Содержание к диссертации
Введение
1 Рождение периодических решений дифференциального уравнения с запаздыванием из положения равновесия 18
1.1 Постановка задачи 18
1.2 Функция Грина периодической задачи 19
1.3 Специальное интегральное уравнение 23
1.4 Система уравнений разветвления 27
1.5 Асимптотические представления периодических решений уравнения (1.1) и их периодов 29
1.6 Устойчивость периодических решений 33
1.7 Примеры 35
2 Бифуркационный метод исследования устойчивости периодического решения дифференциально го уравнения с запаздыванием 38
2.1 Существование антисимметрических периодических решений 38
2.2 Оператор монодромии 42
2.3 Асимптотика периодических решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений (2.2) при малых значениях параметра 43
2.4 Устойчивость квазигармонических дифференциальных уравнений с запаздыванием 44
2.5 Устойчивость дифференциального уравнения (2.18) 47
2.6 Устойчивость периодических решений нелинейного дифференциального уравнения с запаздыванием 55
2.7 Примеры 56
3 Устойчивость антисимметрических периодических решений дифференциальных уравнений с запаз дыванием 67
3.1 Существование периодических решений 67
3.2 Бифуркационная постановка в задаче устойчивости периодического решения 70
3.3 Исследование бифуркаций корней характеристического уравнения . 75
3.4 Устойчивость периодических решений 80
3.5 Пример 81
4 Исследование одной математической модели "хищник-жертвамс запаздыванием 84
4.1 Существование симметрических периодического решения 84
4.2 Устойчивость однопараметрической системы уравнений с запаздыванием 89
4.3 Расположение корней характеристического уравнения для порождающей краевой задачи 4.4 Поведение корней характеристического уравнения при конечных значениях параметра 4.5 Численные исследования математической модели 96
Литература
- Асимптотические представления периодических решений уравнения (1.1) и их периодов
- Асимптотика периодических решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений (2.2) при малых значениях параметра
- Бифуркационная постановка в задаче устойчивости периодического решения
- Устойчивость однопараметрической системы уравнений с запаздыванием
Введение к работе
История вопроса. Теория нелинейных периодических колебаний дифференциальных уравнений с запаздыванием активно используется при качественном исследовании конкретных математических моделей, учитывающих наследственные свойства динамических процессов. В ходе своего развития она использовала идеи и методы теории нелинейных колебаний для обыкновенных дифференциальных уравнений. Основы метода Ляпунова - Пуанкаре для систем с последействием заложены в работах Н.Н. Красовского [45], A. Halanay [113,114], С.Н. Шиманова [88,91,92], Ю.А. Рябова [69,70], А.Ф. Клейменова 133,34], Л.Э. Эльсгольца ]98], К.М. Цойя [86,87], Л.З. Фишмана [80]. Асимптотический метод для систем с запаздыванием разрабатывался в работах Ю.А. Митропольского [53,54], В.П. Рубаника [68], В.И. Фодчу-ка [53,81], A. Halanay [115], Д.И. Мартынюка [51,54], A.M. Самойленко [51], B.C. Сергеева [72] и других авторов. Метод Андронова - Хопфа использовался при нахождении периодических решений в работах J.K. Hale [116], S. Chow, J. Mallet-Paret [102], Ю.С. Колесова, Д.И. Швитра [35], N.D. Kazarinoff, Y.H. Wan, P. van den Driess-che [123], N. Chafee [101], J.R. Claeyssen [103], D. Schley [130]. Топологические методы применялись в работах М.А. Красносельского [42-44], В.В. Стрыгина [44], Б.Н. Садовского [71], Ю.Г. Борисовича [6,7], В.Ф. Субботина [6,77], P.P. Ахмерова [3]. Периодические релаксационные колебания в системах с запаздыванием изучались в работах Ю.С. Колесова [36], С.А. Кащенко [30], В.И. Фодчука, А. Холматова [82]. Периодические колебания в системах с малым запаздыванием исследовались в работах В.И. Рожкова [66,67], A.M. Родионова [65]. Разрабатывались специальные методы нахождения периодических решений, учитывающие индивидуальные особенности рассматриваемого дифференциального уравнения с запаздыванием (Е.М. Wright [136], G. Jones [119,120], R. Nussbaum [126,127], R.B. Grafton [108,109], J.L.Kaplan, J.A. Yorke [121,122], H. Walther [133,134]). Предложенные методы исследования периодических колебаний активно используются при качественном исследовании поведения конкретных математических моделей (G.E. Hutchinson [118], D. Stirzaker [131], R. May [124], В.