Исследование существования и единственности положительных решений краевой задачи для нелинейных функционально-дифференциальных уравнений второго порядка Абдурагимов Гусен Эльдерханович

Данный автореферат диссертации должен поступить в библиотеки в ближайшее время
Уведомить о поступлении

Диссертация - 480 руб., доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Автореферат - 240 руб., доставка 1-3 часа, с 10-19 (Московское время), кроме воскресенья

Абдурагимов Гусен Эльдерханович. Исследование существования и единственности положительных решений краевой задачи для нелинейных функционально-дифференциальных уравнений второго порядка : диссертация ... кандидата физико-математических наук : 01.01.02.- Махачкала, 2000.- 97 с.: ил. РГБ ОД, 61 01-1/187-5

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Существование и единственность положительного решения краевой задачи для нелинейного функционально-дифференциального уравнения второго порядка

1.1 Предварительные сведения и объект исследования 19

1.2 Существование и единственность положительного решения краевой задачи для нелинейного функционально - дифференциального уравнения второго порядка 30

1.3 Существование и единственность положительного решения краевой задачи для нелинейного дифференциального уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом'. 36

1.4 Априорные оценки положительных решений краевой задачи для нелинейного дифференциального уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом 45

Глава 2. Существование и единственность положительного решения краевых задач для некоторых нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка с запаздывающим аргументом

2.1 Существование единственного положительного решения краевой задачи для некоторого дифференциального уравнения второго порядка с линейным запаздывающим аргументом 50

2.2 Существование единственного радиально-симметричного решения краевой задачи для одного уравнения в частных производных с линейным запаздывающим аргументом 57

2.3 Существование положительного решения краевой задачи для некоторого дифференциального уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом 60

2.4 Построение приближенного положительного решения 63

Глава 3. Существование и единственность положительного решения краевой задачи с краевыми условиями общего вида для нелинейного функционально-дифференциального уравнения второго порядка

3.1 Существование и единственность положительного решения краевой задачи для функционально-дифференциального уравнения второго порядка 66

3.2 Существование и единственность положительного решения краевой задачи для нелинейного сингулярного функционально- дифференциального уравнения второго порядка 79

3.3 Примеры 87

Литература 92

Существование и единственность положительного решения краевой задачи для нелинейного функционально - дифференциального уравнения второго порядка
Априорные оценки положительных решений краевой задачи для нелинейного дифференциального уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом
Существование единственного радиально-симметричного решения краевой задачи для одного уравнения в частных производных с линейным запаздывающим аргументом
Существование и единственность положительного решения краевой задачи для нелинейного сингулярного функционально- дифференциального уравнения второго порядка

Введение к работе

Известно небольшое число работ, в которых классическими методами изучаются задачи, связанные специально с положительными решениями различных нелинейных уравнений. Отметим здесь статью П. С. Урысона [49], посвященную рассмотрению одного класса нелинейных интегральных уравнений. Эта статья ряд лет была малоизвестна; после переиздания ее в 1949 г. она привлекла внимание и послужила отправным пунктом для многич исследований.

Естественным орудием исследования положительных решений являются методы функционального анализа, основанные на использовании полуупорядоченных пространств, теория которых связана с именами Ф. Рисса, М. Г. Крейна, Л. В. Канторовича, Г. Фрейденталя, Г. Биркгофа и т. д.

В диссертации использована теория полуупорядоченных пространств, с вполне непрерывными операторами в той геометрической трактовке пространств с конусами (см. определение в параграфе 1 главы 1), которая была развита М. Г. Крейном и его учениками.

Отметим, что первые результаты, относящиеся к вполне непрерывным операторам, оставляющим инвариантным конус, были получены М. А. Рут-маном [45].

Условия полной непрерывности линейных интегральных операторов для различных функциональных пространств приводятся в общих курсах функционального анализа [9], [31], [19] и др. Необходимые и достаточные условия полной непрерывности линейного интегрального оператора в пространстве С найдены Радоном [44]. Условия полной непрерывности линейных интегральных операторов в пространствах Орлича см. в книге М. А. Красносельского и Я. Б. Рутицкого [26]. Специальный анализ интегральных операторов типа потенциала проведен С. Л. Соболевым [48]. Важные условия полной непрерывности линейных интегральных операторов

6 были найдены Л. В. Канторовичем [19]. Некоторые новые теоремы указаны М. А. Красносельским и Е. Н. Путыльником [25].

Условия полной непрерывности нелинейных интегральных операторов устанавливались многоми авторами, начиная с В. В. Немыцкого [40-41]. Наиболее общие условия полной непрерывности нелинейных интегральных операторов в пространстве С были указаны Л. А. Ладыженским [28-29]. Условия полной непрерывности нелинейных интегральных операторов в пространствах Орлича найдены М. А. Красносельским и Я. Б. Рутицким [26].

Ряд теорем о положительных решениях интегральных уравнений с вогнутыми нелинейностями установил Урысон [49]. Метод Урысона был применен и развит рядом авторов; отметим в связи с этим работы Н. А. Бахтина [10], А. Н. Гусейнова [16], А. Н. Гусейнова и Я. Д. Мамедова [17], Я. Д. Мамедова [34-38] Для некоторых весьма специальных нелинейных интегральных уравнений теоремы существования положительных решений методами теории конусов доказал М. А. Рутман [45]. Положительные решения нелинейных интегральных уравнений изучались М. А. Красносельским [20 ,22], Л. А. Ладыженским [28], Н. А. Бахтиным [10] и др.

