Содержание к диссертации
Введение
1. Асимптотические разложения решений
1.1. Вспомогательные леммы 23
1.2. Теорема об асимптотическом разложении 31
1.3. Случай уравнения с линейным отклонением аргумента 38
2. Ограниченность и устойчивость решений уравнения с запаздывающим аргументом
2.1. Вспомогательные леммы 45
2.2. Ограниченность и устойчивость решений уравнения с постоянными запаздываниями аргумента и постоянными операторными коэффициентами 59
2.3. Ограниченность и устойчивость решений уравнения с переменным запаздываниями аргумента и переменными операторными коэффициентами 65
2.4. Примеры для иллюстрации абстрактной теории 74
Литература 80
- Теорема об асимптотическом разложении
- Ограниченность и устойчивость решений уравнения с постоянными запаздываниями аргумента и постоянными операторными коэффициентами
- Ограниченность и устойчивость решений уравнения с переменным запаздываниями аргумента и переменными операторными коэффициентами
- Примеры для иллюстрации абстрактной теории
Введение к работе
Широкий спектр приложений, где используются дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом, особенно дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом, описывающие процессы с последействием, способствует увеличению интереса к изучению абстрактных функционально - дифференциальных уравнений.
Число разнообразных прикладных задач, поставленных с учетом запаздывания, возрастает из года в год. Такие задачи возникают в механике, в физике, в биологии, экологии, в ряде экономических проблем и в других науках.
Наибольшее применение нашла эта теория в современной технике, где имеются колебательные процессы в системах с последействием и в системах с запаздывающими связями, в теории автоматического управления, в теории автоколебательных систем. Наличие запаздывания в авторегулируемои системе, например, может существенно сказаться на ходе процесса. Могут возникнуть самовозбуждающиеся колебания и даже не устойчивость системы.
Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом, которыми описываются процессы в реальных системах, вообще говоря, являются нелинейными. Однако при решение задач, особенно практических, их приближенно заменяют линейными. Поэтому основное внимание обращают на линейные уравнения с отклоняющимся аргументом.
Основы теории операторно-дифференциальных уравнений были заложены в конце 40-х, в начале 50-х годов в работах Э.Хилле и Р. Филипса [44], К.Иосиды [23], Т.Като [25]. Хилле и Иосида получили первые теоремы существования решений задачи Коши для уравнения х = Ах с неограниченным операторам А в банаховом пространстве, сформулированные в терминах теории полугрупп операторов, В работе Като была получена теорема существования решения задачи Коши для уравнения х Ах с переменным неограниченным оператором Л{і).
В последующие годы эта теория превратилась в большую самостоятельную область исследования. Ей посвящены целый ряд монографий отечественных и зарубежных математиков, занимающихся данными вопросами. Назовём здесь работы Э.Пинни [39], Р. Беллман .а, К. Кука [17], Дж. Хейла [43], А.Д. Мышкиса [36] и Н.В. Азбелева [2], Р.Г.Алиева [11] и др.
Большой вклад в развитие этой теории внесли советские ученые. Систематическим изучением уравнений с отклоняющимся аргументом в нашей стране начал заниматься после 40-х годов А.Д. Мышкис [36,37], а с 50-х годов Л.Э.Эльсгольц [45], Н.Н. Красовский [30], С.Б.Норкин [38]. Ими изучались скалярные уравнения. Исследованию абстрактных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве посвящены работы М.Г.Крейна [21], С.ГЛСрейна [31], Р.Г.Алиева [11].
Позже исследование в этом направлении продолжили такие математики, как В.Б. Колмановский [26], В.Г.Курбатов [32], Г.А.Каменский, А.Л.Скубачевский [24] и т.д.
С 60-х годов теорию уравнений с отклоняющимся аргументом успешно начала развивать группа математиков под руководством Н.В .Азбелева [2].
