Моментные функции решений уравнения теплопроводности со случайными коэффициентами Боровикова Марина Михайловна

Содержание к диссертации

Введение

Глава 1. Основные понятия 31

1.1. Преобразование Фурье и его свойства 31

1.2. Понятие вариационной производной 36

1.3. Случайный процесс и его характеристики 38

1.4. Детерминированное уравнение теплопроводности с переменными коэффициентами 40

Глава 2. Моментные функции решений уравнения теплопроводности со случайными коэффициентами 43

2.1. Постановка задачи 43

2.2. Нахождение решения задачи Коши для дифференциального уравнения с частными и вариационными производными 44

2.2.1. Решение однородного дифференциального уравнения первого порядка

2.2.2. Решение неоднородного дифференциального уравнения первого порядка 47

2.2.3. Решение дифференциального уравнения третьего порядка 49

2.3. Нахождение математического ожидания решения задачи (2.1), (2.2) 52

2.3.1. Переход к детерминированной задаче 52

2.3.2. Математическое ожидание решения задачи (2.1), (2.2) 55

2.3.3. Случай независимости случайного процесса f(t,x,y) от случайных процессов l(t), S2(t), 3(t) 56

2.4. Нахождение второй моментной функции 58

2.4.1. Переход к детерминированной задаче 58

2.4.2. Вторая моментная функция решения задачи (2.1), (2.2) 65

2.4.3. Случай независимых случайных процессов 66

2.5. Нахождение дисперсионной функции 69

2.5.1. Дисперсионная функция в общем случае 69

2.5.2. Случай независимости процесса f(t,x,y) от єі(), S2{t), єзСО 71

2.6. Вторая смешанная моментная функция 73

2.7. Моментные функции к-го порядка 74

Глава 3. Частные случаи 79

3.1. Случай равномерно распределенных случайных коэффициентов теплопроводности 79

3.1.1. Математическое ожидание решения задачи (2.1), (2.2) 79

3.1.2. Оценка погрешности, возникающей при замене коэффициентов их средними значениями

3.2. Случай нормально распределенных случайных коэффициентов теплопроводности 94

3.2.1. Математическое ожидание решения задачи (2.1), (2.2) 94

3.2.2. Вторая моментная функция решения задачи (2.1), (2.2) 96

3.2.3. Вторая смешанная моментная функция решения задачи (2.1), (2.2) 100

3.2.4. Дисперсионная функция решения задачи (2.1), (2.2) 102

3.2.5. Оценка погрешности, возникающей при замене коэффициентов их средними значениями 105

3.3. Случай пуассоновского закона распределения случайных коэффициентов теплопроводности 116

3.3.1. Математическое ожидание решения задачи (2.1), (2.2) 116

Заключение 119

Список литературы 120

• Понятие вариационной производной
• Решение однородного дифференциального уравнения первого порядка
• Переход к детерминированной задаче
• Математическое ожидание решения задачи (2.1), (2.2)

Введение к работе

При изучении явлений окружающего мира мы часто сталкиваемся с процессами, течение которых заранее предсказать в точности невозможно. Эта непредсказуемость вызвана влиянием случайных факторов, воздействующих на ход процесса. Многие физические, химические, биологические и другие процессы, возникающие на практике, подвержены случайному воздействию. Математическими моделями таких процессов являются дифференциальные уравнения, коэффициенты которых являются случайными процессами, или стохастические дифференциальные уравнения. При этом решения таких уравнений также являются случайными процессами.

Строго говоря, в природе не существует совершенно не случайных, в точности детерминированных процессов, но есть процессы, на ход которых случайные факторы влияют так слабо, что при изучении явления ими можно пренебречь. Тогда рассматривают детерминированные задачи, в которых случайные коэффициенты заменены своими средними значениями.

Однако существуют и такие процессы, где случайность играет основную роль.

По мере углубления и уточнения наших знаний об окружающем мире, по мере усложнения технических устройств все большее число процессов приходится рассматривать как случайные, учитывая не только их поведение «в среднем», но и случайные отклонения от этого среднего [14].

Таким образом, оценка влияния случайных воздействий является актуальной задачей. С этой целью изучают статистические характеристики случайных процессов, являющихся решениями стохастических задач.

В настоящее время изучению схожих проблем посвящены работы За-дорожнего В.Г. [26, 27, 33], Кляцкина В.И. [36, 37], Фурсикова А.В. [51 -53], Смагиной Т.Н. [34], Строевой Л.Н. [30, 31, 46].

Целью данной работы является исследование статистических характеристик решения задачи Коши для двумерного неоднородного уравнения теплопроводности, коэффициенты которого являются случайными процес-

сами, а также получение оценок погрешности, возникающей при замене случайных процессов, входящих в дифференциальное уравнение, их математическими ожиданиями.

Для достижения поставленной цели необходимо решение следующих задач:

1. Сведение исходной задачи, коэффициенты которой являются случайными процессами, к вспомогательным детерминированным задачам.

2. Решение начальной задачи для дифференциального уравнения первого порядка с частными и вариационными производными.

3. Нахождение решения задачи Коши для дифференциального уравнения третьего порядка с частными и вариационными производными.

4. Решение вспомогательных детерминированных задач.

5. Вычисление моментных функций решения исходной задачи.

6. Оценка погрешности, обусловленной заменой в дифференциальном уравнении случайных коэффициентов их средними значениями.

Первая глава диссертации носит вспомогательный характер и содержит обзор основных понятий, используемых в работе. Приведены определения и свойства преобразования Фурье, вариационной производной, случайного процесса и его характеристик. Рассмотрено решение начальной задачи для двумерного уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами.

Во второй главе рассмотрена задача Коши для двумерного неодно
родного уравнения теплопроводности со случайными коэффициентами
д д² д²

^у (1)

u(t₀,x,y)= g(x,y), (2)

где t Є [t₀, h]=T- время, x Є Ж, у Є Ж, i: T -> Ж, є₂: Т -> Ж, ₃: Т -> Ж, /:Тхі²-^К- случайные процессы, g: Ж² —> Ж - независящий от i(), 2(t), з() и f(t,x,y) случайный процесс, и: Т х Ж² —> Ж - решение задачи (1), (2).

Предполагается, что e\(t) > О, є₂{) > 0 при і 6 Г, реализации случайных процессов ei(t), e₂(t), з(^) принадлежат пространству Loo(T), реализации процесса f(t,x,y) принадлежат пространству L^iT X М²), случайные процессы i(t), e₂(t), Ss(t), f(t,x,y) заданы характеристическим функционалом

ф(у_ъ v₂, v₃, w) = M(h(vi, v₂, «з, гу)), (3)

где М - знак математического ожидания по функции распределения случайных процессов Si(t), 2(2), з(), f{t,%,y) и

h(vi, v_2j v₃, w) = ехр(г / [ei(s)wi(s) + s₂(s)v₂(s) + e₃(s)v₃(s)]ds+ (4)

-/T./R²

vi Є Li(T), г;₂ Є Li(T), v_z Є Li(T), w Є L_X(T X E²).

В этой главе получены формулы для математического ожидания, второй момептной и дисперсионной функций решения задачи (1), (2) в общем случае и в случае независимости случайного процесса f(t,x,y) от процессов ei(t), e₂(t), є₃(), а также рекуррентные соотношения для нахождения моментных функций любого порядка.

В параграфе 2.2 второй главы получены явные формулы для решений начальных задач с частными и вариационными производными первого и третьего порядков.

Рассмотрена начальная задача для линейного однородного дифференциального уравнения первого порядка с частными и вариационными производными

-qjU(vi, v₂, v₃, t) = Qiffl^ (_t)^U(^Vl> ^V2> ^V3> *)⁺ (

U(v_u v₂, v₃, *o) = Uoiv!, v₂, v₃), (6)

где t Є T, vi Є Li(T), v₂ Є Li(T), v₃ Є Ь_г(Т), а_г: Т -> С, а₂: Т -> С, а₃: Г -» С - непрерывны на отрезке Т, Z7: і(Т) x L_X{T) xLi(T)xT-^C - искомое отображение, Щ: L\{T) x L\(T) x L\(T) —» С - задано.

Обозначим через х(а, Ь, -) функцию, определяемую по следующему правилу: х(а, 6, s) = sign(s — а) при s, принадлежащем отрезку с концами а и 6, и х(а, 6, s) = 0 в противном случае.

Теорема 1. Пусть v_x Є Li(T), v₂ Є M^T)> v₃ Є L_X(T), а_г: Т -+ С, о^: Г —у С, аз^: ї¹ —> С - непрерывны на Т и в некоторой окрестности точки {vi+aix(to, t, ), V2+a₂x(to: , )» ^з+^зХ^о? t, )) существуют непрерывные no v\, v₂, v₃ вариационные производные

т—ттг^о(vi + aix(*o, *, -)^2 + a₂x(*o, *, )> ^v3 + «зХ^о, *, ))> І = ^ ²'³' туш t ЄТ, тогда

U(v_u v₂, v₃, t) = U₀(vi + aix(to, t, ), v₂ + агХ^о, t, )> ^v3 + «3X(*o, *, )) (⁷)

имеет частную производную dU(vi,v₂,v₃,t)/dt, причем

—U(vi,v₂,v₃,t) =

= a>i(t)- (+\^Uo(^vi ^{+ a}iX(*o,*» 0» ^v2 + a₂x(^o,*, )> ^v3 + «зХ^о,*, ))+ -\-a₂{t) (+\^Ua(^vi + ^aiX(*o,*, -)^2 + a₂x(t₀, t, -),v₃ + азх(*о,*, ))+ ^+азМ^—?7Г^оК + aixfab *, )> ^v2 + a₂x(to, t, ), v₃ + a₃x(^o, *, ))

Теорема 2. 5 условиях теоремы 1 отображение (7) является решением задачи (5), (6).

