Введение к работе
Актуальность темы. Поведение решений краевых и смешанных задач для линейных равномерно эллиптических и параболических уравнений в зависимости от геометрии неограниченной области достаточно хорошо изучено. Менее исследованной является задача о скорости стабилизации решений линейных вырождающихся эллиптических и параболических уравнений.
Первые исследования зависимости скорости убывания решения второй смешанной задачи для равномерно параболического уравнения второго порядка от геометрии неограниченной области были выполнены А.К.Гущиным (Труды МИ-АН, 1973; Матем. сб., 1976). Для широкого класса областей установлена оценка
К*. г/Ж—Т-пГ-. г/eQ,
v(Vt)
где v(r) = mes{y Є Q \у\ < г}. Доказана также точность этой оценки.
Ф.Х.Мукминовым (Матем. сб., 1980) была доказана оценка скорости убывания решения первой смешанной задачи в случае равномерно параболического уравнения второго порядка и доказана ее точность в классе неограниченных монотонно расширяющихся областей вращения.
Л.М.Кожевниковой (Матем. сб., 2005) существенно расширен класс неограниченных областей, в которых установлена оценка скорости убывания решения первой смешанной задачи в случае равномерно параболического уравнения второго порядка.
В диссертации рассматривается сочетание краевых условий разных типов. Уравнение может быть неравномерно параболическим, т.е. функция s(t,x), ограничивающая собственные числа матрицы старших коэффициентов уравнения, может расти или убывать при х —» со и этот факт может оказывать существенное влияние на поведение решения при t —* со. Помимо этого, уравнение может быть вырождающимся, т.е. s(t,x) может обращаться в нуль на границе. Исследований в этом направлении до сих пор не проводилось. Не исследовано также влияние распределения первого краевого условия на границе цилиндрической области на скорость убывания решения смешанной задачи для параболического уравнения.
В одной работе О.А.Олейник и Г.А.Иосифьяна была получена оценка сверху скорости убывания при х —* оо решения краевой задачи для вырождающегося эллиптического уравнения в неограниченной области, но не было никакого подтверждения точности этой оценки. Не приводилось также никаких примеров, демонстрирующих влияние старших коэффициентов уравнения на скорость убывания решения. Лишь недавно для равномерно эллиптического уравнения Л.М. Кожевникова распространила упомянутую оценку на более широкий класс областей и доказала ее точность в семействе областей вращения.
Имеется также огромное количество работ, посвященных нелинейным вырождающимся эллиптическим и параболическим уравнениям. Однако в них ис-
следуются эффекты, обусловленные именно нелинейностью уравнений, и поэтому эти работы здесь не обсуждаются.
Цель работы. Исследовать скорость стабилизации решений вырождающихся параболических и эллиптических уравнений с сочетанием краевых условий разных типов на границе неограниченной области П. Для вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка исследовать поведение при х —> оо решения этой задачи в зависимости от геометрии ГІ и коэффициентов уравнения. Для вырождающихся параболических уравнений изучить поведение при t —» оо решения задачи в зависимости от геометрии О. и коэффициентов уравнения.
Научная новизна. Основные научные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.
Для вырождающихся эллиптических уравнений с сочетанием первого и третьего краевого условия на границе неограниченной области установлены оценки скорости убывания решений в зависимости от геометрии области и поведения старших коэффициентов уравнения. Для широкого класса областей вращения установлены оценки решения снизу, показывающие точность оценок сверху.
Для вырождающихся параболических уравнений второго порядка в неограниченной области получена оценка сверху скорости убывания решения смешанной задачи с сочетанием первого и третьего типа краевого условия. Установлено влияние старших коэффициентов уравнения и распределения первого краевого условия на скорость убывания решения при t —> оо. Показано в частности, что решение неравномерно параболического уравнения может убывать как существенно быстрее, так и медленнее, чем решение равномерно параболического уравнения. Для уравнения в дивергентной форме в широком классе областей вращения доказана точность оценки.
Методика исследования. Для исследования поведения на бесконечности решений эллиптических и параболических уравнений использован метод, который основывается на разбиении неограниченной области на конечные участки. Выделение таких частей связано с построением точных оценок первого собственного значения оператора, соответствующего уравнению, через геометрические характеристики области.
Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации носят теоретический характер и могут быть использованы при изучении задач математической физики.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались автором на семинаре дифференциальных уравнений и математической физики Института математики с ВЦ УНЦ РАН, на семинаре кафедры математического анализа БашГПУ, на региональной школе-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике (Уфа, БашГУ, 2004, 2005, 2006, 2008), на
международной конференции "Дифференциальные уравнения, функциональные пространства, теория приближений", посвященной 100-летию со дня рождения С.Л. Соболева (Новосибирск, 2008), на международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные проблемы", посвященной юбилею академиков В.А. Ильина и Е.И. Моисеева (Стерлитамак, 2008), на международной конференции "Дни дифракции-2009", (С.-Петербург, 2009), на международной конференции "Современные проблемы вычислительной математики и математической физики", посвященной 90-летию памяти академика А.А. Самарского (Москва, 2009).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]—[11]- Работа [1] выполнена совместно с Н.А. Кульсариной. Из этой работы в диссертацию автором включены только результаты, полученные им лично.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых в совокупности на десять параграфов и списка литературы, содержащего 52 наименования. Общий объем диссертации - 86 страниц.