Одной из важных проблем при изучении дифференциальных уравнений и их приложений является проблема описания характера поведений решений при больших их значениях независимой переменной и по отношению к возмущениям начальных данных.
Устойчивость решений дифференциальных уравнений — понятие качественной теории, разрабатывающиеся особенно в связи с вопросами устойчивости в механике имеет важное значение для приложений в технике. Современную строгую теорию устойчивости равновесия и движения механических систем, определяемых конечным числом параметров, создал А.М.Ляпунов. С математической стороны этот вопрос сводится к исследованию предельного поведения решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений при стремлении независимого переменного к бесконечности. До работ Ляпунова вопросы об устойчивости обычно решались по первому приближению, т.е. путем отбрасывания всех нелинейных членов уравнений, причем не выяснялась законность такой линеаризации уравнений движения. Выдающаяся заслуга Ляпунова — построение общего метода для решения задач об устойчивости. Точная и строгая теория устойчивости создана А.МЛяпуновым в 1892 году в основном труде - докторской диссертации «Общая задача об устойчивости движения».
Эти результаты были распространены А.Пази [59] на уравнения, коэффициенты которых отличаются от постоянных на экспоненциально убывающие слагаемые.
Для решений параболических и эллиптических краевых задач в цилиндре подобные асимптотические формулы были получены В.А.Кондратьевым [28,29].
Асимптотические формулы для решений уравнения ),«( )-Л(/)н(/) = 0, /є(-со,+со), в случае, когда переменный оператор A{t) стремится при t - оо в некотором слабом смысле к постоянному оператору А были получены М.А. Евграфовым [22]. Им же получены условия устойчивости по Ляпунову и различные их обобщения в случае уравнения с постоянными и переменными операторными коэффициентами.
Теорема об асимптотическом разложении
Леммы 1.1.1 и 1.1.2 позволяют судить о решениях уравнения Lpu(t) - О по полюсам резольвенты Rp (Я), по их кратности. Уравнение LpQu{t) = f{t) связано с уравнением Lpu(t) = О тем, что при условии 1ІтЛ .(/) =0, limAjy (/) = 0 оператор L 0 при / оо порождается в оператор Lp . Поэтому естественным является вопрос о связи между решениями этих уравнений для достаточно больших значений t, что и устанавливается в данном параграфе при определенных условиях на Akj{t), hkj{t) , на правую часть /(f), на резольвентный оператор Нр(Л), Для завершения доказательства утверждения теоремы остается заметить, что o(t) = u(i) для / /0 +1. Замечание 1,2.2, Если резольвента Rp (А) мероморфна в верхней полуплоскости ImA 0 так, что в любой полосе 0 1тА д имеется конечное число полюсов, то с любым решением u(t)e X "; уравнения (1.2.1) можно формально связать разложение Фурье по экспоненциальным решениям в следующем смысле: преобразование Фурье и(А) = Лр(А){...}связано с уравнением (1.2.1) соотношением вида (1.2.5), при условии регулярности выражения внутри фигурных скобок в полуплоскости Im А О , является мероморфной функцией во всей верхней полуплоскости Im А 0. Если ї?(Я)не имеет полюсов, то решение u(t) в качестве разложения Фурье поставим в соответствие тождественно равную нулю функцию. В случае наличия у функции и(Л) полюсов, которые является полюсами /гя(Л), с каждым полюсом Лк свяжем экспоненциальные решения uk(t) exp(iAht)Pk(t), задаваемые через произведение /л/2тг на вычет относительно Хк функции QXp(iAt)Rp (Я){...}.. Нумери: полюса по возрастании их мнимых частей можно рассматривать ряд нА ((), который и рассматривают как формальное разложение Фурье решения м(/) по экспоненциальным решениям. Замечание 1.2.3. Если полосу 0 1тЛ о заменить на 0 а 1тЯ а ,то утверждение теоремы остается в силе для решений уравнения (1.2.1), принадлежащих пространству L2(Rl,X) с весом ехр(аґ) так, что в правой части неравенства - утверждения теоремы 1.2.1 слагаемые Хорошо известно, в уравнениях с запаздывающим аргументом, каковые только и рассматриваются при исследовании на ограниченность и устойчивость, запаздывания в своем росте должно отставать от роста tt т.е. t h(t) должен стремится к бесконечности при / -»оо.