В части относящейся к общей теории дифференциальных уравнений, в литературе приведены лишь хорошо известные факты, изложенные многими авторами (см., например, Ф. Р. Гантмахер [14], Дж. Самсон [46]).

Основоположная работа по изучению положительных решений двухточечной краевой задачи принадлежит С. Н. Бернштейну [12]. Эта работа послужила отправным пунктом для многих исследований; многие результаты подытожены в книге Дж. Самсона [46]. Методы функционального анализа при исследовании положительных решений двухточечной краевой задачи применялись М. А. Красносельским [21], А. И. Перовым [42-43], М. П. Семеновым [47], Ю. В. Гудковым, Ю. А. Клоковым, А. Я. Лепиным, В. А. Пономаревым [15] и др.

Перейдем к рассмотрению работ последних лет, посвященных вопросам существования и единственности положительных решений краевой задачи для нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка. X. Квинг и И. Чун [51] доказали существование положительного решения задачи х" + х^а +1 = 0, 00, х(0) = х'(1) = 0.

Л. Санчез [55] получил ряд утверждений о существовании положительных решений двухточечной краевой задачи для уравнения вида x"+f(t,x) = 0, 0

Например, если f(t,x) = g(x)-h(t), g(0)>h(t), 0 а > О такие, что < 4(b - а), g(x) < h при х є (a, b), где g(x) - непрерывная и неубывающая функция, h(t) - измеримая и неотрицательная почти всюду на [О, Т] функция, _ J т _ _ h = — \h(t)dt, h(t) = h(t)-h , то уравнение (1) имеет решение x(t) > 0, удовлетворяющее условиям х(0) = х(Т), х'(0) = х'(Т).

О. Донал [54] установил существование положительного решения задачи Дирихле -j- (p(t)x' у + /uq(t)g(t, x(t)) = 0, 00,x(l) = 0, где p(t) и q(t) - неотрицательные измеримые на [0,1] функции, ju -положительная константа, g(t,x) удовлетворяет условию Каратодори [27], причем g(t, х)>0 почти всюду в области [0,1] х (0, со).

В [7] доказано существование и единственность положительного решения задачи x"+at^mxⁿ =0, 0 1.

Кроме того, предложен неитерационный численный метод нахождения положительного решения данной задачи.

Положительные решения двухточечных краевых задач изучались также и для нелинейных сингулярных функционально - дифференциальных уравнений второго порядка.

В [56] получены необходимые и достаточные условия существования положительного решения краевой задачи (g(x'))' = -k(t)f(x), 0p s, р>1, функция f(x) такая, что f(x)>0, непрерывна справа и не возрастает в (0,+оо), f(0+) = +co, функция k(t) измерима в [0,1] и k(t) > 0 почти всюду на [0,1].

С. Гомесом и Ю. Спрекелсом [50] установлены условия существования положительного решения нелинейной краевой задачи -x"+p(t)x^,+g(t)x = k(t)x-^a(x'f, 0 0, сг > 0, p(t), g(t), k(t) - измеримые на [0,1] функции, причем k(t) > 0 почти всюду на [0,1].

В [57] исследуется существование и единственность положительного решения уравнения вида x"+(n-l)r^Ix'+f(t,x) = 0, n>l, 00 х'(0) = 0, x(l) + kx'(l) = h, к>0, где функция f(t,x) удовлетворяет условию Каратеодори, причем f(t,x) >0 почти всюду в области [0,1] х (0, со),

Среди работ, относящихся к вопросам разрешимости краевых задач для нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка с запаздывающим аргументом можно выделить работы [18], [32], [33]. Наиболее исчерпывающее представление о развитии теории краевых задач для нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка с запаздывающим аргументом приводится в книге [8].

Перейдем к изложению содержания представленной диссертации. В ней исследованы вопросы существования и единственности положительных решений краевых задач для нелинейных функционально-дифференциальных уравнений второго порядка, имеющих тривиальное решение.

Диссертация состоит из введения и трех глав.

Первая глава, которая состоит из четырех параграфов, посвящена краевой задаче x"(t) + f(t,(Tx)(t)) = 0, 0 L_p (1 < р < со) - линейный непрерывный оператор, функция f(t,u) (t є [0,1 J, -co

Причем f(;0) = 0 .

Очевидно, краевая задача (2)-(3) имеет тривиальное решение. В дальнейшем будем считать, что q є (1, со).

В первом параграфе приводятся определения и вспомогательные факты, которые используются в дальнейшем. В частности, приведены определения конуса, положительного оператора, положительного решения краевой задачи (2)-(3) (см. определение в параграфе 1 главы 1), а также теоремы о ненулевых неподвижных точках положительного оператора в конусе рассматриваемых пространств.

Во втором параграфе, получены условия существования и единственности положительного решения краевой задачи (2)-(3), приведенные в следующих теоремах:

Теорема 1.2.1. Пусть выполнены условия: оператор Т: С ~^L_p положителен (монотонен) на конусе К (см. определение в параграфе 1 главы 1);

3) функция f(s,u) удовлетворяет условию a(s)u^p/q p/q (sb [0,1], и>0), где a(s) - неотрицательная (a(s)^0) суммируемая на отрезке [0,1] функция, Ъ - положительное число.

