Введение к работе
Актуальность темы. Уравнения с запаздыванием являются важной составляющей теории динамических систем. Они служат для описания большого класса систем управления, моделирования различных процессов в технике, оптике, физике, биологии. Еще в 60-80 годах XX века уравнения с запаздыванием активно изучались такими математиками, как P.P. Ахмеров, Я.И. Гольцер, Ю.А. Дядченко, A.M. Зверкин, Г.А. Каменский, М.И. Каменский, С.А. Кащенко, М. А. Красносельский, Ю.С. Колесов, А.Д. Мышкис, А.Е. Родкина, Б.Н. Садовский. Система дифференциальных уравнений с запаздыванием нейтрального типа имеет вид:
rf(t) = f(t,e,W(e)xt,W(e)x't), (1)
f : R1 х [0,1] хС([-/і,0],Дт) хС([-М],Г)^Г,
а выражения xt,x't Є С{[—h,0], Rm) обозначают:
xt{s) = x(t + s), x't{s) = x'(t + s) (s Є [—h,0]),
оператор W(e),e Є [0,1], действует в C([—h,0],Rm) по правилу:
[W(e)u](s) = u(es) (зє [-/г,0]).
Таким образом, параметр є характеризует величину запаздывания в уравнении (1). Для данного є Є [0,1] величина производной неизвестной функции х в момент времени t зависит от поведения функции ж и ее производной на отрезке [t — eh,t]. Для уравнений с параметром одной из важных задач является исследование критических значений параметра, приводящих к качественному изменению характера процесса, например, рождению предельных циклов или периодических решений из состояния равновесия.
В настоящее время наблюдается новый всплеск интересов к вопросам, связанным с зависимостью решений от параметра для функционально-дифференциальных уравнений и бифуркацией по параметру (см., например, работы Д. Бартона, М. Ведерманна, Ю.Ф. Долгого, Е.С. Жуковского , Я. Лина, Т. Лузяниной, Д. Руза, Ю.И. Сапронова, Дж. Хейла, К. Энгельборга).
В 70-х годах XX века М.А. Красносельский для нелинейных систем дифференциальных уравнений построил математическую модель рождения периодических режимов одного периода из состояния равновесия, называемую бифуркацией вынужденных колебаний из положения равновесия. Отметим, что М.А. Красносельский рассматривал задачу о рождении периодических решений из состояния равновесия п - мерной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, правая часть которой непрерывно зависит от параметра. Таким образом, в силу конечномерности системы правая часть будет равномерно непрерывной по параметру. В системе же (1) непрерывность по є не будет равномерной и метод М.А. Красносельского непосредственно не может быть применен для анализа задачи о бифуркации периодических решений уравнения (1). Отметим также, что операторы, неподвижные точки которых определяют периодические решения уравнения (1), не будут вполне непрерывными в соответствующих функциональных пространствах. Поэтому возникает вопрос, возможно ли обосновать наличие бифуркации периодических решений для уравнения (1) и дать оценку нормы бифуркационного решения.
Таким образом, задача о существовании бифуркации периодических решений для уравнений нейтрального типа с малым запаздыванием, когда линеаризованная система имеет единственный с точностью до знака простой единичный мультипликатор, до сих пор является актуальной и интересной.
Цель работы. Основной целью диссертационной работы является исследование возможности существования бифуркаций из нулевого решения, а также из непрерывной ветви решений для уравнений нейтрального типа с малым запаздыванием.
Методы исследования. В диссертации использованы методы математического и функционального анализа, общей теории бифуркаций решений дифференциальных уравнений с малым запаздыванием, теории вращения векторных полей. Методологическую основу исследования составляют методы теории уплотняющих операторов и теории возмущений для линейных уплотняющих операторов.
Научная новизна. Перечисленные ниже основные научные результаты диссертации являются новыми:
1. Получены условия существования бифуркации периодических ре-
шений из состояния равновесия, а также из непрерывной ветви решений для уравнений нейтрального типа с малым запаздыванием.
Доказан аналог классической теоремы М.А. Красносельского о бифуркации для уплотняющих операторов в случае лишь сильной непрерывности таких операторов по параметру.
Сформулированы и доказаны условия существования бифуркации из непрерывной ветви решений для уравнения с уплотняющими операторами.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты представляют реальный интерес для теории колебаний, описываемых дифференциальными уравнениями с отклоняющимся аргументом, а также для теории уплотняющих операторов.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на "Пятой Международной конференции по дифферециальным и функционально-дифференциальным уравнениям "(Москва, 2008 г.), на "Второй Международной конференции молодых ученых по дифференциальным уравнениям и их приложениям имени Я. Б. Лопатинского" (Донецк, Украина, 2008г.), на семинаре кафедры нелинейных колебаний факультета прикладной математики, информатики и механики ВГУ (Воронеж, 2009г.).
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[5]. Из совместных публикаций [1], [4] в диссертацию вошли результаты, принадлежащие лично автору. Работа [1] опубликована в издании, соответствующем списку ВАК РФ.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, 2 глав, разбитых на 9 параграфов, и списка цитируемой литературы, содержащей 67 источников. Общий объем диссертации — 112 страниц.