Это обеспечивается естественным условием К (0 г 1 на запаздывания Л(/). В случае же линейного отклонения аргумента, h(t) at О а 1. Таким образом, единственным условием является неравенство 0 а 1. Вопросами асимптотического разложения решений уравнений с линейным отклонением занимались многие авторы, в том числе, Mahler К. [55]. Рассматривая уравнение x (t) = cx(at), 0 л 1, нетрудно установить асимптотику всех решений этого уравнения Дифференциальным уравнениям с линейным отклонением аргумента посвящены также работы Ockendon J.B., Tauler А.В., Kato Т., Vcleod J. [54]„ Mclead J.B. [56]. Ими изучались асимптотические свойства решений уравнений, возникающего из одной инженерной задачи x\t) - bx(at) + cx{t). При различных значений параметров а,Ь,с некоторые результаты по уравнениям с линейным отклонениям аргумента получены в работе К.Г. Валеева[18]. Исследования по абстрактным уравнениям с линейным отклонением аргумента в пространствах с экспоненциальным весом занимались Р.Г. Алиев [12], Л.М. Алиева [13]. В данном параграфе доказывается теорема об асимптотическом разложении решений уравнения Тогда для любого є 0 существует конечное число решений вида ut(t) = eU(tPe(t), і - \,q, уравнения 0u(t) = 0, где Xt- полюс резольвенты R{X) в полосе 0 ІтЛ а - є, P({t) - многочлен с коэффициентами из X, степень которого на единицу меньше кратности полюса Я(, что имеет место к = 0,1,...,«-1, где постоянная с не зависит от решения и(/) и его производных до (л - 1)-го порядка. Доказательство. Рассмотрим выражение в фигурных скобках в равенстве (1.3.3). Преобразование Фурье (Dfr}(t)D" vu(t)) является целой функцией экспоненциального типа по теореме Пели-Винера в силу финитности функции (Dji](t)D" vu(t))tv = \,n, Преобразование Фурье 2x1 полуплоскости 1шЯ д. это следует из неравенства в силу произвольности рОи условия в) теоремы . Что касается преобразования Фурье функций t]{t){D a{t)) и Д (r}(t)u{t)), то их регулярность в полуплоскости ІтЯ а следует из условия г) теоремы на u(t) - решения уравнения (1.3.1) и . от финитности некоторых из них.