Тогда краевая задача (2)-(3) имеет по крайней мере одно положительное решение.

Теорема 1.2.2. Пусть выполнены условия:

1) Р<4\ оператор Т: C-^-Lp положителен (монотонен) на конусе К; функция f(s,u) удовлетворяет условию a(s)u^p/q p/q (se[0,l], и>0), где a(s) - неотрицательная (a(s)^0) суммируемая на отрезке [0,1] функция, Ъ - положительное число.

Тогда краевая задача (2)-(3) имеет по крайней мере одно положительное решение.

11 Теорема 1.2.3. Пусть выполнены условия теоремы 1.2.2 и f(t,m)p/qf(t,u), te[0,l],u>0,re(0,l); f(t,u) монотонна по и при t є [0,1 J и и > 0.

Тогда краевая задача (2)-(3) имеет единственное положительное решение.

В случае р > q единственность положительного решения краевой задачи (2)-(3) удается доказать только в частных случаях (см. параграф 2 главы 2)

В третьем параграфе рассматривается краевая задача (2)-(3) в случае р = q и оператор Т является оператором внутренней суперпозиции S_h (см. опр. в [8]), то есть краевая задача x'(t) + f(t,(S_hx)(t)) = 0₉ 0

Обозначим через G(t,s) функцию Грина задачи (4)-(5), Л₀ и Я^ - положительные наибольшие собственные значения соответственно операторов А'(0) и А'(со) (операторы А'(0) и А'(со) определены в параграфе 1 главы

1). Пусть K(t,s) = G(h(t),s) (t,se[0,l])vi(p(t) = min{t,l-t} (tefOJJ). Теорема 1.3.1. Пусть выполнены следующие условия:

1) f(t,u) ^со jjcll _Л //W 5М/7 ^1! -— - = (9 .

Я-> \\х\>Я,хєК \\Ц

Говорят, что оператор А:Е->Е (Ав = 0) является сжатием конуса К, если найдутся такие r,R>0, что

Ах<х (хеК, \\х\ < г, х*в), и при всех є > О

Ах>(1 + є)х (хеК, \\x\\>R).

Теорема 1.1.1 [23]. Пусть положительный вполне непрерывный оператор А:Е —> Е является сжатием конуса К .

Тогда оператор А:Е->Е имеет на конусе К по крайней мере одну ненулевую неподвижную точку.

Положительный оператор А:Е-^Е (Ав = 0) называют растяжением конуса К, если найдутся такие r,R>0, что при всех є > О

Ах>(1 + є)х (хеК, \\х\\<г, хф6) и

Ах<х (хеК, \\x\\>R).

Теорема 1.1.2 [23]. Пусть положительный вполне непрерывный оператор А'.Е -> Е является растяжением конуса К.

Тогда оператор А:Е —> Е имеет на конусе К по крайней мере одну ненулевую неподвижную точку.

Лемма 1.1.1 [23]. Пусть вполне непрерывный оператор А:Е ->Е положителен на множестве таких элементов х є К, что г < jx\\ 0, если X е К, |Ы| = г, Ах = \ . ,. и₀, если хе К, |х|| = R, где |у0І<г<Д<||и_о|.

Тогда оператор А:Е —»Е имеет по крайней мере одну неподвижную точку.

Оператор А, действующий в пространстве Е с конусом К, называют вогнутым, если существует такой ненулевой элемент и₀ є К, что для любого ненулевого х єК справедливы неравенства аи₀ <Ах0, где а и р положительные числа, и если для каждого хєК, такого что aj(х)и₀ < х < Р₁ (х)и₀ (aj(х), р₁ (х) >0), справедливы соотношения A(tx)>tAx (0

Вогнутый оператор А'.Е^Е называют и₀-вогнутым, если условие (1.1.1) заменено более жестким ограничением: для каждого положительного числа t₀ є (0,1) можно указать такое г] = 7](х; t₀)>0, что A(t₀ x)>(l + rj)t₀Ax.

Здесь, как и в условии (1.1.1), рассматриваются такие х є К, что aj(x)u₀ <х0 (а₁(х)>0, /3₁(х)>0). Рассмотрим уравнение

Ах = Ах, (1.1.2) где Я - некоторый параметр.

Теорема 1.1.3 [23]. Если оператор А:Е —»Е и₀ - вогнут и монотонен, то уравнение (1.1.2) ни при каком значении параметра X не имеет двух различных ненулевых решений в конусе К.

Пусть множество Т

Пусть и ₀ - фиксированный ненулевой элемент из множества Т .

Оператор А:Е —>Е называют и₀ - выпуклым на множестве Т, если для каждого ненулевого х є Т выполнены неравенства сал₀ <Ах<ри₀, где а = а(х), f5 - /3(х) положительные числа, и если для каждого такого хеТ, что а_}(х)и₀ 1(x)u₀ (а₁(х), (3₁(х)>0), и для каждого положительного числа t₀ є (0,1) можно указать такое rj = Tj(x,t₀)>0₁ что A(t₀x)<(l-rj)t₀Ax.

Лемма 1.1.2 (принцип единственности) [23]. Пусть уравнение х = Ах с монотонным и₀ - выпуклым оператором А: Е —> Е имеет два ненулевых по- * ** ложительных решения х и х . Тогда х

Приведем достаточные условия и₀ - положительности оператора, действующего в банаховом пространстве функций, заданных на замкнутом ограниченном множестве Q числовой оси R¹.

