Содержание к диссертации
Введение
1 Уравнение Ходжкина-Хаксли на геометрическом графе. Основные понятия и определения 21
1.1 Понятие геометрического графа 21
1.2 Пространства функций на геометрическом графе 23
1.3 Основной объект исследования 25
1.4 Линеаризация модели (1.3.1)-(1.3.4) 26
2 Исследование линеаризованного уравнения Ходжкина-Хаксли на геометрическом графе 28
2.1 Линейное уравнение, учитывающее постсинаптическую проводимость 29
2.2 Об асимптотике функции Грина вспомогательной краевой задачи 32
2.3 О представлении функции Грина 38
2.4 Вспомогательные задачи и их решение в образах преобразования Лапласа 40
2.5 Согласование решений вспомогательных задач и их поведение в точках согласования 44
2.6 Обоснование метода Фурье для параболического уравнения на геометрическом графе с кусочно-постоянными коэффициентами 50
2.7 Задача с радиально зависящими коэффициентами на графе-звезде 52
3 Уравнение Ходжкина-Хаксли на геометрическом графе. Качественные свойства решений 55
3.1 Вспомогательные определения и теоремы 55
3.2 О решениях типа простой волны для уравнения Ходжкина-Хаксли на вещественной оси 56
3.3 Примеры геометрических графов, на которых уравнения Ходжкина-Хаксли имеют решение типа простой волны. 67
3.4 Стационарные решения уравнения Ходжкина-Хаксли с краевыми условиями типа Неймана 74
Литература 80
- Пространства функций на геометрическом графе
- Об асимптотике функции Грина вспомогательной краевой задачи
- Согласование решений вспомогательных задач и их поведение в точках согласования
- О решениях типа простой волны для уравнения Ходжкина-Хаксли на вещественной оси
Введение к работе
Настоящая работа посвящена исследованию системы уравнений Ходжкина-Хаксли на геометрическом графе:
д2У _ дУ дх2 dt
+gNa™3h(V-VNa)+gKn4(V-VK)+gL(V-VL) (іЄД(Г),і 0) (0.0.1)
т = an{v) ЫУ) + Pn(V))n, (х Є Д(Г), t 0) (0.0.2)
ЫУ) + Pm{V))m, (х Є Д(Г), t 0) (0.0.3)
ЫУ) + Ph(V))h, (х Є Д(Г), і 0) (0.0.4)
Здесь Г - геометрический граф, представляющий собой связное объединение отрезков, Д(Г) - множество его ребер. V, п, т и h - искомые функции, зависящие отяЄГиот 0и предполагаемые непрерывными по х (на Г) при каждом фиксированном t. Функции ап, (Зп, ат, (Зт, а , / -заданы (их вид мы опишем позднее). Относительно V мы предполагаем также выполненным условие:
Vh+(x,t) = 0 (xeJ(T)1t Q)1 (0.0.5)
heD{x)
где і7(Г) - множество всех внутренних вершин Г, D{x) - множество всех допустимых в точке х Є J(T) единичных векторов, a Vfr(x,t) - правосторонняя производная функции V(-,t) в точке х по вектору h.
Система уравнений (0.0.1)-(0.0.4), рассматриваемая на К (т.е. при Г = R и J(T) = 0) известна как модель Ходжкина-Хаксли - одна из наиболее адекватно описывающих распространение электрического потенциала в нейроне (см. [73]).
Основная цель настоящей диссертации состоит в изучении качественных свойств решений как системы (0.0.1)-(0.0.4), так и дифференциальных уравнений на геметрическом графе, возникающих при линеаризации системы (0.0.1)-(0.0.4).
Несколько слов об истории исследований дифференциальных уравнений на геометрических графах и месте настоящей работы в этих исследованиях.
Интенсивное изучение дифференциальных уравнений на геометрических графах (в других терминах - пространственных сетях, одномерных клеточных комплексах, одномерных стратифицированных множествах) началось около 25-30 лет назад. К таким уравнениям приводит моделирование самых разных явлений: процессов в сетях волноводов (см., например, [48, 74, 78]), деформаций и колебаний стержневых решёток (см., например, [48, 78, 74, 4, 70, 77]), деформаций упругих сеток (см., например, [48, 78]) и струнно-стержневых систем [3, 47], диффузии в сетях [48, 78, 26], распространения электрического потенциала в нейроне и нейронных сетях [79, 80, 49], бифуркаций вихревых течений в жидкости [68], гемодинамики (см., например, [6]), колебаний сложных молекул (см., например, [42, 11]), расчёт гидравлических сетей (см., например, [23]), приводят к таким уравнениям и задачи вычислительного характера: например, задача о приближении спектра лапласиана и операторов более высокого порядка на триангулируемом римановом многообразии спектрами дифференциальных операторов на геометрических графах (топологических сетях) (см., например, [43, 30, 77, 29]).
Мы не будем подробно останавливаться на результатах исследований линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка на геометрических графах. Отметим лишь, что для таких уравнений достаточно полно изучен вопрос о разрешимости задачи с краевыми условиями типа Штурма-Лиувилля при условиях трансмиссии во внутренних вершинах графа, адекватных закону Кирхгофа, а так же вопрос о структуре спектра (условия простоты, оценки геометрической и алгебраической кратностей, асимптотики, оценки резольвенты, существование полугруппы); построена теория функции Грина, исследованы свойства неосцилляции уравнений и неравенств, доказаны аналоги теорем Штурма о сравнении и перемежаемости, установлены условия осцилляционности спектра в случае геометрических графов без циклов - см. [48] и цитированную там литературу.
