Введение к работе
Актуальность темы.
Как отмечалось в работе Л.А.Ариимовича и В.Л.Шафранова [1) (см. также [2]) в установках "ТОКАМАК" (= ТОроидальная КАмера с МАгнитными Катушками) можно существенно улучшить ряд важных характеристик, если перейти к вытянутым вдоль оси симметрии токамака сечениям плазменного шнура. Обеспечение равновесия является одной из основных проблем в таких конфигурациях. Уравнение равновесия Грэда-Шафранова (см., напр., [3]) в цилиндрическом приближении имеет следующий вид:
Ди = S| + 1 = F(«), u = u(z,y), (r,y)S
где S - сечение камеры (в данном случае - цилиндра) с границей Г = dS. Здесь функция и - z-компонента векторного потенциала магнитного поля, а функция F " О характеризует ток в плазме. Известно, что /*(«(-, )) — 0 в "вакуумной" области П, лежащей вне плазмы, т.е. между кожухом токамака Г, где и = 0, и искомой свободной границей 7> ограничивающей плазму и характеризующейся условием: и = —А/, где М - величина магнитного потока между Г и 7- Так как F ^ 0, то и ^ 0 в "плазменной" области S\U. Однако при и ^ 0 функция F(ti) реально неизвестна. Поэтому в теории равновесия интерес представляют две задачи: прямая и обратная.
Прямая задача - это краевая задача для уравнения (I) для той или иной модельной функции F. Обратная задача состоит в получении информации о функции F яо данным магнитной диагностики в окрестности кожуха токамака. Одним из важных вопросов в этих задачах является вопрос о разрешимости (ила неразрешимости) в априори заданном топологическом классе кривых 7- Случай, когда кривая 7 = Ті гомеоморфна окружности, соответствует односвязной плазме. Разрешимость же для кривой 7 = 72> гомеоморфной объединению двух окружностей (каждая из которых является внешней по отношению к другой), соответствует распаду плазмы на две компоненты связности.
[І] Арцимович Л.А., Шафранов В.Л. Токамак с некруглым сечением плазменного шнура., Яис»л«о в ЖЭТФ, 1972, т.15, .4*1, ее. 72 - 76.
[2] Laval G., Pellat R. Tokamacs with non-circular cross-section. B: Proc. of 6th European Conf. on Conir. Fusion and Plasma Phys., v.2, Moscow, pp. 64-80.
[3] Шафранов В.Л. Равновесие плазмы в магнитном поле., В сб.:Вопроси теории плазмы под ред. М.А.Леонтовича, вып. 2, М., Госагомиздат, 1963, ее. 92-131.
В связи с работой [1] Е.П.Велихов поставил вопрос: может ли прямая задача быть разрешимой как при 7 = 7ь так и при 7 = 72 при одних и тех же Г, F и Af? Ответ на втот вопрос, как показал А.С.Лемидов в [4, 5], положительный. Тем не менее, можно дать достаточнее условия (см., напр., [4-9]), при которых прямая задача разрешима для 7 = 7i> но неразрешима для 7 = 72- Этому же вопросу посвящена одна из глав диссертации. Интересные результаты (см., напр., [10-12]) получены и для некоторых задач, близких по постановке.
В отличие от прямой задачи, достаточно хорошо изученной теоретически для тех или иных модельных функций F (см., например, [4-9], [13-19]), обратная задача, представляющая наибольший интерес для физиков, до сих пор изучалась лишь численно (см., например, [20]).
Педь работы.
-
По прямой задаче - получение теорем существования, несуществования и гладкости свободной границы заданного топологического типа без предположения двойной осевой симметрии поперечного сечения кожуха токамака.
-
По обратной задаче — доказательство теорем существования и гладкости решения, выяснение степени его неединственности и получение двусторонней оценки нормальной производной искомой функции на свободной границе.
[4]. .Демидов А.С., Захаров Л.Е. Прямая и обратная задача в теории равновесной плазмы. Успехи мат. наук, 1974, №6, с.203.
[5]. Demidov A3. The form of a steady plasma subject to the skin effect in a tokamak with non-circular cross-section. Nuclear Fusion, 1975, v.15, pp. 765-768.
[6]. Demidov A.S. Equilibrium form of a steady plasma. Physics of Fluids, 1978, v.21, pp. 902-904.