Ограниченность и устойчивость решений уравнения с постоянными запаздываниями аргумента и постоянными операторными коэффициентами
Рассматривается функционально-дифференциальное уравнение с постоянными неограниченными операторными коэффициентами и постоянными отклонениями вида где Akj :Х Y, X,Y -гильбертовы пространства, X czY, Оператор Rp (Я) = (Я" - Ц Л ехр(-/ЯААу))" : У - X назовем резольвентным оператором для Ар = Ц jty A : -» У. Наряду с уравнением (2.2,Г) будем рассматривать и уравнение с постоянными коэффициентами и постоянными отклонениями аргумента п \ т может иметь конечное число простых полюсов на прямой Im Я = 0; Тогда каждое решение уравнения (2.2.1) ограничено и устойчиво по Ляпунову. Замечание. Напомним, что под ограниченностью решения и(/) уравнения л-го порядка понимается ограниченность производных этой функции м(А,(/), = 0,1,...,«-1. То же самое надо иметь в виду и в определении устойчивости и(АЧ0 м[ Ч0 t h если иік)( о) иік)Оо) $() к — 0,1,...,п -1. Таким образом, под функцией u(t) надо понимать вектор - функция (ы(/),« (/),...,и"-1 (t)). Доказательство. Пусть //(/)еСщ, T](t) = 0y / 0, j](t) = \, / 1. Тогда для v{t) - rj{t)u{t), где и(/) решения уравнения (2.2.1), имеем где (0 = 0,/,(0 = 0 для / 0, /,(0є/,2(Д,Г),так как //(/)/(0 є L2 (Я, Я) а все остальные слагаемые в выражении для fx(t) являются финитными. Для простоты выкладок положим, что на Im А = 0 имеется один простой полюс Л0 = 0. Схема доказательства в общем случае аналогична (см. замечание в конце теоремы). Что касается предположения Л0 =0, то этого можно добиться простой заменой у(/)ехр(-/Л0г)и(/). Действительно, в случае простейшего уравнения Lu{t) - видно, что если Я0 - полюс для RA е(ЯЕ- А) 1 у то для #д± = ((Я + А0)- Л)" полюсом будет Я0 =0. В силу условия а) теоремы XnR (Л.) регулярны на прямой ImA = 0, причем Теперь из равенства ЯЛТ(/) = Я"Л (А)/,(Я)по теореме Планшереля получим Отсюда и из леммы 2.1.4 для s следует существование
Теперь рассмотрим функцию f, (/) = t/" IJ (/) - L»0. Тогда ІІтц(/) = 0 и для vt(t)B силу леммы 2.1.2. имеет место неравенство Так как vKn)(t) = и{ (/), то в силу (2.2.2) получим из которого в силу леммы 2.1.5 получаем Отсюда и из финитности производных D r]{t), к = 1,2,...,я-1, функции r}{t) следует неравенство Отсюда и из представления v(t) = i](t)u(t) = vx (t) + u0, t 1, следует ограниченность решений уравнения (2.1.1) при t — оо. Докажем устойчивость тривиального решения однородного уравнения (2.2.1) по Ляпунову. Для этого рассмотрим функцию где ulk)(t) = gk(t), / 0, к = 0,1,...,«-1. Так как решения рассматриваются в L2, то в достаточно малых окрестностях точки t=0 и t=l малое изменения решения не играет роли. Поэтому, ради простоты, можно взять u(t) -(1- /)g(0), 0 t 1, что делаем для упрощения расчетов. Рассмотрим функцию 17(0 = "(О -«і (0 Тогда Таким образом, для уравнения LpU(t) = /- (/) выполнены все условия теоремы, и по доказанному, для его решения справедливы утверждения: существует \\mU{i) = UQ и Ux{t) = U(t)- U0 удовлетворяет неравенству Так как їм, (OIL c2 max g(0l v то И01г 1 ог+Сзт 0Ь(/4,/ 1. В условиях теоремы y = lm/l 0 выполнены все условия теоремы 1.1.1 [6] , в силу которой для решения однородного уравнения (2.2.1) справедливы оценки Здесь мы взяли / = -1, хотя можно в качестве у взять любое отрицательное число. Перепишем последнее неравенство в виде кЧїІрЧоҐ +I«w(o V c max j sup kw(olke2v Отсюда следует для «(t)(0» 0 « - і, неравенство J., »4fl ,ftS«W max] sup gt(/)&}- Если для произвольного 0 ВЗЯТЬ 5 = тах(-С/г)Сз , (l + cheh +1) , то легко видеть, что из неравенства maxgk (/) 5", о следует неравенство и( (/) є, k = 0,1,...,п-1, / 0, что и означает устойчивость тривиального решения. Теорема доказана.