Г. Бабский, А.Д. Мышкис [4], С.А. Кащенко [31], К. Gopalsamy [107], Г.И. Марчук [52], В. Вольтерра [12], Ю.С. Колесов [37], В.В. Майоров, И.Ю. Мыш-кин [48], А.Д. Дроздов, В.Б. Колмановский [25], W. Wang, S. Ruan [135]). Устойчивость решений периодических систем дифференциальных уравнений изучалась в работах В.Б. Колмановского, В.Р. Носова [39], Н.Н. Красовского |46], Дж. Хей-ла [83], A.M. Зверкина [27], С.Н. Шиманова [95], A. Halanay [112], W. Hahn [ПО], В.А. Stakes [132], Н.В. Азбелева [1], П.М. Симонова [2,73], А.Ф. Клейменова [34], Ю.Н. Смолина [74,75], Е.Л. Тонкова [78], Ю.Ф. Долгого [21], В.Г. Курбатова [47], Д.Я. Хусаинова [84], В.В. Малыгиной [50], В.А. Тышкевича [79], Л.М. Березанско-го [5], А.В. Захарова [15,26], С.Г. Николаева [20], Г.Л. Гасилова [14], А.В. Кима [40,41], А.Л. Скубачевского, Х.О. Вальтера [10,11], J.L. Kaplan, J.A. Yorke [121], P. Dor-mayer [104,105], P. Dormayer, A.F. Ivanov , B. Lani-Vayda [106] и других авторов.
Объект исследования и основные результаты. Изучаются вопросы существования и устойчивости периодических решений дифференциального уравнения с запаздыванием.
В первой главе исследуется бифуркация рождения периодического решения из положения равновесия для скалярного уравнения с запаздыванием. Аналогичные задачи изучались в [35,101-103,116,123]. В данной работе при построении уравнений разветвления используется специальное интегральное уравнение |16 18]. Новизна реализации этого подхода связана с новой процедурой нахождения функции Грина. Для решения последней проблемы используются краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. Учет специфики рассматриваемого дифференциального уравнения с запаздыванием позволяет предложить простой и конструктивный алгоритм построения функции Грина. Условия существования периодического решения получены, при наличии конечной гладкости правой части дифференциального уравнения. Построена асимптотика периодического решения и его периода. Определение условий устойчивости потребовало большого объема вычислений. В результате найден аналитический признак устойчивости, который обобщает аналогичные признаки, полученные для дифференциальных уравнений с запаздыванием в работах [85,108,117].
Во второй главе рассматривается существенно нелинейное дифференциальное уравнение dx{t)/dt — —f(x(t — т)), с нечетной функцией /. Наличие симметрии в уравнении позволяет ставить задачу о нахождении антисимметрического 4т-периоди-ческого решения. Указанная задача изучалась в [20,104,109,122,127]. В настоящей работе вопрос существования периодического решения решается на основе изучения, зависящего от начальных значений, периода решений канонической системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Для исследуемой задачи большую проблему составляет определение условий устойчивости периодических решений [2,9,20,104,105,121]. В работе Ю.Ф. Долгого и С. Г. Николаева [20] предложен бифуркационный метод решения проблемы устойчивости периодического решения дифференциального уравнения с запаздыванием. Он позволил получить достаточные условия устойчивости периодических решений с конечными амплитудами. При этом требовалась монотонная зависимость периода от начальных значений. Во второй главе диссертации удалось снять это жесткое ограничение на период и решить задачу в общей ситуации. Численные эксперименты подтвердили теоретические результаты, согласно которым уравнение может иметь несколько периодических решений, а их устойчивость определяется знаком производной периода для начального значения порождающего периодического решения.
В третьей главе рассматривается существенно нелинейное дифференциальное уравнение dx(t)/dt = f(x(t),x(t — г)). Периодические решения для такого дифференциального уравнения изучались в [106,108,109,119 122,126,127,133,134,13б|. Особенность рассматриваемой постановки в наличии симметрии функции /, что допускает возможность существования антисимметрического 4т- периодического решения [106]. Трудности представляет задача нахождения условий устойчивости этого решений. Здесь используется бифуркационный метод изложенный во второй главе. Применение его к более сложному объекту потребовало преодоления дополнительных технических трудностей. В результате поставленная задача была решена для нового более общего объекта.
