Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Определения и теоремы теории устойчивости решений уравнения Хилла 3
История вопроса 3
Основные теоремы 6
Актуальность исследования 13
Основной результат диссертации 14
Соотношение с другими результатами 19
Глава 2. Исследование устойчивости решений уравнения Хилла с помощью принципа биоптимальности 22
Постановка задачи 22
Характеристические функции 28
Особые оптимальные управления 35
Вид оптимального управления 37
Нахождение константы Ляпунова 53
Критерий устойчивости и неустойчивости 54
Глава 3. Исследование устойчивости решений уравнения Хилла с помощью оценки константы Ляпунова 60
Постановка проблемы 60
Нахождение вспомогательной функции S(n) 63
Сравнение функций S(ri) и #,(«) 68
Нахождение вспомогательной функции S*(n) 72
Сравнение функций S*(n) и #,(л) 76
Критерий устойчивости и неустойчивости 81
Заключение 83
Обозначения S6
Библиографический список использованной литературы 88
- Основные теоремы
- Характеристические функции
- Нахождение константы Ляпунова
- Нахождение вспомогательной функции S(n)
Введение к работе
Актуальность исследования 13
Основной результат диссертации 14
Соотношение с другими результатами 19
Основные теоремы
Построенное в предыдущем пункте точное решение и(г, (р) задачи дифракции на спирали с одной точкой контакта будет нами исследовано в освещенной области по отношению к падающей волне в предположении ка 1 (к — волновое число, а — радиус спирали). Как было уже отмечено, первое слагаемое и (г, (р) в равенстве (2.32) является функцией Грина для круговой спирали, на которой выполнено ОБИГУ (2.18) с постоянными коэффициентами ai и Рі на всей спирали. Построение асимптотики функции и \г,ф) по методу перевала проведено в работе [26]. В освещенной области имеет место следующее асимптотическое представление здесь R — расстояние от точки источника Q до точки наблюдения М (рис. 2.8), /о — расстояние от точки источника Q до точки падения Р на спираль, 1\ — расстояние от точки падения Р до точки наблюдения М, її — угол падения, J — геометрическая расходимость отраженных лучей в точке наблюдения М. Первое слагаемое в (2.38), очевидно, дает падающую цилиндрическую волну, второе — отраженную волну с коэффициентом отражения Пользуясь асимптотикой Дебая функции Ханкеля (см. приложение), представим подынтегральную функцию интеграла и с\г, ф) в области, ограниченной на плоскости С, = — нулями функции H{z]{ka) Н?\ка) в виде Вычисление асимптотики слагаемого v№ представим подынтегральную функцию интеграла и с\г, ф) в области, ограниченной на плоскости С, = — нулями функции H{z]{ka) Н?\ка) в виде Вычисление асимптотики слагаемого v№ (г, /?) производится различным образом в зависимости от положения точки наблюдения М. Пусть у arccos - (точка наблюдения М принадлежит обла-сти Qc, распололоженной правее касательной к спирали в точке контакта С (рис. 2.7). В этом случае фазовая функция S(Q имеет одну вещественную перевальную точку Сс = — sin $с. $с — угол между нормалью к спирали в точке контакта и прямой, соединяющей точку контакта и точку наблюдения. Деформируя контур интегрирования - вещественную ось в перевальный контур, проходящий через точку перевала с и пользуясь известными формулами метода перевала, получим следующее асимптотическое представление для функции и (г,ср) расстояние от точки контакта до точки наблюдения. Формула (2.39) имеет наглядный физический смысл: в области Qc функция и описывает цилиндрическую волну с коэффициентом возбуждения гс, которую излучает точка контакта. Из формул (2.36), (2.39) видно, что как и в случае плоской границы, коэффициент возбуждения цилиндрической волны линейно зависит от разности / — /. Когда j3\ = /. коэффициент возбуждения цилиндрической волны гс равен нулю и точка контакта не излучает цилиндрической волны. Пусть \ip\ arccos- — точка наблюдения находится в зоне глубокой тени Qs, относительно источника, помещенного в точку контакта. В этом случае перевальных точек у фазовой функции S() нет, и интеграл и может быть представлен суммой вычетов в полюсах подынтегральной функции, которые совпадают с нулями z = Vj, j = 1,2,..., функции Щ (ка) и с нулями функции P(z) = h\(z)h2{z). Вклады от нулей функции P(z) описывают поверхностные волны, распространяющиеся с внешней стороны спирали и экспоненциально затухающие при удалении точки наблюдения по нормали к спирали. В непосредственной близости от спирали поверхностные волны могут быть заметны, а зависимость их амплитуды от коэффициентов ОБИГУ представляет интерес.
