Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Нелокальное нелинейное уравнение Клейна-Гордона: кин ки в пределе слабой нелокальности 39
1.1. Динамическая интерпретация уравнения (1.3) 40
1.2. Нелокальное нелинейное уравнение синус Гордона в пределе слабой нелокальности 53
1.3. Нелокальное нелинейное уравнение ф в пределе слабой нелокальности 65
1.4. Заключение к главе 1 67
Глава 2. Нелокальное нелинейное уравнение Клейна-Гордона с ядром Каца- Бейкера. Решения типа бегущих волн 70
2.1. Связь решений системы уравнений (2.5)-(2.6) с решениями нелокального уравнения (2.2) 72
2.2. Динамическая интерпретация нелокального уравнения 75
2.3. Решения типа основных кинков и антикинков уравнения (2.2) 76 2.4. Нелокальное уравнение синус Гордона с ядром типа Каца-Бейкера. 83
2.5. Нелокальное уравнение фА с ядром типа Каца-Бейкера 104
2.6. Заключение к главе 2 108
Глава 3. Нелокальное нелинейное уравнение Клейна-Гордона с ядром Е-типа,. Решения типа бегущих волн 111
3.1. Связь решений системы уравнений (3.4)-(3.5) и решений нелокального уравнения (3.2) 113
3.2. Движущиеся кинки: явление дискретизации скоростей 123
3.3. Покоящиеся кинки: возможность продолжения по параметру 130
3.4. Нелокальное уравнение синус Гордона с ядром і?-типа 133
3.5. Заключение к главе 3 138
Глава 4. Нелокальное нелинейное уравнение Клейна-Гордона с ядром общего вида. Решения типа бегущих волн 142
4.1. Метод вспомогательных полей 143
4.2. Класс б -ядер. Свойства уравнения (4.2) с б -ядром 157
4.3. О динамических системах, порождаемых нелокальными уравнениями 162
4.4. Заключение к главе 4 166
Глава 5. Решения типа кинков нелокальных уравнений джозефсо новской электродинамики 169
5.1. Численный метод для нахождения решений типа 27г/с-кинков 170
5.2. Джозефсоновский переход между массивными сверхпроводящими электродами 174
5.3. Джозефсоновский контакт с электродами конечной толщины 186
5.4. Заключение к главе 5 191
Глава 6. Уравнение синус Гильберта-П: точные решения и их устой чивость 194
6.1. Точные решения уравнения (6.1) 194
6.2. Является ли уравнение синус-Гильберта-П интегрируемым? 200
6.3. Спектр малых периодических возбуждений состояний (6.3), (6.5) и (6.2) 201
6.4. Зонная структура нелокальных задач (6.28) и (6.42) 210
6.5. Заключение к главе 6 216
Глава 7. Пульсирующие решения нелокального уравнения синус Гордона 218
7.1. Общие замечания 218
7.2. Численное построение решений типа квази-бризера для нелокального нелинейного волнового уравнения. Общая схема 219
7.3. Квази-бризеры в модели джозефсоновского перехода с нелокальной электродинамикой 222
7.4. Численное построение решений типа квази-бризера для уравнения синус Гильберта II 232
7.5. Заключение к главе 7 240
Глава 8. Уравнение 7iux — и + иp = 0 и аналитические свойства его решений 242
8.1. Постановка задачи 242
8.2. Некоторые необходимые утверждения 245
8.3. Аналитические свойства локализованных решений уравнения (8.5) 249
8.4. Аналитические свойства периодических решений уравнения (8.5) 260
8.5. Заключение к главе 8 267
Заключение
- Нелокальное нелинейное уравнение ф в пределе слабой нелокальности
- Динамическая интерпретация нелокального уравнения
- Покоящиеся кинки: возможность продолжения по параметру
- О динамических системах, порождаемых нелокальными уравнениями
Введение к работе
Актуальность работы. Бурное развитие теории нелинейных волн во второй половине 20-го века позволило выделить круг нелинейных задач, которые можно считать классическими. К ним, безусловно, можно отнести задачи, связанные с уравнением Кортевега- де Вриза (КдВ), нелинейным уравнением Шредингера (НУШ), нелинейным уравнением Клейна-Гордона и его частным случаем - уравнением синус-Гордона, а также еще с рядом модельных уравнений. Для указанных уравнений характерно то, что они возникают одновременно в нескольких различных по своей природе физических приложениях в качестве простейшего нелинейного приближения. Нелинейные объекты, такие как кинки, бризеры, кноидальные волны, которые описываются этими уравнениями, в настоящее время стали естественными элементами описания многих разделов теоретической физики.
Вместе с тем, дальнейшее развитие и уточнение исходной физической модели, как правило, требуют корректировки математической постановки задачи. В целом ряде случаев дальнейшее уточнение модели приводит к нелокальным (интегродифференциальным) уравнениям. Одним из традиционных "источников" появления нелокальности в уравнениях, описывающих физическую модель, является учет дальнодействия. Задачи такого типа характерны для решеточных моделей, возникающих, например, в теории дислокаций, теории поверхностного слоя, при исследовании динамики цепочек ДНК и т.д. Другая возможность появления нелокальности связана с учетом сложного закона дисперсии. Нелокальные уравнения такого рода типичны, в частности, для задач гидродинамики и нелинейной оптики, теории сверхпроводимости и т.д.