Пусть k(t,s) - функция, определенная ъ QxQ, удовлетворяет неравенствам u₀(t)0(t)y/(s) (t,seQ), где и₀ - неотрицательная функция из пространства Е, в котором действует оператор А, определяемый равенством (Ax)(t) = \k(t,s)x(s)ds. (1.1.3)

Кроме того, функции (s)ds Q < 00. j x(s)y/(s)ds при x є E. Тогда для каждой функции х є Е будут выполнены неравенства au₀(t)<\k(t,s)x(s)ds0(t) (teQ), (1.1.4) а = j(p(s)xfsjds, (З = ji//(s)x(s)ds.

Следовательно, неравенства (1.1.4) обеспечивают и₀ - положительность оператора А\Е -> Е.

Рассмотрим оператор Урысона Ax(t) = j к ft, s, xfsjjds, t є Q, a где k[t,s,u] - функция, заданнаяm QxQxR¹.

Введем в рассмотрение функцию H(t,s,u) = —k(t,s,u) и и линейный интегральный оператор (Px)(t) = \P(t,s)x(s)ds, teQ. (.t,seQ, u>0) (1.1.5) где P(t,s) - функция, заданная на Q x Q ²⁶ Теорема 1.1.4 [23]. Пусть для любых фиксированных чисел t,seQ функция H(t,s,u) неотрицательна, убывает при возрастании и, k(t,s,0) = О и существует производная к_и (t,s,0) = P(t,s) (t,s^Q), причем fj\P(t,s)\^rdtds

I p-¹)

Тогда оператор Урысона определен на конусе К неотрицательных функций пространства L_p(Q); значения его принадлежат L_p(Q); формула (1.1.5) определяет сильную производную Фреше оператора (1.1.3) в точке в по конусу К.

Предположим, что функция H(t,s,u) = —k(t,s,u) и при и -» +оо равномерно относительно t,seQ стремится к некоторой функции Q(t, s) (t,s eQ), причем интегральный оператор (Qx)(t)=lQ(t,s)x(s)ds, teQ (1.1.7) действует в соответствующем пространстве. Оказывается, что Q является сильной асимптотической производной по конусу К оператора Урысона. В дальнейшем будет предполагаться, что выполнено условие k(t,s,u)>0 (t,seQ,u>0) (1.1.8)

Тогда оператор Урысона будет оставлять инвариантным конус К неотрицательных функций пространства Е, в котором он действует.

В некоторых случаях можно указать более узкие конусы, инвариантные для оператора Урысона.

Пусть кроме (1.1.8) выполнено дополнительное условие supk(t,s,u)< pinfk(t,s,u) (sgQ, и>0), (1.1.9) teQ teQ где фиксированное число р > 1. Если, например, k{Us,u) = k{t,s)f{s,u) (t,seQ,u>0) (1.1.10) и ядро k(t,s) непрерывно по совокупности переменных и положительно в области Qx Q,to условие (1.1.9) выполнено. Действительно, если

М = max k(t,s), т = min k(t, s), t,se.Q t,seQ supk(t,s,u)

Пусть оператор Урысона определен на конусе К неотрицательных функций пространства C(Q) или одного из пространств L_p(Q) (1 <р<со).

В том же пространстве рассмотрим множество К неотрицательных функций x(t), удовлетворяющих дополнительному условию sup x(t) < р in/ x(t). teQ teQ

Если выполнено условие (1.1.9), то оператор Урысона оставляет инвариантным конус К.

Пусть выполнены условия из книги [23], при которых оператор Урысона определен и вполне непрерывен на конусе К неотрицательных функций одного из пространств C(Q) или L_p(Q). Пусть, далее, оператор А имеет сильную асимптотическую производную по конусу К, причем (A'(<*>)x)(t)=\Q(t,s)x(s)ds, teQ. (1.1.11)

Предположим, что k(t,s,0) = 0, (t,seQ).

При этом условии уравнение x(t) = \k[t,s,x(s)]ds,teQ (1.1.12) имеет тривиальное решение. Приведем некоторые условия существования второго (уже нетривиального) неотрицательного решения.

Будем предполагать, что выполнено условие (1:1.8), из которого вытекает, что оператор Урысона преобразует конус К неотрицательных функций в себя. Далее, будем считать, что оператор А, действующий в пространстве C(Q) или в простанстве L_p(Q) вполне непрерывен и имеет сильную асимптотическую производную (1.1.11) по конусу и сильную производную Фреше А'(в) по конусу в точке в, причем (A'(e))x(t) = \P(t,s)x(s)ds, teQ, (1.1.13) meP(t,s) = k'_u(t,s,0).

Функции P(t,s) и Q(t,s) неотрицательны в области Ох О в силу условия (1.1.8). Мы будем считать, что эти функции удовлетворяют дополнительным ограничениям, в силу которых линейные интегральные операторы (1.1.11) и (1.1.13) имеют единственный нормированный собственный вектор в конусе К. Для этого, например, достаточно, чтобы ядра P(t,s) и Q(t,s) удовлетворяли условиям и₀ - положительности, приведенные ранее. Через Х₀ и Яда обозначим наибольшее положительное собственное значение соответственно оператора А'(в) и оператора А'(сс).