Часть этих результатов была получена и в случае обобщения условий Кирхгофа, которые могут быть проинтерпретированы как наличие в потенциале аддитивной составляющей в виде конечной линейной комбинации: 1) 5-функций с носителями во внутренних вершинах геометрического графа [48], 2) -функций с носителями там же [57, 50, 1].
Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка на геометрических графах могут рассматриваться как частный случай уравнений эллиптического типа на стратифицированных множествах, теория которых к настоящему времени развита до аналогов неравенства Пуанкаре, принципа максимума, неравенства Гарнака, теоремы о среднем, формулы Пуассона, метода Перрона - см., например, [44, 45, 46, 8, 39, 48].
Аналоги классических результатов (разрешимость, существование сильно непрерывной полугруппы) получены и для уравнений параболического типа - см., например, [26, 76, 83].
Волновое уравнение при различных условиях трансмиссии также исследовалось во многих работах (см. [51, 69, 71, 5, 31, 32, 58, 33, 34, 81, 59, 35, 60, 61, 62, 63, 12, 7, 13, 72, 40, 41]). Для этого уравнения получены описания профилей прямой о обратной волн (через начальные данные) для некотрых классов геометрических графов и краевых условий, доказано существование сильно непрерывной операторной косинус-функции. Перенесен метод Римана на случай гиперболического уравнения на геометрическом графе-звезде и при гладких условиях трансмиссии [9, 10].
Что же касается теории нелинейных дифференциальных уравнений на геометрических графах, то вполне естественно, что результаты здесь носят в основном фрагментарный характер. А именно: для квазилинейных уравнений гиперболического типа на геометрическом графе доказана слабая разрешимость начальной задачи на достаточно малом временном промежутке [69]; для различных классов нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка на геометрическом графе получены условия разрешимости задачи Дирихле (см. [52, 27, 1, 54]); а для некоторых доказаны теоремы сравнения [52, 27, 64, 65].
В свете вышеизложенного исследование качественных свойств системы уравнений Ходжкина-Хаксли на геометрическом графе представляет несомненный интерес. Актуальность этой задачи подчеркивается еще и тем, что эта система моделирует изменение электрического потенциала в нейроне, который имеет ветвящуюся структуру типа графа-дерева. Следует отметить также, что качественные свойства системы уравнений
Ходжкина-Хаксли даже на вещественной оси мало изучены - большинство работ здесь можно разделить на две группы: в одних представлены результаты численных экспериментов (см., например, [2, 73]), а в других система уравнений Ходжкина-Хаксли (на оси) упрощается или существенно модифицируется из тех или иных соображений, а затем изучается упрощенная (или, соответственно, модифицированная) система уравнений (см., например [28, 56, 75]).
Перейдем к краткому описанию основных результатов работы.
В первой главе вводятся основные понятия. Под интервалом из Rn понимается множество вида {Ха + (1 — Х)Ь\ 0 Л 1 }, где a, b Є Rn, а ф Ъ. Под открытым лучом из W1 - множество вида {а + Xh Л 0}, где а Є R", h Є Rn, \\h\\ = 1.
Определение 1.1.1. Пусть ji, 72, ..., 7m - открытые интервалы и открытые лучи из Ш.п такие, что ъГ\Ъ = ® пРи і Ф І (здесь т7 -замыкание jj в W1). Пусть Л - некоторое подмножество множества концов интервалов и лучей 7ь Ъ, ••• 1т- Если множество
т
г=(и-»)1м
связно, то его мы будем называть связным открытым геометрическим графом.
Интервалы и лучи 7г будем называть ребрами геометрического графа Г, обозначая их объединение через R(T). Концы ребер Г, вошедшие Г (т.е. точки из Л), будем называть внутренними вершинами Г, обозначая их множество через J{T), а концы ребер, не вошедшие в Г, будем называть граничными вершинами Г, обозначая их множество через дТ. Вершины а и Ь геометрического графа Г будем называть смежными, если они яв ляются различными концами некоторого его ребра. Будем говорить, что ребро 7 примыкает к вершине а, если а Є 7- Степенью вершины а будем называть количество примыкающих к ней ребер.
Для определенности будем рассматривать в дальнейшем в Rn только евклидову норму и порождаемую ей топологию. Всегда, когда речь будет идти о топологии геометрического графа Г, то будем подразумевать, что на Г рассматривается топология, индуцированная из Rn.
Циклом геометрического графа будем называть его подмножество, го-меоморфное окружности. Если геометрический граф не имеет циклов, то его мы будем называть геометрическим графом-деревом. Если некоторая вершина геометрического графа-дерева является концом каждого из его ребер, то его мы будем называть геометрическим графом-звездой.
Всюду далее мы будем рассматривать только связные открытые геометрические графы-деревья, степень каждой внутренней вершины которых превышает единицу.
Пусть Г - геометрический граф, и пусть 7ь 72, ••-, 1т ег0 ребра.
Мы будем рассматривать функции, заданные на Г, а также на R{T). Среди множества функций, заданных на Г, мы будем выделять функции непрерывные на Г и обозначать их множество через С (Г). Кроме того, множество функций и(х), определенных и непрерывных на R(T) и обладающих тем свойством, что для любого ребра 7 геометрического графа Г и любого конца а ребра 7 существует и конечен lim и(х), будем обо-значать через C(R(T)).
Далее, для того, чтобы определить функции дифференцируемые на R(T), нам понадобится ориентация ребер Г. Для этого поставим в соот ветствие каждому ребру 7г один из двух коллинеарных ему единичных векторов, обозначив этот вектор через hi.
