Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. О задаче Коши для уравнения типа Эмдена-Фаулера с сингулярной нелинейностью . 10
1.1.О задаче Коши для уравнения у* + Р(х)хауа =0. 10
1.2. О задаче Коши для уравнения у" ± хауа = 0. 26
1.3. Вертикальные асимптоты. 45
1.4. О задаче Коши для уравнения высокого порядка . 52
1.5. Об уравнении у' + Р(х)хау \\nyf=Q. 56
Глава 2. Асимптотические свойства решений уравнения Эмдена- Фаулера на бесконечности . 62
2.1. Асимптотика решений уравнения у" + хауа = 0. 62
2.2. Асимптотика решений уравнения у" - хауа - 0 . 87
2.3. Асимптотические свойства решений уравнения. 93
2.4. Об уравнении 100
Литература. 102
- О задаче Коши для уравнения у" ± хауа = 0.
- О задаче Коши для уравнения высокого порядка
- Асимптотика решений уравнения у" - хауа - 0
- Об уравнении
Введение к работе
Уравнение у" ± хауп — 0 хорошо известно в математике, астрофизике и в атомной физике. Впервые оно возникло в астрофизических исследованиях Эмдена [18]. В настоящее время это уравнение обычно называют уравнением Эмдена-Фаулера. Многомерный аналог этого уравнения Ли ± \х\аип = 0, где Л - оператор Лапласа в N - мерном пространстве, так же принято называть уравнением Эмдена-Фаулера.
Такому уравнению посвящено большое число работ и монографий. Это внешне простое, но нетривиальное нелинейное уравнение. Хотя порядок его можно понизить, оно не решается в явном виде, однако поведение его решений можно весьма подробно описать.
Основные вопросы, которые изучались для уравнения Эмдена-Фаулера, - асимптотическое поведение решений при х —У +00, колеблемость решений, продолжаемость решений на бесконечный промежуток, разрешимость краевых задач. Обзор реультатов по этим вопросам имеется в монографии Дж. Сансоне [13].
Большое влияние в теории уравнения Эмдена-Фаулера имела классическая монография Р. Беллмана [4], в которой уравнению Эмдена-Фаулера посвящена глава, содержащая историю вопроса и исследование асимптотического поведения его решений при х -> +оо.
Существенный вклад в теорию уравнения Эмдена-Фаулера внес F.V. Atkinson [16]. В монографии И.Т. Кигурадзе, Т.А. Чантурия [10] исследуется уравнение Эмдена-Фаулера и его аналог - уравнение высокого (больше второго) порядка у(т) ± хауп = 0. Список работ, посвященных уравнению типа Эмдена-Фаулера, очень широк. Упомянем работы И.В. Асташовой [1], В.А. Козлова [20], В.М. Евтухова [7], Л.А. Беклемишевой [3], Н.А. Изобова [8], Д.В. Изюмовой [9], Z. Nehari [21], J.S. Wong [23]. Во всех этих работах предполагалось п > 0.
Особо отметим работы А.Д. Брюно, изложенные в его монографии
[6]. А.Д. Брюно применяет новые методы, названные им "степенная геометрия", для исследования различных нелинейных задач, в том числе и для уравнения Эмдена-Фаулера. Его алгоритм позволяет найти возможные степенные асимптотики для решений уравнения Эмдена-Фаулера.
Основная цель настоящей работы - исследование уравнений Эмдена-Фаулера при п < 0. Такие уравнения встречаются в прикладных вопросах, например, R. Aris [15].
Изучаемые в представленной работе уравнения имеют вид
у" + Р{х)уа =0, a = const < 0 (0.1)
с различными ограничениями на функцию Р(х). В качестве решения по определению считается положительная функция. Естественно при а < 0 возникает вопрос о существовании и единственности решений на [а,Ь], удовлетворяющих данным Коши при х —) +а.
В 1.2 исследуется вопрос о существовании и единственности решений уравнений
у'1 + хауа = 0, (0.2)
2/"-*У=0, (0.3)
удовлетворяющих условиям
lim у(х) = 0, у'(0) = Л > 0.
Имеет место следующая теорема.
Теорема 1.5. Пусть а > —2, а < 0, х\ > 0. Существует бесконечно много решений уравнения (0.2) на (0,а;і], удовлетворяющих условию
lim у(х) = 0. х-Н-о
Более того, если а + а + 1 < 0, то
2/(ж)=С(а,<т)жл(1 + о(1)), ж->+0,
(а + 2)(а + 1 + сг)
a_1 _ Q + 2
C7(a,o-) =
(1-а)
' А"1-(Т
В случае а < —2 не существует решений уравнений (0.2), (0.3), таких, что
lim у(х) = А. О < А < оо.
