Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Общие вопросы уточнения приближения нелинейных функций 12
1.1. Определения, обозначения и свойства нелинейной функции 12
1.2. Анализ приближения нелинейной функции с таблицами примеров 17
1.3. Недостатки обычного метода приближения 30
1.4. Теоремы уточнения приближения нелинейной функции 31
1.5. Алгоритм вычисления погрешности 45
1.6. Основания уточнения 46
1.7. Основные методы уточнения и вычисления погрешности 47
1.8. Уточняемая форма уравнения с примером 49
Глава II. Уточнение приближения нелинейной функции при помощи равномерных методов
2.1. Методы регулировки параметров 53
2.2. Методы регулировки параметров в случае взаимно- компенсирующейся погрешности 62
2.3. Методы регулировки параметров в случае дискретного приближения 71
2.4. Методы регулировки параметров в случае дискретного приближения к взаимнокомпенсирующейся погрешности 83
Глава III. Применение методов уточнения к решениям дифференциальных уравнений 99
3.1. Анализ бесконечно дифференцируемой функции 99
3.2. Теоремы разложения нелинейной функции 101
3.3. Приближения к бесконечно дифференциремым функциям 104
3.4. Применение методов уточнения 106
Литература 115
- Анализ приближения нелинейной функции с таблицами примеров
- Основные методы уточнения и вычисления погрешности
- Методы регулировки параметров в случае взаимно- компенсирующейся погрешности
- Приближения к бесконечно дифференциремым функциям
Введение к работе
При решении многих задач физики и техники возникает необходимость исследования нелинейных колебательных систем. Фундаментальный вклад в решение данной проблемы внесли И.М. Крылов, Н.Н. Боголюбов и их ученики [б, 29, 30, 50J.
Разработанные и строго обоснованные ими методы образовали мощный, практически удобный математический аппарат исследования.
В работах Ю.А. Митропольского и других авторов на основе замены нелинейной функции полиномом получены оценки погрешности отклонения найденного приближенного решения от точного решения данного уравнения [11, 13,15,16,17,18,20,23,3?,4?,53.].
В данной диссертационной работе, которая примыкает к указанным выше исследованиям, изучаются вопросы уточнения приближений нелинейной функции и их применение к уточнению приближенных решений нелинейных дифференциальных уравнений.
Актуальность исследования этих вопросов вызвана тем, что для некоторых задач оказывается недостаточно использования разложения нелинейной функции в ряд Тейлора. Поэтому построение различных методов уточнения приближений нелинейной функции является важным и актуальным для теории приближенных методов решений дифференциальных уравнений.
Результаты работы расширяют возможность применения приближенных методов при исследовании нелинейных колебательных движений. Они могут быть применены при решении прикладных задач небесной и классической механики.
К основным результатам диссертации относятся;
1. Теоремы уточнения ТУ1 -ого приближения на основе линейной и нелинейной погрешности.
2. Равномерные методы уточнения с алгоритмом вычисления погрешности.
3. Описаны формулы неравномерных методов уточнения т -ого приближения нелинейной функции.
4. Изложены применения методов уточнения приближений к исследованиям колебательных решений консервативной системы дифференциального уравнения второго порядка.
Все результаты, содержащиеся в диссертации, являются новыми, строго математически обоснованы и получены автором лично.
Анализ приближения нелинейной функции с таблицами примеров
Погрешность отбрасывания — когда определяется обыкновенное приближение от начальной функции, тогда разница между ними является погрешностью отбрасывания.
Внесенная погрешность — это погрешность, которая вносится нами. Порядок погрешности. Для конкретного значения необходимо определять порядок погрешности. Например, в относительном случае можно определять так: Погрешность нулевая - когда погрешности не существует. Погрешность первого порядка - очень малая, максимум I %. Погрешность второго порядка - малая, максимум 5 % Погрешность третьего порядка - большая, больше, чем 5 % и т.д. Допустимая (предельная) погрешность—максимальная погрешность, которая не рассчитывается. Значительная (грубая, явная) погрешность—которая рассчитывается. Стандартная погрешность — принятая допустимая погрешность в относительном случае = 5 %, ив абсолютном случае погреш-ность-по разному. Линейная (прямая) погрешность — отклонение по дальности. Нелинейная (суммарная) погрешность — вполне действующая погрешность. Е и Ё = (х) — () —-соответственно абсолютная (а) и {&) линейная погрешность та-ого приближения в точке х= . я 100 \ —йгг соответственно абсолютная (а) и (&) относительная линейная погрешность в процентах ш-ого приближения в точке Х=- . EL = Е и IW — Im Щ — соответственно абсолютная ( а) и (&) нелинейная погрешность m-ого приближения в точке Х = і. \ соответственно абсолют П) ная (a.) и ( & ) относительная нелинейная погрешность в процентах " m -ого приближения в точке X=t , Неопределимая погрешность - если погрешность имеет минимум два различных значения в точке х= . Погрешность установки коэффициента - погрешность, которая связана с коэффициентами. (г) Приближения и область определения. (о ,a ) = a — область определения начальной функции. (0 ,6cJ = 5cm — область определения Ы-ого приближения, когда максимальная допустимая погрешность дана. "У„ — асимптотические приближения начальной функции, когда jn -)-оо , тогда ссга -»- a , где погрешность нулевая и a a. t\ т ос = а — асимптотический предел с нулевой погрешностью то есть а а; imx = а" — асимптотический предел с погрешностью, то есть a" a ym— граничные асимптотические приближения, если а -с a и а— целое асимптотическое приближение, если a =a и a" a ljm—справедливое (пригодное) приближение, если ЭСм 0С, где х — область определения ; Е — допустимая погрешность; ос и С данные, так что o oc a. LJW—несправедливое (непригодное) приближение, если х зс., а х.