Содержание к диссертации
Введение
1 Смешанная задача для волнового уравнения на отрезке с краевым условием третьего рода 22
1.1 Постановка задачи для волнового уравнения на отрезке с краевыми условиями первого и третьего родов 27
1.2 Представление решения задачи (1.1.3)-(1.1.4) в виде тригонометрического ряда 29
1.3 Решение задачи (1.1.3)-(1.1.4) методом шагов 32
1.4 Формула суммы тригонометрического ряда специального вида 43
1.5 Постановка задачи для волнового уравнения на отрезке с краевыми условиями второго и третьего родов 44
1.6 Решение задачи (1.5.2)-(1.5.3) методом шагов 45
1.7 Решение волнового уравнения для нагруженной струны 51
2 Новая вычислительная схема решения смешанной задачи для волнового уравнения на отрезке с краевым условием третьего рода и её сравнение с известными 54
2.1 Применение разностной схемы для решения смешанной задачи с краевым условием третьего рода 54
2.2 Построение новой схемы для решения смешанной задачи с краевым условием третьего рода 57
3 Волновое уравнение с сингулярными коэффициентами на связных и конечных геометрических графах 63
3.1 Понятие связного открытого геометрического графа 63
3.2 Функциональные пространства на связном открытом геометрическом графе 65
3.3 Волновое уравнение на геометрическом графе с 5- и 5'- сингу-лярностями в коэффициентах 68
3.4 Единственность решения смешанной задачи для волнового уравнения с 6- и 8'- сингулярностями в коэффициентах 72
3.5 Примеры смешанных задач для волнового уравнения на различных графах 75
Литература 122
- Представление решения задачи (1.1.3)-(1.1.4) в виде тригонометрического ряда
- Решение задачи (1.5.2)-(1.5.3) методом шагов
- Построение новой схемы для решения смешанной задачи с краевым условием третьего рода
- Волновое уравнение на геометрическом графе с 5- и 5'- сингу-лярностями в коэффициентах
Введение к работе
Настоящая работа посвящена исследованию уравнения гиперболического типа
uxx(x,t) -q{x)u(x,t) = utt(x,t) (і є Г, t > 0), (1)
в котором Г - геометрический граф, а коэффициент q(x) есть конечная линейная комбинация 6 и б1 функций с носителями в точках из Г
q(x) = 2Z h5(x — Хі) + /J kj6'(x — Xj)
і з
(здесь 6 это дельта функция Дирака).
Основная цель, которая преследовалась в работе, состоит в выделении классов геометрических графов и смешанных задач для уравнения указанного типа, решения которых могут быть выражены через начальные данные посредством конечного числа арифметических операций, элементарных функций, квадратур и простых преобразований независимого аргумента (аддитивный сдвиг и умножение на —1), - подобно тому, как решение волнового уравнения на отрезке с краевыми условиями первого рода выражается через начальные данные с помощью формулы Далам-бера.
Несколько слов об истории исследований линейных дифференциальных уравнений на геометрических графах и месте настоящей работы в этих исследованиях.
Интенсивное изучение дифференциальных уравнений на геометрических графах (в других терминах - пространственных сетях, одномерных клеточных комплексах, одномерных стратифицированных множествах) началось сравнительно недавно, около 25-30 лет назад. К таким уравнениям приводит моделирование самых разных явлений: процессов в се-
тях волноводов (см., например, [15, 79, 82]), деформаций и колебаний стержневых решёток (см., например, [15, 82, 79, 46, 76, 81]), деформаций упругих сеток (см., например, [15, 82]) и струнно-стержневых систем [3, 54], диффузии в сетях [15, 82, 24], распространения электрического потенциала в нейроне и нейронных сетях [84, 78, 72], бифуркаций вихревых течений в жидкости [74], гемодинамики (см., например, [48]), колебаний сложных молекул (см., например, [49, 11, 15]), расчёт гидравлических сетей (см., например, [14]), приводят к таким уравнениям и задачи вычислительного характера: например, задача о приближении спектра лапласиана и операторов более высокого порядка на триангулируемом римановом многообразии спектрами дифференциальных операторов на геометрических графах (топологических сетях) (см., например, [50, 27, 81, 26]).
