Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Оптимальное управление системами с распределенными параметрами (состояние и анализ проблемы) ,.7
1.1. Основные сведения теории минимизации функционалов и исследования систем с распределенными параметрами 7
1.2 Вопросы разрешимости задач оптимального управления распределенными системами 16
1.3 Системы оптимальности для задач оптимального управления распределенными системами 31
Краткие выводы и задачи исследования 39
Глава 2. Оптимальное управление в задачах, описываемых уравнениями Навье-Стокса, с неизвестными границами и вариационные задачи с подвижными источниками „ 40
2.1 Постановка и разрешимость вариационных задач, описываемых уравнениями Навье-Стокса, с неизвестными границами 40
2.2 Необходимые условия разрешимости задачи оптимального управления Стокса с неизвестной границей , , 62
2.3 Разрешимость и система оптимальности в вариационных задачах с подвижными тепловыми источниками 67
2.4 Задача об оптимальном управлении скоростью подвижного теплового источника 77
Краткие выводы 78
Глава 3. Численное исследование задач оптимального управления с неизвестными границами и подвижными источниками 79
3.1 Методы отыскания неизвестных границ в задачах, описывающих течение идеальных жидкостей 79
3.2 Численное исследование течений вязких жидкостей со свободной поверхностью, описываемых уравнениями Стокса 90
3.3 Решение задачи оптимального управления потоком тепла от подвижного источника 100
3.4 Решение задачи оптимального управления скоростью подвижного теплового источника 104
Краткие выводы 106
Заключение 106
Библиографический список
- Вопросы разрешимости задач оптимального управления распределенными системами
- Системы оптимальности для задач оптимального управления распределенными системами
- Необходимые условия разрешимости задачи оптимального управления Стокса с неизвестной границей
- Решение задачи оптимального управления потоком тепла от подвижного источника
Введение к работе
Общая теория оптимального управления распределенными системами, т.е. системами, которые описываются с помощью краевых задач для уравнений с частными производными, изучается на протяжении многих лет, однако эта теория имеет достаточно абстрактный характер и ее применение к конкретным задачам далеко не всегда тривиально. Кроме этого, оно требует достаточной степени изученности управляемой системы, что сильно усложняет поставленную задачу оптимального управления. Эта тематика не теряет своей актуальности из-за разнообразия распределенных систем, описывающих процессы самых различных областей физики, механики, экономики. Теория оптимального управления гидродинамическими системами, в том числе и системами, описывающими течение вязких жидкостей, а также процессы тепломассопереноса, представляет интерес, связанный со спецификой краевых задач, описывающих эти физические явления. В этом смысле на первый план выступают вопросы разрешимости задач оптимального управления, а также получение систем оптимальности. Оптимальное управление в задачах с подвижными тепловыми источниками, а также в задачах, связанных с определением форм неизвестных границ, представляет не только теоретический, но и практический интерес, поскольку преобладающее большинство подобных задач непосредственно связано с процессами производства.
Теория оптимального управления распределенными системами интенсивно изучается на протяжении нескольких десятков лет. Термин "управление" был введен Л.С.Понтрягиным и его учениками [2] для задач, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями. Такие задачи долгое время составляли большую часть исследований в теории оптимального управления. Периоду строгих математических исследований в теории оптимального управления распределенными системами предшествовало изучение прикладных задач оптимального управления [14,26]. Одной из первых книг по математической теории оптимального управления распределенными системами была книга Ж.-Л. Лионса [33].
В настоящее время все больше исследуются задачи оптимального управления, использующие функциональные уравнения [3-8,15,22-24,57,59 60,62-67,74-75], в том числе дифференциальные уравнения с частными производными. Кроме того, теория оптимального управления системами, которые описываются функциональными уравнениями, сопровождается более систематическим использованием понятий и методов функционального анализа. В настоящее время при решении задач оптимального управления в основном пользуются общими методами абстрактного функционального анализа, теории выпуклого и вариационного анализа, теории дифференциальных уравнений в частных производных, численных методов.