Найдено решение начальной задачи для линейного неоднородного дифференциального уравнения первого порядка с частными и вариационными производными

—U(v_u v₂, v₃, t) = ai(t) (t)^U(^{Vlj Уъ Щ}' ^f^⁺ (⁸)

А ґ\

+a₂(t)j—7-rU{vi, v₂, v₃, t) + a₃(t)^—r-rU(v_u v₂, v₃, t) + B(vi, v₂, v₃, t),

U(v_h v_2l v₃, t₀) = U₀(vi, v₂, v₃), (9)

где t Є Т, _Vl Є Li(T), v₂ Є Li(T), v₃ <Е Li(T), «і: Т - С, а₂: Г -> С, аз'. Т —> С - непрерывные на отрезке Т функции, '17: L\(T) х L\{T) X Li(T) х T ->- С - искомое отображение, I7₀: Li(T) X Ь_г{Т) х Li(T) -> С и Б: Li(T) х Ь_г(Т) х Li(T) х Т -> С - заданы.

Теорема 3. Пусть выполняются условия теоремы 1 и в некоторой окрестности точки (v± + a\x(s, t, ), г>₂ + «2X(^S> , )? ^v3 + ^a3x(^s> ^ ')>^s) существуют непрерывные по V\, V2, г>₃ вариационные производные

Б(г>і + aix(s, *, )» ^у2 + a₂x(s, *, )> ^v3 + a₃x(s, t, ), s),i = 1,2,3, при s ЄТ, t Є T_; тогда

U(vi, v₂, v₃, t) = Z7₀(t>i + aix(*0i *, )> ^2 + a₂x(t₀, *, )> ^v3 + азх(*о, *, ))+

+ / Б(«і + aix(s, t, ), ^2 + «2X(5, t, )> ^3 + 03X(s, t, ), s)ds (10)

является решением задачи (8), (9).

Рассмотрена задача Коши для дифференциального уравнения третьего порядка с частными и вариационными производными

9 г . S д² .

-q-Л^Ъ V2, V₃, t, X, у) = ~^l^T^Q^^Z\^V^ ^V*> ^U3, *, Я, у)- (11)

8 д² _ч д . \ і ( \

~^lSv (t)d ²^^Ь^'^V3'*'^Ж'^У'^г5у (t)^Z^^VuV2iЩ'*'^Xjy'⁺ '^Wl'^V2'^V3'*'^ж'^'

2f(vi, V2, v₃, to, ж, ?/) = ₀(vi, v₂, u_3j , 2/), (12)

где t Є T, x Є R, ?/ Є Ж, vi Є i(T), v₂ Є Li(T), г;₃ Є Li(T), z: Ь_Х{Т) X Li(T) x Li (Г) x T x Ж² -»> С - искомое отображение, Ь: Zip¹) х Zip) х Li(T) хТхіЧСи^о: Zip¹) X Ь_г{Т) х Zi(T) хМЧС- заданные функции.

Обозначим через i^yt/K^»^) преобразование Фурье по переменным (х,у), через Fz}[f]{x,y) обратное преобразование Фурье по переменным (, 77), знак * обозначает свертку функций по переменным (х,у).

В формулировке следующей теоремы отображение zq и его производные вычисляются в точках (у\ + i^²x(to,t, -),1 + ir]²x(to,t, -),г>₃ —

ix(to, t, -), x, у), а отображение b и его производные вычисляются в точках

(щ + «²х(т, t, -)iV₂ + гг]\{т, t, -),v₃- іх(т, *, )>^т>^ж' У)-

Теорема 4. Пусть существует окрестность V(r) нуля радиуса г в L\{T) х L\(T) х Li(T) такая, что при всех (г>і,и2,г>з) Є V(r) в окрестности точки (vi + г²х(і₀, *, )» ^v2 + ir)²x(to, t, -),v₃- ixfo,t, ), ж,у) сг/гце-ствуют непрерывные no v\, vi, V3 вариационные производные

-^-^(^1 + г²х(*₀, *, )> ^v2 + iV²x(to, t, -),V3- ix(t₀, t, ), x, y)J = 1,2,3,

при t Є T, в окрестности точки (v\ + г²х(^г5*> 0^2 + iv²x{^T^i')i^v2, — ixiji t-> ')i^ri x, у) существуют непрерывные no v\, vi, г>з вариационные производные

—.^rb{vi + i²x(r, t, -), Щ + W7²x(r, *, )> ^v3 - *'x(t, *, )» ^г>^ж> 2/).І = !> ²) ³>

7грг/t Є Т, т Є Т, и функции

Sz₀ 5zq Sz₀ 5zq Szq .

^N' ¹ЫГ)¹¹ыГ)¹' 'SSW¹' I^а» to^ltf,4)l' '^Mtj¹^¹'

IT І І З⁰ II ^ II ^ ,,-,_, г fib Л Г J- M I T-, Г ^Ь _Л.. _Л.

^{|61' to1, to1, 'm*)1, lFxy[SM^M'v)l' |ft»toI(,4)1,}

при і Є Т, т Є Т ограничены суммируемыми на Ш? функциями. Тогда решение задачи (11), (12) находится по формуле

z(v_hv₂,v₃,t,x,y) = F^lFxylzofa + i^xfat,-), (13)

Щ + ir)²x{to, *, ), ^з - ix(to, t, ), ж, ?/)](, 77)](ж, j/)+

'to

V2 + гг)²х(т, t, -)^3- іх(т, t, ),^т, ^> У)]К» ^)] (я, 2/)dr.

В параграфе 2.3 второй главы задача (1), (2) сводится к вспомогательной детерминированной задаче, которая представляет собой дифференциальное уравнение с частными и вариационными производными, рассмотренное в параграфе 2.2.

Для этого вводится вспомогательное отображение

Y(vi, v₂, v₃, w, t, ж, у) = M(u(t, x, y)h(vi, v₂, v^ w)), (14)

где і Є T, х Є R, у Є R, vi Є Li(T), v₂ Є Li(T), v₃ Є Li(T), ад Є Ь_г(ТхЖ²), М - знак математического ожидания по функции распределения случайных процессов Si(t), ₂(t), зС0 и f(t,x,y), u(t,x,y) - решение задачи (1), (2), h(vi,V2_}vs,w) определяется формулой (4).

Умножив уравнение (1) и начальное условие (2) на h(vi,v₂,V3,w) и усреднив по функции распределения процессов єі(), ₂(t), ^єз(^)₅ f{t,%,y),^B терминах функционала Y(vi, v₂, v^, w,t,x, у) получим детерминированную задачу

д 5 д²

—Y(v_h v₂, v₃, w, t, ж, y) = -i , ₂7(t)i, v₂, v_3: w, t, x, y)- (15)

. 5 d² _f . S _{лгґ ч}

~^lSv (t) д 2 ^^1} ^²'^³'^w' *'^ж' ^ ~ ^l5_v (t) (^Vl*^V2'^{V3: W}' *'^X' ^V>

У (vi, v₂, v₃, w, t₀, x, y) = M(g(x, у))ф(уі, v₂, v₃, w). (16)

Причем, если известно Y{v\₎ v₂, г>з> ^w-> *> ^xi у)₅ ^т0 математическое ожидание M(u(t, х, у)) решения задачи (1), (2) вычисляется по формуле

M(u(t, х, у)) = У(0, 0, 0, 0, *, ж, у). (17)

Определение 1. Пусть Y(vi,v₂,V3,w,t,x,y) является решением задачи (15), (16) в смысле обобщенных функций (в классическом смысле),

тогда У (О, О, О, О, t, х, у) называется математическим ожиданием решения задачи (1), (2) в смысле обобщенных функций (в классическом смысле).

Так как M(u(t,x,y)) = У(0,0, О, О, #,#,?/), то важно найти решение задачи (15), (16) в малой окрестности точки (0,0,0,0) переменных

Теорема 5. Пусть функция М(д(х,у)) суммируема на R², при малых w Є Li(TxlR²) выполнены условия теоремы 4, е окрестности точки {vi+i$,²x{to,t,'),V2 + iri²x(^to,t,-),v₃-ix(tQ,t, -),w) существуют непрерывные по vi, v<2, г>з вариационные производные

—т-^Ф(щ + i²x(to, t, -),v₂ + Vx(*o, *, -),v₃- ix{to, t, -),w),j = 1, 2, 3,

при t Є T, в окрестности точки {v\ + «²х(т, t, -),V2 + ???²х(т,, -),v₃ ^— ?x(r,t₁ -),w) существуют непрерывные no v\, V2, v₃ вариационные производные

г /,ч г / г^(^і+?^²х(т_} t, -),У2+іт]²х(т, t, -),v₃-ix(r, t, -)_}w),j = 1, 2, З,

0Vj{t)bw{T,x,y)

при t Є T, т ЄТ, тогда

Y(vu V2, v₃, w, t, x, y) = M(g(x, y))* (18)

ГЛ.Л... _L.4t2.

*^i?fn¹№(^vi + ^²x(*o,*, -),v₂ + ir}²x{to, t, -),v₃- ix(to, t, -),w)](x, y)

Г 5

^{- / ^[^Лт-т ч^(^і + *2х(т,*, -)^2 + «Vx(t,t,)>}

V3 - «x(r,i, )>«>)](, 77)](ж, г/)с?т

является обобщенным решением задачи (15), (16).

