Введение к работе
Актуальность. Одной из плодотворных идей, применяемых в эарии обыкновенных дифференциальных уравнений, является идея яассификации. В работе рассматривается асимптотическая эквивэ-энтность по Ляпунову нелинейных дифференциальных уравнения и эпросы, связанные с поведением их решений. При помощи группы реобразований Ляпунова задается некоторое отношение зквивалвнт-эсти, устанавливающее разбиение определенного множества диффе-энциальных уравнения на классы эквивалентности, в которых пове-эние решений в определённом смысле одинаково.В результате такой акторизации исследуемое уравнение будет эквивалентно онкретному уравнению, взятому в качестве простейшего редставителя данного класса эквивалентности и называемому равнением сравнения. Нахождение этого простейшего уравнения -сновная задача при изучении свойств решений исходного равнения. Решение указанной проблемы сводится к поиску реобразования определенного вида, приводящего исследуемое равнение к конкретной хорошо изученной стандартной форме, для оторой известны методы интегрирования или требуемые свойства ешения.
Развивая зтот подход, можно выписать все канонические формы іазрешимьіх (например, в квадратурах) уравнения и, применив к ним невозможные (обратимые) преобразования, найти бесчисленное шожество других разрешимых уравнений. Го we самое можно применить и к уравнениям, для которых, например, известны шойства их решения. Вполне естественно, что в этом случае юзникают вопросы описания как можно более полной системы инва-зиантов рассматриваемых преобразований.
Описанная выше классификация основывается на известных идете , изложенных в работах А.И.Ляпунова, Н.П.Еругина, В.И.Зубова, З.В.Немыцкого.Б.П.Дэмидовича.Б.Ф.Былова, Р.Э.Винограда,Д.М.Гроб-лана, В.А.Якубовича, Е.В.Воскресенского и других авторов.
Цель работы. Классификация дифференциальных уравнений по асимптотическим свойствам решений - спектру и устойчивости. Раз-
- 4 -биение заданного множества дифференциальных уравнении на классы эквивалентности осуществляется при помощи групп преобразовании Ляпунова. Решаются следующие основные задачи.
-
Выделить достаточно общий класс преобразований множества нелинейных дифференциальных уравнений, а именно: класс ляпунов-ских преобразований, оставляющих инвариантными спектр и устойчивость тривиального решения.
-
С помощью введённых и изученных групп преобразований выделить достаточно простыв уравнения сравнения, с помощью которых удаётся получить новые условия асимптотической эквивалентности (по Ляпунову) нелинейных и линейных дифференциальных уравнений, а также критерий устойчивости решений важных классов нелинейных уравнений.
-
Применить полученные результаты к изучению свойств решений дифференциальных уравнений, описывающих конкретные физические явления, в частности, к стационарному уравнению Шрёдингера, используемому в квантовой механике (теория рассеяния).
Решение перечисленных задач основывается на использовании теорем-классификаторов, доказанных в работе.
Методика исследований. В работе используются следующие методы: 1) метод.сравнения; 2) первый метод Ляпунова, касающийся теории характеристических показателей; 3) метод, основанный на теоремах о неподвижной точке; 4) групповые методы.
Научная новизна. 1 .Понятие ляпуновского преобразования рас пространено на нелинейные дифференциальные уравнения. 2. Предложен новый по сравнению с классическим подход к выделению в правой части нелинейного уравнения линейного члена, вообще говоря, с переменными коэффициентами, который затем используется е качестве правой части линейного уравнения сравнения. Выделена система ограничений на оставшееся возмущение, при которых исходное уравнение и линейное уравнение сравнения связаны ляпуновским преобразованием, з. Исходя из того, что свойства решений выделяемого линейного уравнения сравнения легко поддаются изучению, как следствие приводимости получены новые достаточные условия асимптотической эквивалентности по Ляпунову нелинейных и линей-
- б -
ных уравнения. 4. Доказан критерий устойчивости достаточно широких классов нелинейных уравнений, основанный на выделении подходящего уравнения сравнения. 5. Показана возможность применения преобразования Ляпунова дифференциальных уравнений при решении задач квантовой механики, а именно: в теории рассеяния для исследования свойств решений стационарного уравнения Шрэ-дингера при различных значениях параметра х. Выделена система ограничений на потенциалы, позволяющих решать вопрос об устойчивости волновой функции и судить о плотности вероятностей нахождения движущейся частицы в различных точках потенциального поля.
Практическая ценность. Диссертационная работа носит теоретический характер. Её результаты могут быть использованы при исследовании математических моделей реальных процессов, описьшаемых дифференциальными уравнениями, в частности, при решении задач квантовой механики, теории управления движением и теории устойчивости.
Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на заседаниях семинара по дифференциальным уравнениям Мордовского госуниверситета (1989-1994 г.г.), на Огарёвских чтениях Мордовского госуниверситета (1991-
-
г.г), на международной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения" в г. Самаре (май, 1992 г.), на международной конференции "Алгебра и анализ" в г. Казани (июнь,
-
г.), на семинаре кафедры математического анализа и дифференциальных уравнения Нижегородского госуниверситета (июнь, 1994 г.), на семинаре по дифференциальным уравнениям Санкт-Петербургского госуниверситета (сентябрь, 1994 г.).
Публикации. По результатам исследований опубликована 6 работ. Все результаты авторам диссертационной работы получены самостоятельно. Е.В.Воскресенскому принадлежит постановка задач, также им предложены методы решения поставленных проблем.
Объём и структура работы. Диссертация изложена на 132 страницах и состоит из списка обозначений, введения, трех разделов и списка литературы, включающего 94 наименования.
- в -
