Стабилизация полулинейного параболического уравнения, заданного во внешности ограниченной области, посредством управления с границы Горшков Алексей Вячеславович

Степенная стабилизация уравнения теплопроводности, заданного во внешности отрезка

Основная мотивация заключается в практической значимости задачи стабилизации, которая обусловлена возможностью численной реализации ее решения. В первую очередь это связано с использованием в этих задачах управления с обратной связью, делающего процесс стабилизации устойчивым по отношению к разного рода возмущениям системы. Основные подходы к решению задачи точной нуль-управляемости, упоминаемые выше, дают в качестве решения управление, которое воздействует на систему по заранее определенному закону и = u(t, Уо{ ), Т). Такого рода управление называют еще программным управлением. Недостатком программного управления является его неустойчивость по отношению к возмущениям системы, и поэтому его весьма затруднительно реализовать на практике.

Исследованием задачи стабилизации решений уравнений в частных производных занимались многие математики. Здесь мы отметим работы И. Лазиешки, Р. Триджиани ([46] - [48], [59]) в которых для параболических и гиперболических систем в ограниченных областях было установлено существование управления с обратной связью, стабилизирующего решение к нулю с экспоненциальной скоростью вида для малых по норме начальных условий уо(-).

В работах А.В. Фурсикова ([23], [24], [40]) исследовалась задача локальной стабилизации решений около стационарного состояния у(-) для квазилинейного параболического уравнения и системы Навье-Стокса, заданных в ограниченной области, с использованием управления с обратной связью. Она заключалась в поиске граничного управления такого, при котором решение y(t, ) стремилось к заданному стационарному состоянию у(-) с экспоненциальной скоростью:

Реализация обратной связи в управлении отчетливо видна в задаче стабилизации решений уравнения Навье-Стокса в ограниченных областях, рассмотренной в работах А.В. Фурсикова [24], [40]. Задача стабилизации сводилась к одной краевой задаче для системы Навье-Стокса в некоторой большей области. Для последней строилось устойчивое инвариантное многообразие М_ такое, что решение y(t, ) под действием фазового потока {5 }« о стремилось к стационарному решению #() с экспоненциальной скоростью. Однако, при численной реализации задачи неизбежно возникающие флюктуации не позволяли решению y(t, ) оказаться в точности на многообразии М_. При наложении ограничений малости возможных флюктуации в работе была построена конструкция управления с обратной связью, обеспечивающего контроль за текущим состоянием y(t, ), лежащим в окрестности М_.

Однако, как и в случае точной управляемости, неограниченная область привносит свои особенности в исследуемую задачу. В диссертации доказано, что в неограниченной области невозможна не только точная нуль-управляемость, но и экспоненциальная стабилизация вида (5), (6). Этот факт мотивирует исследование степенной стабилизации (4), когда рассматриваемая область становится неограниченной.

Изучение задачи стабилизации в диссертации основывается на исследованиях свойств решений полулинейного уравнения (1) в пространстве Rd. Здесь мы отметим работы В.А. Галактионова, СП. Курдюмова, А.А. Самарского [9]-[12], К. Уэйна, Дж. Экмана, Т. Галлай ([37], [44], [60]), Дж. Бричмонта, А. Купанина [34].

В совместной работе В.А. Галактионова, СП. Курдюмова, А.А. Самарского [9] были построены так называемые автомодельные решения для уравнения (1) и соответствующие множества притяжения, которые под действием фазового потока {5 }г о сходились к этим автомодельным решениям в пространствах C(Rd) и (Mf1) со степенной скоростью.

Основной трудностью, создаваемой неограниченной областью Rd при исследовании стабилизации уравнений вида (1) является тот факт, что спектр оператора Лапласа Д является непрерывным, а не дискретным, в отличие от случая ограниченной области. В работах К. Уэйна, Дж. Экмана [37], [60] представлено специальное пространственно-временное преобразование, сводящее уравнение (1) к уравнению, которое обладает более удобной спектральной структурой в пространствах Соболева с весом. Посредством такого преобразования становилось возможным отделить дискретную часть спектра от непрерывной, и на основе полученного спектра построить инвариантные многообразия как линейной, так и нелинейной задач. Это позволило построить достаточно точные асимптотики для решений уравнения (1).