Приведем краткое содержание диссертационной работы. В первой главе рассмотрены основные вопросы, касающиеся постановок и разрешимости задач оптимального управления распределенными системами в общем виде, приведена классификация, связанная с различными видами целевых функций и типов управлений, приведены соответствующие определения, утверждения и теоремы, касающиеся разрешимости и единственности. Во второй главе получены условия разрешимости и системы оптимальности для распределенных систем с компромиссным управлением, построено обобщенное решение и получены условия разрешимости в задачах с жестким управлением. Так, исследованы некоторые задачи гидродинамики со свободными границами, сводящиеся к задачам оптимального управления. Для нахождения неизвестной области и состояния системы в этой области поставленная задача сводится к задаче оптимального управления областью, которая, в свою очередь, сводится к задаче граничного или распределенного управления (управление является жестким) в уже известной области, но на абстрактном и малоизученном классе функций. Трудность поставленной задачи состоит и в том, что целевая функция полученной задачи граничного управления зависит от границы неизвестной области. В работе доказано существование оптимального управления в достаточно широком классе областей с ограниченным периметром, при котором на свободной поверхности выполняются некоторые условия. Получены необходимые условия задачи минимизации целевого функционала. Кроме того, доказана разрешимость и получена оптимизационная система для задачи оптимального управления, описываемой уравнением параболического типа с подвижным тепловым источником. Задача сведена к линейной относительно функции управления задаче с распределенным управлением и распределенным наблюдением с компромиссной целевой функцией.
В третьей главе построены алгоритмы отыскания управлений, доставляющих минимум функционалам, численная реализация задач, исследуемых во второй главе.
В заключении сформулированы следующие основные результаты диссертационной работы.
На защиту выносятся:
1) Новые условия разрешимости краевых вариационных задач со
свободными границами с жестким управлением и соответствующие
необходимые условия;
2) условия разрешимости и система оптимальности в сильной форме для задачи ОУ с подвижным тепловым источником;
3) решение задач оптимального управления с неизвестными границами, описываемых уравнениями Навье-Стокса, сравнение полученных результатов с известными;
4) решение оптимизационной системы задачи с подвижным тепловым источником, реализация метода градиентного спуска минимизации функционала.
Вопросы разрешимости задач оптимального управления распределенными системами
Классификация задач оптимального управления и целевых функций Общая схема задач оптимального управления распределенными системами состоит в следующем [64]. Задано уравнение состояния F(ytu) = 0 (1.2.1) здесь F:YxU- V — оператор с частными производными или интегро-дифференциальный оператор, он может быть как линейным, так и нелинейным, стационарным или нестационарным. К уравнению (1.2.1) необходимо добавить граничные условия и, если F — эволюционный оператор, начальные. Переменная и є V есть переменная управления, она может быть распределенной по области, в которой происходит процесс, может быть граничной, точечной и т.п. В классической теории управления распределенными системами принимается весьма общее предположение: для заданного в подходящем множестве U управления уравнение (1.2.1) имеет единственное решение из определенного класса функций. Через у = у{и) обозначается решение уравнения (1.2.1). Это есть состояние системы.
Определив состояние системы, в рассмотрение вводится функционал, который каждому и из множества управлений ставит в соответствие число 1(и). Часто функционал имеет вид I(u) = a(y(u))+fi{u), (1.2.2) причем, в большинстве случаев функционал Р{и) есть функция нормы управления. Задача управления состоит в нахождении іпі7(н) на множестве U или его подмножестве Ud.