В настоящей работе мы не будем исследовать поверхностные волны. (г, /?) производится различным образом в зависимости от положения точки наблюдения М. Пусть у arccos - (точка наблюдения М принадлежит обла-сти Qc, распололоженной правее касательной к спирали в точке контакта С (рис. 2.7). В этом случае фазовая функция S(Q имеет одну вещественную перевальную точку Сс = — sin $с. $с — угол между нормалью к спирали в точке контакта и прямой, соединяющей точку контакта и точку наблюдения. Деформируя контур интегрирования - вещественную ось в перевальный контур, проходящий через точку перевала с и пользуясь известными формулами метода перевала, получим следующее асимптотическое представление для функции и (г,ср) расстояние от точки контакта до точки наблюдения. Формула (2.39) имеет наглядный физический смысл: в области Qc функция и описывает цилиндрическую волну с коэффициентом возбуждения гс, которую излучает точка контакта. Из формул (2.36), (2.39) видно, что как и в случае плоской границы, коэффициент возбуждения цилиндрической волны линейно зависит от разности / — /. Когда j3\ = /. коэффициент возбуждения цилиндрической волны гс равен нулю и точка контакта не излучает цилиндрической волны. Пусть \ip\ arccos- — точка наблюдения находится в зоне глубокой тени Qs, относительно источника, помещенного в точку контакта. В этом случае перевальных точек у фазовой функции S() нет, и интеграл и может быть представлен суммой вычетов в полюсах подынтегральной функции, которые совпадают с нулями z = Vj, j = 1,2,..., функции Щ (ка) и с нулями функции P(z) = h\(z)h2{z). Вклады от нулей функции P(z) описывают поверхностные волны, распространяющиеся с внешней стороны спирали и экспоненциально затухающие при удалении точки наблюдения по нормали к спирали. В непосредственной близости от спирали поверхностные волны могут быть заметны, а зависимость их амплитуды от коэффициентов ОБИГУ представляет интерес. В настоящей работе мы не будем исследовать поверхностные волны.
Характеристические функции
Итак, характеристические функции F,(/), F2(t), F3(t), F4(t),F5(t), F6(t) являются решениями линейной системы дифференциальных уравнений (2.10) Согласно соотношениям (2.9), система дифференциальных уравнений для характеристических функций (2.10) удовлетворяет следующим граничным условиям Основное соотношение принципа максимума Понтрягина, определяющее оптимальное значение управления u(t): Особые оптимальные управления. Из условия принципа максим соотношение (2.11), согласно системе характеристических функций (2.10), получим При F2 = 0 имеем особые оптимальные управления. Определим, существуют ли особые оптимальные управления в задаче. 1) Особые вырожденные управления Выясним структуру возможных особых вырожденных управлений. Если для решений системы (2.5) на множестве ненулевой меры имеют место равенства i F6j вызывает тождественное равенство нулю этого вектора на всем отрезке [0,Г]. Но тогда из (2.9) и (2.11) получаем, что в этом случае матрицант имеет вид Х(Г) = ±Е, а Л, = 0, что противоречит принципу биоптимальности. Поскольку, согласно принципу биоптимальностии, постоянные AQ И \ не могут одновременно равняться нулю. Таким образом, если для управления й матрицант имеет вид Х0(и) = ±Е, то Л0=Л1:=0. Тогда управление її не может быть оптимальным управлением в рассматриваемой задаче. Итак, в J-задаче нет особых вырожденных управлений. 2) Особые невырожденные управления В соответствии с принципом биоптимальности особые невырожденные управления имеют место в случае, когда F2 = 0 на множестве ненулевой меры Мє[0,Т], но вектор F(0 = {F,, F2, F3, F, F5, F6} не будет нулевым на всем отрезке [0,Г], причем \ 0. Так как иначе мы приходим к рассмотренному случаю вырожденного управления. Если F2 =0, то из системы (2.10) получаем, что F3 =0. А из системы (2.10) и условий (2.9) следует, что Согласно граничным условиям (2.11) имеем (2.13) следует, что V2(H = o J т.е. /Ij = 0. Это означает, что F6 =0, F5 = 0. Если F5 =0, то из (2.13) получаем, что F4 = 0. Тогда из (2.9) имеем: F, = 0. Таким образом, зависимость оптимального управления от характеристических функций показывает, что наличие особого оптимального управления возможно лишь при тождественном обращении в нуль вектора -» F(/). Однако это предположение приводит к требованию обращения в нуль постоянной Я,, что противоречит принципу биоптимальности. Из системы дифференциальных уравнений для характеристических функций (2.10) следует, что функция F2(t) может обращаться в ноль лишь на множестве нулевой меры. Таким образом, в ./-задаче отсутствуют особые оптимальные управления. Вид оптимального управления. Так как значение оптимального управления на множестве нулевой меры не оказывает никакого влияния на оптимальный процесс, мы можем доопределить функцию u(t) в этих точках, исходя, например, из соображений ее односторонней непрерывности. Для определенности будем считать, что в этих точках u(t) = а. Теорема. Оптимальным управлением в J-задаче является кусочно-постоянная функция, принимающая два значения а и Ъ Для определения окончательной структуры возможного оптимального управления в J-задаче решим систему (2.10) с учетом (2.9) и (2.11). Таким образом, система ума имеем, что в любой момент времени / є [О, Т\ справедливо соотношение т. е.