Пример отсутствия экспоненциальной стабилизации уравнения теплопроводности, заданного во внешности отрезка

После этого докажем существование решения z(r, ) задачи Коши на интервале т Є [О, Т]. Решая новую задачу Коши на интервале 71\ с начальным условием z(T — є, ), полученным на предыдущем этапе, мы получаем продолжение решения на следующий отрезок П\. Итеративно продолжая этот процесс на последующие отрезки 7г-, мы получим искомое решение задачи Коши. В виду наложенности отрезков Л{ полученная функция (т, ) будет решением задачи Коши на всей временной оси R+.

Существование решения z(r, ) на отрезке [0,Т] выводится из теоремы о неявной функции. Для применимости этой теоремы мы введем следующие пространства, в которых будем рассматривать задачу Коши.

Пусть Т - некоторый фиксированный момент времени. Определим пространство Лемма 3.5 Пусть заданы целые г : г 7? тп 0. Отображение F(z) = 7_1z : L2(H l) -»1/2() является отображением класса С2, т.е. дважды непрерывно дифференцируемо на пространстве 1,2 (-) Доказательство: Покажем, что F отображает Z,2(#m) в - 2(-). При г из теоремы вложения Соболева следует неравенство P(r»0llco(R ) СіРО ОНя н ) с некоторой константой Сі 0. По-этому, справедливы следующие оценки (с положительными константами Си С2): Аналогично, можно показать, что производная F (z) = 7І І7_1 в точ ке z также отображает L2(H l) в L2(H n). Из условия (3.4) на 7 непосредственно вытекает, что 7 2. Это в свою очередь влечет существование непрерывной второй производной F" у функции F. Уравнению (3.9) сопоставим следующее уравнение в вариациях с некоторым начальным условием Введем оператор Q : L2(H (Rd)) х H (Rd) - L2(H (Rd)), Q(h, zQ) = Z(T, ), сопоставляющий начальному условию ZQ И правой части h решение уравнения в вариациях (3.25). г Определим норму на пространстве Ьг(Я ) х Нтт стандартным образом: ll(Mo)li№)xtf;, = \\h\\l2(Hrm) + \Ы\н Лемма 3.6 Для любых целых г : % r j, т %, hG Z/2(#m)5 zo Є Нгт существует и единственно решение z Є L2(HJn) задачи Коши (3.25), (3.26), и соответствующий разрешающий оператор Q : L2{H1lm) х Егт — Z/2(#j), Q(h,z0) = z ограничен. Доказательство: Представим оператор Q(h, ZQ) В виде: Непрерывность первого слагаемого в (3.27) вытекает из следствия 3.3: Докажем непрерывность второго слагаемого. Справедливы следующие оценки: с некоторой константой Сз 0. Отсюда получаем, что с некоторой константой С4 = С±(Т) 0 выполнена оценка Лемма 3.7 Для любых целых г : r ,m u любого начального условия ZQ Є Н ІМ ) из некоторой окрестности нуля VQ существует единственное решение (т, ) Є Ьг(Я ) задачи (3.9), (3.10), непрерывно зависящее от начального условия ZQ. Причем, отображение S : ZQ —У Z является отображением класса С2. Более того, справедливо следующее соотношение S {0)z0 = Q(0,z0). Доказательство: В обозначениях предыдущей леммы уравнение (3.9) эквивалентно следующему: z = Q(0, z0) + QW -1 , 0). (3.28) Введем оператор Ф(, ZQ) : {Н) х Кгт — Ьг(Я ) как Ф(І, ) = Q(o, го) + QiVA1 1 о) - І. Тогда, уравнение (3.28) эквивалентно уравнению Ф(5, о) = 0. (3.29) Очевидно, что Ф(0,0) = 0. Более того, Ф(, ZQ) является отображением класса С2. Действительно, отображение Q(0, ZQ) линейно и непрерывно по ZQ в силу леммы 3.6. Из лемм 3.5, 3.6 следует, что отображение Q(27-12,0) является отображением класса С2 а следовательно и Ф(5, ZQ) является отображением класса С2. Далее, дифференциал Ф(0,0) совпадает с оператором —/, а следовательно обратим. По теореме о неявной функции уравнение (3.29) имеет единственное решение в некоторой достаточно малой окрестности нуля VQ В топологии пространства Ьг(Я ) х Я , и отображение S : ZQ — 5, сопоставляющее начальному условию ZQ решение , является отображением класса С2. Тогда, согласно правилу дифференцирования неявной функции дифференциал S (0)zo удовлетворяет уравнению в вариациях (3.25) с h = О, т.е. S (0)z0 = Q(0, z0).