Однако такой подход не позволяет рассматривать ситуации, когда уравнение (1.2.1) либо имеет решения не для всех ueUd, либо имеет не единственное решение, поскольку отображение у = у(и) не задано. В этом случае [15,25] рассматривается множество пар (у,и), удовлетворяющих условиям ueUd, уєї, (1.2.3) F(y,a) = 0. (1-2-4)
Всякая пара, которая удовлетворяет (1.2.3), (1.2.4) называется допустимой парой управленії е-состояние. После определения множества допустимых пар управление-состояние несущественно, имеет ли (1.2.1) единственное решение и для всякого ли и (1.2.1) разрешимо. Необходимо только следить за тем, чтобы множество допустимых пар управление-состояние было непусто. Определим функционал 1(у,и)-а(у) + Р(и), и задача оптимального управления будет состоять в нахождении inf 1(у,и) на множестве допустимых пар управление-состояние.
Таким образом, задачу оптимального управления можно сформулировать следующим образом. /ОмО-Mnf, (1.2.5) F{y,u) = 0, иєІІе, С1-2-6) где Y, U, V- банаховы пространства, I:YxU- R, F:YxU- V, UB — выпуклое подмножество пространства U, содержащее более одной точки. Как сказано выше, определим множество допустимых пар управление-состояние следующим образом: H={(y,u)eYxUd:F(y,u) = O.I(y,u)«x }. Тогда (j),w)eN — оптимальная пара, решение задачи (1.2.5), (1.2.6), если І(у,гі)= inf CM (y,w)eN
Основной целью теории оптимального управления является исследование вопроса о существовании оптимального управления, доставляющего минимум целевому функционалу /, и получение необходимых и, если это возможно, достаточных условий оптимальности управления.
Среди достаточных условий существования оптимального управления основными являются [64] условия нетривиальности, коэрцитивиости, компактности (теорема 1.1). Условие петри ви ал ьн ости состоит в предположении, что множество N непусто. Условие коэрцитивиости требует ограниченности множества {(у,и)еЫ :I(y,u) R} в пространстве YxU для любого R. Условие компактности предполагает компактность любого ограниченного подмножества в N. Кроме этого функционал 1(у,и) предполагают ограниченным снизу и полунепрерывным снизу на YxUd.
Задачи оптимального управления классифицируются по нескольким признакам. Выделяют 3 основных вида задач оптимального управления: задачи с распределённым, стартовым или граничным управлением. Если функция управления присутствует в уравнении, определяющем состояние системы, то такая задача называется задачей с распределённым управлением. Если функция управления вводится как граничное условие, то говорят о задаче с граничным управлением. Если в качестве управления рассматривается начальное состояние системы, то задача называется задачей со стартовым управлением.
В зависимости от вида целевого функционала выделяют два основных типа задач оптимального управления: задачи с компромиссным и жёстким управлением. Задачами с компромиссным управлением называются такие задачи, в которых целевая функция явно зависит от функции управления и (например, l{u)=]l(y(t,x)-yc/(t,x)) dxdt + a\u{t,xj\ -»inf, (а 0)) и с жестким управлением в противном случае (/(») = \ \{y{t,x)-y (t,x)) еЬкй-»inf, (a = 0)).
В качестве основных наблюдений рассматриваются распределённое, граничное и финальное наблюдение. Задача называется задачей с распределённым наблюдением, если целевая функция строится как интеграл по всей области Q.T и зависит от y(t,x). В задачах с граничным наблюдением интегрирование в целевой функции ведётся по границе рассматриваемой области. Наблюдение финальное в случае, если целевая функция представляет собой интеграл от функции, зависящей от состояния системы у(т, х).
Таким образом, задачи оптимального управления представляют собой комбинации различных видов управления и наблюдения. Каждая конкретная прикладная задача обуславливает вид целевой функции, функции управления, начальные и граничные условия. Тем самым получается определённый вид задачи оптимального управления.
Разрешимость задач с компромиссным управлением Рассмотрим задачи оптимизации, для которых целевой функционал явно зависит от управления. Изучим случай распределенного управления и распределенного наблюдения. Предположим, что система описывается эволюционным уравнением (1.1.3) с начальным и граничным условиями (1.1.5) и (1.1.7). Требуется найти такое управление u(t,x), чтобы состояние системы y(t,x) было близко к заданному элементу yd(t,x) при условии малости параметра а (цены управления).