Теорема 1.1.5 [23]. Уравнение (1.1.12) имеет по крайней мере одно неотрицательное и не равное тождественному нулю решение при перечисленных выше условиях, если либо

Я₀ < 1 < я^,

Л_М<1<Л₀. Обозначим через р(А) спектральный радиус линейного положительного оператора А, действующего в банаховом пространстве Е . Теорема 1.1.6 [24]. Пусть выполнено неравенство

Ах₀>ух₀, где А:Е->Е - линейный положительный оператор, -х₀ є"К, К - воспроизводящий конус. Тогда р(А)>у.

Теорема 1.1.7 [24]. Пусть конус К воспроизводящий и нормальный, линейный оператор А: Е —> Е и₀ - положителен и выполнены соотношения

Ау₀<ду₀, Ау₀Ф8у₀, где у о - ненулевой элемент К.

Тогда р(А)<8.

В диссертационной работе рассматриваются вопросы существования и единственности положительного решения для краевой задачи вида x'(t) + a₁x'(t) + a₂x(t) + f(t,(Tx)(t)) = O_i 0пх(0) + а₁₂х(1) + р₁₁х'(0) + р₁₂х'(1) = 0, (1.1.15) а₂₁х(0) + а₂₂х(1) + /3₂₁х'(0) + р₂₂х'(1) = 0, где ay, (5у (i,j = l,2), aj и а₂ - действительные числа, Т:С^Ь_р (1<р<со) - линейный непрерывный оператор, функция f(t,u) (t є [0,1 J, -co

Положительным решением краевой задачи (1.1.14)-(1.1.15) будем назы- вать любую неотрицательную функцию из W , удовлетворяющее почти всюду уравнению (1.1.14) и краевым условиям (1.1.15).

Частными случаями уравнения (1.1.14) являются: обыкновенные дифференциальные уравнения (в этом случае оператор Т - тождественный оператор); дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом; интегро-дифференциальные уравнения и т.д.

Существование и единственность положительного решения краевой задачи для нелинейного функционально - дифференциального уравнения второго порядка

Рассмотрим краевую задачу где Т:С- L (1 р ю) - линейный непрерывный оператор, функция f(t,u) (t є [0,1], - оо и со) удовлетворяет условию Каратеодори [27]. Краевая задача (1.2.1)-(1.2.2) эквивалентна [8] в пространстве С интегральному уравнению Предположим, что f(s,u) положительна в полосе (0,1)х(0,со), причем f(-,0) = 0 . Кроме того, будем считать, что при и О где b - некоторое положительное число, 1 q оо . В операторной форме это уравнение можно записать в виде [26], определяемый равенством (Ny)(t) = f(t,y(t)), G:Lq-+C - интегральный оператор (оператор Грина) с ядром G(t,s). При сделанных выше предположениях на / оператор А, определенный равенством действует из пространства С в С. Кроме того, этот оператор будет, очевидно, положительным и монотонным (см. 1.1) относительно конуса К неотрицательных, выпуклых вверх функций пространства С, обращающихся на концах отрезка [0,1 ] в нуль.

Поскольку оператор Немыцкого N действует из пространства Lp в Lq, а оператор Грина G- вполне непрерывный оператор, действующий из Lp в С, то оператор А:С С вполне непрерывен в С. Лемма 1.2.1 Для любых хеК справедлива оценка x(t) \\x\\ p(t), где ф(t) = min{t,lj при t є [0,1]. Доказательство. Пусть t0 - точка из отрезка [0,1], где хєК достигает максимума. Тогда, очевидно, в силу выпуклости вверх функции x(t) имеем Объединяя оба эти неравенства в одно, получим требуемое утверждение. Теорема 1.2.1. Пусть выполнены условия: і) p q; 2) оператор Т :C- Lp положителен (монотонен) на конусе К; 3) функция /(5, и) удовлетворяет условию a(s)up/q f(s,u) bup/q (sefOJJ, и 0), где a{s) - неотрицательная (a(s) O) суммируемая функция, Ъ -положительное число. Тогда краевая задача (1.2.1)-(1.2.2) имеет по крайней мере одно положительное решение. Доказательство. Доказательство теоремы основано на лемме 1.1.1. Для функции х є К с Ы( = г обозначим а для функции х є К с Ы = R обозначим В силу Следовательно, оператор AiC C по лемме 1.1.1 имеет по крайней мере одну неподвижную точку на множестве таких элементов х є К, что г \\х\\ R. Это равносильно существованию по крайней мере одного положительного решения интегрального уравнения (1.2.3), а следовательно -существованию положительного решения краевой задачи (1.2.1)-(1.2.2). Теорема доказана. Отметим, что теорема 1.2.1 доказана при p q. Теперь докажем справедливость теоремы 1.2.1 в случае р q. Теорема 1.2.2. Пусть выполнены условия: 1) p q; 2) оператор Т : С - Lp положителен (монотонен) на конусе К; 3) функция f(s, и) удовлетворяет условию неотрицательная {a(s) O) суммируемая функция, b -положительное число. Тогда краевая задача (1.2.1)-(1.2.2) имеет по крайней мере одно положительное решение. Доказательство.

