Введение к работе
Актуальность темы. Данная работа посвящена исследованию скорости убывания решений анизотропных параболических уравнений высокого порядка с двойной нелинейностью в неограниченных областях при больших значениях времени. Изучению поведения на бесконечности решений задачи Коши и смешанных задач для эволюционных линейных и нелинейных уравнений (систем) посвящено большое число работ. Эта проблема ввиду многообразия качественных свойств эволюционных систем имеет различные аспекты. В настоящей работе исследуется стабилизация решений первой смешанной задачи в цилиндрической области D = {t > 0} х Q в зависимости от параметров нелинейностей анизотропного уравнения и геометрии неограниченной области Г2, лежащей в основании цилиндра.
Изучение скорости убывания решений смешанных задач для параболических уравнений при больших значениях времени в случае неограниченных областей, когда начальная функция ограничена в одной из Lp - норм, было начато А.К. Гущиным1, который получил точные оценки решений второй смешанной задачи для линейного уравнения второго порядка в широком классе неограниченных областей.
Вопросы поведения решений смешанных задач для линейных и квазилинейных параболических уравнений второго и высокого порядков при t —> оо рассматривались в работах А.В. Лежнева, В.И. Ушакова, Ф.Х. Мукминова, А.Ф. Тедеева, Л.М. Кожевниковой, И.М. Биккулова, В.Ф. Гилимшиной, Р.Х. Каримова и др. Далее, кратко приведем результаты для квазилинейных уравнений.
А.Ф. Тедеев2 установил оценку сверху Ь2-нормы решения первой смешанной задачи для квазилинейного параболического уравнения высокого порядка в дивергентной форме. Ранее, аналогичный результат для линейного параболического уравнения высокого порядка был получен Ф.Х. Мукминовым3.
N. Alikakos, R. Rostamian4 установили оценки сверху и снизу реше-
1 Гущин А.К. Стабилизация решений второй краевой задачи для параболического уравнения
второго порядка // Матем. сб. - 1976. - Т. 101(143). - №4(12). - С. 459-499.
2Тедеев А.Ф. Стабилизация решений первой смешанной задачи для квазилинейного параболического уравнения высокого порядка // Дифференц. уравнения. - 1989. - Т. 25, - №3. - С. 491-498.
3Мукминов Ф.Х. Об убывании нормы решения смешанной задачи для параболического уравнения высокого порядка // Дифференц. уравнения. - 1987. - Т. 23, - №10. - С. 1172-1180.
4Alikakos N., Rostamian R. Gradient estimates for degenerate diffusion equation. II // Proc. Roy.
ния и его градиента задачи Коши для модельного квазилинейного параболического уравнения второго порядка. Характер этих оценок существенным образом зависит от показателя нелинейности. А.Ф. Тедеевым5 выведены не зависящие от геометрии неограниченной области оценки решений первой смешанной задачи для частного случая изотропного квазилинейного параболического уравнения высокого порядка.
Л.М. Кожевниковой, Ф.Х. Мукминовым6 в широком классе областей с некомпактными границами установлены оценки сверху решения первой смешанной задачи для слабо нелинейных систем второго порядка и доказана их точность. Р.Х. Каримовым, Л.М. Кожевниковой7 для решения квазилинейного изотропного параболического уравнения второго порядка получены оценки сверху и снизу, характеризующие скорость убывания при больших значениях времени.
Локальные оценки решения задачи Коши с растущей начальной функцией для параболического вырождающегося уравнения с анизотропным р-лапласианом и двойной нелинейностью установлены СП. Дегтяревым и А.Ф. Тедеевым8.
Наиболее близкие к рассматриваемой в диссертации тематике результаты получены Ф.Х. Мукминовым, Л.М. Кожевниковой9. Ими исследована скорость стабилизации решения модельного анизотропного уравнения второго порядка без двойной нелинейности. Однако, наличие в уравнении двойной нелинейности приводит к существенным трудностям в обосновании существования и свойств решения рассматриваемой задачи.
Таким образом, случай анизотропных уравнений второго порядка до-
Soc. Edinburgh. - 1981/1982. - V. 91, - №3-4. - P. 335-346.
5Тедеев А.Ф. Стабилизация решений начально-краевых задач для квазилинейных параболических уравнений // Укр. мат. журн. - 1992. - Т. 44, - №10. - С. 1441-1450.
6Кожевникова Л.М., Мукминов Ф.Х. Оценки скорости стабилизации при t —> оо решения первой смешанной задачи для квазилинейной системы параболических уравнений второго порядка //
Матем. сб. - 2000. - Т. 191, - №2. - С. 91-131.