Дифференцируя соотношение (2.11), согласно системе характеристических функций (2.10), получим При F2 = 0 имеем особые оптимальные управления. Определим, существуют ли особые оптимальные управления в задаче. 1) Особые вырожденные управления Выясним структуру возможных особых вырожденных управлений. Если для решений системы (2.5) на множестве ненулевой меры имеют место равенства i F6j вызывает тождественное равенство нулю этого вектора на всем отрезке [0,Г]. Но тогда из (2.9) и (2.11) получаем, что в этом случае матрицант имеет вид Х(Г) = ±Е, а Л, = 0, что противоречит принципу биоптимальности. Поскольку, согласно принципу биоптимальностии, постоянные AQ И \ не могут одновременно равняться нулю. Таким образом, если для управления й матрицант имеет вид Х0(и) = ±Е, то Л0=Л1:=0. Тогда управление її не может быть оптимальным управлением в рассматриваемой задаче. Итак, в J-задаче нет особых вырожденных управлений. 2) Особые невырожденные управления В соответствии с принципом биоптимальности особые невырожденные управления имеют место в случае, когда F2 = 0 на множестве ненулевой меры Мє[0,Т], но вектор F(0 = {F,, F2, F3, F, F5, F6} не будет нулевым на всем отрезке [0,Г], причем \ 0. Так как иначе мы приходим к рассмотренному случаю вырожденного управления. Если F2 =0, то из системы (2.10) получаем, что F3 =0. А из системы (2.10) и условий (2.9) следует, что Согласно граничным условиям (2.11) имеем (2.13) следует, что V2(H = o J т.е. /Ij = 0. Это означает, что F6 =0, F5 = 0. Если F5 =0, то из (2.13) получаем, что F4 = 0. Тогда из (2.9) имеем: F, = 0. Таким образом, зависимость оптимального управления от характеристических функций показывает, что наличие особого оптимального управления возможно лишь при тождественном обращении в нуль вектора -» F(/). Однако это предположение приводит к требованию обращения в нуль постоянной Я,, что противоречит принципу биоптимальности. Из системы дифференциальных уравнений для характеристических функций (2.10) следует, что функция F2(t) может обращаться в ноль лишь на множестве нулевой меры. Таким образом, в ./-задаче отсутствуют особые оптимальные управления. Вид оптимального управления. Так как значение оптимального управления на множестве нулевой меры не оказывает никакого влияния на оптимальный процесс, мы можем доопределить функцию u(t) в этих точках, исходя, например, из соображений ее односторонней непрерывности. Для определенности будем считать, что в этих точках u(t) = а. Теорема. Оптимальным управлением в J-задаче является кусочно-постоянная функция, принимающая два значения а и Ъ Для определения окончательной структуры возможного оптимального управления в J-задаче решим систему (2.10) с учетом (2.9) и (2.11). Таким образом, система линейных дифференциальных уравнений первого порядка сводится к линейному дифференциальному уравнению второго порядка
Нахождение константы Ляпунова
Таким образом, доказана следующая теорема. Теорема 2. Если параметры функции f(t) удовлетворяют неравенству (2.33) то оптимальным управлением в J-задаче является кусочно-постоянная функция u(t) (рис.8), принимающая два значения а и Ъ, имеющая п переключений, удовлетворяющая равенствам Нахождение константы Ляпунова. В силу периодичности коэффициента /(/) уравнения Хилла (2.1) константа Ляпунова определяется по формуле: J = —SpX(T). Согласно лемме 2 [35], матрицантом системы (2.5) является матрица Тогда, если параметры функции /(/) удовлетворяют неравенству (2.18), то значение оптимизирующего