Если а + от + 1 < 0, то уравнения (0.2), (0.3) не имеют решений, удовлетворяющих условиям
lim у(х) = 0, у'(0) = А > 0.
05-++0
В случае а + а + 1 > 0 существует решение уравнения (0.3)
у = С(а,а)хх, где
Т^пу
(а + сг + 1)(а + 2)
1 — <т
(1 -«,)» Показывается, что это единственное решение, такое, что
Иту(х) = 0, у'(0) = 0.
х—*+и
Сформулируем еще несколько теорем о свойствах решений задачи
Коши.
Теорема 1.6. Если у(х) - решение уравнения (0.3) при х > 0 иа-\-<т-\-
КО, а 4- 2 > 0, то
lim у(х) = Л > 0. *-н-о ч
Теорема 1.7. Если а + 1 < 0, то уравнение (0.3) не имеет положительных решений на (0,1], удовлетворяющих условиям
Цту(яО=0, У'(0) = 0.
X—r-j-l)
Приведем ряд теорем о свойствах решений задачи Коши для уравнения (0.1).
Теорема 1.2. Если — 1 < а < 0, Р(х) < 0 - непрерывная при 0 < х < 1 функция, то существует единственное решение уравнения (0.1) на (0,1], такое, что
lim ?/(*)= 0, 2/40) = 0.
х—>+а
Единственность доказывается с использованием асимптотической формулы решения при х —> +0, которая так же устанавливается.
В случае а < — 1 теорема 1.2 неверна. Теорема 1.4. Пусть Р(х) > 0 - непрерывна на 0 < х < 1. Если а < —1, то существуют решения уравнения (0.1) на (0,1], такие, что
lim у[х) = 0, lim у'[х) = +оо.
Х-++0 ' х-++0
В 1.3 рассматривается вопрос о существовании вертикальных асимптот у решений уравнений (0.2), (0.3).
Теорема 1.9. Если а + 2 < 0, то всякое решение уравнения (0.3), определенное на (0, h], имеет вид
У =
(g +2)(1+ а + <т) (I-")2
2+о
(1 + о(1))жі—, ж-»+0.
Отметим, что решений, определенных на (О, Л], бесконечно много. Теорема 1.10. Всякое решение уравнения (0.3), определенное на (0, h], при а + 2 = 0 имеет вид
у = (1-<г)^(-Inx)^(1 + о(1)), х -> +0.
Если а + 2 > 0, то х = 0 не может быть вертикальной асимптотой у решений уравнения (0.3).
Не существует вертикальных асимптот х — Ь = const > 0 у решений уравнений (0.2), (0.3).
В 1.4 изучаются решения уравнений вида
yW(x) = P(x)xay(T(x), ст<0, п>2, a = const (0.4)
Рассматривается задача
lim
X—>+и
y<*+1>(0) = Ai, 2/(fe+2)(0) = Л2)...2/^^(0) = An_fc_1} k>0 (0.5)
Ai > 0, Аг,... , An_fc_i - любые постоянные, і Теорема 1.11. Пусть f \P(x)\xa+cr(k+1)dx < оо. Тогда решение задачи
о (0.4) - (0.5) существует и единственно на (0, h], где h - достаточно
малая постоянная, зависящая от
Ai, А2,... ,An_fc_i, а,к,п,Р(х)
Теорема 1.12. Если Р(х) - непрерывная положительная функция на [0, /i], а + сг(п — 1) + 1 > 0, то существует решение уравнения (0.4), такое, что
Пту(х) = 0, 2/(0) = ... = 2/^(0) = 0.
В этой теореме существенное значение имеет знак Р(х). Если Р(х) < 0, то не существует решения с условиями
«ШУИ = 0, 2/'(0) = .. = 2/^-^(0) = 0.
-)-+0
Вторая глава посвящается изучению поведения решений уравнений (0.1)-(0.3) при х -4 +оо. Рассмотрено уравнение Эмдена-Фаулера, возмущенное членом с производной первого порядка
у" + к(х)у' + Р(х)уа = О
при х > xq > 0. Найдены асимптотические формулы решений. Теорема 2.1. Если а + а + 1 > 0, то уравнение (0.2) не имеет положительных решений на [жо,+оо) ни при каких xq > 0. Теорема 2.2. При а + 2 > О, а + 1 + <т < О всякое полоэюительное решение уравнения (0.2) на [1,+оо) имеет один из асимптотических видов:
2/ = С(а,<7)(1 + 0(1))х\
2/ = ^(1 + 0(1)),
С(а,а) =
(а + 2)(а + 1 + <т)
(1 - *у
г±г
Теорема 2.4. Если а + 2 < 0, то всякое полоэюительное решение уравнения (0.2) удовлетворяет условиям
lim у(х) = А > 0, lim у'(х) — О,
х-»+оо ж->+оо
либо
lim у'(х) = В>0.