Определение 1.2.1. Будем говорить, что функция и{х), действующая из Г в Ж или из R(T) в R, дифференцируема на R(T), если для
любого і = 1,т и любого х Є 7» существует конечный предел
.. и(х + ehi) - и(х)
ІИП—і - і—і;
є-0 Є
тогда естественно определить производную функции и(х) в смысле заданной ориентации на Г как функцию
,. . и(х + ehi) - и{х) . -—
и (х) = lim — (х Є 7»і г — 1) т)
Через Cl(R(T)) будем обозначать пространство функций из С (Г), обладающих равномерно непрерывной на каждом ребре 7г производной. Очевидно, что свойство равномерной непрерывности производной функции и(х) на ребре 7г не зависит от выбранной на этом ребре ориентации.
Вторую производную функции и Є С(Г) определим как производную в смысле той же ориентации Г от функции и {х). Заметим, что значение второй производной от ориентации Г не зависит.
Через C2(R(T)) обозначим пространство функций из (Rfi)), обладающих равномерно непрерывной на каждом ребре 7І производной второго порядка.
Для определения производных в вершинах графа Г понадобится понятие допустимого в вершине вектора.
Определение 1.2.2. Вектор h Є W1 единичной длины назовем допустимым в вершине а геометрического графа Г, если (a + eh) Є Г для достаточно малых е 0.
Множество допустимых в вершине а векторов обозначим через D(a). Для функции w, заданной на Г или на #(Г), обозначим
u(a + 0-h) = lim u(a + sh), hD{a).
-+0
Если и Є ( ( (Г)), то для любой вершины а и любого h Є D(a) существует правосторонняя производная функции и в вершине а по направлению h, т.е. существует
,. . .. u(a + eh) — и(а)
uTla) = lim — —.
п е-+о є
Аналогично вводится понятие правосторонней производной второго порядка для функции из C2(R(T)), т.е. если и Є С2(Д(Г)), то для любой вершины a YL любого h Є D(a) существует правосторонняя производная второго порядка для функции и в вершине а по направлению /г, т.е.
существует
+(а) . ,im ut(a + eh)-ut(a)
пп ч -»+0 Є
В параграфе 1.3 вводится основной объект исследования - система (0.0.1)-(0.0.4). Уранение (0.0.1) понимается в соответствии с введенным дифференцированием на R(V) функций, определенных на Г. Предполагается, что для любого t 0 функция V(-,t) Є C2(R(T)), т.е. V(-,t) непрерывна на Г, сужения ее первой и второй производных на каждое из ребер Г равномерно непрерывны. Кроме того предполагается выполненным (0.0.5). Функции n, т и h предполагаются при каждом t непрерывными на Г.
Также предполагается, что для любого х Є R(T) функции V, п, т, h как функции переменного t, обладают равномерно непрерывными первыми производными на любом ограниченном интервале из (0,+оо).
В параграфе 1.4 описан вариант линеаризации системы (0.0.1)-(0.0.4) (с условиями (0.0.5)), приводящий к параболическому уравнению.
fifty Qy
№ = dt+q x v (ж є вд 0) (0 ° 6)
Вторая глава посвящена иссследованию уравнения, имеющего чуть более общий вид, нежели (0.0.6)
щ(х, t) = р(х)ихх(х, t) - q(x, t)u{x, t), (0.0.7)
в котором t Є (0,Т), х Є #(Г), р(х) - кусочно-постоянная на і?(Г) функция, могущая терпеть разрывы только во внутренних вершинах Г, q(x,t) = q0(x) + Х[а-,0}{ф Ы, где Х[аф] характеристическая функция отрезка [а;0\, содержащегося в некотором ребре Г, а о( ) кусочно-постоянна на R(T) и может терпеть разрывы лишь во внутренних вершинах Г. Уравнение (0.0.7) предполагается выполненным при всех х 6 R(Г) \ {а; /3} и t Є (0; Г); в точках х = а и х = (3 искомая функция и(х, t) предполагается гладкой (при каждом фиксированном t 6 (0;Т)), а при х Є і7(Г) она предполагается удовлетворяющей условию а-гладкости:
ah(x)u+(x, t) = 0,xe J{T), t є (0, T), (0.0.8)
hD(x)
где ah{x) - заданные положительные числа. Что же касается зависимости по t решения u(x,t) уравнения (0.0.7), то мы будем предполагать его непрерывную дифференцируемость по t при каждом фиксированном х Є Д(Г).
Уравнение (0.0.7) с указанной функцией q(x,t) представляет особый интерес, поскольку моделирует состояние электрического потенциала в нейроне в постсинаптический период.
Уравнение (0.0.7) мы будем рассматривать вместе с краевыми условиями
и(х + 0 • h, t) = 0, х Є дТ, h Є D(x), t Є (0; T), (0.0.9)
где и (х + 0 • /г, t) := lim w(a; + є • h,і), и начальным условиями
и(ж,0) = p(s), же Г, (0.0.10)
получая тем самым начально-краевую задачу для уравнения (0.0.7) на графе. Начальное условие (0.0.10) понимается в предельном смысле. Функция ір(х) предполагается такой, что ір Є Cl(R(T)) и (pf(x) = 0 при х Є дГ, причём для всех х Є R(T) \ {a; (3} существует (р"(х), и р"(х) равномерно непрерывна на каждой из компонент связности множества R(T) \ {а\(3}.
Описан переход, сводящий вопрос о существовании, едиственности и описании решения задачи (0.0.7)-(0.0.10) к случаю р = 1.
Параграф 2.2 носит вспомогательный характер. В нем рассмаривается следующая задача на Г:
-и"(х) + {а + іт)и{х) = /(х), XER(T)
, (0.0.11)
u ar = 0
стиг здесь - вещественные параметры, причем а 0 фиксировано; і -мнимая единица. Искомая функция и принадлежит C2(R(T)) и в каждой внутренней вершине а геометрического графа Г удовлетворяет условию а-гладкости:
XI аь(аК(а;г) = ° heD(a)
где 0: (а) - фиксированные положительные числа.