функционала J на решениях системы (2.5) определяется формулой Если же параметры функции /(/) удовлетворяют неравенству (2.33), то значение оптимизирующего функционала J на решениях системы (2.5) определяется формулой Критерии устойчивости и неустойчивости. Критерий 1. Пусть параметры фун дополнительное исследование. Если параметр п = \, то из равенства (2.34) следует, что константа Ляпунова вычисляется по формуле Вычисляя след произведения матриц, запишем J— + J— sin 4aTx cos 4bT2 sin 4btQ — cos VaTx sin л/Wi s n " o \b \a J Группируя и вынося общий множитель, выводим вернув выражения в скобках, получим соотношение для константы Ляпунова в котором, согласно формулам (2.24), имеем Учитывая последние соотношения, запишем формулу для константы Ляпунова в Т при вх -2— для п = Г Ъ-а (2.38) Критерий 2. Пусть параметры функции f(t) удовлетворяют неравенству (2.33). Тогда, 1. если константа Ляпунова J, определенная равенством (2.36) по модулю меньше единицы, то решения уравнения (2.1) устойчивы; 2. если константа Ляпунова J по модулю больше единицы, то решения уравнения Хилла (2.1) неустойчивы; 3. если же константа Ляпунова J по модулю равняется единице, то необходимо дополнительное исследование. Из равенства (2.36) при п = \ следует, что константа Ляпунова вычисляется по формуле і J J = Sp 2 У Г лЙГ, cos sin 4аТх —yfasmyjatQ cos4at0 j. Вычисляя след произведения матриц, получим J = Gos4aTx cosy[bT2 cos4atQ J— + /— sm.4aTx sm4bT2 cos t0— J — + J— cos 4aTx sin 4bT2 sin jat0 — sin 4aTx cos -JbT2 sin 4atQ, Группируя и вынося общий множитель, выводим J = cos 4bT2 [cos л[аТх cos л/о/0 - sin 4аТх sin л/а/0 J" J— + J, cos-Jat0 + cosVoTj smyfat0 J. Свернув выражения в скобках, получим соотношение для константы Ляпунова J = cos JbT2 cos Va (7] + 0) лі + лІ s n Wi s"1 V ( i + o)» в котором, согласно формулам (2.32), имеем Поскольку формулы (2.38) и (2.39) для константы Ляпунова J одинаковы, то делаем вывод, что константа Ляпунова для уравнения Хилла (2.1) при п = \ независимо от параметров ТіЄ0ів1 удовлетворяет соотношению (2.39). Таким образом, получен критерий устойчивости и неустойчивости решений уравнения Хилла (2.1) при п = 1. Пусть параметры /0,7j, Т2 таковы, что п = \. Тогда, 1. если константа Ляпунова J, определенная равенством (2.39) по модулю меньше единицы, то решения уравнения (2.1) устойчивы; 2. если константа
Ляпунова J по модулю больше единицы, то решения уравнения Хилла (2.1) неустойчивы; 3. если же константа Ляпунова J по модулю равняется единице, то необходимо дополнительное кции f(t) удовлетворяют неравенству (2.18). Тогда, 1. если константа Ляпунова J, определенная равенством (2.34) по модулю меньше единицы, то решения уравнения (2.1) устойчивы; 2. если константа Ляпунова J по модулю больше единицы, то решения уравнения Хилла (2.1) неустойчивы; 3. если же константа Ляпунова J по модулю равняется единице, то необходимо дополнительное исследование. Если параметр п = \, то из равенства (2.34) следует, что константа Ляпунова вычисляется по формуле Вычисляя след произведения матриц, запишем J— + J— sin 4aTx cos 4bT2 sin 4btQ — cos VaTx sin л/Wi s n " o \b \a J Группируя и вынося общий множитель, выводим вернув выражения в скобках, получим соотношение для константы Ляпунова в котором, согласно формулам (2.24), имеем Учитывая последние соотношения, запишем формулу для константы Ляпунова в Т при вх -2— для п = Г Ъ-а (2.38) Критерий 2. Пусть параметры функции f(t) удовлетворяют неравенству (2.33). Тогда, 