Рассмотрим случай а + 2 = 0. Теорема 2.10. Всякое решение уравнения
у" + аГ V = О
при х -> +00 имеет вид
у(х) = Ах(1 + о(1))
у(х) = С(1 + о{ї)){\пх)^.
Теорема 2.13. Если 1 + а + а > О, то всякое решение уравнения (0.3), определенное при x>xq~ const > О, имеет вид
(а +2)(1 +а + <т)
2+а
(1 + о(1))ж1-<г, х —> +оо.
(1-<т)
_лЛ2
у(х) =
Теорема 2.14. Если а + сг + 1 < 0, а + 2 > О, а < 0, то всякое решение уравнения (0.3), продолжаемое на [1,оо), имеет вид
у(х) = Лх(1 + о(1)), Л > 0, я; ~ +оо.
Теорема 2.15. Всякое решение уравнения (0.3) при а + а + 1 = 0, о*< 0, продолжаемое на [1,оо); имеет вид
у(х) = (1 — 0^)^^(^12:)^^(1 + о(1)), а; -> +оо.
В 2.4 наши исследования применены к изучению решений уравнения третьего порядка у'" + ук = 0, fc > 1. Оно имеет решение, такое, что
у (х) > 0, lim у(х) = 0, у'(х) < 0, lim у'(х) - 0, у"(х) > 0
lim у"(х) = 0.
х-»+оо
Доказано, что все такие решения описываются формулой
у(х) = Ск(х + Т)х, где A = jzrk> 4fc-1 = — А(А — 1)(Л — 2), Т - постоянная, зависящая от
О задаче Коши для уравнения у" ± хауа = 0.
Рассмотрим теперь уравнение (1.1): Начнем исследование решений уравнения (1.1) со следующего замечания. Замечание. Если а + а + 1 0, то уравнения (1.1), (1.2) не имеют решений, удовлетворяющих условиям Доказательство. Допустим, такие решения существуют. Тогда из уравнения (1.1) и того, что у (0) = А 0, следует Если а + а + 1 = 0, то При х — О получаем противоречие. Для уравнения (1.2) доказательство аналогично. Теорема 1.5. Пусть а —2, а О, х\ 0. Существует бесконечно много решений уравнения (1.1) на (0,#i], удовлетворяющих условию Для доказательства этой теоремы докажем следующую лемму. Лемма 1.1. Пусть а + 2 0, т 0, г/(ж) - решение уравнения (1-1) на [жі,Ж2І) Х2 х\ 0, такое, что y fa) 0. Найдется є = const 0, зависящее от а, а, #і,2 такое, что у(х2) Доказательство леммы 1.1. Из уравнения (1.1) следует, что у"(х) 0» З/ М 0 на (х\,Х2) и 2/(я) у{х2), х\ х Х2- Следовательно, -у"{х) хау(х2), Легко проверить, что С(х\,Х2,а,а) 0. Действительно, по теореме Лагранжа С{хі,х2,а,а) = \(х2-хі)-(х2 -xi)x+1] = (x2-xi) ——- 0 a + 1 при 0 х 1. Таким образом, Лемма доказана. Доказат оно справедливо при всех х 1. В противном случае существует х (5), 0 х 1, такая, что Из уравнения (1.1) следует Отсюда и из неравенства Гронуола - Беллмана получаем если 8 достаточно мало. Таким образом, а это противоречит (1.11). Следовательно, у{х% X — 8) 4 0, то есть А — 8 Є Л, но это невозможно, так как A = inf Л. Таким образом, случай 1) невозможен. Рассмотрим случай А 0 Л. Тогда найдется а, 0 а 1, такое, что у(а,Х) = 0, у(х, А) 0, а х 1. Существует последовательность Ає, Ає Є Л, Из леммы 1.1 следует, что у(х, Хє) 8 = const 0, а х 1. По теореме о непрерывной зависимости решений от начальных условий у(а, X) 8 0. Получено противоречие с условием y(ct,X) = 0. Противоречие значит, что а — 0, то есть у(0, А) = 0 При выполнении условий теоремы 1.5 решение уравнения (1.1) не единственно. Чтобы это показать, надо рассмотреть семейство решений у(х, А), таких, что Замечание. Пусть выполнены условия теоремы 1.5. Если, кроме того, а + а -f1 0, то решения уравнения (1.1) у(х), такие, что удовлетворяют условию у"(х) 0, то у (х) возрастает при уменьшении х. Следовательно, существует и равен либо +оо либо А оо. Если этот предел равен А, то А/2 у {х) 2А при малых х, то есть Ах/2 у(х) 2Ах. Из уравнения (1.1) следует Отсюда если а + а + 1 = 0 При х. — +0 получим противоречие. Замечание доказано. Теперь в случае а+2 0, а+ т+1 0 установим асимптотическую формулу решений уравнения (1.1), таких что Сделаем в (1.1) замену переменных х = e, у = ue xt, А — у . В результате получим Решение этого уравнения не имеет точек максимума выше прямой и = С(а,сг), С(а,а) = (а+2)(а+1+а) -1 тт р v л и, следовательно, оно является мо нотонной функцией выше этой прямой для достаточно ельство теоремы 1.5. Будем для простоты полагать х\ — 1. Рассмотрим семейство решений у(х, Л), таких, что Из леммы 1.1 следует, что если у(х, Л) определено на [а, 1], то Л є(а).