Мы не будем подробно останавливаться на результатах исследований обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка на геометрических графах. Отметим лишь, что для таких уравнений достаточно полно изучен вопрос о разрешимости задачи с краевыми условиями типа Штурма-Лиувилля при условиях трансмиссии во внутренних вершинах графа, а так же вопрос о структуре спектра (условия простоты, оценки геометрической и алгебраической кратностей, асимптотики, оценки резольвенты, существования полугруппы); построена теория функции Грина, исследованы свойства неосцилляции уравнений и неравенств, доказаны аналоги теорем Штурма о сравнении и перемежаемости, установлены условия осцилляционности спектра в случае геометрических графов без циклов - см. [15] и цитированную там литературу.
Часть этих результатов была получена и в случае обобщения усло-
вий Кирхгофа, которые могут быть проинтерпретированы как наличие в потенциале аддитивной составляющей в виде конечной линейной комбинации: 1) J-функций с носителями во внутренних вершинах геометрического графа [15], 2) <5'-функций с носителями там же [60, 73, 1].
Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка на геометрических графах могут рассматриваться как частный случай уравнений эллиптического типа на стратифицированных множествах, теория которых к настоящему времени развита до аналогов неравенства Пуанкаре, принципа максимума, неравенства Гарнака, теоремы о среднем, формулы Пуассона, метода Перрона - см., например, [52, 51, 53, 8, 34, 15].
Аналоги классических результатов (разрешимость, существование сильно непрерывной полугруппы) получены и для уравнений параболического типа - см., например, [24, 80].
На результатах исследований уравнений гиперболического типа на геометрических графах остановимся более подробно. Прежде всего, если говорить о волновом уравнении на геометрическом графе, то, помимо исследования структуры и ассимптотики спектра и оценок резольвенты (об этом выше уже шла речь), следует сказать о получении аналогов формулы Даламбера [56, 75, 77, 5, 31, 29, 62]. Эти аналоги позволили для смешанной задачи с краевыми условиями первого и/или второго родов на геометрическом графе с соизмеримыми по длине рёбрами: 1) описать решение (а значит, и соответствующие операторные косинус-функции и синус-функции) в конечной форме, означающей квазипериодичность -см. [62, 28, 31, 32, 83, 57], 2) обосновать корректность задачи [30], 3) создать эффективную вычислительную схему, основанную на теореме о
среднем [64]. Аналог формулы Даламбера позволил также свести решение смешанной задачи (для, по-прежнему, волнового уравнения) на геометрическом графе с рёбрами, вообще говоря, несоизмеримыми, к системе (недифференциальных) уравнений с конечным числом запаздываний [58, 59]. Ещё одно направление исследований (пока мало разработанное) - это создание аналога метода Римана [37, 10, 9]. Предпринимаются и первые попытки исследования задач управления [61, 12] и задач управляемости [7] (последнее в духе работ [18]-[22], [69, 70]) при краевых условиях пока только первого рода. На повестке дня и перенесение методов задач наблюдения (см., например, [17, 16]) на волновые уравнения на геометрических графах.
Основная цель настоящей диссертации изначально состояла в получении формулы решения смешанной задачи с краевыми условиями третьего рода (которые адекватны наличию в потенциале односторонней ^-функции) для волнового уравнения на геометрическом графе с соизмеримыми рёбрами - формулы, аналогичной той, которая была получена ранее в работах [56, 62, 28, 31, 32, 29, 83, 57] для краевых условий первого и/или второго родов - с последующим созданием эффективной вычислительной схемы для решения таких задач. Однако, в полной мере этой цели достичь не удалось, поскольку быстро выяснилось, что в отличии от случая краевых условий первого и/или второго родов, такая задача не решена даже для отрезка - простейшего варианта геометрического графа. Поэтому часть настоящей диссертации служит выводу формулы для продолжения начальных данных в представлении решения (в форме Даламбера) смешанной задачи для волнового уравнения на отрезке при наличии краевого условия третьего рода - формулы,
содержащей конечное число арифметических операций, элементарных функций, квадратур и простейших преобразований начальных данных, означающих сдвиг графика и его симметричное отображение. Разработанный здесь подход позволил получить такого же типа описание для продолжения начальных данных и в задаче о колебаниях нагруженной струны. В заключительной части работы результаты "подготовительного" этапа применяются к волновому уравнению (1) на геометрическом графе с краевыми условиями третьего рода. При этом выяснилось, что результаты "подготовительной" части находят применение и для волновых уравнений на геометрических графах в случае, когда в потенциале (множитель при искомой функции) представляет собой линейную комбинацию <5-функций или их производных (в смысле [23]).
