Введение к работе
Актуальность темы. В последние годы значительный интерес вызывает всестороннее и глубокое исследование колебательных процесов, возникающих в системах алектро- и радиотехники, вибротехники, небесной механики, приборостроения, регулирования и т.д.
Весьма эфектишшм средством изучения колебательных процессов являются асимптотические метода нелинейной механики, разработают в фундаментальных трудах Н.М, Крылова, Н.Н. Боголюбова, Ю.А. Митро-польского и развитые их учениками и последователями. Особо успешно эта методы применяются в исследовании слабо нелинейных систем, эффект от нелинейности которых проявляется медленно и может быть обнаружен в асимптотических разложениях. Это,однако, не решает в полной мере проблему изучения даже чисто гармонических колебаний систем, для которых нелинейность является существенной.
Для иследования периодических решений дифференциальных уравнений, характеризующих эти колебания, многими авторами создаются и развиваются функционально-аналитические, численно-аналитические методы и схемы.
Одним из удобных методов отыскания периодических решений является численно-аналитический метод, предложенный A.M. Самойленко, который представляет собой искомое периодическое решение как предел последовательных приблин:зний,каждое из которых является периодической функцией. В работах A.M. Самойленко, Т.Г. Стрижак, Н.И.Ронто, Д.И. Мартынюка, О.Д. Нуржанова, Г. Вахабова, В.П. Ткача указаны возможности метода для исследования вращательных, вращательно-колебательных движений, а также распространение его на эволюционные системі, системы интегро-диффзренцилышх уравнений и уравнений в частных производных. При помощи численно-аналитического метода было выполнено также ряд работ Н.А. Перестюка, Н.О. Курпеля, Г.П. Хомы. Отметим, что несмотря на достаточно большое количество работ по изучению периодических решений для обыкновенных диффернциальшх уравнений метода исследований нелинейных уравнений второго порядка изучены не в полной мера. Поэтому исследование таких уравнений занимает вакное место в дальнейшем развитии эффективных и удобных для реализации методов исследования периодических решений.
Цель работы -построение алгоритма двусторонних приближений периодических решений дифференциальных уравнений второго порядка, обобщение численно-аналитического метода последовательных приближений для исследования решений систем интегро-дифференциалышх уравнений второго порядка.
Методы работы базируются на разработанном A.M. Самойленко численно-аналитическом методе, теореме А.Н. Тихонова о сжимающих отображениях.
Научная новизна результатов диссертационной работы состоит в следующем :
-найдены новые условия разрешимости и достаточные условия существования периодических решений дифференциальных уравнений второго порядка;
-построен алгоритм двусторонних приближений периодических решений данных уравнений;
-развита методика построения последовательных приближений для систем интегро-дифференциалышх уранений второго пордяка.
Теоретическая и практическая ценность диссертации состоит в том, что полученные результаты обобщают и дополняют соответствующие исследования по периодическим краевым задачам для нелинейных дифференциальных уравнений второго порядке!. Разработанная методика исследований периодических краевых задач может быть перенесена на другие виды нелинейных уравнений, а также использована при решешш задач механики и физики.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на семинаре отдела математической физики и теории нелинейных колебаний Института математики АН Украины.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-4].
Обьем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка цитируемой литературы, содержащего 112 наименований, ООьем работы соствляет 102 страниц машинописного текста.