Покажем, что если Л Лі, Лі 0, где Лі(а,сг) достаточно большое, то у(х. Л) существует на (0,1]. Предположим противное. Тогда существует с і 1, 2/(«і,Л) = , у(х,Л) 4 на (OJI,1]. Из уравнения (1.1) имеем При Л - со получаем противоречие. Если а = — 1, то Л/2 = 2/(1) - у(аі) -(Л/2)ст[-аі/паі - 1 + «і], При А - оо получаем противоречие. Пусть Л - множество таких Л, для которых у (ж, Л) 0 на [0,1]. Множество Л непусто и ограничено снизу. Обозначим Л = inf Л. Возможны два случая 1) ЛєЛ 2) АЛ В первом случае, согласно определению Л, Докажем, что если S О достаточно мало, то Это неравенство очевидно при х = 1. Докажем, что оно справедливо при всех х 1. В противном случае существует х (5), 0 х 1, такая, что Из уравнения (1.1) следует Отсюда и из неравенства Гронуола - Беллмана получаем если 8 достаточно мало. Таким образом, а это противоречит (1.11). Следовательно, у{х% X — 8) 4 0, то есть А — 8 Є Л, но это невозможно, так как A = inf Л. Таким образом, случай 1) невозможен. Рассмотрим случай А 0 Л. Тогда найдется а, 0 а 1, такое, что у(а,Х) = 0, у(х, А) 0, а х 1. Существует последовательность Ає, Ає Є Л, Из леммы 1.1 следует, что у(х, Хє) 8 = const 0, а х 1. По теореме о непрерывной зависимости решений от начальных условий у(а, X) 8 0. Получено противоречие с условием y(ct,X) = 0. Противоречие значит, что а — 0, то есть у(0, А) = 0 При выполнении условий теоремы 1.5 решение уравнения (1.1) не единственно. Чтобы это показать, надо рассмотреть семейство решений у(х, А), таких, что Замечание. Пусть выполнены условия теоремы 1.5. Если, кроме того, а + а -f1 0, то решения уравнения (1.1) у(х), такие, что удовлетворяют условию у"(х) 0, то у (х) возрастает при уменьшении х. Следовательно, существует и равен либо +оо либо А оо. Если этот предел равен А, то А/2 у {х) 2А при малых х, то есть Ах/2 у(х) 2Ах. Из уравнения (1.1) следует Отсюда если а + а + 1 = 0 При х. — +0 получим противоречие. Замечание доказано. Теперь в случае а+2 0, а+ т+1 0 установим асимптотическую формулу решений уравнения (1.1), таких что Сделаем в (1.1) замену переменных х = e, у = ue xt, А — у . В результате получим Решение этого уравнения не имеет точек максимума выше прямой и = С(а,сг), С(а,а) = (а+2)(а+1+а) -1 тт р v л и, следовательно, оно является мо нотонной функцией выше этой прямой для достаточно больших t. По этой же причине u(t) монотонная функция ниже прямой и — С(а,сг). Итак, lim u(t) существует. Рассмотрим три случая 1) lim u(i) = В = const 2) lim u(t) = 0 3) lim u(t) = -f oo Случай 1. Покажем, что этот предел не может быть положительным и меньшим С{а)а). В противном случае и - (2А - 1)й -к 0, й-{2\-1)и -kt + Cu u -kt + C2,
О задаче Коши для уравнения высокого порядка
Рассмотрим задачу Теорема (1.1) имеет аналогию для уравнения высокого порядка. і Теорема 1.11. Пусть J \Р(х)\ха+а к+1 о1х оо. Тогда решение задачи о (1-21) - (1-22) существует и единственно на (0, h], если h - достаточно малая постоянная, зависящая от Если допустить, что это верно, тогда Этой оценки достаточно для равномерной сходимости ряда \Ут{х) -ym-l(x)\ Отсюда следует, что последовательность ут[х) равномерно на [0,/і] сходится к некоторой функции у(х), которая является решением уравнения Докажем единственность решения уравнения (1.21), удовлетворяющего условиям (1.22). Пусть yi(x), у2(х) - решения уравнения (1.21), удовлетворяющие производные