Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Асимптотика решения начальной задачи для линейной системы с двумя малыми параметрами при производных 12
1.1. Постановка задачи 12
1.2. Построение формальных рядов для решения задачи 13
1.3. Оценки членов внутреннего разложения 15
1.4. Обоснование асимптотики 28
Глава 2. Вычисление членов асимптотики 43
2.1. Формулы для членов внутреннего разложения в случае различных собственных значений 43
2.2. Формулы для членов внутреннего разложения в случае кратного собственного значения 47
2.3. Примеры 51
Глава 3. Асимптотика решения начальной задачи для нелинейной системы с двумя малыми параметрами при производных 63
3.1. Постановка задачи 63
3.2. Построение формального решения 65
3.3. Внутреннее разложение и оценки его членов 68
3.4. Обоснование асимптотики 83
3.5. Пример 92
Литература 94
- Построение формальных рядов для решения задачи
- Формулы для членов внутреннего разложения в случае кратного собственного значения
- Построение формального решения
Введение к работе
Дифференциальные уравнения с малыми параметрами при старших производных возникают при моделировании и исследовании ряда физических, биологических, химических явлений и процессов. Подобного рода уравнения встречаются также в теориях автоматического регулирования, нелинейных колебаний, в газовой динамике, при описании гироскопических систем. Эти уравнения называют сингулярно возмущенными. Их особенностью является то, что порядок вырожденного уравнения, получающегося из исходного при нулевых значениях параметров, ниже порядка исходного уравнения. Вследствие этого решение вырожденного уравнения не может удовлетворить всем условиям, заданным для первоначального уравнения. Для достаточно широкого класса сингулярно возмущенных задач характерно свойство быстрого изменения решения в некоторых областях - пограничных и переходных слоях.
Основополагающими в теории сингулярных возмущений являются работы А.Н. Тихонова [50-52], в которых дается общая постановка задачи Коши для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений с малыми параметрами при производных и обосновывается предельный переход от решения исходной задачи к решению вырожденной задачи при стремлении к нулю параметров.
Построение приближенных решений сингулярно возмущенных задач проводится различными как численными, так и асимптотическими методами. Общепризнанными среди асимптотических методов являются метод пограничных функций (А.Б. Васильева [6,9-14], В.Ф. Бутузов [6,7,12,13], Л.А. Люстерник [15], М.И. Вишик [15], М.И. Иманалиев [31]), метод усреднения (Н.М. Крылов [35], Н.Н. Боголюбов [3], Ю.А. Митропольский [3,41]), метод регуляризации сингулярных возмущений (С.А. Ломов [39]), методы теории релаксационных колебаний (Л.С. Понтрягин [46,47], Е.Ф. Мищенко [42], Н.Х. Розов [42]), метод сращивания асимптотических разложений
(Л. Прандтль [64], A.M. Ильин [23,27-30]), методы типа ВКБ (В.П. Маслов [40]) и другие, каждый из которых позволяет решать определенный круг задач. Различные подходы к изучению сингулярно возмущенных задач изложены также в монографиях В. Вазова [8], Дж. Коула [34], J. Kevorkian [61], А.Х. Найфэ [44,45], М.В. Федорюка [53] и работах многих других авторов (см., например, [1,2,4,5,16,17,19,21,22,24-26,37,43,54-56,58,62,63,65]). Начальная задача для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с одним малым параметром при производных давно и достаточно хорошо изучена. Между тем, реальные задачи очень часто зависят сингулярным образом от нескольких малых параметров. Исследование таких задач намного сложнее, и они изучались лишь в сравнительно небольшом числе работ. Пионерскими в этом направлении являются работы А.Н. Тихонова [51,52] и И.С. Градштейна [17,18], в которых, в частности, изучался предельный переход при стремлении к нулю параметров. Вопросы построения и обоснования асимптотики решения систем уравнений, содержащих при производных параметры различных порядков малости, рассматривались в работах А.Б. Васильевой [9-11]. Алгоритм асимптотического расщепления систем линейных дифференциальных уравнений, зависящих от двух малых параметров, на подсистемы меньшей размерности изложен в работах Н.А. Сотниченко, С.Ф. Фещенко [48,49]. Вопрос о построении общего решения подобных систем при некоторых условиях на матрицу при производных и матрицу системы изучался в работах В.П. Яковца, М.А. Стрельникова [59,60]. Исследованию предельного перехода в некоторых сингулярно возмущенных задачах с малыми параметрами, зависящими от переменной дифференцирования, посвящены работы Н.А. Коси-ченко [32,33]. В монографии Р.П. Кузьминой [36] исследуется задача Коши для почти регулярной системы, системы с целыми степенями малого параметра при производных, а также системы с двойной сингулярностью. Эти задачи соответствуют различным способам вхождения малого параметра в систему обыкновенных дифференциальных уравнений. Для этих типов
задач приводится построение рядов, которые являются асимптотическими разложениями решений или сходятся к решению на соответствующих промежутках времени. В работах R.E. O'Malley, jr. [62, 63] строились асимптотические разложения решений начальных и краевых задач. При этом предполагалась зависимость между малыми параметрами. Асимптотика решения линейного уравнения второго порядка, сингулярно зависящего от двух малых параметров, не связанных между собой, рассматривалась для краевой задачи Г.И. Шишкиным [57].