7Каримов Р.Х., Кожевникова Л.М. Стабилизация решений квазилинейных параболических уравнений второго порядка в областях с некомпактными границами // Матем. сб. - 2010. - Т. 201, -
№9. - С. 3-26.
8Дегтярев СП., Тедеев А.Ф. L\ —Loo оценки решения задачи Коши для анизотропного вырождающегося параболического уравнения с двойной нелинейностью и растущими начальными данными // Матем. сб. - 2007. - Т. 198, - №5. - С. 45-66.
9Кожевникова Л.М., Мукминов Ф.Х. Стабилизация решений анизотропного квазилинейного параболического уравнения в неограниченных областях // М.: Наука, Труды МИАН. - Т. 278, - №3. 2012. - С. 114-128.
вольно слабо изучен, а для анизотропных уравнений высокого порядка автору не известны какие-либо значимые результаты. Цель работы:
изучение вопросов существования и гладкости решений первой смешанной задачи в цилиндрических областях D = {t > 0} х Q для анизотропных параболических уравнений высокого порядка с двой-
ной нелинейностью;
исследование зависимости поведения решения задачи при больших значениях времени t от неограниченной области Г2, лежащей в основании цилиндра, и параметров нелинейности.
Научная новизна. Основные научные результаты диссертации являются новыми и получены автором лично.
-
Для некоторого класса анизотропных параболических уравнений высокого порядка с двойной нелинейностью доказано существование сильного глобального решения первой смешанной задачи. Установлена допустимая скорость убывания при t —> оо построенного решения.
-
Получены оценки сверху, характеризующие скорость стабилизации решения рассматриваемой задачи с финитной начальной функцией, и приведены конкретные примеры для областей вращения. Для анизотропных параболических уравнений второго порядка с двойной нелинейностью доказана ограниченность решения первой смешанной задачи с ограниченной начальной функцией и установлены оценки сверху.
Методика исследования. Существование решения рассматриваемой задачи доказывается модифицированным методом галеркинских приближений, который для модельного изотропного параболического уравнения второго порядка с двойной нелинейностью ранее был предложен Ф.Х. Мукминовым, Э.Р. Андрияновой. Оценки снизу устанавливаются путем интегрирования двух дифференциальных неравенств для галеркинских приближений, а затем осуществляется обоснованный предельный переход к решению. Для получения оценок сверху применяется техника Л-последовательности, предложенная Л.М. Кожевниковой для линейных уравнений и адаптированная в диссертации для анизотропных квазилинейных уравнений высокого порядка.
Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации носят теоретический характер и могут применяться в качественной теории параболических уравнений. Разработанные методы могут быть использованы при изучении турбулентной фильтрации газа или жидкости в пористой среде и в теории неньютоновских жидкостей.
Апробация работы. Основные результаты докладывались автором и обсуждались на семинарах по дифференциальным уравнениям математической физики, по вычислительной математике и смежным вопросам Института математики с вычислительным центром Уфимского научного центра РАН, семинаре лаборатории дифференциальных уравнений Института прикладных исследований Академии Наук Республики Башкортостан, семинаре по дифференциальным уравнениям Стерлитамакского филиала Башкирского государственного университета. Результаты диссертации были представлены в ходе выступлений на следующих конференциях: "Комплексный анализ и дифференциальные уравнения" (Уфа, 2011), "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы" (Москва, 2011), "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Стерлитамак, 2011), "Фундаментальная математика и её приложения в естествознании" (Уфа, 2011), "Молодежь. Прогресс. Наука" (Стерлитамак, 2011-2013), "Спектральная теория операторов и ее приложения"(Уфа, 2011), "Математическое моделирование процессов и систем" (Стерлитамак, 2012), "Математическая физика и её приложения" (Самара, 2012), "Дифференциальные уравнения и смежные проблемы" (Стерлитамак, 2013), "Нелинейный анализ и спектральные задачи" (Уфа, 2013), "Дифференциальные уравнения и их приложения" (Белгород, 2013), "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы" (Казань, 2013).
Публикации. Основные результаты автора по теме диссертации опубликованы в 21 работе. Из них 4 статьи опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК. Все основные результаты диссертации принадлежат автору. В работах, выполненных совместно с Л.М. Кожевниковой, автору принадлежат доказательства, Л.М. Кожевниковой - постановки задач и общее руководство.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы, состоящего из 65 наименований. Объем диссертации составляет 95 страниц. Нумерация теорем, лемм, формул и пр. осуществляется отдельно в каждой главе.
Автор выражает самую искреннюю благодарность своему научному руководителю Кожевниковой Ларисе Михайловне за постановку задачи
и помощь в написании диссертации, а также внимание, уделенное при подготовке к сдаче экзаменов кандидатского минимума и многочисленным выступлениям.