порядка до (п — 1) включительно равномерно ограничены. По теореме Арцела можно выбрать подпоследовательность є к — 0, такую, что уЄк равномерно сходится к функции у{х) на [0,1], которая удовлетворяет уравнению (1.21) на [0,1], при этом все производные уЕк до порядка (п — 2) включительно равномерно сходятся к соответствующим производным у(х) на [0,1]. На каждом отрезке [, 1], t 0, уе , у є равномерно сходятся к з/"-1), у(п) и y(n l\0) = 0. Теорема доказана. В этой теореме существенное значение имеет знак Р{х). Если Р(х) 0, решения с условиями Теорема 1.13. Если а -f о + 1 0, а 0, Р(х) - непрерывная на [0,1] функция, то при любом Ъ уравнение (1.25) имеет единственное решение, такое, что определенное на некотором интервале [0,/i], h 1. Доказательство. Существование доказывается методом последовательных приближений. Вместо уравнения (1.25) рассматривается интегральное уравнение Последовательные приближения определяются следующим образом: о Покажем, что все функции уп(х) определены и удовлетворяют неравенствам: при некотором h, не зависящим от п. Доказываем методом индукции. Пусть (1.27) верно. Так как \\пу\ь Су6, S О, то из (1.26), (1.27) следует Итак установлено, что 6n+i \6n. Этого неравенства достаточно для равномерной сходимости последовательности уп(х) к некоторой функции у(х). В (1.26) можно перейти к пределу под знаком интеграла, так как подынтегральные функции имеют суммируемую мажоранту и можно использовать теорему Лебега. В результате получим
Доказательство единственности. Пусть у\(х), у2(х) -решения уравнения (1.25), удовлетворяющие условиям Ла-гранжа, получим если 0 х h, h - достаточно мало. Это означает, что yi(x) = 2/2(я) Заметим, что функции рйг, Щ т являются непрерывными на [О, Л]. Теорема доказана. Теорема 1.12. Существует решение уравнения (1.21), такое, что если Р{х) - непрерывная положительная функция на [0, /і], а-\-сг(п — 1) + 1 0. Доказательство. Рассмотрим у{х) - решение уравнения (1.21), такое, что Такое решение существует в силу теоремы 1.11 на (0,/і], и оно продолжаемо на [0,1]. Так как уе(х) 0, у є (ж) 0,... , у{х) 0 при х 0, можно применить теорему о продолжаемости решения, согласно которой все у(х) определены на [0,1] и удовлетворяют уравнению (1.21) на (0,1]. Интегрируя это неравенство, получим интегрируя это неравенство (п-1) раз,получим: В силу условия теоремы а + т (n — 1) + 1 0. Таким образом, все производные порядка до (п — 1) включительно равномерно ограничены. По теореме Арцела можно выбрать подпоследовательность є к — 0, такую, что уЄк равномерно сходится к функции у{х) на [0,1], которая удовлетворяет уравнению (1.21) на [0,1], при этом все производные уЕк до порядка (п — 2) включительно равномерно сходятся к соответствующим производным у(х) на [0,1]. На каждом отрезке [, 1], t 0, уе , у є равномерно сходятся к з/"-1), у(п) и y(n l\0) = 0. Теорема доказана. В этой теореме существенное значение имеет знак Р{х). Если Р(х) 0, решения с условиями Теорема 1.13. Если а -f о + 1 0, а 0, Р(х) - непрерывная на [0,1] функция, то при любом Ъ уравнение (1.25) имеет единственное решение, такое, что определенное на некотором интервале [0,/i], h 1. Доказательство. Существование доказывается методом последовательных приближений. Вместо уравнения (1.25) рассматривается интегральное уравнение Последовательные приближения определяются следующим образом: о Покажем, что все функции уп(х) определены и удовлетворяют неравенствам: при некотором h, не зависящим от п. Доказываем методом индукции. Пусть (1.27) верно. Так как \\пу\ь Су6, S О, то из (1.26), (1.27) следует Итак установлено, что 6n+i \6n. Этого неравенства достаточно для равномерной сходимости последовательности уп(х) к некоторой функции у(х). В (1.26) можно перейти к пределу под знаком интеграла, так как подынтегральные функции имеют суммируемую мажоранту и можно использовать теорему Лебега. В результате получим Доказательство единственности. Пусть у\(х), у2(х) -решения уравнения (1.25), удовлетворяющие условиям