Из решения вспомогательной задачи (15), (16) получено выражение для математического ожидания решения задачи (1), (2).

Теорема 6. При выполнении условий теоремы 5

M(u(t,x,y)) = M(g(x,y))* (19)

*Fto№№²xfa *, ), "7²xftb t, )» ~^гх(*о, t, )» 0)](ж, rill

Ґ 5

Ло ^w " Sw(T,x,y)

-ix(T,t,-),0)](,ri)](x,y)dT

является обобщенным математическим ожиданием решения задачи (1),

_(Ю-

Когда случайные процессы i(t), o(t)i s(t) не зависят от случайного процесса f(t,x,y) и заданы характеристическим функционалом

>(vi, Щ, щ) = М(ехр(г / [ei(s)vi(s) + e₂(s)v₂(s) + s₃(s)v₃(s)]ds)), (20)

справедлива следующая теорема.

Теорема 7. ^слп случайный процесе f(t,x,y) не зависит от случайных процессов єі(і), Є2(і), s-s{t), функция M(f(t,x,y)) суммируема на ТхМ?, в окрестности точки (г?і+г²х(т,, -),Щ^т}²х(^Т^^ ')>^v3—«хС⁷"?^ )) характеристический функционал (p{yi,V2,v^) случайных процессов Si(i), 2(^)7 ^ss(t) имеет непрерывные по v\, V2, v% вариационные производные

^-T(p(v! + i^²x(r, t, -),v₂ + г?7²х(^ *, 0^3- ix(r, t, )), І = 1, 2, З,

туш t Є Т, т Є Т, и выполнены условия теоремы 5, то обобщенное математическое ожидание решения задачи (1), (2) имеет вид

M{u{t,x,y)) = M(g{x,y))* (21)

*F^[²x(to, t, ), «7²Х(*0, *, )» -*х(*о,*, ))](*, 2/)+ + / ^VWMr, *' *). *Л(г, *, ). -*x(r, *, ))№*, У) * М(/(г, х_Л y))dr.

J to

Отметим, что в случае независимости случайного процесса f(t,x,y) от процессов єі(і), 62{t), єз(і) для нахождения математического ожидания M(u(t, ж, у)) решения задачи (1), (2) достаточно знать математическое ожидание М(д(х,у)) случайного процесса д(х,у), математическое ожидание M(f(t,x,y)) случайного процесса f(t,x,y) и характеристический функционал (p(vi,V2,vs) случайных процессов єі(), ^2^), з(^)-

Параграф 2.4 посвящен нахождению второй моментной функции решения задачи (1), (2).

Вводится отображение

Z(vi, v₂, v₃, w, t, s, x, ж, y, y) = M{u(t, x, y)u(s, x, y)h(vi, v₂, v_3: w)), (22)

где t Є T, s Є T, x Є R, у Є R, x Є №, у Є Е, г>і Є Li(T), г;₂ Є Ьі(Г), ^з Є Li(T), w Є Li(Т х R²), М - знак математического ожидания по функции распределения случайных процессов Si(t), є₂(і), ^з(^), f{t,^x,y), h(yi,V2,V3,w) имеет вид (4).

Отметим, что Z(yi,V2,V3,w,t,s,x,x,y,y) симметрично по переменным (t,x,y) и {s,x,y).

Умножив обе части уравнения (1) и начального условия (2) на u(s_:x,y)h(vi,V2,vs,w) и усреднив по функции распределения процессов i(t), 2^)» з(ї), f(t,x,y)> получим следующую детерминированную задачу относительно функционала Z(vi,V2,V2_nw,t,s,x_:x,y,y)

—Z(vi, v₂, V3, w, t, s, x, x, y, y) = (23)

= ~^гл (+) Q 2^Z(^Vl' ^V2' ^V^ ^W> *' ⁵' ^Ж> ^Ж' ?/' У)~

~²T~мр ^(^1, V₂, V3, , *, 5, Ж, Ж, J/, у)-с

~*6у (t)^Z^^Vl'^Щ'^V?nW'*'^S'^Ж'^'^^~

Ж^ь ^2, v₃, w, t_Q, s, x, x, y, y) = M(g(x, y)u(s, x, y)h(vi, v₂, v₃, w)). (24) Причем,

M{u{t, x, y)u(s, x, y)) = Z(0,0, 0, 0, t, ₅, x, x, у, y). (25)

Найдено решение вспомогательной задачи (23), (24), позволяющее получить формулы для второй моментной функции решения задачи (1), (2).

Обозначим через ^ку[/](>?7) преобразование Фурье по переменным (х,у), через Fj^l[f]{x,y) обратное преобразование Фурье по переменным (,?)), через * свертку по переменным (х,у).

Теорема 8. Пусть у_г Є Ь_г(Т), v₂ Є L_X{T), v₃ Є Li{T),w Є Li(T x R²)_; характеристический функционал ф{у\^2-₁У^^ги) имеет непрерывные по v\, V2, vz вариационные производные

А Л²

ф(уг, v₂, «3, ги), . . -т^(«1₃ V2, v₃, ги),

Svj(t) ' ' Svj(t)5w(r,x,y)

6³1р{у_ъУ2,Уз,и)) - = 123

5vj{t)8w(T)X,y)5w(a,x,yy

при а Є Т, г Є Т, t G Т, М(д(х,у)) и М(д(х,у)д(х,у)) суммируемы на Ш.² иШ² хШ², соответственно, тогда

Z(vi, V2, vs, w, t, 5, х, х, у, у) = (26)

—г

= М(д(х, у)д(х, у)) *' F[F№(_Vi + i?_X(t₀, s, ) + *^²х(*о, *, ). Щ + iv²x(to, s, ) + Vxfto, t, -),v₃- ix(to, s, ) - ix(t₀, t, -)_}w)](x, y)](x, г/)-jf М(_Ж, 2/)) * ^Fl^l[^F^^F^_5w{^_x^^{Vl +} ^^X^ ^S'') ⁺ *^(*⁰' *'^-)'

^з-гх(т, s, ) -ix(to,t, -),w)](x,y)](,ff)](x, y)dr-

^2 + iffxfo, 5, ) + «Vx(r, t, ),

^3 - ix(t₀, s, ) - г'х(г, t, »](, 2/)] (, 77)] (ж, 2/)dr-

/

/ / ^S ^"Л^Л^^Лт-Т 1 , * ,_ЛФЫ + *fxK *, )+

'to Ло ^e?? 5w(T,x,y)6w{a,x,y)

+і²х(т, t, -),v₂ + W7²x(«, s, ) + гЛ(г, , ), ^3 - *x(a,s, ) - гх(т,і, ^, ^)1(1,] (,2/)]К, 77)](ж,2/)сМт

является симметричным, по переменным (t,x_:y) и (s,x,y) решением задачи (23), (24) в обобщенном смысле.

Определение 2. Пусть Z{v\,V2_:V3,w,t,s,x,x,y,y) является симметричным по переменным (t,x,y) и (s,x,y) решением задачи (23), (24) в смысле обобщенных функций (в классическом смысле), тогда 2Г(0,0, 0,0, t, s, ж, х, у, у) называется втюрой моментной функцией решения задачи (1), (2) в смысле обобщенных функций (в классическом смысле).

Теорема 9. Пусть выполняются условия теоремы 8. Тогда обобщенная вторая моментная, функция решения задачи (1), (2) находится по формуле

M(u(t,x,y)u{s,x,y)) = (27)

= M(g(x,y)g(x, у)) *' F[Fb/>№xfa, s, ) + ^²x(*o,*, ). if}²x(to, s, ) + ir]²x(to: t, ), -ix(t₀, s, ) - ix(t_Q, t, -),Q)](x_: y)](x, 2/)-

т-ІШ Гі,-!' ^S

J to

irfx{r,s,-) + ii]²x{t₀,t₁-),

M(g(x, y)) * ^[F^[F^[ ^ ^(^(т, s, ) + _?^x(*o, *, 0,

-ix(r, s, ) - ix(to, *, ), )](^ж> У)](I, Щя, 2/)^-

#7²X(*0, 5, ) + Vx(r, t, ), -«x(t₀, s, ) - ix{r, , ), 0)](ж, 2/)](^, т/)](ж, 2/) dr-

- / Г^Л^І^Іт-т u г - _Л№Ы<*>^s, ) + ^²x(r,t, ),

ifj²x(oi,s_r) + irt²x(r,t,-), ~гх(а, s, ) - ix(r,t, ), 0)] (f, 77)](ж, )](, ??)](a;, 2/)dadr.

В случае, когда процесс f(t,x,y) не зависит от случайных процессов ^і С0> г()> з(^)> доказана следующая теорема.

Теорема 10. Если случайный процесс /(, ж, у) не зависит от случайных процессов si(t), 2(^), з(і), функции M(f(t,x,y)) и

M(f(t, x, y)f(s, x, у)) суммируемы наТ xl² иТ хТ xl² х R², соответственно, характеристический функционал ^(^1,^2,^3) случайных процессов \{t)_} E2{t), z(t) имеет непрерывные по v\, V2, V3 вариационные производные

(p{v₁,v₂,v₃),j = 1,2,3,

6_Vj(t) при t Є Т, и выполнены условия теоремы 8, то

M(u(t,x,y)u{s,x,y)) = (28)

= M(g(_X) y)g{x_: у)) *' ^[i^V^fo, s, ) + іЄх{^ *, ),

iV²x(to, s, ) + i7]²x(to, t, ), -*(*(), ^s> ) - ^?:x(*o, *, ))]& У)}(х, 2/)+

+ Г M№, 2/)) * F^[F^{ii²_X{r, s, ) + *e²x(to, t, ).