Определение 2.2.1 Пусть Г и Т\ - связные геометрические графы, причем Т\ С Г. Тогда если 1) дТ\ = {а; Ь], 2) все внутренние вершины Т\
являются внутренними вершинами Т, 3) к каждой внутренней вершине геометрического графа Гі примыкает ровно два его ребра, то Гі назовем путем геометрического графа Г, соединяющим точки а иЬ.
Определение 2.2.2 Если Т\ - путь геометрического графа Г, то длиной пути Гі назовем сумму длин всех ребер Y\.
Пусть G(X,\T) - функция Грина задачи (0.0.11). Доказана
Теорема 2.2.1 Пусть Г является деревом, а - произвольная точка из Г[)дТ . Тогда G(S,;T) = 0 {\Т\-2Є Р Х ) (при г - оо), где Ж)х) длина пути, соединяющего точки хи , Здесь (т) = 4= у а + \Лт2 + т2
Следствие 2.2.1 Пусть G(x,;s) - функция Грина задачи (0.0.11) при s = а + гт. Пусть С - преобразование Лапласа. Тогда C 1(G(x ; )) существует при всех х и .
В параграфе 2.3 доказывается следующая теорема, использованная при доказательстве теоремы 2.2.1.
Теорема 2.3.1 Пусть а Є J{T) и Vj,j = l,mi, компоненты связности множества Г \ {а}. Тогда функция Грина G(x, ; т) задачи (0.0.11) представима в следующем виде:
СЫ;т) =
ДМ
Н(х,;т) ф\{х\т)
h(HU;r)) lm(-;r)
°mi—1
W .fcT))
фті{х;т) кфті{-;т)
Ітгц-іФті(- ,т)
где
0,
1)&(Z;T) =
(а;;г), ж Є Гj
а; Є Г\{Г;- U а}
a (fj(x; т) ЯВЛЯЮТСЯ решениями задачи —u"(x) + (сг+іт) u(x) = 0, x Є Г/, и Ідгдм = 0, «J(a) = 1 (h Є D(a);
2)Я(х,;т) =
0,
(z,) Г;-х ВД
(?;(#, ;т) есть функция Грина задачи -и"{х) + (сг + ir) и(х) = f(x), х Є Г., и (х)\дг. = 0
3) функционалы ls (s = l,mi) определены на функциях, заданных на
Г\М;
4) ls(u) = ws(a) - us+i(a), і = 1,mi - 1; где us(a) = lim и(ж), s =
Г.Эх- a
l,mi;
-»+0
5)Jmi(u) = a/i(a) lim uJ(a + /i);
heD(a)
6) A(r) = det j(-;r)ll™j=i- При x = a G(X,;T) определяется равенством G(a, ; r) = lim G(:r, f; r).
Параграф 2.4 содержит некоторые вспомогательные утверждения, которые вместе с теоремой 2.2.1 позволяют в параграфе 2.5 доказать следующую теорему.
Теорема 2.5.1 Решение задачи (0.0.7)-(0.0.10) существует, единственно и в случае р = 1 представимо в виде
е-ъ J gi{x t)ip{i)d C2{t)gi{x )+
а
u(x,t) = +C1{t)g1{x,a;t), хбГь t Є (0,Т) J 92{x, t)iP{Od C1{t)g2{x,a)} х Є Г2, і Є (О,Г)
Д(Га)
/ 9зЫ\Ы№ + С2{Шх,р-,г), єг3, є(о,т)
I Д(Гз)
где Т\ = [а,/3], Т2 и Гз - компоненты связности Г \ [а,(3] такие, что дТ2 Э а, дТз В (5, gj{x.(; •) = C l(Gj(x,t;; •)), Gj(x,,\ s) - функция Грина
задачи (0.0.11) при Г = Г;- и s = о + гт, a C(t) = (Ci(t), C2(t))T является решением интегрального уравнения Волыперра второго рода, ядро и правая часть которого конечным образом выражается через gj(x,;t). В параграфе 2.6 рассмотрена задача (0.0.9)-(0.0.10) для уравнения
ut{x,t) = (p(x)ux{x,t))x - q{x)u(x,t) (х Є Д(Г), t 0),
с условиями трансмиссии
J2 р{х + 0- Ь)иЦх, t) = Q (хе J{T), t 0)
heD(x)
и в предположении, что функции р и q кусочно-постоянны и не имеют точек разрыва в R(T). Для этой задачи обоснован метод Фурье. В параграфе 2.7 рассмотрена задача (0.0.9)-(0.0.10) для уравнения
ut{x,t) = {p(x)ux(x,t))x - q(x,t)u(x,t) (х Є Д(Г), t 0),
с условиями трансмиссии (0.0.8) и в случае, когда Г - геометрический граф-звезда с ребрами одинаковой длины, оси(х) = 1, причем р(х) = Pi(\\x — а\\) и q(x,t) = qi{\\x — a\\,t). Решение этой задачи на каждом ребре представлено в виде конечной суммы решений классических задач для параболических уравнений на отрезке с краевыми условиями Неймана и Дирихле.
Третья глава посвящена исследованию качественных свойств системы (0.0.1)-(0.0.4). В параграфе 3.1 приводятся определения и формулировки теорем, которые используются в дальнейших параграфах.