В диссертации рассматривается следующая сингулярно возмущенная задача. Исследуется задача Коши для системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений с двумя малыми параметрами при производных. Изучается поведение решения задачи на конечном промежутке времени. Новизна проблематики настоящего исследования заключается в том, что малые параметры, стоящие в уравнениях системы каждый при своей производной, стремятся к нулю независимо друг от друга. Таким образом, речь идет о построении асимптотики решения, равномерно пригодной при любых соотношениях между малыми параметрами.
Диссертация содержит введение, три главы и список литературы.
Первая глава посвящена построению и обоснованию асимптотики решения сингулярно возмущенной начальной задачи для системы двух линейных дифференциальных уравнений с двумя независимыми малыми параметрами на конечном отрезке времени.
В первом разделе дается постановка задачи. Рассматривается задача Коши для системы двух линейных неоднородных обыкновенных дифференциальных уравнений, каждое из которых содержит при производной свой независимый малый параметр. Под асимптотическим разложением понимается ряд функций, аргументами которых являются время и два малых параметра, частичная сумма которого является асимптотическим приближением к решению рассматриваемой задачи с точностью до суммы параметров в одной и той же произвольной степени равномерно по отрез-
ку времени. При этом члены асимптотики должны определяться из более простых задач по сравнению с исходной задачей.
Во втором разделе строятся формальные ряды для решения задачи на конечном отрезке времени. Решение представляет собой сумму внешнего разложения и внутреннего разложения. Внешнее разложение приближает решение задачи равномерно вне малой окрестности начальной точки. Внутреннее разложение является функцией типа погранслоя в окрестности начальной точки, зависит от малых параметров и новой независимой переменной, представляющей собой отношение переменной времени к произведению параметров и имеющей характер растянутого времени. Сами разложения имеют структуру двойных рядов по степеням малых параметров. При этом частичная сумма построенного ряда удовлетворяет начальным условиям задачи. Члены асимптотического разложения имеют простой вид. Так, коэффициенты внешнего разложения последовательно определяются из систем линейных алгебраических уравнений, а для нахождения членов внутреннего разложения достаточно решать начальную задачу для системы линейных дифференциальных уравнений, зависящих от параметров, с постоянными коэффициентами.
В третьем разделе приводится оценка нормы фундаментальной матрицы системы для нахождения членов внутреннего разложения - матричной экспоненты, зависящей от малых параметров. При рассматриваемых условиях на коэффициенты исходной системы собственные значения матрицы системы имеют отрицательные действительные части. На основе оценки нормы матричной экспоненты получены оценки членов внутреннего разложения, которые являются ключевыми для обоснования построенной асимптотики. Доказано, что построенные ряды являются формальным асимптотическим решением задачи.
В четвертом разделе приведено обоснование построенной асимптотики решения задачи. Центральным моментом здесь является доказательство того, что частичная сумма построенного ряда приближает решение задачи
с точностью до суммы параметров в одной и той же произвольной степени равномерно по отрезку времени.