В данной диссертационной работе рассматривается круг нелокальных
задач, связанных с обобщением пространственно одномерного нелинейного уравнения Клейна-Гордона
utt - ихх + U'(и) = 0, (1)
(штрих означает производную). В различных физических приложениях уточнение исходной модели приводит к замене второй пространственной производной оператором С: являющимся мультипликатором Фурье. Основное уравнение при этом принимает вид
иы -Си + U'{и) = 0, (2)
Уравнение (2) естественно назвать нелокальным нелинейным уравнением Клейна-Гордона или нелинейным, нелокальным волновым уравнением. Действие оператора С на функцию и(х) в пространстве Фурье сводится к умножению преобразования Фурье й(ш) на некоторую функцию ф(ш), называемую символом этого оператора: Си (и) = ф(и)й(и). В различных приложениях вид оператора С различен, но оказывается, что достаточно типичной является ситуация, когда ф(ш) = —uj2G{uj)^ G(0) ф 0. Тогда действие оператора С на функцию и(х) можно определить формулой
г - д
Си = —
-оо
G(x — х')их'(х') dx' (3)
причем G(u) - преобразование Фурье ядра G(). Уравнение (2) при этом принимает вид
utt- т-ох
G{x - x')uxi{x') dx' + U'(и) = 0 (4)
В пределе 6г() —> #(), где #()- дельта функция Дирака, уравнение (4) превращается в традиционное уравнение Клейна-Гордона (1).
Диссертация посвящена исследованию решений уравнений вида (2). Основное внимание при этом уделяется локализованным и периодическим решениям. Среди локализованных решений выделяется класс решений типа кинков, которые соответствуют граничным условиям
Нт u(z) = щ] lim u(z) = щ] z = х — ct, zet,
Z^f—OO z^+oo
и решений типа бризеров1 отвечающих условиям локализации по пространственной переменной и Т-периодичности по временной переменной
Нт и(х) = 0, и(х) = и(х + Т), же!
Укажем два класса физических задач, где естественным образом возникает уравнение (2).
Модели нелинейных решеток с дальнодействием.
Применение решеточных моделей при описании динамики кристаллической решетки восходит к работам Я.И.Френкеля и Т.А.Конторовой [1, 2] (30-е годы XX века). В настоящее время модели такого типа используются не только в физике твердого тела, но и в ряде других приложений, в частности, при описании систем связанных джозефсоновских контактов и макромолекул ДНК (см., напр., монографию [3]). В качестве примера, рассмотрим цепочку частиц, помещенных в поле некоторого внешнего потенциала U{u). В предположении о том, что взаимодействие частиц между собой является гармоническим, динамика цепочки описывается гамильтонианом
1 f du7 х
Н = ^2 \ о ( ~йГ ) + S уш-п{ип ~ ит)2 + U(un) У , (5)
п \ ^ ' т>п J
где Vm-n - бесконечная симметричная матрица, вид элементов которой задан законом взаимодействия частиц между собой. Уравнение (2) представляет собой континуальный предел уравнений динамики такой дискретной цепочки. В частности, рассматривались следующие ситуации.
(а) Если взаимодействие между ближайшими "соседями" в цепочке
является доминирующим,
{
1/2/г2, если т = п + 1,
О, если m/n + 1,
{h > 0 - параметр), то динамика цепочки описывается следующей системой уравнений
~Ш~ ~ ТЇ(Un+l ~ 2Un + Un~v + F\un) = ' п є z (6)
Вводя функцию u(x,t)7 совпадающую в узлах жп = nh со значениями un(t): можно записать систему (6) в виде уравнения (4) со следующим "треугольным" ядром
\ (h-\C\)/h2, 0< ||
[О, ||>й.
Приведенная выше модель достаточно хорошо изучена. В частности, обширная литература посвящена случаю периодического потенциала U(и) = 1 — cos и. В этом случае модель носит название модели Френ-Конторовой.
(б) В цепочке с дальнодействием на каждую частицу влияют не толь
ко ближайшие "соседи", но и все остальные частицы цепочки. Если потен
циал взаимодействия затухает экспоненциально (потенциал Каца-Бейке-
ра), то при некоторых дополнительных предположениях динамику це
почки в непрерывном приближении можно описать при помощи уравне
ния (4) с экспоненциальным ядром
СлК) = ^еХр{-|}. (8)
Параметр нелокальности Л при этом связан с параметрами Vo и /3 рассматриваемого потенциала (см. напр. [4].) Данная задача рассматрива-
лась как для случая синусоидальной нелинейности [4, 5], так и для случая кубической нелинейности (модель 04) [6, 7]. Рассматривался также случай, когда закон взаимодействия между частицами цепочки является степенным [8]. В континуальном приближении такая цепочка описывается уравнением типа (4) с ядром, имеющим степенную асимптотику.
Нелокальная джозефсоновская электродинамика.