В параграфе 3.2 исследуется вопрос о существовании решений типа простой волны для системы уравнений (0.0.1)-(0.0.4), т.е. решений вида V{x,t) = У(-И), n(x,t) = n(f-K), m(x,t) = m(f-H), h{x,t) = Щ-И),
где
в - любое ненулевое число. Доказана
Теорема 3.2.1 Пусть VK = V/\ra = Vj, = V , и выполнены условия: Y\) Функции otiiy) и Pi{V) (і Є {п,т, h}) положительны при V Є R. Y2) lim a„(V) = lim am(V) = +00, lim an(V) = lim am(V) =
V-»-00 V—»-00 V-»+00 V-++00
lim ph(V) = 0, lim #,(7) = lim /ЭЦУ) = 0, т lim pn(V) =
У-++00 V—»—00 V—»-oo K—»+oo
= lim /?m(V) = +oo; lim (V) = 0, lim ah(V) = +00,
V-»+oo V-+-00 V-»+oo
lim /5ft(V) = 1. Тогда система (0.0.1)-(0.0.4) имеет единственное огра V-»-oo
ничейное на R решение типа простой волны, и это решение есть константа
_ МП 7 _ МП
= 7771 п /тг s " =
Om(V )+WV ) «A(V )+/W) В параграфе 3.3 приводятся примеры геометрических графов, на которых система (0.0.1)-(0.0.4) имеет нетривиальное решение типа простой волны.
В примере 1 Г - геометрический граф-звезда с неограниченными ребрами, и количество ребер четно, т.е.
2га
г = 1Ь1»,
1=1
где 7» = {а+ткі\т 0}, где hi, і = 1,2m, - попарно различные единичные векторы из R"; предполагается, что J (Г) = {а}. В примере 2 Г С R2 имеет вид
T = i0\Jh[jmo[jmh
є
где 4 = {(0,2:2)1 х2 Є R}, Єї = {{1,х2)\ Х2 Є R}, m0 = {{xhO)\ хх
ті = {{хі, 1) жі Є R}; предполагается, что J (Г) = {(0,0), (1,0), (0,1), (1,1)}.
В примере 3 Г С Е2 - геометрический граф, представляющий собой бесконечную квадратную сетку, т.е.
+00 +00
r={J«UU "
1=-00 J=—00
где U = {{г,х2)\ х2 Є R}, і Є Z, rrij = {(xhj)\ xx Є R}, j Є Z; J(r) = Z2. В параграфе 3.4 исследование стационарных по t решений системы (0.0.1)-(0.0.4), удовлетворяющих на дТ условиям Неймана, сводится к исследованию задачи
w"{x) = G(w), xeR{T) ti/jf(a) = 0, aeJ(T) , (0.0.12)
/ieD(o)
k w ldv = 0 rfleG(w) = F(w + ;0), F(V) = 9Nam3(V)h(V)(V - VNa) + gKn\V){V - VK) + gL(V Vt),
n(v) = У) m{v) = ( v] /m, Л(ю = aft(v)
г ° - корень уравнения F(V) = 0. Обосновывается единственность v°. Для
задачи (0.0.12) доказана теорема
Теорема 3.4.2 Пусть G непрерывна и sgnG(w) = sgnit/. Пусть Г дерево. Тогда задача (0.0.12) имеет единственное решение w(x) = 0. Доказательство этой теоремы основано на следующей лемме Лемма 3.4.2 Пусть выполнены условия теоремы 3.4-2, aw - есть
решение уравнения
w"{x) = G(w), х Є Д(Г) w+(a) = 0, а Є J(T) h(ED{a)
причем для некоторой Ъ € дТ выполнено либо a) w(b) 0, w (b) О, либо б) w(b) О, w (b) 0. Тогда в первом случае найдется точка d Є дТ такая, что w(d) О и w(d) О (h Є D(d)), а во втором случае найдется d Є дГ такая, что w(d) О и w l(d) О (h Є D(d)). Следствие 3.4.1 Задача Неймана
V{x,t) = О (х Є dT,h Є (ж), 0)
для системы (0.0.1)-(0.0.4) в случае монотонности функции F(V) имеет единственное стационарное по t решение:
( А = ат{У°) , , .ч = h(vQ)
Основные результаты диссертации докладывались на международной конференции "Дифференциальные уравнения и динамические системы" (Суздаль, 2004); Воронежской весенней математической школе "Современные методы теории краевых задач" "Потрягинские чтения - XIV" (Воронеж, 2003); Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы"(Воронеж, 2003); Воронежской весенней математической школе "Современные методы теории краевых задач" "Понтрягинские чтения - XV" (Воронеж, 2004); Воронежской весенней математической школе "Современные методы теории краевых задач" "Понтрягинские чтения - XVI"(Bopoнeж, 2005); Воронежской весенней математической школе "Современные методы теории краевых задач" "Понтрягинские чтения - XVII"(Воронеж, 2006), на семинаре
"Современные проблемы математики "(Воронежский госуниверситет, руководители проф. И.Я. Новиков, проф. В.А. Родин, доц. Л.А. Минин, доц. СМ. Ситник), на семинаре по качественной теории краевых задач (Воронежский госуниверситет, руководитель проф. Ю.В. Покорный).
Диссертация выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты 04-01-00049 и 07-01-00397) и гранта Президента РФ (НШ-1643.2003.01).
В заключение, автор выражает благодарность своему научному руководителю профессору Ю.В. Покорному и доценту Воронежского государственного университета В.Л. Прядиеву - за постановку задачи и полезные советы в ходе исследования.