Доказательство теоремы опирается на теорему 1.1.1 (о сжатии конуса). Покажем, что найдется число г 0, что Ах х для х є К, Легко проверить, что г R. Следовательно, положительный оператор А:С- С является сжатием конуса К. Тогда, согласно теореме 1.1.1 оператор А:С С имеет в конусе К по крайней мере одну ненулевую неподвижную точку, что равносильно существованию положительного решения краевой задачи (1.2.1)-(1.2.2). Теорема доказана. Докажем теперь единственность положительного решения краевой задачи (1.2.1)-(1.2.2) в случае p q. Теорема 1.2.3. Пусть выполнены условия теоремы 1.2.2 и 1) f(t,m) Tp/qf(t,u), te[0,l],u 0,TE(0,l); 2) f{t,и) монотонна по и при t є [0,1 J и и 0. Тогда краевая задача (1.2.1)-(1.2.2) имеет единственное положительное решение. Доказательство. Доказательство теоремы опирается на теорему 1.1.3. Покажем, что оператор А: С —» С является и0 - вогнутым на конусе К. В силу оценок (1.2.4), теоремы 1.2.2 и леммы 1.2.1 соответственно имеем Очевидно, в качестве ненулевого элемента и0 из К можно взять ср. Второе соотношение в определении и0 - вогнутости оператора А где 77 = rj(x, т) 0, имеет место, если положить rj = Tp/q 1 -1. Действительно, в силу условия 1) теоремы, для любого х є К такого, что aj(х)и0 x J3j(xju0 (aJ(х), j8}(х) 0) получим Следовательно, оператор А .С -С и0 - вогнутый. Тогда из теоремы 1.1.3 в силу условия 2) теоремы следует единственность положительного решения краевой задачи (1.2.1)-(1.2.2). Теорема доказана.

Априорные оценки положительных решений краевой задачи для нелинейного дифференциального уравнения второго порядка с запаздывающим аргументом

Рассмотрим краевую задачу Предположим, что функция f(s,u) удовлетворяет условиям где С], c2, m, p, q - положительные числа. Относительно h(t) будем предполагать, что она непрерывная и возрастающая на [0,1 J функция, причем ctr h(t) t, где си/- положительные числа. Предположим, что выполняются неравенства Кроме того, предположим, что для функции h(t), t є [0,1] существует непрерывно - дифференцируемая обратная функция H(t). Легко убедиться в Теорема 1.4.1 Для положительного решения x(t) задачи (1.4.1)-(1.4.2) справедливы оценки где А и В - положительные постоянные числа, зависящие лишь от т, р и Доказательство. Пусть М = maxx(t) = х(а), а є [0,1] . Тогда х (а) = 0, х"(а) 0. Имеем а = а І 2(1 + D) i Очевидно, 0 а2 Пусть теперь /,т, р,q, rj - положительные числа, p/q l, причем Рассмотрим задачу где h{t)- непрерывная и возрастающая на [0,1] функция, причем ct7 h(t) t, где сиу- положительные постоянные. Предположим, что выполняются неравенства с 1, у 1. Кроме того, предположим, что для функции h(t), t є [0,1] существует непрерывно - дифференцируемая обратная функция H(t). Сведем заменой r = t/l задачу (2.1.1)-(2.1.2) к задаче hfzl) где и = и(т) = х(тІ), /u = rjlm+2 и g(T) = .

Существование положительного решения задачи (2.1.3)-(2.1.4) следует из теоремы 1.2.1. Тогда из теоремы 1.4.1 следует, что для положительного решения задачи (2.1.1 )-(2.1.2) справедливы оценки где А и В - положительные постоянные, зависящие только лишь от т, р и Я Рассмотрим частный случай h(t) = kt, к є (0,1], t є [0,1 J. Докажем единственность положительного решения краевой задачи где l,m,p,q, ju, к - положительные числа, p/q l, p,qe(l,co) и к є (0,1]. Для этой цели рассмотрим задачу Копій где s - некоторое положительное число, к є (ОД]. Теорема 2.1.1. Для любого s 0 существует единственное число l(s) 0, при котором найдется неотрицательное решение задачи Коши (2.1.8)-(2.1.10), обращающееся в нуль на концах отрезка [0, l(s)]. Доказательство. Интегрируя два раза уравнение (2.1.8) от 0 до t с учетом начальных условий (2.1.9)-(2.1.10), получим Так как х(0) = 0, х (0) = s 0, то существует такое положительное число 8, что x(t) 0 при t є (0,8) . Предположим, что x (t) 0 при всех t 0. Тогда x(t) 0 и возрастает при t 0. Из равенства (2.1.11) следует a0(s) xp/q(t) Этого не может быть, так как ln(l + km+p/q+1tm+p/q+1} +со при t- +oo. Следовательно, существует такая точка t0 0, что x (t0) = 0 и x (t) 0 при 0 t t0. Из уравнения (2.1.8) следует x"(t0) 0, т.е. t0 является точкой максимума решения задачи (2.1.8)-(2.1.10). Так как в силу уравнения (2.1.8) x (t) 0 при x(t) 0, то x (t) 0 при t0 t t.j для некоторого tj, а из выпуклости вверх x(t) для положительных значений x(t) следует существование единственной точки / = l(s), в которой положительное на (0, l(s)) решение задачи Коши (2.1.8)-(2.1.10) обращается в нуль. Пусть x(t,s) - решение задачи Копій (2.1.8)-(2.1.10). Существование для любого s 0 единственного значения l(s) 0 такого, что x(t, s) 0 при О t l(s) и x(l(s),s) = 0, доказано выше. Докажем теперь, единственность решения x(t9s) на отрезке [0,l(s)]. Предположим, что x1(t,s) и x2(t,s) - два различных положительных решения задачи Коши. Из принципа единственности (см. лемму 1.1.2) для выпуклых операторов вытекает, что ни одна из разностей х} (t, s) - х2 (t, s) и x2(t,s)-x1(t,s) не является строго положительной функцией.