Системы оптимальности для задач оптимального управления распределенными системами
Набор соотношений, описывающих необходимые условия для задачи (1.2.5) вместе с ограничениями (1.2.6) исходной задачи называют системой оптимальности [64]. В случае линейных задач оптимального управления с выпуклым функционалом стоимости система оптимальности обычно является не только необходимым, но и достаточным условием минимума экстремальной задачи. К настоящему времени в теории оптимального управления распределенными системами разработано много методов вывода системы оптимальности, к ним можно отнести принцип максимума Понтрягина, принцип Беллмана, принцип Лагранжа. Поскольку достаточные условия оптимальности можно получить лишь для очень узкого класса задач [8], то для нахождения оптимального управления используются, в основном, изложенные в [1,10,21,60,62-67,74,75].
В [14,33] для вывода систем оптимальности используются различные варианты принципа Лагранжа. Впервые этот принцип сформулировал Ж.Л. Лаграиж [2]. Весьма существенный шаг в обосновании этого принципа сделал Люстерник [13]. Обоснованию и развитию принципа Лагранжа посвящены также работы В.М. Алексеева, В.М. Тихомирова, СВ. Фомина [2].
Современный вариант этого принципа, удобный для применения к широкому классу задач оптимального управления, был доказан А.Д. Иоффе, В.М. Тихомировым [25] и состоит в следующем. Функция Лагранжа задачи (1.2.5), (1.2.6) определяется равенством
L(y,u,A,p) = M(y,u) + (F(y,u),p), ЯєЯ+, peV . Пусть (y,ft)eYxU - решение задачи (1.2.5), (1.2.6), при любом ueUd отображения у - 1(у,и), у - F{y,u) непрерывно дифференцируемы в некоторой окрестности уеО(у) точки у, lmFy(y,u) замкнут и имеет конечную коразмерность в V. Кроме того, пусть при любом у є О(у) функция и - 1(у,и) выпукла, функционал I дифференцируем по Гато по м в точке (у,и), а отображение и - F{y,n) непрерывно и аффинно, т.е. F[y,aux + (l-a)u2) = aF(y,ul) + (\-a)F(y,u2) V«pw2 ell, aeR. Тогда существует пара (Я,р) є (R+ х V" J \ {о} такая, что {Vy(y,u,X,p),h) = 0 УАбГи(Ьв (ЯЙ,Я,/7),и) 0 VueUg-u. Если ]mF [y,u) = V ,то можно считать, что Л = 1.
Получим оптимизационную систему для задачи оптимального управления (1.1.3), (1.1.5), (1.1.7), (1.2.7), решение которой будет использоваться для нахождения оптимального управления щ, Это возможно, поскольку функционал l(u) обладает даже сильной производной. Вычислим производную по Гато функционала (1.2.7) и воспользуемся теоремой 1.2. {I (UQ),v-KQ) = 2\\{Кщ -уй)Му-щ)(Мі + 2а\[и{у-щ)(Ші , on Ofi откуда получаем 0Q 0ї (1.3.1)
Поскольку ограничений на управление нет ({/,=/), то в (1.3.1) имеем равенство. Выразим первое слагаемое в (1.3.1) через вариацию управления v-u0. Для вариации решения y = A(v-u0) выпишем соответствующую (сопряжённую) задачу
После решения оптимизационной системы оптимальное управление определяется из формулы (1.3.12).
Рассмотренную выше задачу можно исследовать с иными видами управлений и наблюдений. Несложно также распространить приведенные выше результаты на двумерный случай.
