантном представлении для уравнений (2.36) существует эквивалентная система, задаваемая инвариантными функциями группы GTi вида причём rank іапк\\дФ /диа : 771. Решения уравнений (2.36) и (2.40) совпадают. В данном случае это означает, что подстановка выражений (2.36) для иа в уравнения (2.40) превращает их в тождества по х. Из системы (2.40) должны определяться и как функции (2.36) от ж1, ... , х \ поэтому должен быть не По свойству ранга произведения матриц rank меньше га, но так как в этой матрице всего т столбцов, то он равен га.

Таким образом, для приближенных групп преобразований необходимое условие существования приближенно инвариантного решения аналогично необходимому условию существования инвариантного решения для точных групп Уравнения (2.35) допускают группу Gr , если система (2.35) инвариантна относительно группы Gr , продолженной на первые производные р" функций и по хг. Компоненты соответствующих продолженных операторов (2.37) имеют вид Их координаты вычисляются по обычным формулам продолжения [30] Сїа,(д)(хіиіР) = A (Q)(a:,w) -p?Di3Qt{q){x,u), где Dj оператор полной производной по х1. Пусть rank \\Сао,(о) ,,(0) Съо,(0) = о- ТогДа первое продолжение группы Gr , действующее в пространстве переменных x\ua,pf, имеет t = п + т + пт — RQ функционально независимых инвариантов І1(х,и,є), ... , Itp(x,u,s), Itp+l(x,u,p,e), ..., Ґ(х,и,р,є), являющихся дифференциальными инвариантами первого порядка группы Gr . Это множество включает и tp инвариантов нулевого порядка (2.38) группы GVi. Предположим, что уравнения F (x:u,p) = 0, i/=l, ...,m, (2.42) определяют неособое многообразие первого продолжения точной группы Gro(o), порождаемого операторами 1,(0) ... ,ХГп(о), т.е. выполняется условие rank o (0) о(0) СГао,(0)(2.42) = Тогда к УРавнениям (2-35) применима теорема 2.1 об инвариантном представлении, что позволяет доказать следующее утверждение о редукции числа независимых переменных в задаче нахождения приближенно инвариантного решения дифференциальных уравнений с малым параметром. Теорема 2.2. Пусть уравнения (2.35) инвариантны относительно г/Г параметрической приближенной группы Gr преобразований, для инвариантов (2.38) которой выполнено условие (2.41). Тогда существует система связывающая инварианты 11{х,и,є),... , І1р(х,и,є)} функции инвариантов Фа(І,є) и их производные по / (индекс sq при переменной / означает зависимость от всех инвариантов (2.38) g-го порядка). При этом, если какое-либо решение (2.40) системы (2.43) удовлетворяет условию гапкЦсЭФ /ди 7! — тп, то функции (2.36), получаемые решением (2.40) относительно и1 являются решением уравнений (2.35), инвариантным относительно группы Gr, Замечание 2.2. Уравнения (2.43) принимают более простой вид, если функции Фи(І,є) в (2.40) записать в разрешенном относительно т переменных /s виде Если операторы (2.37) удовлетворяют условиям теоремы 1.3 и следствия 1.1, то системы уравнений на инвариант группы Gr вида (1.8) полны и совместны.