1. если константа Ляпунова J, определенная равенством (2.36) по модулю меньше единицы, то решения уравнения (2.1) устойчивы; 2. если константа Ляпунова J по модулю больше единицы, то решения уравнения Хилла (2.1) неустойчивы; 3. если же константа Ляпунова J по модулю равняется единице, то необходимо дополнительное исследование. Из равенства (2.36) при п = \ следует, что константа Ляпунова вычисляется по формуле і J J = Sp 2 У Г лЙГ, cos sin 4аТх —yfasmyjatQ cos4at0 j. Вычисляя след произведения матриц, получим J = Gos4aTx cosy[bT2 cos4atQ J— + /— sm.4aTx sm4bT2 cos t0— J — + J— cos 4aTx sin 4bT2 sin jat0 — sin 4aTx cos -JbT2 sin 4atQ, Группируя и вынося общий множитель, выводим J = cos 4bT2 [cos л[аТх cos л/о/0 - sin 4аТх sin л/а/0 J" J— + J, cos-Jat0 + cosVoTj smyfat0 J. Свернув выражения в скобках, получим соотношение для константы Ляпунова J = cos JbT2 cos Va (7] + 0) лі + лІ s n Wi s"1 V ( i + o)» в котором, согласно формулам (2.32), имеем Поскольку формулы (2.38) и (2.39) для константы Ляпунова J одинаковы, то делаем вывод, что константа Ляпунова для уравнения Хилла (2.1) при п = \ независимо от параметров ТіЄ0ів1 удовлетворяет соотношению (2.39). Таким образом, получен критерий устойчивости и неустойчивости решений уравнения Хилла (2.1) при п = 1. Пусть параметры /0,7j, Т2 таковы, что п = \. Тогда, 1. если константа Ляпунова J, определенная равенством (2.39) по модулю меньше единицы, то решения уравнения (2.1) устойчивы; 2. если константа Ляпунова J по модулю больше единицы, то решения уравнения Хилла (2.1) неустойчивы; 3. если же константа Ляпунова J по модулю равняется единице, то необходимо дополнительное исследование. Выясним, устойчивы ли решения уравнения
Нахождение вспомогательной функции S(n)
Нахождение вспомогательной функции д{п). Если u(Q) = b, то управляющая функция u{t) — это кусочно-постоянная функция, принимающая два значения а и Ь, имеющая п переключений, удовлетворяющая равенствам наименьшее J и наибольшее J значения константы Ляпунова также достигается на кусочно-постоянных функциях u{t), т принимающих два значения а и Ъ, удовлетворяющих равенству Jw(/)c# = #0, вида п где u(t) — кусочно-периодическая функция периода —, принимающая два зна чения а и bf имеющая п переключений и удовлетворяющая равенству т JM (t)dt = 0О , график которой изображен на рисунке 2. о Если мы определим связь между функциями S{ri) и 9х{п)9 то сможем найти возможное число переключений п функции u{t), тем самым определить наименьшее J и наибольшее J значения константы Ляпунова. Найд(ri) монотонно убывает для всех п 1. Таким образом, доказана следующая теорема. Теорема 1. Если функция м(/) — кусочно-периодическая функция периода Т —, принимающая два значения а и Ь, имеющая п переключений и удовлетво п ряющая равенствам то функция монотонно убывает на всей области определения и определяется формулой Сравнение функций S(n) и вх{п). Далее, для определения числа переключений п функции u(t)eUj, сравним вспомогательную функцию S(n) и функцию в\(п), определенную выше формулой (3.7). Согласно теореме 1, функция 5(п) есть монотонно убывающая функция, т.е. S(n + l) S(n). Из формул (3.7) и (3.8) следует, что функция вх{п) связана с функцией д(п) соотношением