Со времени открытия эффекта Джозефсона в 60-х годах XX века, традиционным уравнением для описания динамики полей в джозефсо-новском переходе было уравнение синус Гордона
utt-uxx + smu = 0. (9)
Здесь u(t\x) - разность фаз волновых функций сверхпроводящих электродов, образующих переход. Уравнение (9) записано в безразмерном виде, при этом пространственная координата нормирована на джозефсо-новскую длину Aj, временная - на плазменную частоту ир, и диссипатив-ные члены отброшены. В традиционной джозефсоновской электродинамике уравнение синус Гордона выводится в предположении, что длина и толщина сверхпроводников, формирующих джозефсоновский контакт, много больше лондоновской длины Аі, характеризующей глубину проникновения поля в сверхпроводник. Кроме того, необходимо выполнение условия A J ^> Az,.
В начале 90-х годов XX века было выяснено, что нарушение последнего условия влечет за собой переход к нелокальному описанию джозеф-соновского перехода. Началось активное теоретическое развитие нелокальной джозефсоновской электродинамики [10-13], которое в последние годы было дополнено экспериментальными работами [14, 15]. Было показано, что для описания нелокального джозефсоновского контакта в бездиссипативном пределе уравнение (9) должно быть заменено на урав-
нение
utt - т-ох
G(x — х')их'(х') dx' + sinii = 0, (10)
называемое нелокальным уравнением синус Гордона. Вид ядра G{^) зависит от физической постановки задачи. Отметим несколько типов ядер, описанных в литературе. В 1992 году для описания джозефсоновского перехода между двумя массивными сверхпроводниками было предложено использовать уравнение (10) с ядром
G«> = ІКо (f) (">
(см. [11, 12]), где Ко(-) - функция Макдональда и А - параметр нелокальности. Недавно [16], это же уравнение использовалось для описания слоистых джозефсоновских структур в контексте проблемы генерации тера-герцового излучения. Для описания джозефсоновского перехода между сверхпроводниками конечной толщины использовалось ядро [17, 18]
d(
G(0 l
^^th(/3V/iTcVlelc/A> (12)
2тгА
причем параметр /3 связан с толщиной сверхпроводящих контактов. Предельным случаем упомянутых моделей является уравнение, названное в диссертации уравнением синус Гильберта -II. В бездиссипативном случае оно имеет вид
ии — 7~Lux + sinii = 0, (13)
где Ті - преобразование Гильберта
1 Г „.t~,l\ Л1
Тій = —v.p.
(14)
Xj >Xj
-оо
Также для описания многослойных джозефсоновских структур использовалось уравнение (10) с ядром (8), упомянутым ранее [19].
Краткий обзор результатов предшественников
Задачи, связанные с уравнением (2), достаточно трудны для исследования именно в силу сочетания факторов нелинейности и нелокальности. Частичное "отключение" хотя бы одного из этих факторов позволяет существенно продвинуться в исследовании задачи. Соответственно, в некоторых работах удавалось провести достаточно полное исследование в предположении, что нелинейность представляется кусочно линейной функцией и возможно точное решение задачи в различных областях с последующей "сшивкой" [20-22]; при этом нелокальный член учитывался полностью. В других работах предполагалось, что нелокальность может быть аппроксимирована высшими производными [23], а также использовались оба упомянутых приближения [25, 26]. Эти исследования позволили обнаружить новое явление "склеивания" кинков с формированием сложных движущихся структур ("soliton complex") с большим топологическим зарядом, которые невозможно описать локальной моделью. Кроме того, выяснилось, что скорости свободного движения таких образований не могут быть произвольными, а определяются из некоторых дополнительных условий [23, 24]. Интересно, что подобное явление было обнаружено также в дискретной модели типа модели Френкеля-Кон-торовой [27]. Вместе с тем детальное исследование мультисолитонных комплексов и спектров их скоростей при полном учете нелинейности и нелокальности не проводилось.
Еще одна линия исследований традиционно была связана с получением точных решений задачи в некоторых предельных случаях. Первые из точных решений, в частности решение типа покоящегося 27Г-кинка уравнения синус-Гильберта-П, были получены еще в 40-е годы XX века в работах Пайерса [28, 29]. Впоследствии список найденных решений был существенно расширен [12, 30, 31].
Проводилось и численное исследование решений уравнения (2). В частности, в контексте нелокальной джозефсоновской электродинамики для численного построения решений типа 27Г-кинков [14, 15] использовался метод установления. Известны численные исследования кинков с более высоким топологическим зарядом (47Г-кинков), которые проводились в дискретной модели (6), см. [27]. Для решения нелинейной системы уравнений, описывающих амплитуды фурье-гармоник решения, в этой работе использовался метод Пауэлла. Разработка эффективных алгоритмов численного решения нелокальных уравнений представляется важным этапом дальнейших исследований.
Сказанное позволяет утверждать, что исследование класса уравнений (2) является актуальной задачей современной теории дифференциально-операторных уравнений и соответствует специальности шифра 01.01.02.
Цель диссертационной работы состоит в исследовании математическими методами класса уравнений (2). Основной интерес при этом представляют ответы на следующие вопросы:
-
Какие из известных нелинейных объектов (периодические структуры, кинки, бризеры), описывающихся локальной моделью, сохраняются при переходе к нелокальной модели?
-
Возникают ли при переходе от локальной модели к нелокальной новые типы структур?
-
Возможно ли выделение некоторых общих свойств, характерных для достаточно широкого класса ядер нелокального оператора?