В этом случае известно, сколько функционально независимых инвариантов каждого порядка имеет группа Gr . А именно, в соответствии с (1.18), в формулах (2.38) tq = п + т — Rp-qi q = 0, ... ,р, где - R\ Rp-i -Яр- Таким образом, если уравнения (2.40) записаны в явном виде, то в системе (2.43) функции WK зависят от to—ттг = n—Rp независимых переменных /, WK\ зависят от t\—m = n — Rp-\ переменных, и т.д., функции W?\ зависят от tp — т = п — RQ независимых переменных, т.е. происходит редукция числа независимых переменных задачи. Доказательство. Уравнения (2.35) инвариантны относительно преобразований продолженной на первые производные группы Gr . По теореме 2.1 существует эквивалентная (2.35) система уравнений связывающая дифференциальные инварианты первого порядка группы GTp. Решение уравнений (2.35) ищется в виде равенств (2.40) с неопределенными функциями Фр инвариантов (2.38). Продифференцируем равенства (2.40) по всем переменным х1, ... , хп. Если rank \\дФ /диа\\ — т., то систему уравнений можно разрешить относительно всех производных pi. В лемме 2.3, приведенной в конце данного параграфа, показано, что подстановка найденных таким образом величин pf в дифференциальный инвариант первого порядка группы Grp превращает его в некоторый инвариант нулевого порядка группы Grp. Так как функции Ф сами являются инвариантами группы Gr и, кроме того, система (2.45) содержит частные производные Ф" по /, то подстановка pf в уравнения (2.44), эквивалентные (2.35), превращает их в систему вида (2.43), связывающую инварианты 71, ... , Р , функции Инвариантов Ф"(/,є:) и их производные. Предположим, что равенства (2.40) образуют решение уравнений (2.43). Если rank ЦдФ /сН Ц = т, то их можно разрешить относительно функций (2.36) иа = (ра(х,є), а систему (2.45) - относительно производных При этом производные функций (2.36) совпадают с функциями (2.46), в которых иа = (ра(х,е). Уравнения (2.43) получены подстановкой производных (2.46) в систему (2.44), эквивалентную уравнениям (2.35). Так как подстановка выражений (2.40) превращает уравнения (2.43) в тождества, то и подстановка выражений и = і/?ст(ж,є), р" = ф"(ж, v?(cc, є), є), найденных из (2.40), (2.45), превращает уравнения (2.35) в тождества. Следовательно, равенства иа = сра(х,е) образуют приближенно инвариантное решение уравнений (2.35). Теорема доказана. Лемма 2.3. Пусть І(х,и,р,є) - дифференциальный инвариант первого порядка группы G p, а функции Ф"(х,и,є) = Ф"0\(х,и) + еФ Лх.и) + ... + ерФипр\{х,и) + о(єр), v = 1, ... ,7тг, - такие инварианты группы GTpl для которых rank шФ /дг ІІ = т. Тогда подстановка производных

Интегралы систем обыкновенных дифференциальных уравнений с широкой группой симметрии

В теории обыкновенных дифференциальных уравнений один из приемов интегрирования ОДУ первого порядка у = F(x,y) связан с понятием интегрирующего множителя, т.е. с функцией /л(х,у), удовлетворяющей уравнению dfjl/dxJrd(F/jl)/dy = 0. Хорошо известно, что знание допускаемого уравнением оператора X = {х,у)дх + г}(х, у)ду даёт интегрирующий множитель (г/ — F ) 1 этого уравнения (при условии г] ф F). Отношение двух таких интегрирующих множителей является решением уравнения [49, 58]. В своих трудах Софус Ли вычислял интегралы обыкновенного дифференциального уравнения п-го порядка с помощью определителей, составленных из координат п + 1 допускаемых точечных симметрии. Для уравнения второго порядка эти формулы можно найти в [58, 62]. Они будут иметь более простой вид, если допускаемые уравнением симметрии представить в канонической форме симметрии Ли-Беклунда [22]. Например, для уравнения первого порядка у = F(x,y) допускаемые операторы принимают вид Х{ — i(x,y)D = fi(x,y)dy, і — 1,2, а решение (2.76) уравнения записывается в форме f\//2 = С. Здесь рассматривается система т обыкновенных дифференциальных уравнений п-го порядка, разрешенных относительно старших производных, Оператор приближенной симметрии Ли-Беклунда уравнений (2.77) удовлетворяет критерию инвариантности [22] где [y(") = F] обозначает систему (2.77) вместе с её дифференциальными следствиями; продолжение оператора (2.78) на производные имеет вид Dx использовать оператор D = дх + Е 24 + ... + Fjd „-i) ) полной производной в силу системы (2.77), то определяющие уравнения (2.79) можно переписать в форме Пусть уравнения (2.77) инвариантны относительно г = тп + 1 приближенных операторов Ли-Беклунда Из координат продолженных операторов (2.81) составляются определители ran-го порядка (в Д отсутствует строка, соответствующая оператору Так как используется оператор D, то все элементы этой матрицы зависят только от ж, 2/1, ... , Предложение 2.1. Если из координат г = mn + 1 операторов Ли-Беклунда, допускаемых системой (2.77), можно составить два таких определителя Aj15 Aj2, что Аіь(о) ф О, Аг2і(о) ф 0, то их отношение Аг:/А,2 является интегралом системы (2.77). Доказательство. Не нарушая общности, можно вычислить только DA\. Производная А і представляет собой сумму тп слагаемых, равных Аі, за исключением одного из столбцов, элементы которого заменены на их производные (в к-м слагаемом заменяется /е-й столбец). Первые т(п — 1) определителей в этой сумме имеют два одинаковых столбца и значит равны нулю.