«і)²х(т-,«г)+Л(*о,*г), -*х(т, s, ) - гх(*о, t, -))1(^ 2/)1(^ y)*M(f(r, x, y))dr+

+ f M(g(x, v))iF[F[_x(t_0i 5, ) + *'²x(r, *, -),^. 5, )+

«'to

+*Ч²Х(П*. ). -*x('o> s, ) - «x(t, t, ))](,у)](ж, у) * M(f(r, x, y))dr+

'to ^ t(,

if)²x(²x(T,t,-),

-ix(a, s, ) - ix(r, t, ))](, у)](ж, у) *' M(f(j, ж, у)/(a, ж, y))dadr

является второй моментной функцией решения задачи (1), (2) в обобщенном смысле.

В параграфе 2.5 главы 2 получены выражения для дисперсионной функции решения задачи (1), (2) в общем случае и в случае независимости процесса f(t,x,y) от процессов Єі(), 2^), єз(^)-

Теорема 11. Пусть выполнены условия теоремы 8, тогда обобщенная дисперсионная функция решения задачи (1), (2) имеет вид

D(u(t, х_: у)) = M(u²(t, х, у)) - (М(«(*, х, у)))² = (29)

= [М(д(х, у)д(х, у)) *' F^[F^(i^x(t_0i в, ) + іЄх{^ *, ), if)²x(to, s, ) + ir)²x(t₀, t, ), -ix(t_Q, s, ) - ix(t₀, t, ), 0)](ж, y)](x, y)~ j* M(g(x, y)) * Ffrl^F&[_Sw{*_i{tj ^Ыг, s, ) + іЄх(іо,«, ),

'*0

іт}²х(г, «,-)+«Ух(*(Ь *,-),

-«Х(т, s, ) - «x(*o, *, ), 0)](ж, у)](|, т/)](ж, y)dr-

-i M{g{xM*Fb\F*v[F[^^ ifj²x(to,s,-) +irfx(T,t_r),-ix(t₀,s_r) -ix(r_}t,-),0)](x,y)]{C,7])](x,y)dr-

- f Г ^ІШ^Ь ^-y—^T^«²X(«, 5, ) + ІЄ²Х(Т, t, ),

Ло Ло ^Є77 <У«7(г,ж,2/)(5гі;(а,я;,2/)

«fx(a,5,-) + i??²x(r,t,-), -гх(а,в, ) - г'х(т,*, -)^0)3(1^)1(^^)1(^^)1(^^)^^11^=^=^=1/--{М{д(х, у)) * F^¹^ *х(*о> *, ), Л(*о, *, )» "*х(*о, *, ). 0)](їг, ?/))²+ ' +2*(M(0(a;,0))*F_f-V(^^

+( ^-/^²^ *'^0> ^У;;^}> ~*^(т' *'^{0> 0)}]«» ш*, y)dr?.

Теорема 12. Пусть выполнены условия теоремы 10, тогда

D(u(t,x,y)) = (30)

»5

+

^²xCr,s,0 + M7²x(*(b*,0>

= [M(g(x,y)g(x,y)) *' F^F^i?х(*о, s, ) + i²x(*o,*, )» ^²x(*o, «5, ) + irfxfa, t, ), ~x(to, s, ) - ix(to, t, ))](, j/)](ж, ?/)+ f M(g(x, y)) * ^[^[^(^(r, s, ) + i²x(*o, t, ),

-«Х(т, ^s> О - *x(*o, *, 0)1 (^ж> 2/)1 % y)*M(f{T, x, y))dr+ + f М(д(х,тЩ~ЧР^(іІ²х(іо^^) + гЄх(г,і,-),

'to

iV²x(to, s, ) + irj²x(r, t, ), -ix(to, s, ) - ix(r, t, -))](x, у)](x, y)*

*M(f(r_:x,y))dT+

+ Г Г^ч^^іїІ¹Ь«^Л2х(а,5,.) + *Є²х(г_>і,.)_>

J t₀ J t₀ ^q'

гт?х{а, s, ) + iifx(r,t, ),

-г%(а, s, -)-^ ))](#> Щ^ж> y)*'^M(f(^r, ^ж, v)f(^a, %, y))dadT]\_8=t,x=x,y=y-

-(M(g{x,y)) * F^tpitfxfat, -),^0,*, ), -*X(*0,*, ))](*.Z/))²-

-2(М(р(я;,у)) * 2^(. *, -Wxfo, *, )> -*'x(*o,<, ))](*» З/))*

^x / (^ *> 0» *Л(т, *, ). -*x(r, *, ))](*> 2/) * ^М(Л^Т, *> 2/)))^-

-( [ FfrMifxfat, -),»»7²х(г,*, ), -гх(г,*, ))](*,>iB>y))dr)²

/fo

является обобщенной дисперсионной функцией, решения задачи (1), (2).

Вариационным дифференцированием решения детерминированной задачи (15), (16), рассмотренной в параграфе 2.3, найдены формулы для смешанных моментных функций M(u(t, х, y)ej(s)), j — 1, 2, 3.

Теорема 13. Пусть случайные процессы e\{t), 2{t), e%{t) не зависят от процесса f(t,x,y), характеристический функционал ip(v\,V2_:v^) процессов E\(t), 62{t), ЄзОО имеет непрерывные по v\, V2, vj, вариационные производные до второго порядка включительно, М(д(х,у)) суммируемо на М.², M(f(t,x,y)) суммируемо наТ х Ж². Тогда

M{u{t,x,y)ej(s))= (31)

- -iM(g(x,у)) * Ft_v¹[-—_r-(p(i²x(t₀, t, -),ir]²x(to_: t, ), -«x(*o,*, -))10,У)~

OVj[S)

_/

t с

^[^773^(^(^^, -)^г]²х{г^ ), -ix(r,t, ))](»,ri*

*M(f(r, x, y))dr, j = 1,2,3,

является второй смешанной моментной функцией M(u(t, x,y)sj(s)), j = 1, 2, 3_; (в смысле обобщенных функций) решения задачи (1), (2).

В параграфе 2.7 получена рекуррентная последовательность детерминированных задач для нахождения моментных функций любого порядка.

Введем отображения

p(yi, V2, v_3: w, z) = ехр(г / [ei{s)vi(s) + e₂(s)v₂(s) + s₃(s)v₃(s)]ds+

+i / [f(^s, П, t₂)w(s, n, r₂) + u(s, n, r₂)z(s, ті, T₂)]dT₁dT₂ds) jt Jm?

Q(vi,v₂,v₃,w,z) = M(p(v₁,v₂,v₃,w,z)),

где vi Є Li(T), v₂ Є Li(T), v₃ Є Li(T), w Є Zq(T x JR²), z Є Li(T x E²), M - знак математического ожидания по функции распределения процессов

i(t), ^W, ез(*), Ж ж, 3/), u(t,x,y).

Умножив обе части уравнения (1) и начального условия (2) на p(vi,V2,V3,w,z) и переходя к средним значениям, получим

д 5Q ₌ , 6 д² 5Q _ , 6 д² 5Q
dt5z(t,x,y) Svi(t) дх² 5z(t,x,y) Sv₂(t) ду² Sz(t,x,y)

, S 5Q 5Q

6v₃(t)6z(t,x,y) 5w(t,x,y)'
^ \_t=to = гМ(д(х, y)p{vi, v₂, v₃, w, z)). (33)

Получили детерминированную задачу относительно Q{v\, v₂, v_3: w, z), причем коэффициенты уравнения (32) не зависят от статистических характеристик процессов ei(t), e₂(t), e₃(t), f(t,x,y),g(x,y).

Если известно Q(vi, v₂, v₃, w, z), то легко находятся моментные функции решения задачи (1), (2) и даже корреляционные функции процессов

єіМ, e₂(t), ^єзМ, f{t,x,y), u(t,x,y). Например,

л*; и \\ ±SQ{vuv_2:v₃,w,z)

M{U(t,X,y)) - ^. _х . |u₁=0_>«2=0,t;3=0,«;=0,z=0_>

_Л/Г/ (, \ і \\ S²Q(v₁,v₂,v₃,w,z) .

М(и(і,х,у)ф)) = - _{Sz{tjXiy)Svj{a)} км)_Л=о_Л=о,»=о^о^ = 1,2,3.

Решение задачи (32), (33) ищется в виде степенного ряда

Q = Qo(vi,V2,V₃,w) +

⁺ zZ T\ / * / Qk(vi, v₂, v₃, ги, si,..., Sft, жі,..., x_k, 2/1,..., гдь) x

fu—J.

x^(s_b агі, 2/iM«2, x₂,2/2)--- ^(sfc, ж*:, J/jfc)dsi... ds_kdxi... dx_kdy_x... dy_k,

где интегралы по переменным si,... ,s_k вычисляются по промежутку Т, по переменным xi,..., х_к - по Ш и по переменным г/1,..., у_к - по К, отображения ( симметричны по тройкам переменных (s/, ж_г-, г/г), « = 1, 2,..., к. Подставив разложение для Q{v\,v₂, v₃,w, z) в уравнение (32) и приравняв степени по переменной z, получим

-QjQk^i, v₂, v₃, w, t, s₂,..., s_k, x, x₂,..., x_k, 2/,2/2,---, 2/) = (34)

- 8 d² „ _ґ = -г- ({)дх² ^^{Ъ V2: V3}'^W'*' ^S2''''' ^Sk' ^ж'^Ж2' '^Xk' У>Уь---> Ук)-

$ д* _Ґ

~^l5 (t)d 2^^fc^b ^2, f₃, W, t, S₂, . . . , Sjfe, Ж, Ж2, . . . , ЖА, 2/, 2/2, , 3/Aj-r

-. /,^t(«i, ^2, ^3, гу, *, «2, , s_k, x,x₂,..., x_k, 2/,2/2,---, Ук)~

-*т—77 rQfc-ifai, v₂, г»₃, w,s₂,..., s_k, x₂,..., x_k, 2/2,---, Ук),

при fc = 1, 2,...