Доказательство теоремы о стабилизации параболического уравнения

Итак, мы построили инвариантное многообразие Mi такое, что решение нелинейной задачи Коши с начальным условием, лежащим на этом многообразии стабилизируется к нулю с экспоненциальной скоростью e ST в т-представлении, или, возвращаясь к исходным переменным (x,t), как . Для доказательства теоремы 3.1 мы построим оператор продолжения начальных данных, определенных на Q, на пространство Kd таким образом, чтобы продолженное решение лежало на инвариантном многообразии.

Теорема 3.7 Пусть г, т и s те же, как в теореме 3.6. Тогда, существует оператор Rs, продолжающий функции из Q, в M.d, который непрерывно отображает некоторую достаточно малую окрестность нуля V0 С Hrm(Q) в Mi С H {Rd): Доказательство: Рассмотрим непрерывный оператор продолжения который существует вследствие гладкости границы д1 (см, например, [21]). Оператор Rs будем искать в следующем виде: (х) = Gy0(x) + x(z) J]! Са (3,37) где п такое же, как и в теореме 3.6, х{х) произвольная неотрицательная функция класса С {В) с носителем ненулевой меры, {ca}Q n - неизвестные Коэффициенты, КОТОрые будут Определены НИЖЄ, {фа}\а\ п ФуНК ции Эрмита. Обозначим ZQ{X) = Rsyo(x). Включение ZQ Є ML эквивалентно следующему уравнению: Р = р_(Р о). (3.38) Базисом конечномерного подпространства Е+ являются функции Эрмита {фа}\а\ т поэтому справедливо следующее представление: 9-U) = VW7«(/). (3.39) a 7i Из (3.38), (3.39) получаем уравнение: \а\ п а п В силу линейной независимости функций фа() из предыдущего равенства получаем систему уравнений: Введем обозначенияВ векторной форме система (3.40) после подстановки ZQ = Rsyo(x), определенного в (3.37), записывается в следующем виде: Размерность е системы (3.41) определяется количеством мультиин-дексов а, для которых а п. Докажем положительную определенность матрицы А. Напомним, что Ра определяются как Ра = е 4 фа(). Тогда, для произвольного вектора rj = {?7Q}Q n Є Ме будем иметь: причем, в виду линейной независимости функций Эрмита, равенство нулю достигается только в случае нулевого вектора г). Следовательно определена обратная матрица Л-1. Введем оператор Н : Ше —» Re с помощью соотношения: сводящего нашу систему к уравнению Н(с) = с. В силу теоремы о среднем, с учетом непрерывности производной с? в окрестности нуля и условия f (0) = 0, отображение Н является сжимающим при малых eRd, ciR«i, c2R f, Поэтому из принципа сжимающих отображений следует разрешимость уравнения (3.41), а следовательно и существование оператора Rs, продолжающего начальные функции уо(х) на инвариантное многообразие ML. Из непрерывности оператора G и непрерывной зависимости коэффициентов {са}а п от функции уо следует непрерывность оператора R3. Ш

Доказательство теоремы 3.1. Зададимся произвольным к . Положим s = к — —j + . Пусть z(t,x) - решение задачи Коши (3.6), (3.7) с начальным условием Zo(-) = Rsyo{ ), лежащим на инвариантном многообразии ML В силу того, что весовая функция (1 + 2) при замене (3.8) стремится к 1 при t — оо, то для решения z(t, х) при каждом t дальнейшие оценки мы будем проводить в пространстве Hr(M.d).

Существование и единственность решения нелинейной задачи Коши. Полугруппа ST

Классы исследуемых уравнений постоянно расширялись, начиная от конкретных линейных параболических и гиперболических уравнений до абстрактных систем. Значительный прогресс здесь был достигнут благодаря работам Д. Рассела, Г. Фатторини ([38], [39], [53], [54]), Л. Лазиешки, Р. Триджиани ([49]-[51], [58]), Т. Сеидмана [56], В. Литтмана [52] и многих других. Обзор результатов по точной управляемости, полученных к 70-м годам, приведен в работе Д. Рассела [53].

В 90-е годы А.В. Фурсиковым и О.Ю. Эмануиловым был предложен метод карлемановских оценок, позволивший исследовать задачу локальной управляемости для нелинейных параболических уравнений и системы Навье-Стокса ([26]-[29], [31]-[33], [41]-[43], [45]). В работе И. Лазиешки и Р. Триджиани [49] с помощью карлемановских оценок была доказана управляемость гиперболических систем.