В оставшейся сумме заменим Dnf- в соответствии с (2.80). Так как добавление к столбцу матрицы линейной комбинации других столбцов не изменяет величины определителя, то получаем т.е. A:tl/АІ2 является интегралом системы (2.77). Предложение доказано. Если все Аідо)5 ... , Аг(о) не равны нулю, то описанным выше путем можно получить тп интегралов уравнений (2.77). После исключения т(п - 1) производных у ъ ... , у т, ... ,у{ то общее решение уравнений (2.77) получается без интегрирования. Предложение 2.1 справедливо и для системы уравнений различных порядков инвариантных относительно r = ni + ... + пт + 1 симметрии. Соответствующие определители (г — 1)-го порядка Д$, г = 1, ... , г, составляются из координат / , Dfl,..., Dni l f3k, j = 1, ... , m, к ф г, допускаемых операторов. Пример 2.2. Система двух ОДУ второго порядка Используя эти три равенства, одной квадратурой находится решение системы (2.83) в виде трёх семейств (здесь to = ах + С±): является интегралом системы (2.77). Доказательство. Для уравнений (2.77), удовлетворяющих условию dFi/dyi 4- ... + dFmldy = о(єр), равенство DI = о(єр) следует из (2.82). Пример 2.3. Система двух ОДУ второго порядка удовлетворяет условию dFi/ди + dF2/dv = о (є) и с точностью о(є) инвариантна относительно операторов Глава 3. Приближенные симметрии и решения двумерного нелинейного диффузионного уравнения с малой конвекцией 3.1. Групповая классификация по приближенным симметриям диффузионно-конвективного уравнения Нелинейное диффузионно-конвективное уравнение вида используется при моделировании диффузионных процессов в пористых средах, в некоторых задачах химии [27, 33, 42, 52, 56], в определенных условиях описывает динамику свободной поверхности неньютоновской жидкости [34, 40]. Была проведена групповая классификация одномерного уравнения (3.1) по точечным [59, 63] и потенциальным [61] симметриям. Симметрии двух- и трёхмерного уравнения (3.1) проклассифицированы в [51]. В [51] и [60] построены некоторые его точные решения. Симметрии и инвариантные решения одномерного уравнения динамики неньютоновской жидкости, включающего в. себя (3.1) при D(u) = и3, исследовались в [37, 38]. Групповой анализ диффузионного уравнения (К(и) = 0) проведен в [18, 19, 20, 29], в том числе анализ двумерного диффузионного уравнения Квазилокальные симметрии одномерного уравнения получены в [1]. В настоящем параграфе приведен результат групповой классификации [45] двумерного диффузионного уравнения с малыми конвективными членами