Вычислив вариационную производную (к — 1) -го порядка по z от равенства (33) в точке (yi, v₂, v₃, w, 0, t₀,..., t₀, x,X2,..., x_k, 2/,2/2,---, Ук), находим

Qk{vi, v₂, v₃, w,t₀,..., t₀, x,x₂,..., x_k, 2/,2/2,---, 2//0 =

= M(g(x, y)g{x₂,2/2)--- g(x_k, у_к))ф{у_ъ v₂, v₃, w), (35)

= 1,2,...

Таким образом, получена рекуррентная последовательность детерминированных задач (34), (35) для нахождения коэффициентов Q_k-

Определение 3. Пусть Q_k(v₁,v₂, v₃, w,s_1:..., s_k, х_ъ ..., x_k, 2/1, ---, Ун)

является симметричным по переменным (si,Xi,yi), і = 1,2,..., к, решением в смысле обобщенных функций (в классическом смысле) задачи (34), (35). Тогда Q_k(0,0,0,0,si,...,s_k,x_b...,х_к,ух,. ..,у_к) называется люментной функцией k-го порядка решения задачи (1), (2) в смысле обобщенных функций (в классическом смысле).

В третьей главе рассмотрены частные случаи законов распределения случайных коэффициентов уравнения (1) в предположении, что случайные процессы e\(t), 2(^), Єз(^) не зависят от случайного процесса f{t,x,y).

В параграфе 3.1 получена формула для математического ожидания решения задачи (1), (2) в случае равномерно распределенных случайных коэффициентов и оценена погрешность, возникающая при замене случайных процессов их средними значениями.

Предполагается, что случайные процессы ei(t), S2{t), z{t) независимы и распределены по равномерному закону распределения с характеристическими функционалами

^ = lX(sHs)L **rt ]_ТМШН'М,І = 1.2,3, (36)

где v Є L\(T), aj Є L^T), M(sj) Є L^T), M(ej(t)) - математическое ожидание случайного процесса Sj{) (j = 1, 2, 3). Вводятся следующие обозначения

Aj(t₀,t)= / a_j(s)ds,M_j(t₀,t) = I M{zj{s))ds,j = 1,2,

J to J to

S(W,^)=e*p(-_i^-^g^), (37)

sh f. a3(s)ds /**

D(to,t) = _ГГ / ' ex_P( / M(s₃(s))ds).
J_toa₃(s)ds J to

Теорема 14. Пусть выполнены условия теоремы 7, случайные процессы \{t), 2(^), ЄзОО независимы и распределены по равномерному зако-

ну распределения с характеристическими функционалами (36). Тогда

оо оо

г г, і ^ v-v- A^2k(t_Q,t)A²₂^m(t₀,t) д^^к+т^ -_ж, . ,_ч ,_овЛ

_ _m^(2fc + l)!(2m + l)!<9z⁴W^m'

E(t_Q,t,x,y)D(to,t) _| *47rv^/M₁(to,t)M₂(t₀,t)

( оо оо

Af(r,t)A|^m(r,t) 5⁴(^fc+m)

^{+ '}_ro ^{^^(гІііж^їі)!^^^^^^*}

-At

E(T,t,x,y)D(r,t)

47г_л/Мі(г,*)М₂(г,4)

является обобщенным математическим ожиданием решения задачи (1),

(2).

Теорема 15. Пусть случайные процессы Є\(Ь), Є2І), з(^) распределены по равномерному закону распределения, выполнены условия теоремм 7, функции М(д(х, у)) и M(f(t, а;, у)) имеют частные производные любого порядка по переменным х и у, существуют неотрицательные постоянные C\, q и неотрицательная на отрезке Т функция C2(t), при которых выполняются неравенства

k+m

дх^4кду

M(g{x,y))

дх^Акду^4т

яЦк+т)

M(f(t,x,y))

<_Сі(2к + Щ2т + 1)\д^к+т,

2(f)(2& + l)!(2m+l)!g

qA²_j(jt_0it)

Тогда (38) определяет математическое оэюидание решения задачи (1), (2) и справедлива оценка

'^''»^(1-^(Д-^(1ь,«))⁺

_{Г :}

к (1 - ЧА\

+

c₂(t)D(t, t)

Al(r,t))(l-qAl{T,t))

dr.

(39)

Заменив в задаче (1), (2) случайные процессы ei(t), 2(^), з(), f(t,x,y),g(x,y) их средними значениями, получим детерминированную задачу

—u{t, х, у) = M{e₁{t))-^u{t, х, у) + M(e₂(t))^-2u(t, X, 2/)+

+М(є₃(t))u{t, х, у) + M(/(i, , у)), (40)

и(«о,я;,у) = М(р(яг,у)). (41)

Ее решение, с учетом обозначений (37), имеет вид

ехр(Г/М(єзМ)ЖО
-(«,.,„) = *(,(»,,)) * _E{t0,_t,_x,_y)-^J^L₎₊ (42)

+ /' M_{f(T, *, у))* E(r, t,_X,y) ;^ХР.^{( M{}^l^dj dr.

J t₀ 47T^A4₁{r,t)M₂{r,t)

Справедлива следующая теорема.

Теорема 16. Пусть выполнены условия теоремы 15, функция u(t,x,y) - решение детерминированной задачи (40), (41)> М(^и(ї>^хіУ)) ~ математическое ооюидание решения задачи (1), (2), определяемое формулой (38), тогда справедлива следующая оценка

\M(u(t,x,y))-u(t,x,y)\< (43)

/** sh f. as(s)ds

< су ехр( / M(e_s(s))d_S)( '" \> - 1)+
Л„ J_taa₃(s)ds

+ciWo,t)(_{1__Al{tg>t)J_{1__Al{tott)q) - 1)+

't₀ Jr j_T as(s)d

+ f c₂(T)D(r,*)(₍₁__A?(Ti^₍₁_^_(Tii)g) - W

+ Ґс₂(т)ехр( /"Af(_g3(_s))rf,)(^Sh_rf^a;⁽y - l)dr+
Jtn Jr \_a-?,(s)ds

Заметим, что при a, = 0, j = 1,2,3, процессы ei(t), 2(^), z(t) являются детерминированными и равными M(si(t)), М(^2(^)), М(єз(і)). Из

формулы (43) видно, если a,j стремятся к нулю, то математическое ожидание (38) решения задачи (1), (2) стремится к решению детерминированной задачи (40), (41), полученной при замене случайных процессов математическими ожиданиями.

В параграфе 3.2 рассмотрен случай нормального распределения случайных коэффициентов уравнения (1). Найдены математическое ожидание, вторые моментные и дисперсионная функции решения задачи (1), (2). Оценена разность между математическим ожиданием решения задачи со случайными коэффициентами и решением детерминированной задачи, в которой коэффициенты заменены их средними значениями.

Теорема 17. Пусть выполнены условия теоремы 1, случайные процессы \(t), s₂(t), єз(^) распределены по нормальному закону распределения с характеристическим функционалом

>(«1,1>2,и₃) = ^ехР(* / [Af(ei(s))vi(s) + M{e₂(s))v₂(s) + M(ez(s))v₃(s)]ds-

~о / [bi(s_u s₂)vi(si)vi(s₂) + b₂(si, S2)v₂(si)v2(s₂)+ (44)

^z Jt Jt

+Ьз(«ъ S2WsiWs₂)]dsids₂), где vi Є L_X(T), v₂ Є Li(T), v₃ Є L_X{T), M(_j) Є L^(T), bj Є Loo(T X T), M(sj(t)) - математическое ожидание случайного процесса ^єз^)> bj(si,S2) = M(sj(si)ej(s2)) — M(ej(si))M(ej(s₂)) - ковариационная функция случайного процесса j(t) (j = 1,2,3,). Тогда обобщенное математическое ожидание решения задачи (1), (2) имеет вид

ОО 00

M{u{t, х, »)) = ₂№₊i,)_fc,L о^д^МЫ*. V))* (43)

k=0 т=0 ' ' ^У

, E(to,t_tx,y)N(to_tt) ,

4^^1(40, *)М₂(*о,*) + / 2^2^ 2(*+)&!т! дх^4кду^4тми(^Т>^х>У>)*

* . :QT,

4тгУІІЩМ2М 24

где Bj(t₀, t) = fl fl bj(s_u s₂)dsids₂, Mj(t_Q, t) = /_f* M(sj(s))ds, j = 1, 2, iV(*o,*) = exp(/ M(s₃(s))ds + - I h{s₁,s₂)ds_lds₂).

J to "^ J to J to

Теорема 18. Пусть выполнены условия теоремы 10, случайные процессы єi(t), e₂{t), Єзif распределены по нормальному закону распределения с характеристическим функционалом (44)- Тогда

M(u{t,x,y)u(s,x,y)) = (47)

N(to,t)N(t₀,s)

M(g(x,y)g(x,y))*'

(4тг)² ^/M₁{t₀,t)M₂(t₀,t)M₁{to,s)M₂{to,s)

00 оо

*iZ.2^ ₂№+-»)fc!m! 3x«V" ^t0' ' ^,y)

oo oo _D/i.