Перейдём к краткому описанию основных результатов данной диссертации.
Первая глава посвящена исследованию смешанной задачи для волнового уравнения с краевым условием третьего рода на отрезке или, что тоже самое, уравнению (1) при q{x) = кд-(х — ), где _, — так называемая, левосторонняя дельта функция. Основная цель этой главы - получить аналог формулы Даламбера через продолжения начальных данных в виде, эффективном с вычислительной точки зрения.
Представление решения задачи (1.1.3)-(1.1.4) в виде тригонометрического ряда
Таким образом, представление решения задачи (1.1.3)-(1.1.4) в форме (1.2.1), с последующей подстановкой в (1.1.2) приводит лишь к представлению решения задачи (1.1.1) в форме ряда по собственным функциям спектральной задачи, получающейся после применения к задаче (1.1-1) метода разделения переменных. Описанный в предыдущем пункте подход к решению задачи (1.1.3)-(1.1.4) (являющейся, как видно из изложения, классическим) даёт тот же результат, что и метод разделения переменных, сразу же примененный к задаче (1.1.1). А соответствующий результат, как видно из (1.2.3), мало эффективен с вычислительной точки зрения - во-первых, априори не ясно начиная с какого номера можно отбросить слагаемые в ряде из правой части (1.2.3), чтобы обеспечить наперёд заданную точность, с которой требуется найти решение, а во-вторых, дополнительные проблемы порождают как попарная несоизмеримость членов последовательности {о;т}, так и то обстоятельство, что шт могут быть посчитаны только приближённо. Из предыдущего пункта следует, что для получения представления решения задачи (1.1.1) в виде, принципиально отличного от (1.2.3), необходимо найти решение задачи (1.1.3)-(1.1.4) в виде, принципиально отличающемся от (1.2.1). В этом пункте мы останавливаемся на решении задачи (1.1.3)-(1.1.4) методом шагов. С учётом нечётности функции ф{х) перейдем от рассмотрения задачи (1.1.3)-(1.1.4) к более удобной для дальнейших исследований задаче: Решение последней совпадает на [0, -foo) с решением (1.1.3)-(1.1.4), поскольку совпадает с fi{x) на [, 2]. Если мы умножим уравнение (1.3.1) на екх и проинтегрируем от (2п — 1) до х Є [(2п — Соотношение (1.3.3), являясь по сути рекуррентным, позволяет выразить методом шагов функцию ф(х) при х Є [(2п— 1)\ (2п +1)) (п Є N), через значения функции ф(х), на [—\]. Лемма 1.3.1. Существуют последовательность конечных наборов многочленов {Rf (х)} $ (degR = г) и последовательность многочленов {Qn-i(aj)}JL]_ (degQ _x = п — 1) такие, что Справедливость (1.3.4) при п = 1 следует из справедливости (1.3.3) при п = 1, если положить R\(x) = 1, QQ(X) = 0. Допустим теперь, что функция ф(х) представима в форме (1.3.4) при х Є [{2к — 1); (2к + 1)), где к = 1,п, п Є N; покажем справедливость (1.3.4) при а: Є [(2n + 1); (2n + 3) ); для этого подставим представление (1.3.4) функции ф(х) на {(2к — 1); (2к + І)) в соотношение (1.3.3) (при J2 f /Я?0 - 2) dt(f - 2fln" "V( - 2(n + 1)) dt + (- ) x где JЩ(Х - 2Є) dx - некоторая первообразная многочлена Щ(Х - 2Є).