В четвертой главе исследуется поведение динамических процессов в одной математической модели "хищник - жертва" [13, 25, 55, 76, 111,129, 137 139]. Показа- но, что динамическая система может иметь периодическое решение, период которого совпадает с запаздыванием. Существование такого решения связано с наличием симметрии у математической модели, которая описывается системой дифференциальных уравнений с запаздыванием второго порядка. Установлена возможность использования бифуркационного метода исследования устойчивости периодических решений для системы уравнений второго порядка. Его применение позволило доказать неустойчивость обнаруженного периодического решения. Глобальное поведение математической модели было изучено в ходе компьютерного моделирования динамических процессов.
Краткое содержание работы.
Асимптотические представления периодических решений уравнения (1.1) и их периодов
История вопроса. Теория нелинейных периодических колебаний дифференциальных уравнений с запаздыванием активно используется при качественном исследовании конкретных математических моделей, учитывающих наследственные свойства динамических процессов. В ходе своего развития она использовала идеи и методы теории нелинейных колебаний для обыкновенных дифференциальных уравнений. Основы метода Ляпунова - Пуанкаре для систем с последействием заложены в работах Н.Н. Красовского [45], A. Halanay [113,114], С.Н. Шиманова [88,91,92], Ю.А. Рябова [69,70], А.Ф. Клейменова 133,34], Л.Э. Эльсгольца ]98], К.М. Цойя [86,87], Л.З. Фишмана [80]. Асимптотический метод для систем с запаздыванием разрабатывался в работах Ю.А. Митропольского [53,54], В.П. Рубаника [68], В.И. Фодчу-ка [53,81], A. Halanay [115], Д.И. Мартынюка [51,54], A.M. Самойленко [51], B.C. Сергеева [72] и других авторов. Метод Андронова - Хопфа использовался при нахождении периодических решений в работах J.K. Hale [116], S. Chow, J. Mallet-Paret [102], Ю.С. Колесова, Д.И. Швитра [35], N.D. Kazarinoff, Y.H. Wan, P. van den Driess-che [123], N. Chafee [101], J.R. Claeyssen [103], D. Schley [130]. Топологические методы применялись в работах М.А. Красносельского [42-44], В.В. Стрыгина [44], Б.Н. Садовского [71], Ю.Г. Борисовича [6,7], В.Ф. Субботина [6,77], P.P. Ахмерова [3]. Периодические релаксационные колебания в системах с запаздыванием изучались в работах Ю.С. Колесова [36], С.А. Кащенко [30], В.И. Фодчука, А. Холматова [82]. Периодические колебания в системах с малым запаздыванием исследовались в работах В.И. Рожкова [66,67], A.M. Родионова [65]. Разрабатывались специальные методы нахождения периодических решений, учитывающие индивидуальные особенности рассматриваемого дифференциального уравнения с запаздыванием (Е.М. Wright [136], G. Jones [119,120], R. Nussbaum [126,127], R.B. Grafton [108,109], J.L.Kaplan, J.A. Yorke [121,122], H. Walther [133,134]). Предложенные методы исследования периодических колебаний активно используются при качественном исследовании поведения конкретных математических моделей (G.E. Hutchinson [118], D. Stirzaker [131], R. May [124], В.Г. Бабский, А.Д. Мышкис [4], С.А. Кащенко [31], К. Gopalsamy [107], Г.И. Марчук [52], В. Вольтерра [12], Ю.С. Колесов [37], В.В. Майоров, И.Ю. Мыш-кин [48], А.Д. Дроздов, В.Б. Колмановский [25], W. Wang, S. Ruan [135]). Устойчивость решений периодических систем дифференциальных уравнений изучалась в работах В.Б. Колмановского, В.Р. Носова [39], Н.Н. Красовского 46], Дж. Хей-ла [83], A.M. Зверкина [27], С.Н. Шиманова [95], A. Halanay [112], W. Hahn [ПО], В.А. Stakes [132], Н.В. Азбелева [1], П.М. Симонова [2,73], А.Ф. Клейменова [34], Ю.Н. Смолина [74,75], Е.Л. Тонкова [78], Ю.Ф. Долгого [21], В.Г. Курбатова [47], Д.Я. Хусаинова [84], В.В. Малыгиной [50], В.А. Тышкевича [79], Л.М. Березанско-го [5], А.В. Захарова [15,26], С.Г. Николаева [20], Г.Л. Гасилова [14], А.В. Кима [40,41], А.Л. Скубачевского, Х.О. Вальтера [10,11], J.L. Kaplan, J.A. Yorke [121], P. Dor-mayer [104,105], P. Dormayer, A.F. Ivanov , B. Lani-Vayda [106] и других авторов.