Bf(t₀,e)jB^(*o,«) d^A{k+m)

_XVV ^д1^0>^^д2 ^0, ^ " __E(. - ₎₎,

2(*^+m)fc!m! dx^4kdy^4m

k=0 m=0 *

'*, (4ir)V^i(*o, *)M₂(*o, t)Afi(r, s)Af₂(r, s)

{t₀,t)B^it₀,t) d^^k+m^ 2(*+"»)fc!m! dx^Akdi/^m

k=0 m=0

^X 2^2^ 9(k+m)Urr,\ Я^^/^⁸'¹'^)^

x ((r,,, *, »)* %вПІ1^!м(/(г, і, _S)))*+

Ь=0 m=0 " * ^y

^ Ґ N(t₀,s)N(T,t) _л

sjMa^sJMi^tJAfzCr,*)

₃,s)B^(t₀,5) d⁴(^fc+w) 2(*+"0A;!7n! dx^4kdy^Am'

oo oo k=0 m=0

Ло (4тг ²VMi(t₀,

2^,2^, o№+m)?.UI Я*4*Ял4т^М^^Ж>2/'"^Х

2(^k+)k\m\ дх^4кду"

k=0 тп=0 ^ь

^x(s₍^{r, t,}_x^,_V^{)* %«м^_}_{м(/(Ті x}^, _y)))dT+

Ґ Г _:

⁺ Jtoho (47г)²л/Щ^

N{T,t)N(aL,s)

t)M₂[r,t)M₁{a_:s)M₂(a,s) 25

oo oo

В^к(т,і)В?{т,і) d<^k+m^ 2(^к+т)к\т\ дх^4кду^4т

к=0 тп=0 oo oo _nk

Bf(o!,s)B^(Q!,s) a⁴(^fc+m)

2(МІУ дх^Акду^Ат

^X E E ¹o(k+m)\_rn\' Я*4кЯГ*п^Е(^а> ^S' *' ^Й)*'

fc=0 m=0

*'M(f(r, x, y)f(a, x, y))dadr является обобщенной второй момептной функцией решения задача (1),

(*)

Теорема 19. Пусть вы/полнены условия теоремы 13, случайные процессы \{t), Є2(і), з() распределены по нормальному закону распределения с характеристическим функционалом (44)- Тогда вторая смешанная моментная функция региения задачи (1), (2) (в смысле обобщенных функций) имеет вид

М(и(і,х,у)ф)) = ,,-^. =(М(*і(_Д))Д(<а, «*.»)+ (48) +G(t₀, t, s)^E(to, t, x, y))*Y,T, 2(UL)uJ Ыв^шМЫ*,»))+

k=Q m=0 ' ' ^y

Ґ N(t t) d²

Л₀ Атгу/Мг(r,t)M₂(r,t) ox-

^^B^k(T,t)B?(r,t) 94(*+^m) _я,_,

k=Q m=0 ^y

G(t₀,t,s) = / b₁(r,s)dr.

J to

Теорема 20. Пусть выполнены условия теоремы 12, случайные процессы i{t), 52(t), ЄзОО распределены по нормальному закону распределения. Тогда

^д_{^'»-(^Дй(м}^{х (49)}

_{х м(/(ж, у))* СЕ Е ** 1 ffi"}^t} _{/XI ^ (*» ' * а»}²₊

к-0 т=0

₊₂ Ґ N(t₀,t)N(r,t) _x

J to (4тг) V^i(*o, t)M₂(to, *)Mi(r, t)M₂(r, t)

oo oo

jfc=0 m=0

₊ . . N(r,t)N(a,t) _x

J to J to (4іг)²_л/М₁(т,і)М₂(т,і)М₁{а,і)М₂(а,і)

OO OO

В^к(т,і)В%¹(т,і) d^^k+m^

^l2^ 2^ 2(^&+"»)jfe!m! дх^4кду^{4т {} ' ' ' ^

fc=0 ?n=0

A,-=0 m=0 ^

*Af (/(r, x, y)f{a, x, y))dadr-
E(t₀,t,x,y)N(t₀,t) ^B^k(t₀,t)B?(t₀,t) d^^k+'^ ₂_

E(t₀,t_iXiy)N(t₀,t) ^^B^k(t₀,t)B?(t₀,t) d^^m)

^{17 r} /c=0 m=0 ^J

₊ Е(т,і,х,у)Щт,і) _d. _ Att^/M₁(r,t)M₂(r,t) ^T)

W Z^Z. ₂(*+"0fc!m! даРду* ^{П ' >^У))

^{J г} /г=0 m=0 ^y

_;[; E(T,t,x,y)N(T,t) ₂

4тг_л/М₁(г,і)М₂(т,і) ^T) является дисперсионной функцией решения задачи (1), (2) (в смысле обобщенных функций).

Теорема 21. Пусть случайные процессы s\(t), s₂(t), e^(t) распределены по нормальному закону распределения, выполнены условия теоремы 7, функции М{д(х, у)) и M(f(t, ж, у)) имеют частные производные любого

порядка по переменным х и у, существуют неотрицательные постоянные с\, q и неотрицательная на отрезке Т функция c₂(t), при которых выполняются неравенства

Q4(k+m)

M(g{x,y))

< _Clk\m\q^k+m,

дх^Акду^Ат

QA{k+m)

M(f(t,x,v))

< c₂{t)k\m\q^k+m,

дх^4кду^4т'

qBj(t_Q,t) < 2, j = 1,2.

Тогда (45) определяет математическое ожидание решения задачи (1), (2) и справедлива оценка

4ciN(t₀,t)

(50)

\M{u{t,x,y))\<

(2-qB₁{t₀,t))(2-qB₂(to,t))

+4

dr.

c₂(r)N(r,t)

f_t0 (2-qB₁(T,t))(2-qB₂(T,t))

Теорема 22. Пусть выполнены условия теоремы 21, u(t,x_:y) - решение детерминированной задачи (40), (41)> M(u(t,x,y)) - математическое ожидание решения задачи (1), (2), определяемое формулой (45), тогда справедлива следующая оценка

\M(u(t,x,y))-u(t,x,y)\< (51)

ciexp(/ M(e₃(s))ete)(exp(- / / b₃(si,s₁)dsids₂)-ї)+

J to J to J to

+_CliV(to,t)(-

(2-Bi(*o,*)g)(2-S₂(t_0jt)?) + / c₂(r)exp(/ M(e₃(s))ds)(exp(- / j bs(si,si)dsids₂) - l)dad^dr+

-1)+

⁺ //^2WJV(-^t)((23^

t)q){2-B₂{r,t)q)

l)dr.

При bj = 0, j = 1,2,3, процессы єі(), e₂(t), ss(t) являются детерминированными и равными М(єі(і)), M(e₂(t)), M(ez(t)), соответственно.

Если в (51) устремить bj к нулю, то математическое ожидание (45) решения задачи (1), (2) будет стремиться к решению детерминированной задачи (40), (41), полученной при замене случайных процессов их средними значениями.

В параграфе 3.3 вычислено математическое ожидание решения задачи (1), (2) в случае пуассоновского закона распределения случайных коэффициентов.

Пусть случайные процессы єі(), є₂(), z(t) заданы характеристическими функционалами

(p_j(v) = exp(i/j / ( / p(qj) exp(iqj / v(s)lj(s - r₁)ds)dq_j - l)dn), (52)

J to J—CO J T\

j = 1,2,3, где p(qj) - плотность распределения случайной величины qj, функция lj(t) описывает форму импульса и является детерминированной (lj(t) = 0 при t < 0), Vj - параметр (j = 1, 2, 3).

Теорема 23. Пусть выполнены условия теоремы 7, случайные процессы Si(t), є₂()_; є₃() независимы и распределены по пуассоновскому закону распределения с характеристическими функционалами (52). Тогда обобщенное математическое ооюидание решения задачи (1), (2) имеет вид

M{u(t,x,y))= (53)

M{g(x_:y))*

^ехР(^з fl¹ М(ехр(д₃ Jl«_{nAj} h(s - n)ds))dTi)

exp(i/i(*i - t₀)) exp(i/₂(*i - *o)) exp(z/₃(*i - t₀))

*h pt

*іу[ехр(ц / M(exp(-^²gi / his-rjds^drjx

exp(z/₂ / M(exp(-77²g₂ / Z₂(s-Ti)ds))dTi)](z,;?/)+

./to ^max{ri,io}

rt exp(z/₃ f/; M(exp(g₃ J^^^ h(s - ri)da))dn) 7_io exp(i/i(*i - t_Q)) exp(z/₂(*i - to)) exp(z/₃(*i - t₀))

KF^lexpfa I M(exp(-^²gi / ZiCs-riJdsJJdrOx

xexp(u₂ M(exp(-7]²q₂ /₂(s-Ti)ds))dri)](;r,?/)*

J to Jmax{Ti,r}

*M(f(r,x,y))dT. В заключении перечислены основные результаты диссертации.