Основное содержание главы опубликовано в работах [66-69,71].
Вторая глава посвящена вопросу применимости полученных в первой главе асимптотических формул для приближенного вычисления решений сингулярно возмущенных начальных задач при малых значениях параметров.
В первом и втором разделах главы 2 получены рекуррентные формулы для коэффициентов внутреннего разложения, позволяющие находить их составляющие, зависящие только от малых параметров и коэффициентов систем. Это делает принципиально возможным процесс вычислений при нахождении асимптотических решений начальных задач, поскольку дает возможность эффективно вычислять члены внутреннего разложения без решения систем дифференциальных уравнений, зависящих от параметров, на бесконечном промежутке.
В третьем разделе главы 2 приведены иллюстрирующие примеры численной реализации алгоритма построения асимптотики с нужной точностью по параметрам с использованием пакета аналитических вычислений.
Основное содержание второй главы опубликовано в работах [73-75].
В третьей главе исследуется сингулярно возмущенная начальная задача для системы двух нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащих малые параметры при производных.
В первом разделе дается постановка задачи. Предполагается, что функции, стоящие в правых частях системы являются непрерывно дифференцируемыми достаточное число раз по совокупности переменных. Также предполагается, что вырожденная система (получающаяся из исходной при нулевых значениях параметров) обладает изолированным решением на рассматриваемом отрезке времени. Это решение является точкой покоя некоторой вспомогательной системы уравнений, соответствующей исходной. При этом новая независимая переменная вспомогательной системы
имеет характер быстрого времени. Для элементов матрицы системы первого приближения выполняются условия, обеспечивающие асимптотическую устойчивость рассматриваемого решения.
Во втором разделе главы 3 дается построение формального асимптотического решения задачи. Как и в случае линейной системы решение строится в виде суммы внешнего и внутреннего разложений. В свою очередь, сами разложения представляют собой двойные ряды по степеням малых параметров, коэффициенты внешнего разложения зависят только от времени, а члены внутреннего разложения - от новой растянутой переменной и параметров. Частичная сумма построенного ряда для решения задачи удовлетворяет начальным условиям. Главный член внешнего разложения представляет собой решение вырожденной системы, а остальные коэффициенты последовательно находятся из систем линейных алгебраических уравнений. Главный член внутреннего разложения удовлетворяет нелинейной, но уже автономной системе, зависящей от комбинации параметров. Остальные члены внутреннего разложения последовательно определяются из систем линейных дифференциальных уравнений.
В третьем разделе главы 3 для членов внутреннего разложения получены экспоненциальные оценки, при этом показатели экспонент не зависят от параметров. Показано, что построенные ряды дают формальное асимптотическое решение исследуемой задачи.
В четвертом разделе для одного класса нелинейных систем показано, что формальное асимптотическое решение является истинным асимптотическим разложением решения задачи.
В пятом разделе приводится пример численной реализации алгоритма построения асимптотики.
Основное содержание третьей главы опубликовано в работах [70,72].
9 Основные результаты диссертации.
Исследована сингулярно возмущенная начальная задача для системы двух линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, каждое из которых содержит при производной свой независимый малый параметр. Построено равномерное на отрезке времени асимптотическое разложение решения задачи.
Получены рекуррентные формулы для членов внутреннего разложения, позволяющие находить их только через алгебраические операции.
Разработан алгоритм построения формального асимптотического решения начальной задачи для сингулярно возмущенной системы двух обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений с двумя независимыми малыми параметрами. Найден класс нелинейных систем, для которых этот алгоритм дает асимптотическое разложение решения рассматриваемой начальной задачи.
Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации дополняют теорию асимптотических разложений решений сингулярно возмущенных задач. Развитый в работе математический аппарат и полученные результаты позволяют исследовать асимптотику решений задач, сингулярным образом зависящих от двух малых параметров.
Основное содержание диссертации опубликовано в работах [66]- [75]. Все результаты этих работ получены автором самостоятельно. Из совместных публикаций в диссертацию вошли только результаты автора.