Отметим, что в случае линейных задач оптимального управления с выпуклым функционалом стоимости система оптимальности обычно является не только необходимым, но и достаточным условием минимума экстремальной задачи. Так, например, в задачах управления линейными эволюционными системами, которые описываются параболическими и обратно параболическими краевыми задачами с распределенным управлением и распределенным наблюдением справедлива следующая теорема [64]: Тсорехча 1.7. [64] Пара (у,й) GYXL2(Q) является решением задачи \ 2 N 2 УоУ = Уо UG&d тГДаи только тогда, когда существует рє Y, такое, что тройка (уЛр) удовлетворяет уравнению состояния и следующим соотношениям: p(t,x) + Ap(t,x) = y(t,x)-w(t,x), (t,x)eQ, УтР О, ГЕ = . jN(u(t,x)- f(t,x)-p(t,x))(u(t,x)-u(t,x))dxdt 0 V« є / . Q Здесь Q = {0;T)xQ, QeR - ограниченная область с гладкой границей SQ, о w,f,y0,cL2(Q), N 0, Y = {y(t,x)eL2(Q;T,H\l))). Состояние и анализ проблемы
К настоящему времени в теории оптимального управления распределенными системами разработано много методов вывода системы оптимальности. Для вывода систем оптимальности, как уже говорилось выше, чаще всего используют различные варианты принципа Лагранжа. Вывод системы оптимальности в случае, когда управляемая система задается задачей Коши для оператора Лапласа для простейших множеств допустимых управлений f/j, предложен Ж.-Л. Лионсом [33]. Системы оптимальности для той же задачи, но для более широкого класса множеств Uj выведены А.В. Фурсиковым [64].
Принцип Лагранжа, приспособленный для вывода систем оптимальности в задачах оптимального управления некорректными системами в случае, когда множество ограничений Uj на управление имеет пустую внутренность в пространстве непрерывных функций, получен А.В. Фурсиковым [62]. Системы оптимальности для задач оптимального управления с корректно поставленными управляемыми системами выведены А.В. Фурсиковым [63] с помощью варианта принципа Лагранжа, который установлен А.Д. Иоффе, В.М. Тихомировым [25] . Система оптимальности для задачи с распределенным управлением, когда управляемая система задается обратным уравнением теплопроводности, а множество ограничений на управление Uj имеет непустую внутренность, получена в работах Ж.-Л. Лионса [34]. Характерный пример множества Uj с пустой внутренностью для той же задачи изучен А.В.
Фурсиковым [64] и О.Ю. Эммануиловым [75]. Основные усилия затрачены здесь на вывод соотношений для построения сопряженной краевой задачи из некоторых интегральных тождеств, полученных при использовании принципа Лагранжа. Система оптимальности для сингулярных задач оптимального управления, когда управляемая система описывается полулинейным эллиптическим или параболическим уравнениями, выведена Ж.-Л. Лионсом [33]. Эти результаты усилены А.В. Фурсиковым [63,65]. Здесь же получены необходимые и достаточные условия минимума в задачах управления линейными эволюционным системами, которые описываются параболическими и обратно параболическими краевыми задачами. Также исследован вывод системы оптимальности для задачи оптимального управления обратным уравнением теплопроводности с граничным управлением.
Необходимые условия разрешимости задачи оптимального управления Стокса с неизвестной границей
Одним из важных этапов при исследовании задач оптимального управления является вывод необходимых условий существования решения задачи оптимизации и получение соответствующей системы оптимальности. Целью данного параграфа является вывод сильной формы системы оптимальности, т.е. системы оптимальности, записанной в форме краевой задачи для сопряженной функции [64].
Для того, чтобы использовать вариационные подходы для вывода необходимых условий задачи минимизации (2.1.31), будем предполагать, что функции jAt ,v,x в целевом функционале зависят от функции управления u(t,x).
В силу того, что рассматриваемые целевые функции не являются выпуклыми (теорема 1.2), для получения необходимых условий разрешимости воспользуемся известным в вариационном исчислении условием равенства нулю первой вариации соответствующего функционала: 57 = 0.