Справедливость (1.3.4) при х Є [(2п + 1)] (2п + 3)) тем самым доказана - достаточно определить многочлены R+l(x) соотношением: {2кА)п+1 2щ+1(х) / tn"V( - 2(п + 1)Є) dt = {2kA)n+lx і—n J (2п+1)Є (2n+l) (то, ЧТО (1.3.5) позволяет определить многочлены Я+1(ж) (г = 1,п) через многочлены Щ{х) (j = l,7i — 1) (однозначность такого определения мы не обсуждаем), можно усмотреть, преобразовав правую часть (1.3.5) следующим образом: раскрыть по формуле Бинома Ньютона степени (t — 20) и сгруппировать затем получившиеся слагаемые по множите х лям 1),(2п + 1)), то, введя новое обозначение ф(х) = екхф(х), мы получим соотношение: для x [(2n — 1)] (2n + 1)), n Є N. Интегрируя последнее слагаемое по частям, получаем отсюда Соотношение (1.3.3), являясь по сути рекуррентным, позволяет выразить методом шагов функцию ф(х) при х Є [(2п— 1)\ (2п +1)) (п Є N), через значения функции ф(х), на [—\]. Лемма 1.3.1. Существуют последовательность конечных наборов многочленов {Rf (х)} $ (degR = г) и последовательность многочленов {Qn-i(aj)}JL]_ (degQ _x = п — 1) такие, что Справедливость (1.3.4) при п = 1 следует из справедливости (1.3.3) при п = 1, если положить R\(x) = 1, QQ(X) = 0. Допустим теперь, что функция ф(х) представима в форме (1.3.4) при х Є [{2к — 1); (2к + 1)), где к = 1,п, п Є N; покажем справедливость (1.3.4) при а: Є [(2n + 1); (2n + 3) ); для этого подставим представление (1.3.4) функции ф(х) на {(2к — 1); (2к + І)) в соотношение (1.3.3) (при J2 f /Я?0 - 2) dt(f - 2fln" "V( - 2(n + 1)) dt + (- ) x где JЩ(Х - 2Є) dx - некоторая первообразная многочлена Щ(Х - 2Є). Справедливость (1.3.4) при х Є [(2п + 1)] (2п + 3)) тем самым доказана - достаточно определить многочлены R+l(x) соотношением: {2кА)п+1 2щ+1(х) / tn"V( - 2(п + 1)Є) dt = {2kA)n+lx і—n J (2п+1)Є (2n+l) (то, ЧТО (1.3.5) позволяет определить многочлены Я+1(ж) (г = 1,п) через многочлены Щ{х) (j = l,7i — 1) (однозначность такого определения мы не обсуждаем), можно усмотреть, преобразовав правую часть (1.3.5) следующим образом: раскрыть по формуле Бинома Ньютона степени (t — 20) и сгруппировать затем получившиеся слагаемые по множите х лям / tn lip(t — 2(n + 1)) dt), а многочлены Q+l(x) определить как: Замечание.В дальнейшем мы будем полагать, что многочлен В+1(х) (г = 1,гг) определяется из (1.3.5) через многочлены Щ(х) (j — 1,п — 1) именно способом, описанным в конце доказательства леммы 1.3.1. Лемма 1.3.2. Коэффициенты Ц,г многочленов вычисляются по формулам: (1-3.7) (9 = 0,j-l, m = q,j - 1). Доказательство. Покажем, что коэффициенты W+1 9 (g = 0,j, р = 0, g) связаны с коэффициентами Ц:3 (з = 0, j — 1, г = 0, з) через некоторые рекуррентные соотношения. Для этого упростим правую часть (1.3.5):
Решение задачи (1.5.2)-(1.5.3) методом шагов
Решение ф(х) задачи (1.5.2)-(1.5.3) будем разыскивать методом шагов (по похожей схеме, используемой в п. 1.3). Для этого: умножим уравнение (1.5.2) на екх и проинтегрируем от (2п — 1) до х. Введя новое обозначение: х{х) — екхФ{х), А = е2М (и, проинтегрировав, по частям) получим: Данное рекуррентное соотношение позволяет выразить методом шагов функцию х{х) ПРИ х Є [(2п—\)\ (2п-\-1)) (п Є N и п = п(х) есть целая часть числа (х + )/(2)) через значения функции х{х) на а: Є [—;]. Лемма 1.6.1. Существуют последовательность конечных наборов многочленов {- ( )}?