Материалы по теме диссертации были представлены на Международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы", посвященной памяти И.Г.Петровского (Москва, 2004), Международной конференции "Тихонов и современная математика" (Москва, 2006), IV Всероссийской конференции "Актуальные проблемы прикладной математики и механики", посвященной памяти академика А.Ф. Сидорова (Абрау-Дюрсо,
2008), 35-ой, 37-ой Региональных и 39-ой Всероссийской молодежных конференциях "Проблемы теоретической и прикладной математики" (Екатеринбург, 2004, 2006, 2008), а также на научных семинарах в Институте математики и механики УрО РАН и Уральском государственном университете им. A.M. Горького.
Список используемых обозначений
R — множество всех вещественных чисел;
М2 — пространство 2-мерных векторов и = (щ, щ);
К2х2 — множество всех квадратных матриц размера 2x2;
\\и\\ — норма вектора и Є Ш.2, \\и\\ = \щ\ + |г/2І;
||Л|| — норма матрицы А = (а^) Є R2x2, \\А\\ = J2 Іау|;
г,3=1
Лт — матрица, транспонированная к матрице А]
C[ti,t2} — пространство непрерывных на отрезке [ti,^] функций;
||/||с - норма функции / = f(t) Є C[tbt2], ||/||с = max |/(*)|;
te[h,t2]
T — означает окончание доказательства утверждения, леммы или тео-
Построение формальных рядов для решения задачи
Дифференциальные уравнения с малыми параметрами при старших производных возникают при моделировании и исследовании ряда физических, биологических, химических явлений и процессов. Подобного рода уравнения встречаются также в теориях автоматического регулирования, нелинейных колебаний, в газовой динамике, при описании гироскопических систем. Эти уравнения называют сингулярно возмущенными. Их особенностью является то, что порядок вырожденного уравнения, получающегося из исходного при нулевых значениях параметров, ниже порядка исходного уравнения. Вследствие этого решение вырожденного уравнения не может удовлетворить всем условиям, заданным для первоначального уравнения. Для достаточно широкого класса сингулярно возмущенных задач характерно свойство быстрого изменения решения в некоторых областях - пограничных и переходных слоях.
Основополагающими в теории сингулярных возмущений являются работы А.Н. Тихонова [50-52], в которых дается общая постановка задачи Коши для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений с малыми параметрами при производных и обосновывается предельный переход от решения исходной задачи к решению вырожденной задачи при стремлении к нулю параметров.
Построение приближенных решений сингулярно возмущенных задач проводится различными как численными, так и асимптотическими методами. Общепризнанными среди асимптотических методов являются метод пограничных функций (А.Б. Васильева [6,9-14], В.Ф. Бутузов [6,7,12,13], Л.А. Люстерник [15], М.И. Вишик [15], М.И. Иманалиев [31]), метод усреднения (Н.М. Крылов [35], Н.Н. Боголюбов [3], Ю.А. Митропольский [3,41]), метод регуляризации сингулярных возмущений (С.А. Ломов [39]), методы теории релаксационных колебаний (Л.С. Понтрягин [46,47], Е.Ф. Мищенко [42], Н.Х. Розов [42]), метод сращивания асимптотических разложений (Л. Прандтль [64], A.M. Ильин [23,27-30]), методы типа ВКБ (В.П. Маслов [40]) и другие, каждый из которых позволяет решать определенный круг задач. Различные подходы к изучению сингулярно возмущенных задач изложены также в монографиях В. Вазова [8], Дж. Коула [34], J. Kevorkian [61], А.Х. Найфэ [44,45], М.В. Федорюка [53] и работах многих других авторов (см., например, [1,2,4,5,16,17,19,21,22,24-26,37,43,54-56,58,62,63,65]). Начальная задача для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с одним малым параметром при производных давно и достаточно хорошо изучена. Между тем, реальные задачи очень часто зависят сингулярным образом от нескольких малых параметров. Исследование таких задач намного сложнее, и они изучались лишь в сравнительно небольшом числе работ. Пионерскими в этом направлении являются работы А.Н. Тихонова [51,52] и И.С. Градштейна [17,18], в которых, в частности, изучался предельный переход при стремлении к нулю параметров. Вопросы построения и обоснования асимптотики решения систем уравнений, содержащих при производных параметры различных порядков малости, рассматривались в работах А.