-
Существуют ли универсальные подходы, которые могли бы быть эффективно применены к рассматриваемому классу задач?
Особое внимание при этом уделяется двум важнейшим модельным случаям потенциала: U(u) = 1 — cosu (нелокальное уравнение синус Гордона) и U(и) = \ — \и2 + \и4 (нелокальное уравнение ф4).
Научная новизна работы.В данной работе впервые выделен как математический объект класс физически значимых нелокальных обобщений уравнения Клейна-Гордона (называемого в дальнейшем также нелинейным нелокальным волновым уравнением), а также представлено систематическое исследование различных классов решений уравнений такого типа. Для изучения класса решений типа бегущих волн новым является использование подхода, основанного на утверждениях из теории динамических систем. В рамках этого подхода удалось подтвердить существование решений типа кинков со сложной формой фронта для широкого класса нелокальных операторов и обосновать принцип дискретизации их скоростей. Кроме того, в работе впервые представлены утверждения о размерности множества решений типа бегущих волн для нелокальных уравнений волнового типа.
Далее, для частного случая нелокального нелинейного волнового уравнения, уравнения синус Гильберта-П получены новые точные решения, а также представлено полное точное аналитическое решение задачи устойчивости для различных периодических и вращательных решений этого уравнения. Кроме того, впервые поставлен и исследован вопрос о типах особенностей решений нелокальных уравнений в комплексной плоскости. Для анализа сингулярностей решений нелокальных уравнений в работе развит метод, подобный методу Пенлеве для дифференциальных уравнений.
Также в данной работе впервые представлены пульсирующие структуры (квази-бризеры), описывающиеся нелокальным уравнением синус Гордона, и указаны пути их генерации.
Практическая ценность работы. Результаты диссертационной работы могут быть применены при теоретическом и экспериментальном изучении физических задач различной природы, связанных с нелиней-
ным нелокальным волновым уравнением. В первую очередь здесь следует указать задачи теории джозефсоновских переходов. Помимо этого разработанный подход может быть применен к другим задачам теории нелинейных волн, включающим сложную дисперсию, например, возникающих в гидродинамических и оптических приложениях.
На защиту выносятся следующие основные результаты:
-
Для нелинейного волнового уравнения с пространственной нелокальностью, имеющей операторный вид мультипликатора Фурье, предложен метод исследования решений типа бегущих волн стационарного профиля. Метод основан на введении динамических систем, связанных с исходным нелокальным уравнением, и их дальнейшим изучением с использованием аппарата качественной теории дифференциальных уравнений. При помощи этого метода для уравнений данного вида при некоторых ограничениях на ядро интегрального оператора и тип нелинейности (і) показано, что естественной размерностью множества решений типа бегущих волн является размерность "три') (її) обнаружено явление дискретизации скоростей свободного движения кинков (антикинков).
-
Для частного случая нелокального уравнения синус Гордона, уравнения синус Гильберта-П, найдены новые точные решения и в явном виде решена задача о спектре малоамплитудных возбуждений для трех статических структур, описывающихся этим уравнением: периодических структур, вращательных структур и кинка. Показано, что зонная структура в случае как периодических, так и вращательных структур представлена двумя отделенными друг от друга зонами, конечной и полубесконечной. Это позволяет сделать вывод об устойчивости вращательных структур, неустойчивости периодических структур и маргинальной устойчивости 27Г-кинка.
-
Показано существование пульсирующих во времени и локализован-
ных в пространстве структур, описывающихся нелокальным уравнением синус-Гордона. Предложен метод для численного построения этих структур, а также выяснено, что эти объекты являются грубыми и могут спонтанно возникать, в частности, в модели джозефсоновского перехода в результате столкновения двух кинков.
4. Изучены некоторые аналитические свойства решений нелокального аналога уравнения Дюффинга, возникающего при описании профиля малоамплитудного бризера уравнения синус-Гильберта-П. Разработан метод исследования особых точек аналитических продолжений локализованных и периодических решений этого уравнения в комплексную плоскость. Показано, что эти аналитические продолжения не являются ни мероморфными функциями, ни дробными степенями мероморфных функций.
Комментируя эти четыре основных положения, выносимые на защиту, необходимо отметить следующее. Для исследования бегущих волн уравнения (4) (п.1 выше) потребовалось решить вопрос об условиях, при которых имеет место эквивалентность исходного уравнения и вводимых динамических систем. При изучении этого вопроса для нелинейного нелокального волнового уравнения с ядром, представленным суммой экспонент (ядро Е'-типа), было показано, что в случае, когда нелинейность ограничена, естественной размерностью множества решений типа бегущих волн является размерность "три" (при этом считается, что решения, переходящие друг в друга при сдвиге по независимой переменной, считаются эквивалентными). Это означает, что в случае общего положения решение типа бегущей волны нелинейного нелокального волнового уравнения можно включить в непрерывное трехпараметрическое семейство решений данного типа.
Далее, упомянутый в п.1 метод позволяет заменять исходное нело-
кальное уравнение на классе бегущих волн гамильтоновой системой дифференциальных уравнений, определенной в бесконечномерном пространстве. Соответственно, в работе развита теория, позволяющая эти системы модифицировать и упрощать, выявлены случаи, когда такая система определяет динамическую систему в некотором банаховом пространстве. Кроме того, предложены приложения этого метода, относящиеся как к теоретическому, так и к численному исследованию нелокальных уравнений рассматриваемого типа.