Пусть v(t, s) = X] (t, s) - x2 (t, s). Из равенств в силу формулы Лагранжа следует, что где функция x(kt,s) принимает значения, промежуточные между значениями Xj(kt,s) и x2(kt,s). Отсюда в силу (2.1.5) имеем где М = т+2—:—-—. В последнем интеграле, произведя замену = кт, получим Так как к 1, то qk о Отсюда по лемме Беллмана - Гроноула [11] получим, что v(t,s) = 0. Следовательно, мы пришли к противоречию. Теорема доказана. Теорема 2.1.3. Существует единственное положительное решение задачи (2.1.6)-(2.1.7). Доказательство. Сведем краевую задачу (2.1.6)-(2.1.7) к задаче Коши. Для этого возьмем [39] линейную группу преобразований вида где А - параметр преобразования, а а}, а2 - константы, подлежащие определению. Применяя эти преобразования к уравнению (2.1.8), получаем Прежде всего потребуем, чтобы преобразованное уравнение не зависело от параметра А. Это означает, что степени А в обоих членах уравнения должны совпасть, то есть Положим недостающее начальное значение равным параметру преобразования, а именно Наконец, параметр А определяется из граничного условия х(1) = 0: Оставшееся граничное условие х( 0) = 0 преобразуется тривиальным образом: Уравнение (2.1.15) с условиями (2.1.21) и (2.1.19) определяет задачу Коши. Раннее мы доказали, что для любого s 0 существует единственное число l(s) 0, такое, что задача Коши (2.1.8)-(2.1.10), имеет единственное неотрицательное решение на [OJfsJ] и x(l(s)) = 0. Следовательно, существует единственная точка t0=l(l) такая, что задача Коши (2.1.15), (2.1.21), (2.1.19) имеет единственное неотрицательное решение x(t) на [0,t0] и x(t0) = 0 . Тогда в силу (2.1.20) А определяется единственным образом: Рассмотрим в единичном круге Q = {Z є R , г = \z\ 1 с границей G краевую задачу где Ли - оператор Лапласа [30], т 0, s ], 0 к 1, а = const 0. Покажем, что существует радиально-симметричное решение задачи (2.2.1) (2.2.2), то есть функция и = и(г) из класса W2, удовлетворяющее двухточечной краевой задаче

Существование единственного радиально-симметричного решения краевой задачи для одного уравнения в частных производных с линейным запаздывающим аргументом

Рассмотрим краевую задачу где a(t) - положительная и суммируемая на [0,1 J функция, JceN, h(t) t -непрерывно - дифференцируемая на отрезке [0,1] функция. Кроме того, предположим, что для функции h{t), t є [0,1] существует непрерывная обратная функция H(t). Существование положительного решения задачи (2.3.1)-(2.3.2), очевидно, вытекает непосредственно из теоремы 1.2.1. Существование положительного решения данной задачи можно показать и не сводя ее к интегральному уравнению. В дальнейшем покажем как это делается. Для уравнения (2.3.1) рассмотрим задачу Коши где а - положительный параметр. Обозначим через x(t,a) решение задачи (2.3.1), (2.3.3).

Докажем существование положительного а такого, что 61 Очевидно, что для этого а решение задачи (2.3.1), (2.3.3) является положительным решением краевой задачи (2.3.1)-(2.3.2). Кроме того, задача (2.3.1)-(2.3.2) имеет положительное решение тогда и только тогда, когда уравнение (2.3.4) имеет положительное решение. Заметим, что число положительных решений задачи (2.3.1)-(2.3.2) совпадает с числом положительных корней уравнения (2.3.4). Применим метод шагов для нахождения решения x(t,a) задачи (2.3.1), (2.3.2). Для этого найдем максимальный отрезок [0,d}], d} є [О J J для которого выполняется неравенство h(t) 0, t&[0,d1]. Очевидно, что d} При te[0,d]J уравнение (2.3.1) становится линейным однородным уравнением 2-го порядка без запаздывания С учетом условий (2.3.3) решение задачи (2.3.1)-(2.3.2) на отрезке [0,djj , очевидно, имеет вид Если окажется d} =1, то из уравнения (2.3.4) следует, что краевая задача (2.3.1)-(2.3.2) имеет только нулевое решение. Пусть dj l. Найдем решение задачи (2.3.1), (2.3.3) на отрезке [dj,d2J, где d2 =min)H(2)(0),1 . При t є [d1,d2] (под Н(п)(и) понимаем выражение Н(Н....(Н(и))....), где функция Н применяется п раз) с учетом, что h(t) є [0,dj] при / є [dj,d2J, непрерывности x(t,a) и его первой производной в точке dj получим, что x(t,a) является решением следующей задачи Коши Если d2 = 1, то из уравнения (2.3.4) следует, что краевая задача (2.3.1) (2.3.2) имеет положительное решение тогда и только тогда, когда уравнение имеет положительное решение и число положительных решений краевой задачи (2.3.1)-(2.3.2) совпадает с числом положительных решений предыдущего уравнения. Очевидно, что это уравнение имеет единственное