[7]. Демидов A.C. Об одной задаче со свободной границей в теории равновесной плазмы. Трддн семинара им.Петровского, 1978, т.4, ее. 6S-72.
[8]. Demidov A.S. Configurations du plasma stationnaire equilibre. Proceedings of a seminar held in Pavia, 1$79. v.l, Roma, 1980, pp. 467-485.
[9]. Баджади А., Демидов A.C. Теоремы существования, несуществования и регулярности в одной задаче со свободной границей. Мат. сборник, 1983, т.122(164), №1(9), ее. 64-81.
[10]. Монахов В.Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений. Новосибирск, Наука, 1977.
[11]. Радкевич Е.В. Задачи со свободной границей. Изд. ФАН, Ташкент, 1991.
Метсшика исследования.
Используется метод, развитый в работах {7-9], с применяем теории степени отображения Лере-Шаудера и методов теории уравнений с частными производными и функций комплексного переменного.
Научная новизна.
1). В прямой задаче в случае выпуклого поперечного сечения кожуха токамака Г приведены условия существования свободной границы 7. гомеоморфной окружности (иными словами, даны условия существования плазмы с одной компонентой связности). В случае, когда Г обладает одной осью симметрии, приведены условия несуществования 7, симметричной относительно оси симметрии Г и гомеоморфной объединению двух окружностей (т.е. даны условия, при которых плазма может распадаться на две компоненты связности). Доказала аналитичность свободной границы. Получены условия, гарантирующие выпуклость свободной границы.
2). Дана математическая постановка обратной задачи. Получена теорема существования решения, изучена степень его неединственности. Локазана аналитичность свободной границы. Получена двусторонняя оценка нормальной производной искомой
[12]. Maslov V.P., Omel'anov G.A., Tsupin.V.A. Reynolds equations in some problems of MHD. Russian J. of Сотр. Мес, 1993, v.l, JM, pp. 71-84.
[13]. Demidov A.S. Sur la pertubation "singuliere dans un probleme a frontiere libre. Proceedings of the Conference held in Lyon, 1976, Led. Notes Math., 1977, v.594, pp. 123-130.
[14]. Temam R. A non-linear eigenvalue problem: The shape at equilibrium of a confined plasma. Arch. Ration. Mtch., 1975, v.60, pp. 51-73.
[15]. Kinderlehrer D., Nirenberg L. Regularity in free boundary value problems. Ann. Sea. Norm. Sup. Pisa, 1977, v.4, №4, pp. 373-391.
[16]. Berestycki H., Breziz H. On a free boundary problem arising in plasma physics. Nonlinear Anal. Theory Methods Appl., 1980, v.4, pp. 415-436.
[17]. Acker A. On the convexity of equilibrium plasma configurations. Math. Methods Appl Sci., 1981, v.3, pp. 435-443.
[18]. Caffarelli L.A., Spruck G. Convexity properties of solutions of some classical variational problems. Commvn. in P.D.E., 1982, v.7, pp. 1337-1379.
[19]. Y.Liu. The equilibrium plasma subject to skin effect. Препринт AMS УЧЇ47, 1993, 29 стр.
функции на свободной границе, что в определенной степени характеризует искомый ток & плазме.
Апробация работа*.
Основные результаты работы докладывались на семинаре Б.Л.Шафранова в Российском исследовательском центре "Институт им.Курчатова"; на Международном семинаре "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы* (19-22 января 1993, Москва, МГУ); на семинарах М.И.Вишика, М.И.Зеликина -В.М.Тихомирова - А.В.Фурсикова, А.И.Прилепко на механико-математическом факультете МГУ; на семинаре А.М.Попова на факультете ВМиК (МГУ); на семинаре Л.М.Дегтярева в ИПМ им.Келдыша; на семинарах В.П.Михайлова и С.И.Похожаев*. в МИАН им.Стеклова,
Теоретическая и практическая ценность.
Работа имеет теоретический характер и может представлять интерес для специалистов в области уравнений с частными производными и специалистов в области физики плазмы. Примененный в работе подход к изучению обратной задачи, по-видимому, может быть обобщен и на модели равновесия, учитывающие как торои-дальиость плазменного шнура, так и наличие управляющих токов.
Структура работы.
Диссертация объемом в 55 страниц состоит из введения и трех глав, снабжена оглавлением и общим списком литературы, включающим 38 наименований.
Публикации.
По теме диссертации автором написаны четыре работы. Их список приведен в конце автореферата.