Асимптотика решений уравнения у" - хауа - 0
Рассмотрим уравнение Будем, как и ранее, считать решением положительную функцию и рассмотрим поведение таких решений при х — +оо. Заметим, что в случае Л (Л — 1) 0 уравнение (2.15) имеет частное решение вида где Л = -, Л(Л — 1) = Са 1. Начнем с рассмотрения случаев о + 2 0, a -f 1 + т 0, то есть Л 1. Теорема 2.13. Если 1 + а + сг 0, то всякое решение уравнения (2.15), определенное при X XQ = const 0, имеет вид В результате получим Так как Л 1, то доказательство аналогично доказательству теоремы 1.9. Замечание. Если а + а + 1 0, то существует бесконечно много решений уравнения (2.15), таких, что Доказательство. Сделаем в (2.15) замену переменных результате получим После еще одной замены получим Разложим в ряд Тейлора до первого порядка. Так как (v + С(а, а))" = С Корни характеристического уравнения имеют отрицательные вещественные части. Существует решение, такое, что Таких решений бесконечно много. Для любого h, v(t + h) также является решением. Теорема 2.14. Если а + т + 1 О, а + 2 О, а 0, то всякое решение уравнения продолжаемое на [1,оо), имеет вид Доказательство. Из уравнения следует, что у" О, у (х) возрастает, значит существует предел у {х) при х —t +оо. Возможны три случая: 1) lim y ix) = +00 ж-»-+оо 2) lim y ix) = О х-»+оо 3) lim у (х) = А 0. Ж-++0О Покажем, что случай 1) невозможен. Так как lim y ix) = +00, #—»+00 Рассмотрим случай 2). Так как Если а+1 = 0, интегрируем последнее неравенство от Х2 до х. Получим Если а + 1 0, интегрируем неравенство у" хауа(х\) от я; до оо: -у (х) УаМ Тї у (х) уЦх1) -[. (2.20) Если а + 2 0, то после интегрирования этого неравенства от Х2 до х получим »( -»(«») »Ч«і) (а +!)(! + 2) С" Если а + 2 = 0, то у(ж) - у(ж2) О/а+ і) С2 Получили противоречие с условием у (ж) 0. Если а + 1 0, интегрируем неравенство у" хауа(х\) от х до оо: .а+1 С "у" X Получили противоречие с условием lim у (х) = 0. Остается случай 3) lim у (х) = А 0. Это значит, что решений, отличных от у(х) = Ах(1+о(1))} не существует. Теорема доказана. Теорема 2.15. Всякое решение уравнения (2.15) при а+сг+1 = 0, а 0, продолжаемое на [1,оо), имеет вид у = (1 —a)TZ x(lnx)T= (l +о(1)), х — оо. Доказательство этой теоремы после замены переменных х = е , у — иеь аналогично доказательству теоремы 1.10. Теорема 2.16. Если а + 2 0, то всякое решение уравнения (2.15) удовлетворяет условиям lim у(х) = В 0, lim у (х) = 0 ж-Ц-оо ж-Ц-оо либо lim г/(ж) = Л 0. Доказательство. Из уравнения (2.15) следует, что у" 0, у (х) возрастает, значит, существует предел у (х) при х — +СО. Возможны 3 случая 1) lim у (х) — +оо 2) lim у (х) = 0 3) lim у (х) = А 0. a?-»+oo Покажем, что случай 1) невозможен. Так как lim у (х) = +оо, Ж- + ОО то у К О, у{х) Кх + С Кх/2 при х хг. Тогда у" = хауа К2ха+(Т, у (х) К3ха++1 + К4 К5. Получим противоречие с условием lim у (х) = +СО. Случай 2). Так как у (х) —V 0, у возрастает, то у (х) 0 и у(х) убывает. Значит, у(х) имеет конечный предел, у(х) 0. Покажем, что этот предел не равен 0. Если у (оо) = 0, у(оо) = 0, то оо оо l (x) = - jy"dx = -/ xayadx, X X оо оо оо у(х) = — / y dx =11 xayadxdx. X XX Пусть у(хо) = 8 мало. Так как у(х) убывает, х XQ, оо оо оо оо 5 = у(х0) = - J J xayadxdx 8а f f xadxdx. Xo X XQ X Так как a + 2 0, то последний интеграл сходится. Получили противоречие с достаточной малостью 8. Итак, lim у(х) = В 0. S-+ + у" + к(х)у + Р(х)уа = 0.