Понятие вариационной производной

Понятие вариационной (функциональной) производной восходит ко времени зарождения функционального анализа и связывается с именами В. Вольтерра и П. Леви [25]. Пусть Ж - множество вещественных чисел, С - комплексная плоскость, X и У - банаховы пространства с нормами ж(-)х, У( )ЦУ Множество О в нормированном пространстве называется плотным относительно множества Q, если любая окрестность каждой точки х Е Q содержит точки множества Q. Отображение А из пространства X в пространство У называется линейным оператором, если оно обладает свойствами: А(ах) = аА(х), А(хг + х2) = А{хх) + А{х2) для любого числа а и любых ж, х\, х2 Є X. Линейный оператор А: X — У называется ограниченным, если образ любого ограниченного множества из X является ограниченным множеством в У.

Отображение из банахова пространства во множество вещественных или комплексных чисел называется функционалом. Пусть Mn - вещественное n-мерное пространство векторов S = (si) s2i sn), G с Шп - ограниченная, замкнутая область в Rn, dG -граница области G. Для т раз непрерывно дифференцируемо!! функции x(s\, S2,..., sn) на G через Dax обозначается, как обычно, частная производная Q\a\x ds?... ds«n порядка а = а\-\-... + ап, а = (а\,..., ап) - мультииндекс из неотрицательных целых чисел. Через Cm(G) обозначается банахово пространство т раз непрерывно дифференцируемых функций х на G с нормой \а\ т Через LP(G), 1 р оо обозначается банахово пространство измеримых на G функций х: G-)lc нормой \\x(-)\\ = {[Hs)\?ds)i. JG Определение 1.5. Пусть X - банахово пространство и L С X подпространство. Если для функционала у: X —) С приращение у(х{-) + h{-)) — у(х(-)) можно записать в виде у(х(-) + Л(.)) - у(х(-)) = А(х(-)Щ-) + ш(х(.), h(-)),Vh Є L, (1.28) где А(ж(-)) - линейный по h ограниченный на L функционал и w(rc(-),/i(-))//i — 0 при \\h(-)\\ - 0, то A(x(-))h(-) называется дифференциалом функционала у в точке х в направлении подпространства L и обозначается dy(x(-),h) или y (x)h. Линейный функционал А(х(-)) называется производной в направлении подпространства L и обозначается

Определение 1.6. Пусть X - банахово пространство функций х: G —їШ и L - подпространство в X плотное в пространстве L/2(G). Если дифференциал y (x(-))h(-) функционала у: Х- Св направлении подпространства L записывается в виде З/ ОКОЖО = [ p(x(-),s)h(s)ds,Vh Є L, (1.29) JG где ер: X х G —) С и интеграл понимается в смысле Лебега, то cp(x(-):s) называется вариационной (функциональной) производной функционала у в точке х(-) в направлении L и обозначается Sy(x)/Sx(s). Если L = X, то слова "по направлению //"опускаются, впрочем, если из основного текста ясно, в направлении какого подпространства L производится дифференцирование, то они также не используются.

В основе аксиоматики теории вероятностей, предложенной Колмогоровым, лежит тройка объектов {Q,F,P}, которая называется вероятностным пространством. Здесь Q - непустое множество, называемое пространством элементарных исходов, F является о--алгеброй подмножеств пространства Q и Р- вероятностная мера на сг-алгебре F, т.е. счетно-аддитивная неотрицательная функция множеств, нормированная условием P(Q) = 1.

Определение 1.7. Случайной величиной называется функция є: Г2 — К такая, что прообраз e l{Q) любого измеримого множества Q С Ш является элементом из F. Определение 1.8. Если є: О, — Ш1 и прообраз любого измеримого множества из Кп принадлежит F, то є называется n-мерной случайной величиной,. Определение 1.9. Математическим ожиданием или начальным моментом первого порядка случайной величины є называется /» / оо М(є)= / e{u)P{du)= / edF e), (1.30) J Q J — oo где F\ - функция распределения случайной величины є. Определение 1.10. Начальным моментом порядка г называют выражение М(єг) = f sr(u)P{dcu) = f erdF!(e). (1.31) J Cl J — oo Определение 1.11. Характеристической функцией вещественной случайной величины є называется комплекснозначная функция вещественной переменной z / со eizdFx(s). (1.32) 00 Пусть X - банахово пространство функций х: Т — К, определенных на отрезке Гс!,с нормой и В есть сг-алгебра подмножеств из X, на которой задана вероятностная мера.

Определение 1.12. Отображение є: Q X называется случайным процессом (или случайной функцией), если прообраз любого множества В является множеством из F. Функция є зависит от переменных w 6 П и t 6 Г. При фиксированном ш Є О. функция e(t,co) переменной t Є Т называется реализацией случайного процесса. При каждом фиксированном t Є Т выражение є(, со) является случайной величиной.

Определение 1.13. Для случайного процесса є определяется математическое ожидание (среднее значение) M(e(t)) = / s(t,co)P(dco) = / xfj.E(t,dx) Є X, (1.33) Jo, Jx где /ie(t,dx) согласованная с є мера на пространстве X, при условии, что М\\є\\ = fn\\e(u,)\\P(dco) оо. Определение 1.14. Начальный момент порядка г определяется аналогично M(s(t{).. ,s(tr)) = / e(ti,co).. .e(tr,co)P(dco) = / xrfi(ti,... ,tr, dx). Jn Jx (1.34) Определение 1.15. Ковариационной функцией случайного процесса называется функция [17, с. 34] R(tuU) = М([є{іг) - M(e(h))Mt2) - M(e(t2))]) = = М(є( і)є( 2)) - М(є( і))М(є( 2)). (1.35).

Решение однородного дифференциального уравнения первого порядка

Пусть Ж - вещественная ось, С - комплексная плоскость, Т = [ 0JI] С Ж, LI(T) - пространство суммируемых на отрезке Т функций, L\ (Т х Ж2) - пространство суммируемых на множестве Т х Ж2 функций [38, с. 376], Loo(T) - пространство существенно ограниченных на Т функций, 1/оо(Т х Ж2) - пространство существенно ограниченных на множестве Г х Ж2 функций [21, с. 262].

Будем предполагать, что є\{) 0, є2(і) 0 при t Є Т, реализации случайных процессов і(), 2(t), ss(t) принадлежат пространству L T), реализации процесса f(t, х, у) принадлежат пространству L iT х Ж2), случайные процессы i(), Є9(), e3(t), /(,ж,г/) заданы характеристическим функционалом [25, с. 30] ФМ-), V2(-)M )M-)) = M(ft(ui(-), v2(-), v3{-), «;(.))), (2.3) где M - знак математического ожидания по функции распределения случайных процессов Єї (і), єг(), єз(), f(t,x,y) и /1( 1(-), 2(-), 3(-) (-)) =ехр(г / [єі(s)vi(s) + e2{s)v2{s) + s3(s)v5{s)]ds+ JT (2.4) 43 +« / / /(s, 1, )w(s, ті, T2)dTidT2ds), Ут JM.2 VI(-) Є Li(T), t (-) Є L!(T), U3(-) Є Li(T), w(-) Є Li(T x E2). Решение u(t,x,y) задачи (2.1), (2.2) является случайным процессом, и наибольший интерес представляет нахождение его статистических характеристик, в частности, математического ожидания, вторых моментных функций и дисперсионной функции.

Поставленную задачу нахождения моментных функций далее будем сводить к вспомогательным детерминированным задачам, для решения которых потребуется решение начальных задач для дифференциальных уравнений с частными и вариационными производными.

Обозначим через Fxy[f]{ rj) преобразование Фурье по переменным (х,у), через FZl[f](x,y) обратное преобразование Фурье по переменным (, 77), знак обозначает свертку функций по переменным {х,у) [56]. Определение 2.1. Пусть Y(vi,v2,v3,w,t,x,y) является решением задачи (2.21), (2.22) в смысле обобщенных функций (в классическом смысле), тогда У (0, 0, 0, 0, , ж, у) называется математическим ожиданием решения задачи (2.1), (2.2) в смысле обобщенных функций (в классическом смысле). Так как M(u(t,x,y)) = У(0,0,0,0,, х,у), то важно найти решение задачи (2.21), (2.22) в малой окрестности точки (0,0,0,0) переменных {vhv2:v3,w). Применяя к последнему равенству обратное преобразование Фурье, согласно свойствам (1.19) и (1.8), получим формулу (2.23). Теорема доказана. 2.3.2. Математическое ожидание решения задачи (2.1), (2.2). Теорема 2.6. При выполнении условий теоремы 2.5 M(u(t, х:у))= М(д(х, 7/)) (2.24) F№№2x(to,t, -),iri2x(to,t, ). -ixftb , -),0)1( ,2/) 0 -iX{T:tr):0)]{t,r))]{x,y)dT является обобщенным математическим оэюиданием решения задачи (2.1), (2.2). Доказательство. Положив в формуле (2.23) v\ = 0, v2 = 0, v3 = О, w = 0, получим (2.24). Теорема доказана. 2.3.3. Случай независимости случайного процесса f(t,x,y) от случайных процессов Єі(і), Є2ОО, ss(t). Формула (2.24) является достаточно общей, не требуется даже независимости случайных процессов f(t, х, у), i(), 2(t), ss(t). При независимых процессах можно продвинуться дальше. Пусть случайные процессы ei(t), 2( ), з( ) не зависят от случайного процесса f(t,x,y) и заданы характеристическим функционалом p(v.i:v2,v3) = М(ехр(г / [ei(s) i(s) + s2(s)v2{s) + s3(s)v3(s)]ds)), (2.25) JT a 4 f(w) = M(exp(« / / f(s,Ti,T2)w(s,Ti,T2)dTidT2ds)) (2.26) JT JR2 - характеристический функционал случайного процесса f(t,x,y). Подставляя эти соотношения в (2.24), получим (2.27). Теорема доказана. Отметим, что в случае независимости случайного процесса f{t,x,y) от процессов i(t), єгОО) s(t) для нахождения математического ожидания M(u(t,x,y)) решения задачи (2.1), (2.2) достаточно знать математическое ожидание М(д(х,у)) случайного процесса д(х,у), математическое ожидание M(f(t,x,y)) случайного процесса f(t,x,y) и характеристический функционал ( 1, 2, 3) случайных процессов i(t), Є2ОО, sa(t).