Пространства функций на геометрическом графе
Мы будем рассматривать функции, заданные на Г, а также на -Й(Г). Среди множества функций, заданных на Г, мы будем выделять функции непрерывные на Г и обозначать их множество через С(Г). Кроме того, множество функций и(х), определенных и непрерывных на R(T) и обладающих тем свойством, что для любого ребра 7 геометрического графа Г и любого конца а ребра 7 существует и конечен lim и(х), будем обо-значать через C(R{T)). Далее, для того, чтобы определить функции дифференцируемые на -Д(Г), нам понадобится ориентация ребер Г. Для этого поставим в соответствие каждому ребру 7г один из двух коллинеарных ему единичных векторов, обозначив этот вектор через hi. тогда естественно определить производную функции и(х) в смысле заданной ориентации на Г как функцию Через Cl(R(T)) будем обозначать пространство функций из С (Г), обладающих равномерно непрерывной на каждом ребре 7; производной. Очевидно, что свойство равномерной непрерывности производной функции и(х) на ребре 7г не зависит от выбранной на этом ребре ориентации. Вторую производную функции и Є С(Г) определим как производную в смысле той же ориентации Г от функции и (х). Заметим, что значение второй производной от ориентации Г не зависит. Через С2(R(Г)) обозначим пространство функций из (/2(17)), обладающих равномерно непрерывной на каждом ребре 7г производной второго порядка. Для определения производных в вершинах графа Г понадобится понятие допустимого в вершине вектора. Определение 1.2.2 Вектор h єШ.п единичной длины назовем допустимым в вершине а геометрического графа Г, если (a + eh) Є Г для достаточно малых є 0. Множество допустимых в вершине а векторов обозначим через D(a). Для функции и, заданной на Г или на R(T) обозначим Если и Є Cl(R(T))} то для любой вершины а и любого h Є D(a) существует правосторонняя производная функции и в вершине о по направлению h, т.е. существует Аналогично вводится понятие правосторонней производной второго порядка для функции из C2(R{T)), т.е. если и Є C2(R(T)), то для любой вершины а и любого h Є D(a) существует правосторонняя производная второго порядка для функции и в вершине а по направлению /г, т.е. Основной объект исследования в диссертации - это система уравнений 9Na 9KI9L заданные положительные числа.
В дальнейших исследованиях мы будем опираться на экперементаль-ные данные, приведенные в статье [73], где в частности, функции ап, Рш ат, (Зт, ан, Ph опреднляются формулами (1.3.5)-(1.3.10) и кроме того gNa = 120, дк = 36, gL = 0,3 и VNa = 115, VK = -12, VL = 10. (Эти данные получены для аксона гигантского кальмара и конечно следует помнить, что для других аксонов численные значения функций ап, рп, От, Рт, h, Ph и констант gNa, дк, gL и VNa, VK, VL могут быть иными). Уранение (1.3.1) при х Є R{T) понимается в соответствии с введенным дифференцированием функций, определенных на Г. Предполагается, что для любого t 0 функция V Є С2(Я(Г)), т.е. V непрерывна на Г, сужения ее первой и второй производных на каждое из ребер Г равномерно непрерывны. Кроме того предполагается, что при х = а Є J{T) выполняется так называемое условие гладкости функции V: Также предполагается, что для любого х Є Г функция V, как функция переменного t, обладает равномерно непрерывной первой производной.
Пусть V(x,t), n(x,t), m(z,), h(x,t) - есть некоторое решение системы (1.3.1)-(1.3.4). Предположим, что для некоторой точки (xQ,to) выполнено неравенство nt(xQ,to) Ф 0, mt(xQ,to) ф 0, ht(xo,to) ф 0. Тогда из непрерывности функций щ, mt и ht вытекает, что существуют окрестности U\ точки хо (JJ\ необязательно является интервалом, она может представлять из себя некоторый подграф геометрического графа Г) и окрестность ІІ2 точки to такие, что щ, mt и ht отличны от нуля на U\ х Ui- Но тогда для Мх Є U\ каждая из функций п(х, ), m(x, ) и h{x, ) каждое из своих значений на интервале С/г принимает ровно один раз, поэтому для Ух Є U\ существуют взаимнооднозначные соответствия N(x,-), М(х,-) и Н(х,-), действующие по правилам: N(x,n(x,t)) = щ(х,і), M(x,m(x,t)) = mt(x,t), H(x,h(x,t)) = ht(x,t). Но тогда уравнения (1.3.2)-(1.3.4) для (x,t) Є U\ x С/2 примут вид: N{x, n(x, t)) = -(an{V(x, t)) + /3n(V(x, t)))n(x, t) + an{V(x, t)) (1.4.12) M(x,m(x,t)) = -{am(V(x,t))-hpm{V(x,t)))m(x,t)+am{V(x,t)) (1.4.13) H{x, h{x, t)) = -(ah(V(x, t)) + (3h(V(x, t)))h(x, t) + ah(V(x, t)) (1.4.14) Эти уравнения при каждом х Є U\ неявным образом определяют n, т и h как функции V, т.е. неявно определяют функции п(х, ), т(х, ), /г(х, ) такие, что Ух Є С/і и W Є С/г равенства (1.4.12)-(1.4.14) равносильны равенствам: n(x,t) = n(x,V(x,t)), m(x,t) — m(x,V(x,t)), h(x,t) = h(x,V(x,t)). Но тогда уравнение (1.3.1) принимает вид
Об асимптотике функции Грина вспомогательной краевой задачи