Эволюционные дифференциальные уравнения теплопроводности описывают целый класс явлений теплопроводности. Для того, чтобы выделить конкретно рассматриваемый процесс (процесс оптимального управления) и дать его полное математическое описание, к дифференциальному уравнению необходимо присоединить математическое описание всех частных особенностей рассматриваемого процесса. Эти частные особенности, которые совместно с дифференциальным уравнением дают полное математическое описание конкретного процесса теплопроводности, называются условиями однозначности или краевыми условиями. Условия однозначности включают в себя геометрические условия, характеризующие форму и размеры тела, в котором протекает процесс, условия, характеризующие физические свойства среды и тела, временные (начальные) условия, характеризующие распределение температур в изучаемом теле в начальный момент времени, граничные условия, характеризующие взаимодействие рассматриваемого тела с окружающей средой [51].
Граничные условия могут быть заданы несколькими способами. С помощью граничных условий первого рода задается распределение температуры на поверхности тела для каждого момента времени. Граничные условия второго рода задают значения теплового потока для каждой точки поверхности тела и любого момента времени. Граничными условиями третьего рода задаются температура окружающей среды и закон теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой. Граничное условие третьего рода характеризует закон теплообмена между поверхностью и окружающей средой в процессе охлаждения или нагревания тела. Для описания процесса теплообмена между поверхностью тела и средой используется закон Ньютона-Рихмана. Согласно закону Ньютона-Рихмана количество теплоты, отдаваемое единицей поверхности тела в единицу времени, пропорционально разности температур поверхности тела и окружающей среды. Согласно закону сохранения энергии количество теплоты, которое отводится с единицы поверхности в единицу времени вследствие теплоотдачи, должно равняться количеству теплоты, подводимому к единице поверхности в единицу времени вследствие теплопроводности из внутренних объемов тела, т.е. а(0-0 )=Л—, где а дп коэффициент теплоотдачи, характеризующий интенсивность теплообмена между поверхностью тела и окружающей средой, п - нормаль к поверхности тела [52].
Под функцией управления u{t,z) понимается скорость подвижного теплового источника. Специфика представления и конкретизация оператора F(u,t,z) будет детально рассмотрена в главе 3. В (2.3.1) - (2.3.4) использованы следующие обозначения: Q(t,z)- температура (состояние системы), t - время (/є{0,г)), 2 - пространственная переменная (ZE(0,I), рассматривается одномерная модель), а-коэффициент теплообмена с окружающей средой, X-коэффициент теплопроводности.
Распределенная система (2.3.1)-(2.3.4) дополняется целевым функционалом вида l{u)=]\[e{!,z)-Qd{t,z)fdzdt M, (2.3.6) имеющим смысл близости состояния системы заданной функции 0j(/,z).
Таким образом, задача (2.3.1)-(2.3.4), (2.3.6) является нелинейной задачей оптимального управления по переменной u{t,z) с распределенным управлением, распределенным наблюдением и жестким целевым функционалом. В качестве пространства управлений рассмотрим пространство U = L2({0,T)XQ),B качестве пространства решений: & = Ь2\р,т;Н (Q)J [32].
В силу указанной нелинейности оператора F(u,t,z) вопросы разрешимости, единственности (в случае разрешимости) решения задачи оптимального управления и построение системы оптимальности (в своей сильной форме) не являются тривиальными. Предлагается реализовать подход, заключающийся в разбиении поставленной задачи на два последовательных этапа. На первом этапе реализуется задача оптимального управления тепловым источником, где под новой функцией управления ui(t,z) понимается количество тепла, полученное системой от теплового источника:
Решение задачи оптимального управления потоком тепла от подвижного источника