Ограниченность и устойчивость решений уравнения с переменным запаздываниями аргумента и переменными операторными коэффициентами
Отсюда и из представления vx (t) = v(t) - о0 следует ограниченность решений уравнения (2.1.1) при t — оо. Устойчивость по Ляпунову решений уравнений (2.1.1) доказывается также, как и в теореме В доказательствах теорем мы полагали наличие одного простого полюса на действительной оси Im Я — 0. В случае существования п простых полюсов Я, Л2 Лп... Я„ на Im Я = 0 , Rp (Я) = Рк (Я - Лк )" + /?(Я), где к=\ Рк - ограниченные операторы, р(Л)- регулярная на ІтЯ - 0 оператор-функция. Построим разбиение единицы с помощью п + 2 функций сгА(Я), заданных на действительной оси 1шЯ = 0, к = 0,1у...,п + 1. Носители Ді,Д2,».,Дп- конечные интервалы, Д0 и Дп+1 охватывают полу бесконечные интервалы левее Ах и правее Дл соответственно. Таким образом сгк(Я) = 1. Обозначим через Rp(Я) - ак (Л)Ир (Я). Очевидно, что Rh (Я) = R (Я) в некоторой окрестности точки Лк и і?(Я) = 0 в окрестностях полюсов Л5&Ак. Если и{Л) = Rр(Я)/(Я), то обозначив через и(Л) = Кр(Л)/(Л), к = 0,1,...,и + 1, где Д (Я) на 1тЯ = 0 имеем один простой полюс Лк. Очевидно, что u(t) = ХМА(0І где uk(t) -обратное преобразование Фурье ик (Я). 2.4. Примеры для иллюстрации абстрактной теории Для иллюстрации доказанных теорем приведем примеры обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных, для которых условия теоремы выполняются. В формулировках всех утверждений на резольвенту накладывались условия.. Проверим выполнение этих условий на примерах обыкновенного скалярного дифференциального уравнения и уравнений в частных производных.
Пример 2.4.1. Существенность условия теоремы на переменные операторные коэффициенты показывает простой пример уравнения м (0 — »(0-0, которое имеет решение u(t) = сґ - оо при д 0 и /- оо Если же а 0, то решение it(t) 0 устойчиво, причем асимптотически устойчиво при а О. Если изменим скорость стремления к нулю переменного коэффициента при u{t), т.е. нужно рассмотреть уравнение Таким образом, устойчивость решения уравнения зависит от скорости убывания коэффициента. В данном случае выполняются условия — Га = ——, а О, с 0 теоремы на операторные коэффициенты Пример 2.4.2. Рассмотрим задачу для уравнения теплопроводности с запаздыванием в главном члене без начальных условий и с граничными условиями w(f,0) = ы(/Д) = 0. Здесь b - вещественное число, h 0. Согласно определения абстрактного решения u(t) = u(t,x) = u(t,x x2,...,x„,...) определим пространства X и К, как функциональные пространства функций одной переменной х следующим образом Применяя к уравнению преобразование Фурье по переменной / є (-оо, со), получим резольвентный оператор из равенства d2 (-/Л - ехр(-/ЯЛ) —- - Ь)и (х, Л) = /(л:), откуда и (л, Я) = Я(Л)у/(х, Я), где dx R (Л) = (-/Я — ехр(-/ЯЛ)—--&)" . Обозначив снова м(дг,Я) через м(лг), получим равенство Кр(Л)у/ = и, /и (Ь-іЛ)ехр(іЛЬ), из которого следует уравнение и" (х) + fttt(x) - у/{х) ехр(Шг) = f(x), и(0) = м(1) = 0, м(х) = и (Я, х). (2.4.2) Полагая Л а + /г, имеем ft = exp(-rA)[6cosoft + crsincm + гcoscm) + /(6sin ah-a coso/i + rsin ой)]- Отсюда видно, что горизонтальная полоса ]гтЯ] ? Я - плоскости отображается во всю ft- плоскость. Умножим обе части (2.4.2) на сопряженную с и(х) функцию и(х) и интегрируя полученное равенство в пределах от 0 до 1, имеем