Объект исследования и основные результаты. Изучаются вопросы существования и устойчивости периодических решений дифференциального уравнения с запаздыванием.
В первой главе исследуется бифуркация рождения периодического решения из положения равновесия для скалярного уравнения с запаздыванием. Аналогичные задачи изучались в [35,101-103,116,123]. В данной работе при построении уравнений разветвления используется специальное интегральное уравнение 16 18]. Новизна реализации этого подхода связана с новой процедурой нахождения функции Грина. Для решения последней проблемы используются краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. Учет специфики рассматриваемого дифференциального уравнения с запаздыванием позволяет предложить простой и конструктивный алгоритм построения функции Грина. Условия существования периодического решения получены, при наличии конечной гладкости правой части дифференциального уравнения. Построена асимптотика периодического решения и его периода. Определение условий устойчивости потребовало большого объема вычислений. В результате найден аналитический признак устойчивости, который обобщает аналогичные признаки, полученные для дифференциальных уравнений с запаздыванием в работах [85,108,117].
Асимптотика периодических решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений (2.2) при малых значениях параметра
Во второй главе рассматривается существенно нелинейное дифференциальное уравнение dx{t)/dt — —f(x(t — т)), с нечетной функцией /. Наличие симметрии в уравнении позволяет ставить задачу о нахождении антисимметрического 4т-периоди-ческого решения. Указанная задача изучалась в [20,104,109,122,127]. В настоящей работе вопрос существования периодического решения решается на основе изучения, зависящего от начальных значений, периода решений канонической системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Для исследуемой задачи большую проблему составляет определение условий устойчивости периодических решений [2,9,20,104,105,121]. В работе Ю.Ф. Долгого и С. Г. Николаева [20] предложен бифуркационный метод решения проблемы устойчивости периодического решения дифференциального уравнения с запаздыванием. Он позволил получить достаточные условия устойчивости периодических решений с конечными амплитудами. При этом требовалась монотонная зависимость периода от начальных значений. Во второй главе диссертации удалось снять это жесткое ограничение на период и решить задачу в общей ситуации. Численные эксперименты подтвердили теоретические результаты, согласно которым уравнение может иметь несколько периодических решений, а их устойчивость определяется знаком производной периода для начального значения порождающего периодического решения.
В третьей главе рассматривается существенно нелинейное дифференциальное уравнение dx(t)/dt = f(x(t),x(t — г)). Периодические решения для такого дифференциального уравнения изучались в [106,108,109,119 122,126,127,133,134,13б. Особенность рассматриваемой постановки в наличии симметрии функции /, что допускает возможность существования антисимметрического 4т- периодического решения [106]. Трудности представляет задача нахождения условий устойчивости этого решений. Здесь используется бифуркационный метод изложенный во второй главе. Применение его к более сложному объекту потребовало преодоления дополнительных технических трудностей. В результате поставленная задача была решена для нового более общего объекта.
В четвертой главе исследуется поведение динамических процессов в одной математической модели "хищник - жертва" [13, 25, 55, 76, 111,129, 137 139]. Показа но, что динамическая система может иметь периодическое решение, период которого совпадает с запаздыванием. Существование такого решения связано с наличием симметрии у математической модели, которая описывается системой дифференциальных уравнений с запаздыванием второго порядка. Установлена возможность использования бифуркационного метода исследования устойчивости периодических решений для системы уравнений второго порядка. Его применение позволило доказать неустойчивость обнаруженного периодического решения. Глобальное поведение математической модели было изучено в ходе компьютерного моделирования динамических процессов.