Переход к детерминированной задаче

При изучении явлений окружающего мира мы часто сталкиваемся с процессами, течение которых заранее предсказать в точности невозможно. Эта непредсказуемость вызвана влиянием случайных факторов, воздействующих на ход процесса. Многие физические, химические, биологические и другие процессы, возникающие на практике, подвержены случайному воздействию. Математическими моделями таких процессов являются дифференциальные уравнения, коэффициенты которых являются случайными процессами, или стохастические дифференциальные уравнения. При этом решения таких уравнений также являются случайными процессами.

Строго говоря, в природе не существует совершенно не случайных, в точности детерминированных процессов, но есть процессы, на ход которых случайные факторы влияют так слабо, что при изучении явления ими можно пренебречь. Тогда рассматривают детерминированные задачи, в которых случайные коэффициенты заменены своими средними значениями.

Однако существуют и такие процессы, где случайность играет основную роль. По мере углубления и уточнения наших знаний об окружающем мире, по мере усложнения технических устройств все большее число процессов приходится рассматривать как случайные, учитывая не только их поведение «в среднем», но и случайные отклонения от этого среднего [14]. Таким образом, оценка влияния случайных воздействий является актуальной задачей. С этой целью изучают статистические характеристики случайных процессов, являющихся решениями стохастических задач. В настоящее время изучению схожих проблем посвящены работы За-дорожнего В.Г. [26, 27, 33], Кляцкина В.И. [36, 37], Фурсикова А.В. [51 -53], Смагиной Т.Н. [34], Строевой Л.Н. [30, 31, 46]. Целью данной работы является исследование статистических характеристик решения задачи Коши для двумерного неоднородного уравнения теплопроводности, коэффициенты которого являются случайными процес сами, а также получение оценок погрешности, возникающей при замене случайных процессов, входящих в дифференциальное уравнение, их математическими ожиданиями.

Для достижения поставленной цели необходимо решение следующих задач: 1. Сведение исходной задачи, коэффициенты которой являются случайными процессами, к вспомогательным детерминированным задачам. 2. Решение начальной задачи для дифференциального уравнения первого порядка с частными и вариационными производными. 3. Нахождение решения задачи Коши для дифференциального уравнения третьего порядка с частными и вариационными производными. 4. Решение вспомогательных детерминированных задач. 5. Вычисление моментных функций решения исходной задачи. 6. Оценка погрешности, обусловленной заменой в дифференциальном уравнении случайных коэффициентов их средними значениями.

Первая глава диссертации носит вспомогательный характер и содержит обзор основных понятий, используемых в работе. Приведены определения и свойства преобразования Фурье, вариационной производной, случайного процесса и его характеристик. Рассмотрено решение начальной задачи для двумерного уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами.

В этой главе получены формулы для математического ожидания, второй момептной и дисперсионной функций решения задачи (1), (2) в общем случае и в случае независимости случайного процесса f(t,x,y) от процессов ei(t), e2(t), є3(), а также рекуррентные соотношения для нахождения моментных функций любого порядка. В параграфе 2.2 второй главы получены явные формулы для решений начальных задач с частными и вариационными производными первого и третьего порядков.

Математическое ожидание решения задачи (2.1), (2.2)

Рассмотрена начальная задача для линейного однородного дифференциального уравнения первого порядка с частными и вариационными производными -QJU(VI, v2, v3, t) = Qiffl (t)U(Vl V2 V3 )+ ( U(vu v2, v3, o) = Uoiv!, v2, v3), (6) где t Є T, vi Є Li(T), v2 Є Li(T), v3 Є Ьг(Т), аг: Т - С, а2: Т - С, а3: Г -» С - непрерывны на отрезке Т, Z7: і(Т) x LX{T) xLi(T)xT- C - искомое отображение, Щ: L\{T) x L\(T) x L\(T) —» С - задано. Обозначим через х(а, Ь, -) функцию, определяемую по следующему правилу: х(а, 6, s) = sign(s — а) при s, принадлежащем отрезку с концами а и 6, и х(а, 6, s) = 0 в противном случае.

Умножив уравнение (1) и начальное условие (2) на h(vi,v2,V3,w) и усреднив по функции распределения процессов єі(), 2(t), єз( )5 f{t,%,y),B терминах функционала Y(vi, v2, v , w,t,x, у) получим детерминированную задачу д 5 д2 —Y(vh v2, v3, w, t, ж, y) = -i , 27(t)i, v2, v3: w, t, x, y)- (15) . 5 d2 f . S лгґ ч lSv (t) д 2 1} 2 3 w ж l5v (t) (Vl V2 V3: W X V У (vi, v2, v3, w, t0, x, y) = M(g(x, у))ф(уі, v2, v3, w). (16) Причем, если известно Y{v\) v2, г з w- xi у)5 т0 математическое ожидание M(u(t, х, у)) решения задачи (1), (2) вычисляется по формуле M(u(t, х, у)) = У(0, 0, 0, 0, , ж, у). (17) Определение 1. Пусть Y(vi,v2,V3,w,t,x,y) является решением задачи (15), (16) в смысле обобщенных функций (в классическом смысле), тогда У (О, О, О, О, t, х, у) называется математическим ожиданием решения задачи (1), (2) в смысле обобщенных функций (в классическом смысле). Так как M(u(t,x,y)) = У(0,0, О, О, #,#,?/), то важно найти решение задачи (15), (16) в малой окрестности точки (0,0,0,0) переменных

Отметим, что в случае независимости случайного процесса f(t,x,y) от процессов єі(і), 62{t), єз(і) для нахождения математического ожидания M(u(t, ж, у)) решения задачи (1), (2) достаточно знать математическое ожидание М(д(х,у)) случайного процесса д(х,у), математическое ожидание M(f(t,x,y)) случайного процесса f(t,x,y) и характеристический функционал (p(vi,V2,vs) случайных процессов єі(), 2 ), з( ) Параграф 2.4 посвящен нахождению второй моментной функции решения задачи (1), (2). Вводится отображение Z(vi, v2, v3, w, t, s, x, ж, y, y) = M{u(t, x, y)u(s, x, y)h(vi, v2, v3: w)), (22) где t Є T, s Є T, x Є R, у Є R, x Є №, у Є Е, г і Є Li(T), г;2 Є Ьі(Г), з Є Li(T), w Є Li(Т х R2), М - знак математического ожидания по функции распределения случайных процессов Si(t), є2(і), з( ), f{t,x,y), h(yi,V2,V3,w) имеет вид (4). Отметим, что Z(yi,V2,V3,w,t,s,x,x,y,y) симметрично по переменным (t,x,y) и {s,x,y). Умножив обе части уравнения (1) и начального условия (2) на u(s:x,y)h(vi,V2,vs,w) и усреднив по функции распределения процессов i(t), 2 )» з(ї), f(t,x,y) получим следующую детерминированную задачу относительно функционала Z(vi,V2,V2nw,t,s,x:x,y,y) д —Z(vi, v2, V3, w, t, s, x, x, y, y) = (23) = гл (+) Q 2Z(Vl V2 V W 5 Ж Ж / У) 2T мр ( 1, V2, V3, , , 5, Ж, Ж, J/, у)-с 6У (t)Z Vl Щ V?nW S Ж Ж ь 2, v3, w, tQ, s, x, x, y, y) = M(g(x, y)u(s, x, y)h(vi, v2, v3, w)). (24) Причем, M{u{t, x, y)u(s, x, y)) = Z(0,0, 0, 0, t, 5, x, x, у, y). (25)

Найдено решение вспомогательной задачи (23), (24), позволяющее получить формулы для второй моментной функции решения задачи (1), (2). Обозначим через ку[/]( ?7) преобразование Фурье по переменным (х,у), через Fjl[f]{x,y) обратное преобразование Фурье по переменным (,?)), через свертку по переменным (х,у).

Похожие диссертации на Моментные функции решений уравнения теплопроводности со случайными коэффициентами

Моментные функции решений интегро-дифференциальных уравнений со случайными коэффициентамиСирота Екатерина Александровна

Моментные функции решений дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка со случайными коэффициентамиСтроева Любовь Николаевна

Моментные функции решений уравнения диффузииБеседина, Татьяна Владимировна

Алгоритмические уточнения приближений нелинейных функций и решений дифференциальных уравненийАман, Уллах

Многолистные направляющие функции в задаче о периодических решениях дифференциальных уравненийРачинский, Дмитрий Игоревич

Решение систем сингулярных интегральных уравнений, сводящихся к факторизации подстановочных матриц-функций третьего порядкаКолмакова, Людмила Николаевна

Разработка теории нормированных систем функций и их применения к решению начально-краевых задач для уравнений в частных производныхКарачик Валерий Валентинович

Асимптотическое поведение решения задачи Коши для уравнения теплопроводности в пространствах постоянной отрицательной кривизны Погорелов Юрий Владимирович

Существование решений системы Власова-Максвелла и уравнения нелинейной теплопроводности Рудых Геннадий Алексеевич

Аналитические решения задачи об инициировании тепловой волны для нелинейного уравнения теплопроводностиКузнецов Павел Александрович