Рассмотрим уравнение у" + к(х)у + Р(х)уа =0, а 0 (2.21) оо оо Теорема 2.17. Пусть f xl a\P{x)\dx со, f \k(x)\dx со. Каково бы ни было число A = const 0, существует решение уравнения (2.21), такое, что при х — со у(х) = А + о(1). Доказательство. Перепишем уравнение (2.21) в виде х \fx J k{x)dxyt \ + е/ k(x)dxp yff = 0 или (ФУ) + г{х)Р(х)уа = 0, где г(х) = а-\- о(1), a = const 0. Сделаем замену переменных s = х I тТхТ Получим уравнение y :a+r2(x)P(x)y(s) = 0. После замены переменных s = j, У \ получим уравнение + v(thr( ) = o, f3" 1 1 где V(t) = Г-ЩРІЕІ. Имеем [ \V(t)\tdt = j r2(g]f(aV(ft = І оц\Р{х)\ -3аЧ = 1-а = -fa1\P(X)\S ds = -fa1\P{x)\ (/ «faj = OO OO OO = Ia2\P(x)\x1-adx. 1 Применяя теорему 1.1, получим требуемый результат. Теорема дока-зана. Будем теперь рассматривать уравнение у" + Р(х)у = 0. (2.22) Теорема 2.18.Если у(х) - решение уравнения (2.22) на [—1,1], где Р(х) ро = const 0, а 0, то найдется С = const, зависящая лишь от а, ро, такая, что г/(0) С. Доказательство. Обозначим т = max у(х), тп = min у(х). [-1,1] v [-1,4 Из (2.21) следует -у" р0та. Из теоремы Лагранжа следует, что существуют &, такие, что і Є [—1,-3/4], 2 Є [3/4,1] и у (&) 4m, і = 1,2. Применяя еще раз теорему Лагранжа, получим, что найдется , і & такая, что ї/"(01 — 16m/3. Таким образом, Рога0- 16m/3, то есть m (Зро/Іб)1 . Из (2.21) следует, что у" 0, значит, у(х) принимает минимальное значение при х = 1 либо при х = — 1. Не нарушая общности, можно считать 2/(1) = mo- Заметим, что если то \ (- f) х а, то утверждение теоремы следует с С = \ (1) х а - Итак, пусть то 2\1б) Применяя к у (х) теорему Лагранжа и используя неравенство m (Зро/Іб)1 , получим, что в некоторой точке 3 Є (-1 1) 4t \ (т-тпр) 1 Ґ3р0\т у(6) — -ї[и) Так как у (х) убывающая функция, то х 1. Интегируя это неравенство, получаем у(х) т0--(- \ (х-1). В частности, О »(2) г/(1) то - I ( У ,(» «. () . Теорема доказана. Замечание. Из этой теоремы следует, что если у(х) - решение уравнения (2.22) на [а, 6], причем Р(х) ро = const О, а 0, то каковы бы ни были аі, Ьі(а а\ Ь\ Ь), найдется С = const, зависящая от а, Ь, а\, Ъ\, ро, о, такая, что у(х) С на [аі,Ьі]. Следствие 2.1.Если у(х) - решение уравнения (2.22) прих 1, Р(х) Сха, С = const 0, тогда существуют х\, С\, такие, что у(х)
Об уравнении
Такое уравнение исследовалось, например, в работах [1],[10]. У него существует решение, такое, что все такие решения описываются формулой у{х) = Ск(х + Т)\ где Л = уз, С "1 = —Л(Л — 1)(Л — 2), Т - постоянная, зависящая от 2/(ж). Имеются разные доказательства этого факта и попытки обобщить на случай уравнений более высокого порядка. Сейчас будет проведено доказательство, основанное на сведении уравнения третьего порядка к уравнению второго порядка и на исследовании последнего. Итак, пусть у(х) - кнезеровское решение уравнения у" + ук = 0. (2.29) Положим у = р(у). Тогда у" = рр и уравнение (2.29) приводится к виду pV+p 2P + 2/fc = 05 (2.30) где Итр{у) = 0, р(у) 0. У-УО Уравнение (2.30) можно переписать в виде: Пусть р2 = z. Тогда И z о, (0) = 0, г (О) = 2р(0У (0) = 0. Выше было доказано, что такое решение единственное. Его можно найти в явном виде z = СіУі- Таким образом, Лі — 2 = к — , Лі= 2(&+2)/3, Такие решения существуют (в частности, решение вида у = Схх при соответствующем выборе С и Л). После замены переменных р2 = z получим, как и выше, [1] Асташова И.