Личный вклад автора. Автору диссертационной работы принадлежит математическая формализация задачи, а именно: выделение класса нелокальных уравнений вида (2), возникающих независимо в приложениях различной физической природы. Это оказалось возможным благодаря тесному сотрудничеству автора со специалистами-физиками. Результатом такого сотрудничества явились совместные статьи в физических журналах, где автор диссертации отвечал за "математическую составляющую". Далее, все математические утверждения, относящиеся к решениям уравнений данного вида и представленные в диссертации, получены либо лично автором, либо при его решающем участии. Численный счет выполнялся или лично автором, или его учениками, исходя из предложенного автором алгоритма.
Достоверность результатов, полученных в данной работе, основывается на применении строгих математических результатов и численных методов с контролируемой степенью точности.
Апробация работы. Работа автора над задачами, связанными с тематикой диссертации, началась в 1991-92 годах. Соответственно, полученные результаты многократно обсуждались и докладывались на различных научных семинарах и конференциях, проводимых в 90-е и 00-е годы. Среди семинаров стоит упомянуть ФИАНовский семинар группы
В.П.Силина; семинар группы В.М.Елеонского в НИИ Физических Проблем им. Ф.В.Лукина; семинар под руководством Ю.А.Данилова в Курчатовском институте; семинар факультета прикладной математики университета Комплютенсе (Universidad Complutense), Испания, Мадрид; семинар центра теоретической и вычислительной физики при университете Лиссабона; семинар Faculdade de Ciencias, университета Порто, Португалия. Среди конференций следует указать:
-
"Nonlinear dynamics and optics", Пиза, Италия, 5-7 сентября 1994 г.
-
"Euroconference: Nonlinear Klein-Gordon and Schrodinger systems: theory and applications", Сан-Лоренцо де Эскориаль, Испания, 25-30 сентября 1995 г.
-
Международная конференция "Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы", Уфа, Россия, 29-31 мая 2000 г.
-
"RCP264: Inverse problems and nonlinearity", Монпелье, Франция, 20-24 июня 2000 г.
-
"Nonlinearity and Disorder: Theory and Application", Ташкент, Узбекистан, 2-6 октября 2001 г.
-
"Nonlinear Waves: Classical and Quantum Aspects", Эшторил, Португалия, 13-17 июля 2003 г.
-
International workshop "Dissipative solitons", Институт Макса Планка, Дрезден, Германия, 23-29 января 2006 г.
-
Международная конференция "Комплексный анализ и дифференциальные уравнения", Уфа, Россия, 3-7 октября 2011 г.
Публикации. Всего по теме диссертации опубликовано 19 работ. На русском языке опубликовано 6 работ, из них 5 в журналах из списка ВАКа. Также к теме диссертации относятся 13 англоязычных работ, из которых 10 опубликованы в между народных журналах, которые индексируются системой Web of Science.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, восьми глав, заключения, трех приложений и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 321 страницу, работа включает 67 рисунков и 6 таблиц. Список литературы содержит 227 наименований.
Нелокальное нелинейное уравнение ф в пределе слабой нелокальности
Такая ситуация является довольно экзотической для искусственно изготовленных джозефсоновских переходов, но вполне возможна при описании слабых связей в высокотемпературных сверхпроводниках. Независимо уравнение (31) возникает в модели узкого джозефсоновского перехода (см п.4) в пределе, когда размер структуры, возникающей в переходе, оказывается много меньше перловской длины. В этом случае также А = А = AL/AJ.
Обсуждению некоторых решений уравнения (31) посвящена глава 6. Ввиду особой роли, которое занимает уравнение (31) в приложениях, в работе [58] для него было предложено название "уравнение синус Гильберта". Это название, однако, оказалось "занято": другим уравнением, называемым в литературе "уравнение синус Гильберта", является интегрируемое уравнение [83] Hщ = sinu, (33) возникающее, в том числе в модели дислокации Пайерлса [84, 85]. В данной работе мы будем называть уравнение (31) "уравнением синус Гильберта - II". 2
8. Отдельно следует упомянуть приложения нелокального уравнения (37) для описания систем точечных джозефсоновских контактов [86, 87, А8] или слоистых джозефсоновских структур [88-91]. Таким структурам в последнее время уделяется большое внимание, в связи с возможностью создания источников, детекторов и фильтров терагерцового излучения на их основе [73, 74]. В частности, в работе [74] показано, что если один из контактов в слоистой джозефсоновской структуре существенно выделяется из других, для описания вихревых структур в нем применимо уравнение (37) с ядром (24). В других ситуациях [92] для описания слоистых структур предлагалось использовать нелокальное уравнение синус Гордона с экс поненциальным ядром (20). Стоит заметить, что такое же уравнение возникало в модели джозефсоновской линии передачи с индуктивной связью между ячейками [А8]. Нелокальное уравнение синус Гордона, использованное в [90, 91] для описания суперрешеток джозефсоновских переходов, имело ядро (26), упоминавшееся выше.