Общим для всех вышеприведенных работ явился тот факт, что область определения рассматриваемых дифференциальных уравнений была ограниченной. Однако, уже в простейшем случае уравнения теплопроводности, заданного на полупространстве Q = R+ х Rd_1, начальное состояние г/о( ) Ф 0 ни при каком управлении с границы перевести в нулевое финальное у(Т, ) = 0 невозможно ни за какое конечное время Т ни при каком управлении с границы u(t, х ). Этот факт следует из свойства обратной единственности решения уравнения теплопроводности на полупространстве, установленного в работе Г. Серегина, В. Сверака [57].

Отсутствие точной нуль-управляемости в неограниченных областях является одной из мотиваций к исследованию задачи стабилизации, но не главной. И в ограниченных областях задача стабилизации также представляет собой отдельный самостоятельный интерес.

Основная мотивация заключается в практической значимости задачи стабилизации, которая обусловлена возможностью численной реализации ее решения. В первую очередь это связано с использованием в этих задачах управления с обратной связью, делающего процесс стабилизации устойчивым по отношению к разного рода возмущениям системы. Основные подходы к решению задачи точной нуль-управляемости, упоминаемые выше, дают в качестве решения управление, которое воздействует на систему по заранее определенному закону и = u(t, Уо{ ), Т). Такого рода управление называют еще программным управлением. Недостатком программного управления является его неустойчивость по отношению к возмущениям системы, и поэтому его весьма затруднительно реализовать на практике.

Исследованием задачи стабилизации решений уравнений в частных производных занимались многие математики. Здесь мы отметим работы И. Лазиешки, Р. Триджиани ([46] - [48], [59]) в которых для параболических и гиперболических систем в ограниченных областях было установлено существование управления с обратной связью, стабилизирующего решение к нулю с экспоненциальной скоростью вида для малых по норме начальных условий уо(-).

В работах А.В. Фурсикова ([23], [24], [40]) исследовалась задача локальной стабилизации решений около стационарного состояния у(-) для квазилинейного параболического уравнения и системы Навье-Стокса, заданных в ограниченной области, с использованием управления с обратной связью. Она заключалась в поиске граничного управления такого, при котором решение y(t, ) стремилось к заданному стационарному состоянию у(-) с экспоненциальной скоростью:

Реализация обратной связи в управлении отчетливо видна в задаче стабилизации решений уравнения Навье-Стокса в ограниченных областях, рассмотренной в работах А.В. Фурсикова [24], [40]. Задача стабилизации сводилась к одной краевой задаче для системы Навье-Стокса в некоторой большей области. Для последней строилось устойчивое инвариантное многообразие М_ такое, что решение y(t, ) под действием фазового потока {5 }« о стремилось к стационарному решению #() с экспоненциальной скоростью. Однако, при численной реализации задачи неизбежно возникающие флюктуации не позволяли решению y(t, ) оказаться в точности на многообразии М_. При наложении ограничений малости возможных флюктуации в работе была построена конструкция управления с обратной связью, обеспечивающего контроль за текущим состоянием y(t, ), лежащим в окрестности М_.

Похожие диссертации на Стабилизация полулинейного параболического уравнения, заданного во внешности ограниченной области, посредством управления с границы

Оптимальное управление в задачах с неизвестными границами и подвижными источникамиШумкова Дарья Борисовна

Стабилизация решений стохастических дифференциальных уравнений с частными производными и пуассоновскими возмущениямиПерун, Галина Михайловна

Стабилизация решений анизотропных параболических уравнений с двойной нелинейностью в неограниченных областяхЛеонтьев, Алексей Александрович

Стабилизация решений смешанной задачи для параболических уравнений высокого порядка Биккулов Ильгиз Мидехатович

Стабилизация решения смешанной задачи для двумерной системы уравнений Навье-Стокса в неограниченной области Хисамутдинова Наиля Аслямовна

Стабилизация решений вырождающихся линейных эллиптических и параболических уравненийГилимшина Венера Фидарисовна

Численная стабилизация неустойчивых решений уравнений Навье-Стокса с границы областиИванчиков Андрей Александрович

Устойчивость и стабилизация неголономных систем, уравнения движения которых представлены в квазикоординатахЛебедев Дмитрий Анатольевич

О локализации и стабилизации решений задачи Коши для дифференциальных уравнений в классах обобщенных функций Городецкий Василий Васильевич

Многоэлементные уравнения для функций, голоморфных во внешности круговых многоугольников, и их приложенияБелко Туре