Поскольку вычитаемое в выражении (3.9) больше нуля, то имеем вх («) («). Теперь выявим связь между функциями S(n + l) и дх(п). Для этого рассмотрим разность 0x(ri)—S(n + \). Функция S(n + l), согласно соотношению (3.8), определяется формулой и выражается через функцию S(n) следующим образом S(n + \) 2(Ь-а)п _Є0Т Є0-аТ)(ЬТ-в0) {в0-аТ){ЪТ-в0) 2(Ь-а)п(п + \) т.е. S(n + \)=S(n) (в0-аТ)(ЬТ-в0) 2(Ъ-а)п(п + \) Тогда 9M.S(n+1}АОо- тхьт-е0)_ьт-ъ « + 1 2{Ь — а)п(п + 1) 2 п т.е. _ЬТ-0о 2п вх{п)-8(п + \)= в -аТ (Ь-аХп + \) /0(« + 1) (ЗЛО) Поскольку ЪТ — в0 0, то знак разности (3.10) зависит от знака множителя А, стоящего в скобках в правой части соотношения (3.10), . в0—аТ , ,ч (b - ar)(w +1) Введем обозначения Ь-а ЪТ-9, в0-аТ Щ-ej а=— . р —— и— (3.11) Делая замену (3.11) в формулах (2.24), имеем о = - (« - fin) Т2 = -L(ar + 0). «+1 «+1 Из условий t0 0 и Т2 t0 следует, что a-J3n 0 и /? 0,т.е. 0 /? a п Используя замену (3.11), определим знак множителя А методом интервалов. А а 4 / . i\ а п а - an- а + вп(п + \) А = -_/(„ + !)= а + /3п = f-± -= п+\ w+1 п+\ _рп(п + \)-ап_п\р(п + \)-а] п+\ п+1 ем функции S(n) и вх («). По определению функции вх («) имеем л_, Г2+(Г,+Г2) btl Группируя и вынося общие множители, получим Таким образом, функция 9х(п) определяется формулой Определим явный вид функции S(n). Для этого сначала поменяем порядок интегрирования в повторном т интеграле (3.4). о о Рис.3 (3.7) Вычисляя интегралы под знаками сумм, выводим Подставляя предельные значения, имеем а+щц+т2 f2+i(f1+T2) Вычисляя суммы, запишем Приведя подобные слагаемые, получим Согласно граничным условиям (3.6), имеем Из условий (3.6) определяем Тх и Т2 Теперь, подставляя значение Т2 в выражение для функции S(n)t имеем _0ОТ j 0п-аТ )Z [-0Q+aT + bT_aThW + Wo-T№T-0o) 2 2п{Ъ-аУ л 2 2{Ь-а)п Поскольку выполнены неравенства аТ 0о ЬТ, то производная функции ж \ хч л (во-аТ)фТ-0о) о(п), равная о (п)= - г —, меньше нуля при любых значениях 2« а,Ь,Т,0о. Значит, функция S(ri) монотонно убывает для всех п 1. Таким образом, доказана следующая теорема. Теорема 1. Если функция м(/) — кусочно-периодическая функция периода Т —, принимающая два значения а и Ь, имеющая п переключений и удовлетво п ряющая равенствам то функция монотонно убывает на всей области определения и определяется формулой Сравнение функций S(n) и вх{п). Далее, для определения числа переключений п функции u(t)eUj, сравним вспомогательную функцию S(n) и функцию в\(п), определенную выше формулой (3.7). Согласно теореме 1, функция 5(п) есть монотонно убывающая функция, т.е. S(n + l) S(n). Из формул (3.7) и (3.8) следует, что функция вх{п) связана с функцией д(п) соотношением Поскольку вычитаемое в выражении (3.9) больше нуля, то имеем вх («) («). Теперь выявим связь между функциями S(n + l) и дх(п). Для этого рассмотрим разность 0x(ri)—S(n + \). Функция S(n + l), согласно соотношению (3.8), определяется формулой и выражается через функцию S(n) следующим образом S(n + \) 2(Ь-а)п _Є0Т Є0-аТ)(ЬТ-в0) {в0-аТ){ЪТ-в0) 2(Ь-а)п(п + \) т.е. S(n + \)=S(n) (в0-аТ)(ЬТ-в0) 2(Ъ-а)п(п + \) Тогда 9M.S(n+1}АОо- тхьт-е0)_ьт-ъ « + 1 2{Ь — а)п(п + 1) 2 п т.е. _ЬТ-0о 2п вх{п)-8(п + \)= в -аТ (Ь-аХп + \) /0(« + 1) (ЗЛО) Поскольку ЪТ — в0 0, то знак разности (3.10) зависит от знака множителя А, стоящего в скобках в правой части соотношения (3.10), . в0—аТ , ,ч (b - ar)(w +1) Введем обозначения Ь-а ЪТ-9, в0-аТ Щ-ej а=— . р —— и— (3.11) Делая замену (3.11) в формулах (2.24), имеем о = - (« - fin) Т2 = -L(ar + 0). «+1 «+1 Из условий t0 0 и Т2 t0 следует, что a-J3n 0 и /? 0,т.е. 0 /? a п Используя замену (3.11), определим знак множителя А методом интервалов. А а 4 / . i\ а п а - an- а + вп(п + \) А = -_/(„ + !)= а + /3п = f-± -= п+\ w+1 п+\ _рп(п + \)-ап_п\р(п + \)-а] п+\ п+1