Примеры для иллюстрации абстрактной теории
Проверим наличие полюсов у резольвенты и их расположение на плоскости Я. Будем искать решение уравнение (2.4.1) в виде u(t,x) = cxp(iAt)X(x). Заметим, что u(t,x) = ei;jX(x) = eiia+iT)l X(x) = eict Х(х)е- - 0 при г 0, т.е. полюс Л0 находится в верхней Я-плоскости . Это приведет к задаче Х"(х)-(іЛ-Ь)ехр(Ш)Х(х) = О, Х(0) = Х(\) = 0. (2,4.6) Подчиняя общее решение Х{х) = q exp j((U -Ь)ехр(іщ/2х\ + С2 expj- ((/Л - 6)ехр(/ЛА)) л граничным условиям, получим Если h = 0, то а = О, rt = 7г А: - 6. Если b О, то гА 0. Таким образом, при /г = 0, Ъ 0 собственные значения задачи (2.4.6) расположены в полуплоскости тк -Ь, При других значениях А 0 собственные значения могут оказаться в нижней полуплоскости. Равенство F(X,h) = (Ь-іЛ)єхір(іАН)-тг2к2 = 0 определяет Я как неявную функцию от h, Fx(Ath) (ibh-i + Zh)exp(iAh) Ф 0 там, где F(Z,h) = 0. Таким образом, F(X,h) 0 определяет Я как непрерывную функцию от h. Если при изменении h от 0 полюса переходят в нижнюю полуплоскость гА 0, то они должны перейти границу г = 0. При этом система (2.4.8) имеет вид h = arccos— - (я"4&4 -b) 2. Значение h А , начиная с которого полюса тс к переходят в нижнюю полуплоскость, получаем отсюда как При изменении А от 0 до А собственные значения остаются в верхней полуплоскости. Учитывая установленное выше поведение резольвенты на бесконечности можно утверждать о мероморфности резольвенты в рассматриваемой полосе.
Пример 2.4.3. Решением его является функция u(t) - еехр ia js ds При /J 1 может иметь место неустойчивость: если а = /А, А О , то представляет собой ограниченную Если же // 1, то есть /л = \+ т, где сг 0, то = сехр величину и при любом а имеет место устойчивость. Таким образом, условия теоремы 2.3.1 на Akj- (t) являются существенными. Пример 2,4.4. В скалярном уравнении І ДАІ- X\Oj ехр(а А.). Отсюда и из аналитичности функц F{X) -X Y aj ехр(-//Ау ) следует мероморфность в полосе а Im Л а. Из приведенной выше оценки для \ReXk\ следует выполнение условия б) теоремы 1.2 об асимптотическом разложении. В этом параграфе рассматривается уравнение и получены условия на І4А.(/),Й /(Г),Л(Л,/), при которых решения этого уравнения ограничены и устойчивы по Ляпунову. Предполагается стабилизация на бесконечности /СО и /rkj(/) постояными Л и hki Теорема 2.3.1. Пусть выполнены условия: a) 6 20(y,y)nZw(Jr,y), иметь конечное число полюсов на действительной оси устойчиво по Ляпунову. Доказательство. Положим число полюсов п - 1 и этим полюсом является точка Д0 = 0. В общем случае поступаем как указано в замечании при завершении доказательства теоремы. Для простоты выкладок положим, что на Im А = 0 имеется один простой полюс Л0 = 0. Схема доказательства в общем случае аналогична (см. замечание в конце теоремы). Что касается предположения Л0 =0, то этого можно добиться простой заменой у(/)ехр(-/Л0г)и(/). Действительно, в случае простейшего уравнения Lu{t) - D,u(t) - Au(t) = /(/), имеем 61 видно, что если Я0 - полюс для RA е(ЯЕ- А) 1 у то для #д± = ((Я + А0)- Л)" полюсом будет Я0 =0. В силу условия а) теоремы XnR (Л.) регулярны на прямой ImA = 0, причем