В этом праграфе рассматривается следующая задача на Г. а и г здесь - вещественные параметры, причем а О фиксировано; і -мнимая единица. Цель этого параграфа - получение асимптотики (при г - оо) функции Грина задачи (2.2.5). Через G(x, ;т) обозначим функцию Грина задачи (2.2.5). Для каждого г Є R G{-,-;T) действует из Г х Л(Г) в С и непрерывна, и для всякого г 6 R и для любой комплекснозначиой f(x), сужение которой на каждое из ребер геометрического графа Г равномерно непрерывно, решение (комплекснозначное) и{х\ г) задачи (2.2.5) может быть представлено в виде Искомая функция и непрерывна на Г, сужения ее первой и второй производных на каждое из ребер Г равномерно непрерывны, причем в каждой внутренней вершине а геометрического графа Г выполняется так называемое условие гладкости функции и: Определение 2.2.1
Пусть Г и Гі - связные геометрические графы, причем Гі С Г. Тогда если 1) дТ\ — {а; Ь), 2) все внутренние вершины Т\ являются внутренними вершинами V, 3) к каждой внутренней вершине геометрического графа Гі примыкает ровно два его ребра, то Г\ назовем путем геометрического графа Г, соединяющим точки а иЬ. Определение 2.2.2 Если Т\ - путь геометрического графа Г, то длиной пути Т\ назовем сумму длин всех ребер Т\. Теорема 2.2.1 Пусть Г является деревом, а - произвольная точка из Tjjdr. Тогда G(z,f;r) = 0 (\т\-2е ) (при т - оо), где р(, х) - длина пути, соединяющего точки х и . Здесь Доказательство. Доказательство будем проводить индукцией по числу внутренних вершин. Проверим базу индукции. Когда у геометрического графа нет внутренних вершин, то получаем задачу (2.2.5) на интервале (можно считать, что в данном случае Г = (а, 6) С R1). Функция Грина задачи (2.2.5) на Г = (а, Ь) имеет вид где s = а+іт; здесь и далее для определенности полагаем, что Re\/s 0. Рассмотрим сначала случай, когда f = а - граничная вершина Г. Проверим утверждение теоремы. В данном случае Здесь y/s = a + i(3. Далее, так как а = -т- у а + х/о Тт5, а (3 = 4= у — а + \/сг2 + г2, то получаем требуемое. Случай = Ь рассматривается аналогично. Если не является граничной вершиной, то при х , то получаем требуемое.
Случай я проверяется аналогично. Предположим, что утверждение теоремы выполнено для любого геометрического графа с количеством внутренних вершин к, и покажем, что тогда утверждение теоремы выполнено и для геометрического графа с (к + 1) внутренними вершинами. Далее в рассуждениях предполагаем, что Г имеет (А; +1) внутренних вершин. Выберем произвольную внутреннюю вершину а геометрического графа Г. Пусть Гі,Г2,...,Гті(ті 2) - компоненты связности множества Г\{а}. Тогда функция Грина задачи (2.2.5) может быть записана в виде (при х ф а и Этот параграф посвящен доказательству возможности представления функции Грина в виде, введенном в предыдущем пункте. И здесь мы будем следовать схеме, изложенной в [48]. где определители А1 1 (г) получены из исходного выбрасыванием первой строки и г-го столбца. Далее, подставляя полученное в (2.3.8) имеем а затем применяем оператор Ls к (2.3.9) и получим требуемое, в силу того, что Н(х,;т) - фундаментальное решение, а фі(х;т) являются решениями уравнения Lsu = 0. Решение задачи (2.1.1)-(2.1.4) может быть сведено к решению следующих трех вспомогательных задач
Согласование решений вспомогательных задач и их поведение в точках согласования
Доказательство этой теоремы будет основано на следующей лемме Лемма 3.4.1 Пусть выполнены условия теоремы 3.4-7, aw- есть решение уравнения w"(x) = G(w(x)), такое что либо a) w(0) 0, u/(0) 0 либо б) w(0) 0, и/(0) 0. Тогда в первом случае w(v) 0 и w (y) 0 и во втором случае w(u) 0 и w (u) 0 Доказательство, а) Пусть w(z) -решениеуравнения w"(x) = G(w(x)), определенное на [0, v] и го(0) 0, «/(0) 0. Из того, что w(0) 0, и непрерывности w(x) следует, что существует //(0) - правосторонняя е-окрестность точки 0 такая, что w(х) 0 при х Є U (0). Тогда в силу положительности G(w) при w 0 из уравнения w"(x) = G(w) следует, что w"(x) 0 при х Є //(0) и, следовательно w (x) монотонно возрастает. Учитывая, что гі/(0) 0 и w (x) монотонно возрастает получим: w (x) 0, х Є //(0), и тогда w(x) монотонно возрастает при х Є //(0). Проводя аналогичные рассуждения для произвольной точки х, получим, что w (x) 0 при всех х 0. Откуда вытекает w {v) 0 и W(P) 0. б) Пусть w(0) 0 и и/(0) 0. Сделаем замену и(х) = -ги(х). Осталось применить рассуждения из а). Лемма доказана. Доказательство теоремы 3.4.1. Очевидно, что w(x) = 0 является решением задачи (3.4.49). В силу леммы 3.4.1 других решений не существует. Теорема доказана. Рассмотрим теперь задачу к и/аг = 0 Теорема 3.4.2 Пусть выполнены условия: G непрерывна и sgnG = sgnw. Пусть Г - дерево. Тогда задача (3.4-50) имеет единственное решение w(x) = 0. Доказательство этой теоремы будет основано на следующей лемме Лемма 3.4.2 Пусть выполнены условия теоремы 3.4-9, aw- есть решение уравнения причем для некоторой b дГ выполнено либо a) w(b) 0, w (b) 0, либо б) w(b) 0, w {b) 0. Тогда в первом случае найдется точка d Є дТ такая, что w(d) 0 и w (d) 0, а во втором случае найдется d Є дТ такая, что w{d) 0 и w {d) 0. Доказательство. Доказательство будем проводить индукцией по количеству ребер.