Наконец стоит отметить, что близкие к (37) нелокальные уравнения возникали в теории джозефсоновских переходов с пассивной областью ("window junctions", [93, 94]).
Приведенными примерами круг приложений уравнения (7) не исчерпывается. Например, уравнения вида (7) возникают при описании динамики спиновых волн в ферромагнитной пластине, см. [22]. В работе [22] уравнение (7) имеет кубическую нелинейность, а оператор С выражается через преобразование Гильберта. Стоит также отметить, что подобные (7) уравнения, но с мнимым временем, возникают в различных задачах теории инстантонов, см. напр. [23]. Поэтому выделение класса уравнений (7) в качестве самостоятельного объекта исследований представляется вполне естественным.
Задачи, связанные с уравнением (7), достаточно трудны для исследования именно в силу сочетания факторов нелинейности и нелокальности. Частичное "отключение" хотя бы одного из этих факторов позволяет существенно продвинуться в исследовании задачи. Соответственно, в некоторых работах удавалось провести достаточно полное исследование в предположении, что нелинейность представляется кусочно линейной функцией и возможно точное решение задачи в различных областях с последующей "сшивкой" [95-97]; при этом нелокальный член учитывался полностью. В других работах предполагалось, что нело кальность может быть аппроксимирована высшими производными [98], а также использовались оба упомянутые приближения [99, 100]. Эти исследования позволили обнаружить новое явление "склеивания" кинков с формированием сложных движущихся структур ("soliton complex") с большим топологическим зарядом, которые невозможно описать локальной моделью. Кроме того, выяснилось, что скорости свободного движения таких образований не могут быть произвольными, а определяются из некоторых дополнительных условий [98, 101]. Интересно, что подобное явление было обнаружено также в дискретной модели типа модели Френ-келя-Конторовой [102]. Вместе с тем детальное исследование мультисолитонных комплексов и спектров их скоростей при полном учете нелинейности и нелокальности не проводилось.
Еще одна линия исследований традиционно была связана с получением точных решений задачи в некоторых предельных случаях. Первые из точных решений, в частности решение типа покоящегося 27Г-кинка уравнения синус-Гильберта-П, были получены еще в 40-е годы XX века в работах Пайерса [84, 85]. Впоследствии список найденных решений был существенно расширен [53, 59, 103].
Проводилось и численное исследование решений уравнения (7). В частности, в контексте нелокальной джозефсоновской электродинамики для численного построения решений типа 27Г-кинков [56, 57] использовался метод установления. Известны численные исследования кинков с более высоким топологическим зарядом (47Г-кинков), которые проводились в дискретной модели (16), [102]. Для решения нелинейной системы уравнений, описывающих амплитуды фурье-гармоник решения, в этой работе использовался метод Пауэлла. Разработка эффективных алгоритмов численного решения нелокальных уравнений представляется перспективным направлением дальнейших исследований.
Динамическая интерпретация нелокального уравнения
Из результатов данного раздела вытекает следующее важное заключение. В силу того, что параметр /І В ИСХОДНОЙ модели (9) при заданном Л однозначно определяет скорость кинка/антикинка с, в случае (А) скорость основных кин-ков/антикинков, вообще говоря, может принимать только дискретные значения. В дальнейшем (см. главы 2-5) будет показано, что явление дискретизации скоростей свободного движения основных КИНКОВ является типичным для нелокальной нелинейной модели Клейна-Гордона.
В случае (В) особые точки От и Оп являются седлами. Это означает, что у каждой из этих точек имеется двумерное устойчивое, W (Om), (соответственно, W (On)) и двумерное неустойчивое, W+(Om) (соответственно, W+(On)) многообразия [116]. Гетероклиническая 0-траектория, соединяющая точки От и Oni лежит в пересечения многообразий W (Om) и W+(On), или W+(Om) и W (On). Так как все эти многообразия лежат в нулевом уровне интеграла /, такое пересечение является ситуацией коразмерности нуль. Если такое пересечение является трансверсальным, то такая гетероклиническая 0-траектория называется транс-версальной. Существование трансверсальной (9-траектории при некотором /i = /IQ означает существование решения типа кинка или антикинка в некоторой окрестности /І Є (/іо — б; /і + є), є С 1.
При if 1 указанное уравнение представляет собой сингулярное возмущение уравнения Щ — F{u) = 0 и может быть исследовано методами теории сингулярных возмущений, восходящей к работам А.Н.Тихонова [117, 118], см. также монографии [119] и [120]. Если при 5 = 0 данное уравнение имеет решение типа кинка, то вопрос о продолжении этого решения в область 5 С 1, 5 j 0 может быть решен в рамках геометрической теории сингулярных возмущений [121]. Вместе с тем для отдельных типов нелинейности F(u) имеются достаточно сильные результаты не только о продолжении решения типа кинка, но и о его единственности, см. разделы 1.2 и 1.3.
Заметим, что так как что параметр /І в исходной модели (9) при заданном Л однозначно определяет скорость кинка/антикинка с, в ситуации (В), естественно ожидать непрерывного спектра скоростей основных кинков/антикинков в исходной модели.