Приближенно инвариантные решения диффузионно-конвективного уравнения

Симметрии нелинейного диффузионно-конвективного уравнения (3.3), найденные в 3.1, позволяют построить некоторые его приближенно инвариантные решения. Здесь будут рассматриваться уравнение (3.3) со степенным коэффициентом диффузии и его решения типа мгновенного точечного источника, инвариантные относительно двухпараметрической приближенной группы преобразований. Согласно принципу инвариантности [24], решение должно определяться инвариантной функцией группы. Двухпараметрической приближенной группе G2 соответствует алгебра L2 с базисом, состоящим из операторов Х\, Х2. Различаются два случая: При этом предполагается, что общий ранг матрицы, составленной из координат операторов Xi(o), - 2,(0) равен 2, а инварианты группы Gr удовлетворяют необходимому условию (2.41) существования инвариантного решения. Для уравнения (3.17) размерность пространства зависимых и независимых переменных равна 4. В соответствии с результатами, полученными в главе 1, в случае 1) группа G2 имеет 2 функционально независимых инварианта причем один из них может быть выбран независящим от и. Согласно теореме 2.2, приближенно инвариантное решение уравнения (3.17) можно искать в виде Iі = Ф(0)(1 + -) + $(1)(-)) + (є)- Его подстановка в (3.17) и приравнивание в полученном уравнении коэффициентов при степенях малого параметра приводит к двум ОДУ второго порядка на функции Ф(о)(/(2о)), В случае 2) группа G2 имеет 3 функционально независимых инварианта причем могут быть выбраны независящими от искомой функции и. В соответствии с теоремой 2.2 и замечанием 2.1, в уравнение (3.17) подставляется приближенно инвариантное решение в виде Iі = (0)(-/ + ЄІ?І\) + єФ(і)(/(20ь I?Q\) + о (є).

В этом случае нахождение компонент и и W(i) решения и = U(ty(t,x,y) + U(i)(t,x,y) -f о(є) уравнения (3.17) сводится к решению ОДУ второго порядка на функцию Ф (1?0Л и линейного уравнения в частных производных на функцию Ф(1)(/20), 1?0\)- Найдем решения уравнения (3.17) для некоторых форм конвективных членов f(u), д(и) при начальном условии u(t, х, y)\t=0 = (Е0 + єЕгЩх, у), (3.18) где EQ,E\ = const 0. При є = 0 эта задача для соответствующего невозмущенного диффузионного уравнения решена в [13] (см. также [35]). Определим группу, относительно которой инвариантна задача (3.17), (3.18). Согласно [24, 57] инвариантность задачи (3.17), (3.18) относительно некоторой группы означает, что уравнение (3.17), многообразие t — 0, на котором заданы начальные данные, и сами начальные данные инвариантны относительно группы. Все симметрии уравнения (3.17), за исключением переносов, сохраняют начальное многообразие. Под действием преобразований (3.4) дельта-функция изменяется по правилу [16], [50] r = у/х2 + 2/2. В соответствии с теоремой 2.2, решение можно искать в виде Iі = U{I2) + У(І?0)) + о(є) или в виде разложения по степеням Є, и приравнивание коэффициентов при степенях є приводит к обыкновенным дифференциальным уравнениям Следовательно, решение уравнения (3.21) имеет вид Полученное решение имеет смысл для положительных t до значений порядка є-1, когда конвективные члены в уравнении (3.17) становятся сравнимыми с остальными членами уравнения, а групповые свойства уравнения изменяются. 2. В случае f{u) = иа{иа + /3), д(и) = иа(иа + -у), /3, 7 = const, условию (3.19) удовлетворяют симметрии При а = 1/2 этому условию удовлетворяет еще одна симметрия Хз = (а + 1)У4 Уъ e(pYx + 7П)-Поэтому будем рассматривать уравнение щ = {иаих)х + (иаиу)у + єиа((и + /3)ux + (w2 + 7К) + о(є), (3.23) допускающее операторы А , Хз, а также несущественный при поиске инвариантов группы оператор Х\ — єХ . В качестве инвариантов соответствующей приближенной группы преобразований можно выбрать функции где z = L2Q4 = t_ 2( 7+1 r, 0 = L30-) = arctg —. Подстановка разложения (3.24) в уравнение (3.23) приводит к ОДУ (3.22) на функцию U(z) и линейному уравнению в частных производных на функцию V(z,6). В качестве решения (3.22) вновь может быть взята функция U = " -і у . Если V (z,и) искать то уравнение (3.25) превращается в гипергеометрическое уравнение на v(). Для некоторых значений а точные решения однородного уравнения (3.26) приведены в При а = 3/2 функция v = С2/13 (ЗС2/20)1/3 (7/3 - f) (1-)1/3 является частным решением (3.26). Тогда решение уравнения (3.23) имеет вид При сг = 3/4 частным репіением (3.26) является функция ... , то частное решение (3.26) определяется многочленом степени п + 1.