=о г ( eg-R" = г) гі последовательность мно форме (1.6.2), заданной на любом полуинтервале вида х [(2п — 1); (2п + 1)), достаточно применить метод математической индукции по параметру п. Справедливость (1.6.2) при п = 1 вытекает из справедливости (1.6.1) при п = 1, если положить RQ(X) = 1, PQ(X) = 0. Полагая, что функция х(х) представима в форме (1.6.2) при х Є \{2к — 1)\ (2к + 1)), где к = 1,п, п Є N, покажем справедливость (1.6.2) при х Є [(2п + 1) ; (2n + 3) ); для этого подставим представление (1.6.2) функции х(х) на [(2fc — 1); (2/с + 1)) в соотношение (1.6.1) (при к = п + 1) и получим (интегрируя по частям, выполняя подходящую замену переменной интегрирования и группировку слагаемых): где / Д"(а; — 2) dx - некоторая первообразная многочлена Щ(х — 2). Справедливость (1.6.2) тем самым доказана - достаточно положить: рез многочлены B!j(x) (j = 0,n — 1) (однозначность такого определения мы не обсуждаем), можно усмотреть, преобразовав правую часть (1.6.4) следующим образом: раскрыть по формуле Бинома Ньютона степени (t — 2) и сгруппировать затем получившиеся слагаемые по множите х лям (2п+1) Замечание.В дальнейшем мы будем полагать, что многочлен Щ+1(х) (і = 0,п) определяется из (1.6.4) через многочлены Щ(х) (j = 0,п—1) именно способом, описанным в конце доказательства леммы 1.6.1. Лемма 1.6.2. Коэффициенты Ьрг многочленов Доказательство. Проводится по аналогии с доказательством, описан ным в лемме 1.3.2 п. 1.3. Для этого достаточно заметить, что при доказа подходящую замену переменной интегрирования и группировку слагаемых): где / Д"(а; — 2) dx - некоторая первообразная многочлена Щ(х — 2). Справедливость (1.6.2) тем самым доказана - достаточно положить: рез многочлены B!j(x) (j = 0,n — 1) (однозначность такого определения мы не обсуждаем), можно усмотреть, преобразовав правую часть (1.6.4) следующим образом: раскрыть по формуле Бинома Ньютона степени (t — 2) и сгруппировать затем получившиеся слагаемые по множите х лям (2п+1) Замечание.В дальнейшем мы будем полагать, что многочлен Щ+1(х) (і = 0,п) определяется из (1.6.4) через многочлены Щ(х) (j = 0,п—1) именно способом, описанным в конце доказательства леммы 1.6.1.
Лемма 1.6.2. Коэффициенты Ьрг многочленов Доказательство. Проводится по аналогии с доказательством, описан ным в лемме 1.3.2 п. 1.3. Для этого достаточно заметить, что при доказа тельстве леммы 1.3.2 использовалась формула (1.3.5) связи многочленов R+1 (і = 0, п) с многочленами Щ (j = 0, п — 1), которая, с точностью до обозначений, по сути отличается от формулы (1.6.4) общим множителем в правой и левой части (т. е. (2кА)п+1 в формуле (1.3.5) и (—2кА)п+1 в формуле (1.6.4)) при исключении из рассмотрения которого в итоге получим одинаковые соотношения, необходимые и достаточные для до казательства утверждения леммы. Доказательство. Проведём методом математической индукции по т. Справедливость (1.6.6) при га = 1 очевидна, при т = 2 - следует из (1.6.3) (при п = 1), если учесть, что PQ(X) = 0 и RQ(X) = 1. Пусть теперь представление (1.6.6) верно при т = п. Подставим представление многочлена Р тельстве леммы 1.3.2 использовалась формула (1.3.5) связи многочленов R+1 (і = 0, п) с многочленами Щ (j = 0, п — 1), которая, с точностью до обозначений, по сути отличается от формулы (1.6.4) общим множителем в правой и левой части (т. е. (2кА)п+1 в формуле (1.3.5) и (—2кА)п+1 в формуле (1.6.4)) при исключении из рассмотрения которого в итоге получим одинаковые соотношения, необходимые и достаточные для до казательства утверждения леммы. Доказательство. Проведём методом математической индукции по т. Справедливость (1.6.6) при га = 1 очевидна, при т = 2 - следует из (1.6.3) (при п = 1), если учесть, что PQ(X) = 0 и RQ(X) = 1. Пусть теперь представление (1.6.6) верно при т = п. Подставим представление многочлена Р _х(х) в виде (1.6.6) в правую часть (1.6.3) и сгруппируем подобные слагаемые правой части в получившемся пред ставлении Р+1(х): сначала по степеням j множителей (—2kA) , j = 1, п, а затем в каждой из п сумм при множителях (—2кАУ - по множителям вида / - X(t-2jW = 0 . В итоге получим: X X \{2п+1)Є Теорема 1.6.1. Решение задачи (1.5.1) v(x,t) представимо в форме Даламбера: v{x, t) = -(ф{х + t) + ф{х )}, в которой функция ф есть дваоюды непрерывно дифференцируемая чётная функция, совпадающая сф на [0,], причём на любом полуинтервале вида [(2п — 1), (2п + 1)) (п N) она представима в виде конечной где Ь{ г(у) = 2_] г —Уд - многочлены, представляющие из себя ортогональные многочлены Лагерра (устанавливается непосредственной проверкой). Из представления решения в форме Даламбера задачи (1.5.1) и ре зультатов, полученных в (1.6.2), (1.6.5) и (1.6.6), с учётом х(х) — екхФ(х) и (1.5.3) вытекает утверждение теоремы (с учётом замены индекса сум мирования г).
Построение новой схемы для решения смешанной задачи с краевым условием третьего рода
Перейдём теперь к описанию новой вычислительной схемы для решения задачи где и к - фиксированные положительные числа, (р Є С2[0;], а /і и /2 определяются как 1\у = у(0) или / = і/(0), 22/ = 2/W + ку(). Схема эта, как уже было заявлено ранее, основана на представлении (1.3.13) или (1.6.7) при 1\у = 2/(0) или при l\y = у (0) соответственно. Сначала нам, однако, понадобится понятие фундаментального решения задачи (2.2.1). Введём в рассмотрение функцию Грина G(x, s) краевой задачи явное описание из которого видно, что при каждом s [0,] функция G(x,s) кусочно-линейна и имеет единственную точку излома: х = s. Определение 2.2.1. Функцию g(x,t,s), являющуюся решением задачи (2.2.1) заменой р(х) на G(x,s), назовём фундаментальным решением задачи (2.2.1). Замечание. Если s Є (0, ], то решение g(x,t,s) следует понимать в обобщённом смысле, так как в этом случае первая производная G(x, s) терпит разрыв в точке х — s (это - если s Є (0, )), либо (если s = ) G(x, s) не удовлетворяет краевому условию в точке . Если быть более точными, то g(x,t,s) (при каждом фиксированном s Є Ф,]) есть функция, удовлетворяющая волновому уравнению (в обычном смысле) Uxx{%it) = utt{x,t) в области D = (0,) х Ш+ за исключением точек, лежащих на характеристиках t = ±х ± s + 2п (п Є Z) (допускаются все четыре сочетания знаков ±), и удовлетворяющая условиям #(0, t, s) = 0, gx(,t,s) + kg(,t,s) = 0 (при t Ф ±( - s) + 2n) к g(x,Q,s) = G(x,s), gt(x,0,s) = 0 (при x Ф s). Замечание. Непосредственно проверяется, что Замечание. Сформулированное предложение можно доказать как исходя из представления д(х, t,s) = -1 д(х + , s) + д(х — ,«)], так и исходя из общих свойств g(x,t, s), среди которых распространение скачков производной д(х, t, s) вдоль характеристик и их совпадение по модулю (см., например, [71] (п.8 2 главы II)). В итоге, новая численная схема решения задачи (2.2.1) сводится к приближённому алгоритму вычисления интеграла (2.2.2) (например, методом прямоугольников, трапеций, Симпсона и т. д.). Замечание. Приведённый вычислительный алгоритм позволяет находить решение задачи (2.2.1) с любой наперёд заданной точностью при достаточно больших t. Количество вычислений и точная оценка погрешности (метода) будут зависить лишь от выбора алгоритма численного интегрирования.