В этом случае особые точки От и Оп являются точками типа седло-фокус. Собственные значения каждой из особых точек От п представляют собой четверку Лі,2,з,4 = =tо? ± г/3, а 0, /3 0. Как и в случае (В), это означает, наличие у каждой из особых точек От и Оп двумерного устойчивого, W (Om), (соответственно, W (On))i и двумерного неустойчивого, W+(Om)7 (соответственно, W+{On))1 многообразий, лежащих в трехмерном нулевом уровне интеграла F
Особым траекториям в подобных системах посвящена обширная литература. В частности, большое количество работ посвящено гомоклиническим петлях особой точки типа "седло-фокус". Эти петли возникают в результате пересечения устойчивого и неустойчивого многообразий одной и той же особой точки. Известно, что условие обратимости (см. [108]) гарантирует существование семейства периодических решений, влипающих в сепаратрису [122, 129], а также существование в окрестности этой сепаратрисы многообходных петель особой точки [123-127], причем при наличии дополнительной симметрии условие гамильтоновости может быть опущено [128].
В случае нескольких положений равновесия типа седло-фокуса существование гетероклинических траекторий возникает в результате пересечения устойчивого и неустойчивого многообразий различных особых точек. Пересечение таких многообразий является ситуацией коразмерности нуль. Трансверсальное пересечение этих многообразий при некотором ц = цо означает существование решения типа кинка/антикинка в некоторой окрестности /І Є (/іо — є;// + є), є С 1. Таким образом, как и в случае (В), в рассматриваемом случае естественно ожидать непрерывного спектра скоростей основных кинков/антикинков. В литературе имеется достаточно много утверждений, касающихся не только существования решений типа кинков в данном случае, но и множественности таких решений. Ниже в разделах 1.2 и 1.3 будут приведены некоторые из этих результатов, относящиеся к нелинейностям (12) и (13).
Покоящиеся кинки: возможность продолжения по параметру
Таким образом, при Л = 0.3 численный счет показывает, что функция Wo (с, Л) положительна при всех с, 0 с 1. В силу следствия 3 из предложения 2.5 можно утверждать, что все функции Wfc(c, Л), к = 1,2,... при Л = 0.3 также положительными при всех с, 0 с 1. Это означает отсутствие решений типа кинков при Л = 0.3. Счет производился при различных значениях Л, но ситуация во всех случаях оказывалась аналогична представленной выше для Л = 0.3.
Таким образом, основываясь на численных исследованиях, можно заключить, что решения типа кинков уравнения (2.37) существуют только в двух случаях. Первый из них, Л = 0, представляет собой вырождение в традиционное уравнение фА. Второй случай соответствует покоящимся кинкам, с = 0; при этом решение может быть записано в неявном виде (2.43) и существует при 0 А 1.
Основные результаты главы 2 можно сформулировать следующим образом: Для нелокального уравнения ехр ux (xf) dx рассмотрена задача о бегущих волнах стационарного профиля. Для ее исследования использовалось сведение исходного интегродифференциального уравнения к системе дифференциальных уравнений, с последующим анализом решений этой системы методами качественной теории дифференциальных уравнений.
Рассмотрен вопрос о соответствии решений исходного уравнения и упомянутых выше систем дифференциальных уравнений. Показано, что здесь возможны различные ситуации. Для случая, когда U (u) - ограниченная функция, доказано утверждение о взаимно-однозначном соответствии между решениями исходного уравнения и связанной с ним системы. В частности, взаимно-однозначное соответствие имеет место в случае нелокального уравнения синус-Гордона, U(u) = 1 — cosu. В этом случае класс бегущих волн, описываемых нелокальным уравнением, оказывается богаче класса таких волн, описываемых локальной моделью. В случае нелокального уравнения ф4, U(и) = jU4 — 2ІІ2+; взаимно-однозначного соответствия не наблюдается, но система дифференциальных уравнений остается пригодна для описания ограниченных решений нелокального уравнения.
Для выделенного класса потенциалов U(u), называемых потенциалами, допускающими бистабильность, сформулированы и доказаны некоторые общие утверждения, касающиеся бегущих волн стационарного профиля. Для таких потенциалов в локальной модели характерно наличие структур типа кинк/антикинк - волн перехода между двумя состояниями равновесия, соответствующими абсолютным минимумам U(u). Спектр скоростей таких объектов в локальной модели является непрерывным, что связано с релятивистской инвариантностью исходного уравнения. Одним из важных результатов данной главы является утверждение о том, что для рассматриваемого нелокального уравнения в случае общего положения такие объекты могут существовать лишь при выделенных значениях их скорости. Это означает, с математической точки зрения, что форма кинка/антикинка и его скорость должны определяться одновременно, путем решения некоторой нелинейной задачи на собственные значения. Таким образом, здесь, как и в случае слабой нелокальности, рассмотренном в главе 1, снова проявляет себя явление дискретизации скоростей кинков.
Последнее утверждение проиллюстрировано на примерах нелокального уравнения синус-Гордона и нелокального уравнения фА. При помощи доказательного численного счета показано, что нелокальное уравнение синус-Гордона допускает решения типа 2п7г-кинков с дискретным набором скоростей, п 1, которые не существуют в локальной модели. В то же время численный счет указывает на несуществование в этой модели 27г-кинков, традиционных для локального уравнения синус Гордона, за исключением случая кинков с нулевой скоростью. В случае уравнения фА сделано утверждение о несуществовании в нелокальной задаче традиционного кинка теории фА -волны переброса между состояниями равновесия —1 и 1. Исключение составляет случай покоящегося кинка/антикинка, когда задача допускает точное решение.