Обозначим подынтегральную функцию в равенстве (3.2.42) Ф(и). Линейно интерполируем значения (у,У. и (v;) ,, (v2) и (v2);+], а также pfJ и pjJ+l в тех узлах сетки, где Ч йЧА Т?+1. Найдем значения vifv2,p в узлах линии тока = Ч А. Для вычисления значений производных в Ф(н) найдем также значения vltv3 в узлах, окружающих линию тока 4/ = 4/ . Аппроксимируем производные из Ф(м) конечными разностями, для граничных производные используем односторонние конечные разности. Таким образом, найдем сеточные значения функции Ф(и) в узлах (xifyj) линии тока Ч = Ч , i = 0,N и вычислим функционал (3.2.42) приближенно, используя формулу трапеций. В качестве точек разбиения возьмем точки Получим:
Значения вектор-функции управления будем искать в классе кусочно-постоянных функций. В качестве начального приближения и = toj \и \...\ип\ предлагается взять произвольную кусочно-постоянную функцию, удовлетворяющую условию (3.2.7). В качестве функции управления и = \i\\U2\... ,un) также предлагается взять произвольную кусочно-постоянную функцию, удовлетворяющую тому же условию (3.2.7), а также условию 1(и ) 1{и ). Таким образом, решая прямую задачу Стокса (3.2.1) - (3.2.5), находится ее решение - функции v(w ) и рій1), строятся соответствующие линии тока. Вдоль одной из них, приходящей в заданную точку А, считается значение функционала (3.2.42). Если при этом выполняется условие (3.2.45), обозначающее близость к нулю на этой кривой тензора напряжений Т-п, то полученную линию тока можно считать свободной границей. Если же условие (3.2.45) не выполняется, то по формуле (4.5.45) отыскивается следующее значение вектора управления и , для которого вновь решается задача Стокса (3.2.1)-(3.2.5) и так далее.
Если найдено и" - оптимальное управление, доставляющее минимум функционалу (3.2.42), то свободная граница У = ХА, полученная согласно изложенному выше алгоритму, это линия тока, заданная значениями в узлах сетки. Аналитическое представление полученной кривой можно получить, интерполируя функцию, приблизив ее значения многочленом п- го порядка.
Пример численной реализации задачи определения неизвестной границы течения вязкой жидкости, описываемого системой Стокса
Рассмотрим задачу определения свободной границы течения вязкой жидкости из канала в полость. Поставим ее как задачу оптимального управления. Течение вязкой жидкости в прямоугольной области (рис. 3.2.1) описывается системой уравнений Стокса (3.2.1)-(3.2.5).
Пусть xe[0;N]; ye[0;N], N-10 и на область нанесена равномерная сетка с шагом А = / = 0,01. Пусть граница Ц :0 -6, Г2:0 _у 5. В качестве начального управления скоростью на части границы Г4 возьмем линейную вектор-функцию, удовлетворяющую условию (3.2.7): и- = -2 8 ,+3,1. Двигаясь в направлении уменьшения градиента, зададим функции и, = Nh + sin
В качестве скорости на входе, т.е. на части границы Г, возьмем функцию v0 =(10;0). Несложно заметить, что для выполнения условия (3.2.6) на выходе / т А (5(гЫ+2)Л (часть границы Г;), следует взять функцию vj = — -;0 . \ N ) Решая прямую задачу (3.2.7) для выбранных начальных значений функции управления, получим следующие значения функционала: 7(ы) = 0,2857161986557, /(и1) = 0Д4002261477600.
Следующие значения и1 находятся по формуле (3.2.44) до выполнения неравенства (3.2.45). Предложенный метод показал достаточно высокую скорость сходимости. За четырнадцать итераций удалось достигнуть точности = 10 6, получив при этом значение функционала /(ии) = 0,00187982465.
Скорость сходимости предложенного метода, как оказалось, зависит от "соразмерности" скоростей, задаваемых на границах Г, и Г4.
Получены соответствующие линии тока. Искомая свободная граница была приближена кубическим сплайном у(х) = ах3 +bx2 +cx + d с коэффициентами а = 0,4906112826; b = -0,9178680405; с = 0,1622795613; d = 0,7523093803. Начальные и оптимальные линии тока приведены на рис. 3.2.2 и рис.3.2,3 соответственно.
Сравнение форм свободных границ, полученных в данной работе и при решении аналогичной задачи прямым методом в [37] приведено на рис. 3.2.4. Сплошной линией обозначено известное решение, точечной - решение данным методом. Полученные формы свободных границ достаточно близки (5 0,05), что позволяет делать вывод о справедливости предлагаемого подхода.