Краткое содержание работы. Глава 1 посвящена изучению бифуркации рождения периодического решения из положения равновесия. Рассматривается скалярное дифференциальное уравнение с запаздыванием ^l = X(x(t),x(t~l),e), (0.1) где X — вещественная функция вещественных аргументов, непрерывная по совокупности аргументов и непрерывно дифференцируемая по первому и второму аргументам в малой окрестности точки (0,0,0)т, Т — знак транспонирования, Х(х, Х-\, є) = 0 при х = х_! = 0, дХ(0,0,0)/дх = 0, дХ(0, 0, 0)/ді_і = -тг/2, е — малый параметр.
В параграфе 1.1 приводится постановка задачи нахождения периодических решений уравнения (0.1). Исходное уравнение представляется в виде ^ = ~x(t-l) + f(x(t),x(t-l),e), (0.2) где / — непрерывная по совокупности аргументов и непрерывно дифференцируемая по первому и второму аргументам функция в малой окрестности точки (0,0, 0)т, f(x,X-i,e) = а(є)х + Ь(є)х-\ + о І (х2 + xlj) ), а и b — непрерывные функции в малой окрестности нуля, а(0) = 6(0) = 0.
Бифуркационная постановка в задаче устойчивости периодического решения
Соответствующее (0.2) порождающее уравнение dx(t)/dt = -(n/2)x(t— 1) имеет однопараметрическое семейство периодических решений xo(t, 7) = jcos(nt/2), j,t Є R. Метод Д-разбиения [19; с.62] показывает, что эти 4 - периодические решения устойчивы.
Ставится задача найти периодические решения x(t,e), t Є R, уравнения (0.2) в малой окрестности нулевого положения равновесия, с периодом LO(E) = 4(1 + а(є)), отвечающие порождающим периодическим решениям Zo(,7(e)) е - Здесь а и 7 — вещественные непрерывные функции, удовлетворяющие условиям а(0) = 0, 7(0) = 0.
Проведенные преобразования позволили свести задачу нахождения периодических решений исходного уравнения в малой окрестности нулевого положения равновесия, с периодом ш(е) — 4(1 + а(є)) зависящим от параметра є, к задаче нахождения 4-периодических решений уравнения (0.3) в малой окрестности нулевого положения равновесия этого уравнения. Для решение последней задачи используем методику предложенную, в работах (17,18], где для построения уравнений разветвления используется специальное интегральное уравнение.
В параграфе 1.2 предлагается метод построения функции Грина. Рассматриваем задачу нахождения 4-периодических решений дифференциального уравнения с запаздыванием где д — непрерывная 4-периодическая функция. Введя обозначения (г + т?) = уг{д), д(г + d) = ?j($), г = 1,4, [-1,0], и используя метод, предложенный в работе [28; с.506], задачу нахождения 4-периодических решений уравнения с запаздыванием сводим к определению решений следующей краевой задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений где у = {уьУ2,Уз,Уі)\ № = Ы$),92($),93($),9№))Т, 0 Є [-1,0], A = (T/2)S, S = {{0,1,0,0}т, {0,0,1,0}т, {0,0,0,1}т, {1,0,0,0}т}. К этой краевой задаче применяется метод вспомогательных систем Шиманова [89]. Строится функция Грина вспомогательной краевой задачи где J(0) = g(ti) - (0) , W = j T{z) g(z)dz, Ф(і9) = 2Y{d)D, д Є [-1,0], Y — нормированная в нуле фундаментальная матрица однородной системы дифференциальных уравнений (0.5), D = {d\d2}, d1 = (0,-1/2,0,1/2)т, d2 = (-1/2,0, 1/2,0)т. Здесь Ф — матрица, столбцы которой являются линейно независимыми 4-периодическими решениями системы dy/ds — -Ату.
Используя связь решений краевой задачи (0.5), (0.6) с периодическими решениями дифференциального уравнения с запаздыванием (0.4), находим условия существования периодического решения уравнения (0.4)
Утверждение 0.1. [Утверждение 1.1 на стр. 27] Пусть f непрерывная по совокупности аргументов и непрерывно дифференцируемая по первому и второму аргументам функция в малой окрестности точки (0,0,0)т, /(і,г_і,е) = а(є)х + Ь(є)х-і + о((х2 + х2_х) ), a ub — непрерывные функции в малой окрестности нуля, а(0) = 6(0) = 0. Тогда существуют такие числа а 0, 7 0, А 0, є 0, что при а а, І7І 7» И б области Пд интегральное уравнение (0.7) имеет единственное решение (s, у, є, a), s Є [0,4] непрерывно зависящее от параметров.