Исследованы динамические свойства 2тг-кинков/антикинков нелокальной модели синус Гордона. Показано, что эти объекты являются грубыми и не разрушаются при воздействии возмущений, которые не уменьшают энергию кинка/антикинка. Более того, кинки и антикинки могут быть возбуждены при помощи правильно подобранного начального импульса. Помимо этого показано, что при взаимодействиях Апх- и б7Г-кинки (антикинки) ведут себя как квази-солитоны, по крайней мере, при малых значениях параметра нелокальности. Помимо 27гп-кинков и антикинков, для нелокальной модели синус-Гордона найдены другие классы решений, которые не допускает локальная модель синус-Гордона.
О динамических системах, порождаемых нелокальными уравнениями
Так же как и для уравнения (5.7), для уравнения (5.25) найдены решения типа 4тг- и б7Г-кинков. Скорости этих кинков определяются параметрами Л и /3 и, если значения этих параметров фиксированы, они могут принимать лишь значения из некоторого дискретного набора. Простейшим среди 4тг- (соответственно, б7Г-кинков) является монотонный кинк, имеющий наибольшую скорость. Имеются также решения типа кинков с более сложной структурой фронта. Зависимости скорости с от параметра Л при /3=1 показаны на рис. 5.10 для семейства монотонных 47Г-кинков и для семейства 47Г-кинков с единственным "всплеском" на фронте. Таким образом, формы кинков оказываются аналогичны формам соответствующих кинков уравнения (5.7), см. Рис. 5.3, а также формам кинков уравнения с ядром Каца-Бейкера, см. раздел 2.4. Как и в случае ядра (24), при Л — 0 профили кинков стремятся к форме "ступеньки". Скорости кинков при этом стремятся к значению с = лДЬ/З.
Скорости монотонного 47г-кинка для уравнения (5.25) и его аппроксимаций системами дифференциальных уравнений, см. раздел 5.3.2, Л = (3 = 1. "обрезания" бесконечной системы (5.29)-(5.30), см. раздел 5.3.2. Результаты численного счета показывают, такая аппроксимация решений работает гораздо хуже, чем построенная для случая уравнения (5.7) в разделе 5.2.2. Результаты сравнения скоростей монотонных 47Г-кинков для аппроксимаций, соответствующих одному, двум, трем и четырем вспомогательным полям представлены в таблице 5.2.
Основные результаты главы 5 можно сформулировать следующим образом: Предложен подход для численного нахождения решений типа кинков нелокального уравнения синус-Гордона с ядром достаточно общего вида. Реше 191 ния типа кинков при этом подходе приближаются периодическими или вращательными решениями того же уравнения с большим периодом L. Для нахождения этих периодических или вращательных решений применяется квази-ньютоновский итерационный процесс. Для получения начального приближения используется аппроксимация исходного нелокального уравнения системами дифференциальных уравнений, что эквивалентно аппроксимации исходного ядра і?-ядрами.
Предложенный подход применен для исследования двух частных случаев нелокального уравнения синус-Гордона, важных для теории джозефсонов-ских переходов. Первый из этих случаев отвечает модели джозефсоновского перехода с нелокальной электродинамикой, в предположении, что сверхпроводящие электроды имеют бесконечную толщину. Во втором случае рассматривается модель джозефсоновского перехода, образованного электродами конечной толщины. Результаты численного счета в обоих случаях показывают, что не при каждом значении скорости с может быть осуществлен переход L —, от периодических/вращательных решений уравнения синус-Гордона к решениям типа кинка. Те выделенные значения с, при которых этот переход возможен, образуют спектр возможных скоростей кинков нелокального уравнения синус-Гордона. Эти значения могут быть найдены из условия обращения в нуль величины /, первого интеграла системы уравнений, возникающей при использовании метода вспомогательных полей. Предложены альтернативные методы проверки значений найденных скоростей, в частности, использующие аппроксимацию исходного ядра і?-ядрами. Таким образом, в главе содержится численное подтверждение дискретизации скоростей кинков для двух важных для физических приложений ядер интегрального оператора.
Приведены результаты расчетов решений типа кинков для двух упомянутых выше частных случаев нелокального уравнения синус-Гордона. Эти результаты показывают, что имеется глубокая аналогия между данными уравнениями и нелокальными уравнениями синус-Гордона с і?-ядрами. Как одни, так и другие уравнения допускают решение типа покоящихся 27Г-кинков, а также решения типа 4тг- и б7г-кинков. Более того, формы фронтов этих кин-ков оказываются качественно схожи с соответствующими формами фронтов кинков в модели с ядром Каца-Бейкера, см. раздел 2.4.
Проведено моделирование движения фронта, имеющего форму 27Г-кинка. Показано, что такие образования при небольших значениях параметра нелокальности являются долгоживущими и могут перемещаться на большие расстояния лишь с незначительной потерей скорости. При больших значениях параметра нелокальности подвижность таких объектов оказывается существенно снижена. При достижении параметром нелокальности значительных величин, движение таких фронтов становится непредсказуемым.