Б. Васильевой [9-11]. Алгоритм асимптотического расщепления систем линейных дифференциальных уравнений, зависящих от двух малых параметров, на подсистемы меньшей размерности изложен в работах Н.А. Сотниченко, С.Ф. Фещенко [48,49]. Вопрос о построении общего решения подобных систем при некоторых условиях на матрицу при производных и матрицу системы изучался в работах В.П. Яковца, М.А. Стрельникова [59,60]. Исследованию предельного перехода в некоторых сингулярно возмущенных задачах с малыми параметрами, зависящими от переменной дифференцирования, посвящены работы Н.А. Коси-ченко [32,33]. В монографии Р.П. Кузьминой [36] исследуется задача Коши для почти регулярной системы, системы с целыми степенями малого параметра при производных, а также системы с двойной сингулярностью. Эти задачи соответствуют различным способам вхождения малого параметра в систему обыкновенных дифференциальных уравнений. Для этих типов задач приводится построение рядов, которые являются асимптотическими разложениями решений или сходятся к решению на соответствующих промежутках времени. В работах R.E. O Malley, jr. [62, 63] строились асимптотические разложения решений начальных и краевых задач. При этом предполагалась зависимость между малыми параметрами. Асимптотика решения линейного уравнения второго порядка, сингулярно зависящего от двух малых параметров, не связанных между собой, рассматривалась для краевой задачи Г.И. Шишкиным [57].
В диссертации рассматривается следующая сингулярно возмущенная задача. Исследуется задача Коши для системы двух обыкновенных дифференциальных уравнений с двумя малыми параметрами при производных. Изучается поведение решения задачи на конечном промежутке времени. Новизна проблематики настоящего исследования заключается в том, что малые параметры, стоящие в уравнениях системы каждый при своей производной, стремятся к нулю независимо друг от друга. Таким образом, речь идет о построении асимптотики решения, равномерно пригодной при любых соотношениях между малыми параметрами.
Формулы для членов внутреннего разложения в случае кратного собственного значения
Диссертация содержит введение, три главы и список литературы. Первая глава посвящена построению и обоснованию асимптотики решения сингулярно возмущенной начальной задачи для системы двух линейных дифференциальных уравнений с двумя независимыми малыми параметрами на конечном отрезке времени. В первом разделе дается постановка задачи. Рассматривается задача Коши для системы двух линейных неоднородных обыкновенных дифференциальных уравнений, каждое из которых содержит при производной свой независимый малый параметр. Под асимптотическим разложением понимается ряд функций, аргументами которых являются время и два малых параметра, частичная сумма которого является асимптотическим приближением к решению рассматриваемой задачи с точностью до суммы параметров в одной и той же произвольной степени равномерно по отрезку времени. При этом члены асимптотики должны определяться из более простых задач по сравнению с исходной задачей.
Во втором разделе строятся формальные ряды для решения задачи на конечном отрезке времени. Решение представляет собой сумму внешнего разложения и внутреннего разложения. Внешнее разложение приближает решение задачи равномерно вне малой окрестности начальной точки. Внутреннее разложение является функцией типа погранслоя в окрестности начальной точки, зависит от малых параметров и новой независимой переменной, представляющей собой отношение переменной времени к произведению параметров и имеющей характер растянутого времени. Сами разложения имеют структуру двойных рядов по степеням малых параметров. При этом частичная сумма построенного ряда удовлетворяет начальным условиям задачи. Члены асимптотического разложения имеют простой вид. Так, коэффициенты внешнего разложения последовательно определяются из систем линейных алгебраических уравнений, а для нахождения членов внутреннего разложения достаточно решать начальную задачу для системы линейных дифференциальных уравнений, зависящих от параметров, с постоянными коэффициентами.