В параграфе 1.4 изучается вопрос разрешимости системы уравнений разветвления. Если для найденного решения (s,y,e,a), s Є [0,4], а &, І7І 7. И є интегрального уравнения (0.7) выполняются равенства Wi(7,e,a) = - / cos zj р(Лі(г),7,є,а) - -(1+аг)(Л2(г,а),7..а)+ о то это решение совпадает на отрезке [0,4] с периодическим решением дифференциального уравнения с запаздыванием. Здесь f(y (z),y (h2(z,a)),) = yf((z),(h,2(z,a)),y,e), f — непрерывная по совокупности аргументов и непрерывно дифференцируемая по первому и второму аргументам функция,
Устойчивость однопараметрической системы уравнений с запаздыванием
Утверждение 0.2. [Утверждение 1.2 на стр. 29] Пусть выполняются условия утверждения 0.1, функция f — непрерывно дифференцируема по є в малой окрестности точки (0,0,0)т м wb (0) ф 2а (0). Тогда существует такое у 0, что при І7І 7 система уравнений разветвления (0.8) допускает единственное непрерывное решение а = а(у), є = є (у), \у\ у , а(0) — е(0) = 0. В параграфе 1.5 находится асимптотическое представление искомого решения дифференциального уравнения с запаздыванием. Потребуем дополнительную гладкость функции /, гарантирующую существование представления функции / в виде асимптотического разложения а также асимптотическое представление решения специального интегрального уравнения (0.7). Далее в параграфе, при выполнении условия є2 ф 0, найдено асимптотическое представление периодического решения x(t,e), t Є [0,4], дифференциального уравнения с запаздыванием (0.2) для малых значений є, удовлетворяющих неравенству 0 є/є2. При є/є2 0 уравнение (0.2) не имеет периодических решений.
В параграфе 1.6 исследуется на устойчивость полученное периодическое решение. Для этого используется уравнение линейного приближения для возмущенного решения. При 7 = 0 уравнение линейного приближения имеет двукратный характеристический показатель А = иг/2. Остальные характеристические показатели имеют отрицательные действительные части. При возрастании 7 двукратный характеристический показатель распадается на два. Причем один из них будет равен А = ітг/2.
Для нахождения зависимости второго характеристического показателя от 7 использовалась методика работы [96]. что позволило найти асимптотическое представление ненулевого характеристического показателя А(7) = iit/2 + А272 + (72) 0 7 7 ,
А2_ 4 + тгЧ 4ZlV2 4/з+8/4+іі0 5п)[СіС2 + С]і+
В результате, построенное периодическое решение уравнения с запаздыванием (0.2) будет устойчивым при А2 0 и неустойчивым при А2 0. В параграфе 1.7 полученные теоретические результаты используются для нахождения периодических решений конкретных дифференциальных уравнений с запаздыванием, а также при получении достаточных условий их устойчивости.
Глава 2 посвящена изучению вопросов устойчивости антисимметрических периодических решений x[t + 2т) = -x(t), t Є R, г 0, скалярного дифференциального уравнения с запаздыванием где / — нечетная непрерывно дифференцируемая функция с положительной производной на интервале (—7,7)1 7 0. В главе удалось показать возможность существования нескольких изолированных антисимметрических периодических решений уравнения (0.9). Получены достаточные условия устойчивости таких периодических решений.
В параграфе 2.1 задачу нахождения антисимметрического периодического решения дифференциального уравнения с запаздыванием (0.9) сводим к определению решения специальной краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений
Формула (0.11) определяет расположение интегральных кривых системы (0.10) на фазовой плоскости. Специальным начальным условиям Ж](0, р) — 0, x2(Q,p) = р, соответствуют замкнутые интегральные кривые, порождающие периодические движения {xi(t,p,), x2{t,р)}, t Є К, при 0 /U 7-Периоды Т решений системы (0.10) зависят от р. Наличие семейства периодических решений системы (0.10) позволяет сформулировать следующее утверждение:
