О единственности решений первой смешанной задачи для параболических уравнений второго порядка Сливина, Наталья Александровна

Введение к работе

Актуальность темы. Исследование поведения вблизи границы решения дифференциальных уравнений в частных производных и связанные с ним вопросы единственности решений соответствующих задач - один хз важнейших и давно изучаемых разделов качественно! теории дифференциальных уравнений. в настоящей диссертации рассматривается круг задач, посвященных исследованию единственности решений граничных задач с исключительными множествами на границе области для параболических и вырождающихся на границе области параболических уравнений второго порядка.

Одной из первых работ в этом направлении была работа П. Фату" 1906 года, в которой доказано, что ограниченная в единичном круге аналитическая функция имеет почти всюду на границе круга некасательные предельные значения. Ф. и Н. Риссы² показали, что такая функция тождественно равна нулю, если она имеет нулевые радиальные пределы на некотором подмножестве границы Г положительной линейной меры Лебега. И.И.Привалов и Н.Н.Лузин'" показали, что в теореме Риссов условие положительности меры подмножества Г существенно, а в работе Л. Карлесона*' показано, что если условие ограниченности аналитической функции заменить, напрнер, условием конечности ее интеграла Дирихле, то множество Г может иметь нулевую линейную меру.

і) Fatou P. Series trigonooetriques et series de Taylor// Acta Hath..1906.V.30.P.335-340.

2) Ries F., Rles H.. Uber die Randwerte einer analytlschen

FunXtion. 4 Cong. Scand.Math. Stochola. 1916. P.27-44.

зі H.H. Лузин, И.И.Привалов. Граничные свойства аналитических

функций. И:Гостеххздат. 1930.

4) L.Carleson. Sets of uniqueness for functions regular in the

unite circle// Acta Math. 1952. V.«7. P.325-345.

Единственность решения граничных задач с исключительными

множествами на границе области тоже имеет длительную историю, в

1928 году И.Пиконе' рассмотрел уравнение, гладкое решение

которого однозначно определяется самим уравнением. Принципиальное

значение имели работы Н.В.Келдыша²! В работе 1941 года им

доказана теорема единственности в классе ограниченных функций.

когда граничные условия заданы вне " множества нулевой

емкости. И.В.Келдыш впервые обнаружил, что для эллиптических в

области, вырождающихся на границе, уравнений часть границы может

быть свободна от задания граничных условий при однозначной

разрешимости в классе ограниченных функций.

В 1936 году опубликована работа Г. Фкиеры³,' где для общего

зллмпткко-параболкческого уравнения второго порядка предложено

простое условие для определения части границы, которая

освобождается от граничных условий. Здесь же он доказал

существование обобщенного из L решения такой задачи.

р Дальнейшие исследования в этом направлении продолжены в

работах О. А.Олейнхк и Е. В. Радкевмч. В. П. Икхайлова , В. П. Михайлова

и л. К. Гущина , К. И. Виоика , В. И. Врагова , С. А. Терсенова,

Е.М. Ландиса. Отметим также работы С. Д. Эйдельмана. С. Л. Ивасхшена,

И. Н. Петрушко, А.И.Ибрагимова, С. В. Гайдеико.

и M.Flcone, Hagglorazlone degll intarali derlvate parzlall del secondo ordine// Arm. Hat. pura e appl. 1929. зі X. В. Келдыш. О разрешимости и устойчивости задачи Дирихле// Успехи матен. наук. 1941. Т. 3, N 171. С. 171-231.

И.В.Келдыш. О некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа на границе области// ДАНСССР. 1951. Т.77, Н2. С. 181-183.

3) G.Fichera. On a uifleled theory of boundary value problems for elliptic-parabolic equations of second order. Boundary problems In differential equations.The University of Wisconsin Press. Hadlson. I960. P.97-120.

Е. М. Ланднсом* получено достаточное условие единственности

ограниченного решения задачи Дирихле с исключенным множествен на

границе области для эллиптического уравнения второго порядка с

разрывными коэффициентами. Ограничения на размер исключительного

множества сформулированы им в терминах s-емкости.

Наиболее близкими к исследуемому кругу вопросов является

работы С. В. Гайденко².' Им исследовано поведение вблизи границы

решений задачи Лирххле и задачи Неікана в ограниченной области с

исключительным множеством на границе области для линейного

эллиптического уравнения второго порядка с гладкими

коэффициентами. Доказаны точные теоремы единственности обобщенных

решений этих задач в L . Ограничения на "размер" исключительного р

множества сформулированы в терминах меры Хаусдорфа.

Целью работы является изучение классов единственности решения смешанной задачи для для параболических и вырождающихся параболических уравнений второго порядка с исключительными множествами на границе области.

і) Е.М. Ландис. Теоремы о единственности решения задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка// Труды Московского математического общества. 1981. N42. С. 50-63.

Е. М. Ландис. О структура несущественного относительно задачи Дирихле множества для эллиптического уравнения второго порядка с разрывными коэффициентами// Труды Московского Натонатнческого Общества. 1983. N46. С. 124-135.

2) СВ. Гайденко. Об исключительных множествах на границе и единственности решения задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка// Матен. сб. 1980. Т. 111(153), N1. С. 116-134.

СВ. Гайденко. Об исключительных множествах на границе единственности решения второй и третьей краевых задач для эллиптического уравнения// Натем. сб. 1984. Т. 123(167), N3. С. 347-363.

Научная новизна. Впервые получены точные ограничения на "размер" исключительного множества на границе области, свободного от задания граничных условий, при которых классы функций, допускающие рост вблизи границы, являются классами единственности первой смешанной задачи для параболических и вырождающихся парабпхческих уравнений второго порядка. Ограничения на размер исключительных множеств получены в терминах меры Хаусдорфа.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на на семинаре ИЭИ по дифференциальным уравнениям (рук. профессор Ю. А. Дубинский, профессор С.А.Ломов, чл. корр. АН СССР, профессор С. И. Похожаев) ; на семинаре профессора В. II. Врагова; на семинарах по дифференциальным уравнениям под руководством профессора К. К. Петрушко ; на научных конференциях ИЭИ в 1985 и в 1988 г. Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [1] - 14].

Структура диссертации. Диссертация изложена на 75 страницах и состоит из введения, двух глав и списка литературы, содержащего 34 наименования.

Похожие диссертации на О единственности решений первой смешанной задачи для параболических уравнений второго порядка

Исследование существования и единственности положительных решений краевой задачи для нелинейных функционально-дифференциальных уравнений второго порядкаАбдурагимов Гусен Эльдерханович

О поведении обобщенных решений краевых задач для эллиптических уравнений второго порядка в окрестности границы и на бесконечности Тюлина Анна Константиновна

Стабилизация решений смешанной задачи для параболических уравнений высокого порядка Биккулов Ильгиз Мидехатович

О законе композиции операторов дробного интегродифференцирования с различными порядками и их приложения к решению краевых задач для уравнений гиперболического и смешанного типовКосимов, Хурсанали Нурматович

Исследование регулярности обобщенных решений краевых задач для эллиптических нелинейных систем уравнений высокого порядкаАлдохина, Виктория Николаевна

Совпадение классических и обобщенных решений некоторых краевых и смешанных задач для систем уравнений второго порядка с неограниченными младшими коэффициентамиСафиев, Эльшан Кавы оглы

Интегральные представления многообразия решений и краевые задачи для некоторых классов нелинейных гиперболических уравнений второго порядкаДехконбаев, Низомидин Имомкулович

Теоремы единственности решения задачи Коши для эволюционных уравнений и систем с растущими коэффициентамиТуртин, Дмитрий Витальевич

Единственность решений задачи Коши для некоторых эволюционных дифференциальных уравненийГугулашвили, Евгений Николаевич

Краевые задачи для уравнения третьего порядка, содержащего параболо-гиперболический операторТалипов, Атамет