Например, для а = - г = — (23 - 16 + 52), для а = - Оператор Х\ является несущественным, так как Х\ — 2 — єХ%. Полный набор инвариантов группы, порождаемой операторами Х2, Х% составляют функции Приближенно инвариантное решение ищется снова в виде (3.24), но с другими независимыми переменными Подставляя (3.24) в уравнение (3.17) с данными f(u), д(и) (а = 1/2), на U(z) получаем ОДУ (3.22) с решением U = — - —— и на функцию V(z,6) линейное уравнение Заключение Сформулируем основные результаты диссертации доказательство достаточных условий полноты и совместности системы линейных уравнений в частных производных первого порядка на инвариант приближенной группы преобразований; доказательство теоремы о представлении уравнений с малым параметром, допускающих приближенную группу преобразований, с помощью функций инвариантов группы; доказательство теоремы о редукции числа независимых переменных в задаче построения решения системы уравнений в частных производных, инвариантного относительно допускаемой системой приближенной группы преобразований; доказательство утверждения о понижении порядка обыкновенного дифференциального уравнения с малым параметром, допускающего приближенную алгебру Ли, существенные операторы которой удовлетворяют условиям разрешимости; метод построения интегралов системы обыкновенных дифференциальных уравнений с малым параметром, инвариантных относительно приближенных симметрии Ли-Беклунда; проведение групповой классификации двумерного нелинейного диффузионного уравнения с малыми конвективными членами по допускаемым приближенным симметриям; примеры построения приближенно инвариантных решений диффузионного уравнения с малой конвекцией со степенным коэффициентом диффузии.

Похожие диссертации на Приближенные симметрии и решения дифференциальных уравнений с малым параметром

Построение ненулевых периодических решений систем дифференциальных уравнений с параметромНелюхин Сергей Александрович

Асимптотическое поведение решений системы дифференциальных уравнений с малым параметром при производных в случае смены устойчивости положения равновесияАнарбаева, Гулжамал Маматовна

Об асимптотическом поведении решений некоторых гиперболических уравнений, содержащих большой параметрКлимова, Анна Александровна

Критические области параметров и специальные классы решений эллиптических уравнений и системБобков Владимир Евгеньевич

Существование ненулевых периодических решений нелинейной системы дифференциальных уравнений с параметромБаева Ольга Владимировна

Об асимптотике и оценках скорости сходимости решений системы уравнений Прандтля с малым параметром для ньютоновских и неньютоновских жидкостейРоманов Максим Сергеевич

Периодические решения автономных систем дифференциальных уравнений с параметромБельман, Светлана Александровна

Некоторые типичные особенности решений нелинейных уравнений математической физики с малым параметромСулейманов Булат Ирекович

Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений с двумя малыми параметрамиКоврижных Ольга Олеговна

Коллокационно-итеративный метод решения краевой задачи для дифференциальных уравнений с параметрами и импульсным воздействиемПоселюжна, Вера Богдановна