В третьем разделе приводится оценка нормы фундаментальной матрицы системы для нахождения членов внутреннего разложения - матричной экспоненты, зависящей от малых параметров. При рассматриваемых условиях на коэффициенты исходной системы собственные значения матрицы системы имеют отрицательные действительные части. На основе оценки нормы матричной экспоненты получены оценки членов внутреннего разложения, которые являются ключевыми для обоснования построенной асимптотики. Доказано, что построенные ряды являются формальным асимптотическим решением задачи.
В четвертом разделе приведено обоснование построенной асимптотики решения задачи. Центральным моментом здесь является доказательство того, что частичная сумма построенного ряда приближает решение задачи с точностью до суммы параметров в одной и той же произвольной степени равномерно по отрезку времени. Основное содержание главы опубликовано в работах [66-69,71]. Вторая глава посвящена вопросу применимости полученных в первой главе асимптотических формул для приближенного вычисления решений сингулярно возмущенных начальных задач при малых значениях параметров. В первом и втором разделах главы 2 получены рекуррентные формулы для коэффициентов внутреннего разложения, позволяющие находить их составляющие, зависящие только от малых параметров и коэффициентов систем. Это делает принципиально возможным процесс вычислений при нахождении асимптотических решений начальных задач, поскольку дает возможность эффективно вычислять члены внутреннего разложения без решения систем дифференциальных уравнений, зависящих от параметров, на бесконечном промежутке. В третьем разделе главы 2 приведены иллюстрирующие примеры численной реализации алгоритма построения асимптотики с нужной точностью по параметрам с использованием пакета аналитических вычислений.
Построение формального решения
Основное содержание второй главы опубликовано в работах [73-75]. В третьей главе исследуется сингулярно возмущенная начальная задача для системы двух нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащих малые параметры при производных. В первом разделе дается постановка задачи. Предполагается, что функции, стоящие в правых частях системы являются непрерывно дифференцируемыми достаточное число раз по совокупности переменных. Также предполагается, что вырожденная система (получающаяся из исходной при нулевых значениях параметров) обладает изолированным решением на рассматриваемом отрезке времени. Это решение является точкой покоя некоторой вспомогательной системы уравнений, соответствующей исходной. При этом новая независимая переменная вспомогательной системы имеет характер быстрого времени. Для элементов матрицы системы первого приближения выполняются условия, обеспечивающие асимптотическую устойчивость рассматриваемого решения.
Во втором разделе главы 3 дается построение формального асимптотического решения задачи. Как и в случае линейной системы решение строится в виде суммы внешнего и внутреннего разложений. В свою очередь, сами разложения представляют собой двойные ряды по степеням малых параметров, коэффициенты внешнего разложения зависят только от времени, а члены внутреннего разложения - от новой растянутой переменной и параметров. Частичная сумма построенного ряда для решения задачи удовлетворяет начальным условиям. Главный член внешнего разложения представляет собой решение вырожденной системы, а остальные коэффициенты последовательно находятся из систем линейных алгебраических уравнений. Главный член внутреннего разложения удовлетворяет нелинейной, но уже автономной системе, зависящей от комбинации параметров. Остальные члены внутреннего разложения последовательно определяются из систем линейных дифференциальных уравнений. В третьем разделе главы 3 для членов внутреннего разложения получены экспоненциальные оценки, при этом показатели экспонент не зависят от параметров. Показано, что построенные ряды дают формальное асимптотическое решение исследуемой задачи. В четвертом разделе для одного класса нелинейных систем показано, что формальное асимптотическое решение является истинным асимптотическим разложением решения задачи. В пятом разделе приводится пример численной реализации алгоритма построения асимптотики. Основное содержание третьей главы опубликовано в работах [70,72]. Основные результаты диссертации. 1. Исследована сингулярно возмущенная начальная задача для системы двух линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, каждое из которых содержит при производной свой независимый малый параметр. Построено равномерное на отрезке времени асимптотическое разложение решения задачи. 2. Получены рекуррентные формулы для членов внутреннего разложения, позволяющие находить их только через алгебраические операции. 3. Разработан алгоритм построения формального асимптотического решения начальной задачи для сингулярно возмущенной системы двух обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений с двумя независимыми малыми параметрами. Найден класс нелинейных систем, для которых этот алгоритм дает асимптотическое разложение решения рассматриваемой начальной задачи.