В. Об асимптотическом поведении решений некоторых нелинейных дифференциальных уравнений // Доклады расширенных заседаний семинара ИПМ им. И.Н.Векуа. - Тбилиси- 1985. - Т.1, N3. - С. 9-11. [2] Асташова И.В. Об асимптотическом поведении решений некоторых нелинейных дифференциальных уравнений // УМН. - 1985 - Т.40, вып.5(245). - С. 197 [3] Беклемишева Л.А. Об одном нелинейном дифференциальном уравнении второго порядка // Мат. сб. - 1962. - Т. 56, N2. - С. 207-236. [4] Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. - Москва: Издательство иностранной литературы, 1954. [5] Брюно А.Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. - Москва: Наука, 1979. - 252 с. [6] Брюно А.Д. Степенная геометрия в алгебраических и дифференциальных уравнениях. - Москва: Наука, 1998. - 288 с. [7] Евтухов В.М. Об условиях неколеблемости одного нелинейного дифференциального уравнения второго порядка // Математические заметки. - 2000-Т. 64, N2. - С. 201-210. [8] Изобов Н.А. Об уравнениях Эмдена-Фаулера с неограниченными бесконечно продолжимыми решениями // Математические заметки. -1984. - Т. 35, N2. - С. 189-198. [9] Изюмова Д.В. Об условиях колеблемости и неколеблемости решений нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка // Дифференциальные уравнения. - 1966. - Т. 11, N12. - С. 572-586. [10] Кигурадзе И.Т., Чантурия Т.А.
Асимптотические свойства решений неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений. -Москва: Наука, 1990. - 432 с. [11] Кондратьев В.А., уравнения у" = р(х)ук // Некоторые вопросы качественной теории дифференциальных уравнений и теории управления движением. - Саранск. - 1980. - С. 134-141. [12] Кондратьев В.А., Самовол B.C. О некоторых асимптотических свойствах решений уравнений типа Эмдена-Фаулера // Дифференциальные уравнения. - 1981. - Т. 17, N4. - С. 749-750. [13] Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения. -Москва: ИЛ, 1954. [14] Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — Москва: Мир, 1970. [15] Aris R. The mathematical theory of diffusion and reaction in permeable catalysts. - Oxford: Claredon press, 1975. - 444 p. [16] Atkinson F.V. On second-order non-linear oscillations // Pacif.J. Math. - 1955. - V. 5, N1. - P. 643-647. [17] Caratheodory C. Vorlesungen uber Funktionen. - Leipzig-Berlin: Teubner, 1918. [18] Emden R. Gaskugeln, Anwendungen der mechanischen Warmtheorie auf Kosmologie und meteorologische Probleme. - Leipzig-Berlin: Teubner, 1907. - 497 p. [19] Fowler R.H. Further studies of Emden s and similar differential equations // Quart. Journ. Math. - 1931. - V. 2, N2. - P. 259-288. [20] Kozlov V.A. On Kneser solutions of higher order ordinary differential equations. // Department of Mathematiics, University of Linkoping, s-581 83 Linkoping, Sweden, 1997. [21] Nehari Z. On a class of nonlinear second-order differential equations II Trans. Amer. Math. Soc. - 1960. - V. 95, N1. - P. 101-123. [22] Sansone G. Sulle soluzioni di Emden della equazione di Fowler, Rend. Sem. Mat. di Roma. - 1940. - ser.5 - 163-176. [23] Wong J.S.W. Some stability conditions for x" + a{t)f(x) =0// SIAM J. Appl. Math. - 1967. - V. 15, N4. - P. 889-892. 103 [24] Wong J.S.W. On the generalized Emden-Fowler equation // SIAM Rev. - 1975. - V. 17, N2. - P. 339-360.