Проверим базу индукции. При k = 1 получаем Лемму 3.4.8. Предположим, что утверждение выполнено для графа с количеством ребер к, и допустим, что Г имеет к + 1 ребер. Пусть w(b) 0 w (b) 0 и пусть с - смежная с ней внутренняя вершина графа. Тогда в найдется h,2 D(c) \ {hi} такой что w h2(c) 0. Рассмотрим ту компоненту связности множества Г \ {с}, которая содержит точки с + гкч для достаточно малых є 0. Обозначим эту компоненту через Гі. Тогда замыкание Гі будет геометрическим графом с количеством ребер к, причем сужение w\f будет удовлетворять условиям леммы 3.4.10 на IY Отсюда и вытекает требуемое. Доказательство теоремы 3.4.9. Очевидно, что w{x) = 0 является решением задачи (3.4.50). Покажем, что других решений у задачи (3.4.50) нет. Пусть w ф 0 - есть решение задачи (3.4.50). В силу леммы 3.4.10 wdr = 0. Пусть b - какая-то точка из дГ, тогда w(b) = 0 и w (b) = 0. Значит на примыкающем к b ребре w - есть решение задачи Коши с нулевыми данными. Поэтому w = 0 на этом ребре. Обозначим это ребро через 7-Пусть Го максимальное по включению подмножество Г, удовлетворяющее свойствам: Го Э 7 и w = 0 на Го. Тогда Го ф Г и Го является объединением конечного числа ребер Г. Значит существует с Є і7(Г) такая, что w Ф 0 в любой окрестности точки с. Откуда следует, что существуют h\ и /i2 из D(c) такие, что w (с) 0 и w (с) 0. Тогда 3 во 0 такое, что w(c + 0 1) 0 и w (c + Єо і) 0. Пусть Гг - компонента связности Г \ {с}, содержащая точки с + о 1 + Ы для достаточно малых є 0. Применяя теперь к геометрическому графу Гг лемму 3.4.10 получим, что существует d Є дТ2 С дГ, в которой w (d) ф 0. Теорема доказана.
О решениях типа простой волны для уравнения Ходжкина-Хаксли на вещественной оси
Интенсивное изучение дифференциальных уравнений на геометрических графах (в других терминах - пространственных сетях, одномерных клеточных комплексах, одномерных стратифицированных множествах) началось около 25-30 лет назад. К таким уравнениям приводит моделирование самых разных явлений: процессов в сетях волноводов (см., например, [48, 74, 78]), деформаций и колебаний стержневых решёток (см., например, [48, 78, 74, 4, 70, 77]), деформаций упругих сеток (см., например, [48, 78]) и струнно-стержневых систем [3, 47], диффузии в сетях [48, 78, 26], распространения электрического потенциала в нейроне и нейронных сетях [79, 80, 49], бифуркаций вихревых течений в жидкости [68], гемодинамики (см., например, [6]), колебаний сложных молекул (см., например, [42, 11]), расчёт гидравлических сетей (см., например, [23]), приводят к таким уравнениям и задачи вычислительного характера: например, задача о приближении спектра лапласиана и операторов более высокого порядка на триангулируемом римановом многообразии спектрами дифференциальных операторов на геометрических графах (топологических сетях) (см., например, [43, 30, 77, 29]).
Мы не будем подробно останавливаться на результатах исследований линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка на геометрических графах. Отметим лишь, что для таких уравнений достаточно полно изучен вопрос о разрешимости задачи с краевыми условиями типа Штурма-Лиувилля при условиях трансмиссии во внутренних вершинах графа, адекватных закону Кирхгофа, а так же вопрос о структуре спектра (условия простоты, оценки геометрической и алгебраической кратностей, асимптотики, оценки резольвенты, существование полугруппы); построена теория функции Грина, исследованы свойства неосцилляции уравнений и неравенств, доказаны аналоги теорем Штурма о сравнении и перемежаемости, установлены условия осцилляционности спектра в случае геометрических графов без циклов - см. [48] и цитированную там литературу.
Часть этих результатов была получена и в случае обобщения условий Кирхгофа, которые могут быть проинтерпретированы как наличие в потенциале аддитивной составляющей в виде конечной линейной комбинации: 1) 5-функций с носителями во внутренних вершинах геометрического графа [48], 2) -функций с носителями там же [57, 50, 1]. Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка на геометрических графах могут рассматриваться как частный случай уравнений эллиптического типа на стратифицированных множествах, теория которых к настоящему времени развита до аналогов неравенства Пуанкаре, принципа максимума, неравенства Гарнака, теоремы о среднем, формулы Пуассона, метода Перрона - см., например, [44, 45, 46, 8, 39, 48]. Аналоги классических результатов (разрешимость, существование сильно непрерывной полугруппы) получены и для уравнений параболического типа - см., например, [26, 76, 83].
Волновое уравнение при различных условиях трансмиссии также исследовалось во многих работах (см. [51, 69, 71, 5, 31, 32, 58, 33, 34, 81, 59, 35, 60, 61, 62, 63, 12, 7, 13, 72, 40, 41]). Для этого уравнения получены описания профилей прямой о обратной волн (через начальные данные) для некотрых классов геометрических графов и краевых условий, доказано существование сильно непрерывной операторной косинус-функции. Перенесен метод Римана на случай гиперболического уравнения на геометрическом графе-звезде и при гладких условиях трансмиссии [9, 10]. Что же касается теории нелинейных дифференциальных уравнений на геометрических графах, то вполне естественно, что результаты здесь носят в основном фрагментарный характер. А именно: для квазилинейных уравнений гиперболического типа на геометрическом графе доказана слабая разрешимость начальной задачи на достаточно малом временном промежутке [69]; для различных классов нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка на геометрическом графе получены условия разрешимости задачи Дирихле (см. [52, 27, 1, 54]); а для некоторых доказаны теоремы сравнения [52, 27, 64, 65].