Если же d2 1, то процесс нахождения решения задачи (2.3.1), (2.3.3) продолжается до тех пор, пока на п -ом шаге не получим dn l или dn =dn_j. Во втором случае решение задачи (2.3.1), (2.3.3) нельзя находить методом шагов. Теперь очевидно, что если для решения задачи (2.3.1), (2.3.3) надо проделать п шагов, то уравнение (2.3.4) является уравнением степени (Ik)" 1 относительно а. Теорема 2.3.1. Краевая задача (2.3.1)-(2.3.2) имеет по крайней мере одно положительное решение. Доказательство. Нетрудно заметить, что если для нахождения х(1,а) необходимо проделать п шагов, то уравнение (2.3.4) имеет следующий вид где ai (i = l,2,...,n-1) - некоторые числовые коэффициенты. Легко убедиться в том, что ап_} 0. Обозначим левую часть уравнения (2.3.5) через р(а). Так как р(0) = 1 и lim р(а) = -оо, то уравнение (2.3.5) имеет а—»+оо по крайней мере положительную точку « такую, что q (a ) = 0. Следовательно, краевая задача (2.3.1)-(2.3.2) имеет хотя бы одно положительное решение. Теорема доказана.

Существование и единственность положительного решения краевой задачи для нелинейного сингулярного функционально- дифференциального уравнения второго порядка

Рассмотрим эквивалентное краевой задаче (3.2.1)-(3.2.2) интегральное уравнение где G(t,s) - функция Грина, определенная в параграфе 1 главы 1. Как и в параграфе 1 главы 1 предполагается, что при и 0 функция f(t,u) положительна в полосе (0,1)х(0,со), монотонна по и и f(t,u) bup/q, где b, р и q- некоторые положительные числа, причем f(-,0) = 0 . Кроме того, из параграфа 1 главы 1 следует, что где N: Lp - Lq - оператор Немыцкого, определенный равенством (Ny)(t) = f(t, y(t)), Gn : Lq - C - интегральный оператор с ядром 7V{S) (t,s є [0,1]). Нетрудно проверить, что ядро оператора Gn удовлетворяет условиям [27], обеспечивающие действие этого оператора из пространства L (l q x ) в пространство С и обеспечивающие полную непрерывность оператора Gn. При перечисленных ограничениях оператор А, определенный равенством действует в пространстве С, вполне непрерывен и оставляет конус К неотрицательных функций пространства С инвариантным. Более того (см. 1.1), оператор А:С— С оставляет инвариантным конус К неотрицательных функций x(t) пространства С, удовлетворяющих условию (3.1.13) Теорема 3.2.1. Пусть выполнены условия: Тогда краевая задача (3.2.1)-(3.2.2) имеет по крайней мере одно положительное решение. Доказательство. Доказательство теоремы 3.2.1 аналогично доказательству теоремы 3.1.1. Рассмотрим случай р/ q 1. Найдем число R 0, что Ах х для хє К, \х\ R.B силу (3.2.4) и условий 1) и 2) теоремы при Ы R имеем Найдем теперь г 0 такое, что Ах (1 + є)х для х є К, \\х\ г, х Ф 0. В силу (3.2.4) и условий 2) и 3) теоремы, применяя неравенство Гельдера, при д; г имеем Легко проверить, что г R. В случае p/q l рассуждения аналогичны. Следовательно, положительный оператор AiC- -C является растяжением и сжатием конуса К соответственно, если р/ q 1 и р/ q 1. Тогда согласно теоремам о растяжении и сжатии конуса оператор А:С- С имеет в конусе К по крайней мере одну ненулевую неподвижную точку, что равносильно существованию положительного решения краевой задачи (3.2.1)-(3.2.2). Теорема доказана. Имеет место следующая теорема. Теорема 3.2.2.

Предположим, что для краевой задачи (3.2.1)-(3.2.2) выполнены условия теоремы 3.2.1. Кроме того, пусть: 0) f(t,ru) Tp/qf(t,u) te[0,lJ,n 0,T 0; 1) rftju? -1 ufjt.ujuyu? -1 (0 t l, u 0), где r(t) -неотрицательная, измеримая и ограниченная функция, f 0,p/q l; 2) a (Tl)(t) 8, t є [0,1 J, где J S - действительные положительные числа: Тогда краевая задача (3.2.1)-(3.2.2) имеет единственное положительное решение. Доказательство. Доказательства данной теоремы аналогично доказательству теоремы 3.1.2. Покажем, что оператор А, определенный равенством (3.2.5) является и0 - выпуклым на конусе К. Действительно, как ранее было получено Допустим, что уравнение (3.2.3) имеет два положительных решения Xj(t) и x2(t). Очевидно, обе разности x1(t)-x2(t) и x2(t)-x1(t) не являются строго положительными функциями. Без ограничения общности можно считать, что разность Для каждой функции xt (t) (і = 1,2) в силу (3.2.4), (3.2.7) и монотонности оператора Т справедливы оценки вытекает, что где м принимает значения, промежуточные между значениями (Tx1)(s) и (Tx2)(s). Тогда, в силу неравенств (3.2.9) (xt(t)eK, і = 1,2), монотонности оператора Т и условия 2) теоремы имеем Следовательно, в силу условия 1) теоремы и неравенств