Замечание. Можно, конечно, рассмотреть и пошаговый вычислительный алгоритм для вычисления ф (из представления решения задачи (2.2.1) в форме Даламбера: u(x,t) — (ф(х + 0 + Ф(х ))) указание на который можно найти, например, в книге [68]. В том числе, на теоретическую возможность пошагового построения / можно найти ссылку и в работе [69, 70], в которой ставится вопрос об управляемости для задачи с краевым условием третьего рода. Однако должно быть понятно, что пошаговый способ построения / сопряжён с заметным ростом вычислительной ошибки и трудоёмкостью. Действительно, если остановиться на рассмотрении задачи (2.2.1) при l\y = у(0), то рекуррентное соотношение (1.3.3), может служить отправной точкой для реализации упомянутого пошагового метода. Если ввести вспомогательное обозначение: рекуррентное соотношение (1.3.3) примет вид: где Є [—,), n Є N (напомним, что А — е2кі). Формула (2.2.3) позволяет пошагово строить функцию ф на [(2п — 1) , (2п 4- 1) ) по известной функции ф, заданной на [(2п — 3), (2n — 1)Q (а стало быть и функцию ). Легко заметить, что количество интегралов при таком подходе растет от шага к шагу (соответственно накапливается погрешность) и для произвольного, наперёд заданного, параметра п (п N) по окончании последней итерации их число составит Сгп{п — і) (с учетом кратности). Формально можно по пытаться заменить (см., например, [35]) вычисление (т+1)-кратного ин гда формула, определяющая ф, будет содержать некоторую комбинацию 2(га+1) интегралов вида: J (t — s)p o(s) dsn І (і — з)яфо{з) ds (t 6 [—, ), p, q G 0,п). Однако, в таком случае, с одной стороны, проследить за выражениями, выступающими множителями данных кратных интегралов, не представляется возможным, а, с другой стороны, такое количество получившихся интегралов будет увеличивать на порядок величину погрешности.
Волновое уравнение на геометрическом графе с 5- и 5'- сингу-лярностями в коэффициентах
Рассмотрим волновое уравнение понимаемое так же, как и в работе [56]. В частности это означает, что У1) для любого t 0 функция u(x,t), как функция переменного х, принадлежит C2(R(T)); У2) для любого х ЕГ функция u(x,t), как функция переменного t для любого Т 0, обладает равномерно непрерывной на (0,Т) второй производной; УЗ) при х Є ЩТ) уравнение (3.3.1) понимается в соответствии с введённым в предыдущем пункте дифференцированием функций, определённых на Г; У4) при каждом t 0 функция u(x,t), как функция переменного х, является гладкой функцией, т. е. (сейчас пока подразумеваем, что Y = 0) для любой внутренней вершины а графа Г выполнено У5) для любой а Є »7(Г) и любых t 0 и h Є D(a) выполнено Замечание. Если связный открытый геометрический граф Г состоит ровно из двух рёбер, содержащихся в Iі, т. е. Г = (a, 6) J(6, с) \J{b}, а, 6, с Є Ш, J(V) = {6}, дГ = {а,с}, то уравнение (3.3.1) равносильно классическому волновому уравнению на интервале (о, с); другими слова ми, условия, налагаемые на решение и(х, t) уравнения (3.3.1) во внутренней вершине 6, равносильны выполнению равенства uxx(b,t) = uu(b,t), т. е. выполнению в точке Ъ волнового уравнения. Именно это обстоятельство даёт нам право и в случае произвольного связного открытого геометрического графа Г записывать волновое уравнение на Г в форме (3.3.1), записывая тем самым условия непрерывности функции u(-,t) во внутренних вершинах Г и условия (3.3.2), (3.3.3) в форме Теперь перейдём к определению волнового уравнения на связном открытом геометрическом графе с S- и 6 - сингулярностями. Для этого выделим в ,У(Г) некоторое его подмножество Y и рассмотрим уравнение где {kz 0, ky 0, a S - дельта-функция Дирака). Уравнение (3.3.4) при х Є Я(Г) совпадает с (3.3.1), а значит, и понимается также, как (3.3.1) (см. условие УЗ)), а вот во внутренних вершинах Г уравнение (3.3.4) мы будем расшифровывать несколько иначе: мы будем предполагать по-прежнему выполненным условие У1) (напомним, что, в частности, это означает непрерывность it(-,) в точках множества 7(Г)\У), а так же следующие условия: У2 ) для любого х Є Г\У функция и(х, і), как функция переменного t для любого Т 0, обладает равномерно непрерывной на (0, Г) второй производной; У 4 ) при каждом t О функция u(-,t) такова, что для любой z Є J (r)\Y выполнено где u(y + 0 77, t) - есть правосторонний предел функции гі(-, t) в точке у по направлению rj; У5 ) для любой г Є 7(Г)\У и любых і 0 и /г Є D(z) выполнено Замечание. В случае, когда ГсМ1 (т. е. когда степени всех вершин Г меньше трёх) и z і7(Г)\У - в этом случае равенство (3.3.6) принимает вид т. е., в символической форме, uxx(z,t) — kz6(x — z)u(z,t) = 0. Этим и объясняется естественность толкования уравнения (3.3.4) в точках z Є »7(Г)\У как равенства (3.3.6). Замечание. Легко заметить, что условие (3.3.2) - частный случай Для уравнения (3.3.4) мы будем далее рассматривать следующую смешанную (начально-краевую) задачу: где причём для х Є дГ для z Є J(T)\Y для любой z Є J(T)\Y и любых h, hi Є D(z) для yeY Теорема 3.4.1. Пусть существует и(х, t) - решение задачи (3.3.4), (3.3.8)-(3.3.9). Тогда оно единственно. Доказательство. Пусть u(x,t) и v(x,t) — решения задачи (3.3.4), (3.3.8)-(3.3.9) тождественно не равные друг другу. Тогда z(x:t) = u(x,t) — v(x,t) - решение уравнения (3.3.4), удовлетворяющее условию (3.3.8) и однородным начальным условиям: ф:, 0) = 0, zt(x,Qi) = 0, ж Є Г Рассмотрим полную энергию, отвечающую, например, малым поперечным колебаниям механической системы, математическая модель которой, описывается задачей (3.3.4), (3.3.8) и (3.4.1) (далее везде X = J(T)\Y):
Интегрируя по частям первые слагаемые в интегралах, получим: Выбрав направление для производной (от вершины) получим (учитывая также, что [zj)xx — {zj)tt) Исходя из условий (3.3.8) и (3.3.6): zh(c,t)zt(c + 0-h,t) = 0, На основании выдвинутого замечания выражение производной полной энергии примет вид: Так как z(x,t) удовлетворяет условию (3.3.7), то далее получаем: bY heD(b) rjeD(b)\{h} Следовательно () = const. А с другой стороны, с учётом (3.4.1): (0) = 0. На основании этих утверждений непосредственно вытекает, что E(t) = 0, а следовательно: z(x, t) = 0 (действительно, из E{t) = 0 выте кает, что для любого j = 1, га и любого а: Є 7; feO 0) — 0 что влечёт 3.5 Примеры смешанных задач для волнового уравнения на различных графах В данном пункте для волнового уравнения (3.3.4) будем рассматривать смешанную (начально-краевую) задачу (3.3.8)-(3.3.9) для некоторого класса графов (графов-звёзд и графов с циклами), решение которой может быть получено сведением к решению смешанных задач для волнового уравнения на отрезке. Для этой цели будут доказаны три леммы и четыре утверждения, на основании которых будет предложен алгоритм построения решения смешанной задачи (3.3.4), (3.3.8)-(3.3.9) на выбранном классе графов. Более того, в конце данного пункта будут рассмотрены три задачи частного характера, построение решения которых будет базироваться на предположениях вышеупомянутых лемм и утверждений. Для краткости записи и удобства чтения договоримся о следующих обозначениях: будем обозначать смешанную задачу на отрезке [0, \ через S(;ki;k2\ p(y)), где ki, k2 0 (не исключена возможность и к\ — Н-оо и/или к2 = Н-оо, которая понимается как краевое условие первого рода). В задаче (3.5.1) ір(у) Є C2[0,f] и при к\ = Н-оо и/или к2 = +со: р(0) = "(0) = 0 и/или ip{) — ip"{) = 0 соответственно; при к\ 0 и/или к2 0 (варианты, означающие краевые условия третьего рода): у/(0) — к\(р(0) = 0 и/или ip () + к2(р() = 0 соответственно; а при к\ = 0 и/или к2 = 0 (варианты, означающие краевые условия первого