и Е даны. ут—критическое приближение, если зіт 5с и ocW4 x, а ї и Е даны. -17 Ч - высшее критическое приближение, если УЛ ггц аХиЁ даны и Ч критическое приближение. /i- высшее полное критическое приближение, если ОС , CL или уп т , а , дана. Допустим У — тп -ое приближение на интервале ( , Xw) с максимальной погрешностью Е и - новое t -ое приближение на интервале ( ,) с максимальной погрешностью Если I Е I IЕ I » то приближения и Vt явля готся эквивалентными. 1.2. Анализ приближения нелинейной функции с таблицами примеров Анализ метода Применение метода к функциям, разлагающимся в бесконечный ряд, объясняется при помощи некоторых элементарных и фундаментальных примеров, которые часто используются в прикладных задачах , связанных с решениями дифференциальных уравнений. Эти примеры объясняются двумя методами, когда погрешность (а) линейная и (б) нелинейная ( суммарная ).
Каждый метод определяет абсолютную и относительную погрешности. Применение метода линейной и нелинейной погрешности помогает при вычислении других функций , которые можно найти путем интегрирования или дифференцирования данной функции.
Иногда метод относительной погрешности не приводит к успеху из-за существования неопределимой формы, дающей конечную граничную предельную величину при использовании даже бесконечного порядка приближения. Таким образом, чтобы перейти предельную величину, нужно применить решение :
Основные методы уточнения и вычисления погрешности
Системы /А/ и /Б/ имеют (2W+J) неизвестную величину и(2"Ш-)) уравнений, дающие возможность отыскать эти неизвестные. Поэтому множество X JXJ- XJ является множеством последовательных точек на (.0,0.) , где линейную погрешность можно заканчиватьт раз.
Предположим, что эта система однозначно разрешима, т.е. что она имеет единственное решение .
Для уточнения приближения нужно использовать максимальное количество точек в разных условиях и в разных случаях таким образом, чтобы величина В I была нулем или константой, как необходимо. Эти точки могут изменять коэффициенты X в данном приближении, поэтому они играют основную роль в уточнении приближения для получения лучших соответственных приближений.
При помощи разных методов можно уточнять приближения в следующих случаях: I/ если определяем максимальный интервал применения, то можно уменьшить ошибку; 2/ если определяем максимальную ошибку, то можно увеличивать интервал применения; 3) если определяем максимальную область определений и максимальную ошибку, то можно уменьшать порядок и степень данного приближения вследствие эквивалентности. Методы вычисления погрешности Погрешность в Ы -ом приближении от начальной функции можно вычислять в разных методах. Самые основные методы из них следующие: а) метод линейной погрешности, б) метод нелинейной погрешности. Каждый метод характеризуется двумя способами: 1) метод относительной погрешности, 2) метод абсолютной погрешности. Метод линейной погрешности обычно используется для вычисления погрешности, которая: I) не определяет и не выражает действительную и эффективную погрешности, а выражает только производную погрешность в определенной точке; П) не равномерна; Ш) различается во всех интервалах, на которые мы разбиваем область определения; ІУ) для новых приближений очень трудно ее сохранить и вычислять приближенное постоянство в линейной погрешности. С другой стороны, метод нелинейной погрешности: I) является наиболее основным, который определяет и выра-.жает действительную, вполне эффективную погрешность; П) является равномерным; Ш) может точно равно во всех разбивающихся интервалах; ТУ) для новых приближений можно просто сохранять и вычислять нелинейную погрешность как необходимую. Поэтому нужно использовать погрешность для вычисления погрешности в уточнении приближения, которое играет основную роль в данной работе. Иногда метод относительной погрешности неэффективен вследствие существования неопределимой формы в некоторой точке, которую можно решить разными методами, чтобы сравнить абсолютную погрешность в процентах. Практические методы уточнения Для практического применения существуют два случая: 1) когда нужны очень точные результаты, использующиеся в практике, в частности всякие сложные вычисления, выполняемые при помощи вычислительной машины. В этом случае нужно использовать справочник, который дает наилучшие приближения; 2) когда нужно уточнять без справочника и без сложных вычислений, чтобы уменьшить погрешность; тогда методы уточнешш должны быть очень простыми, чтобы легко было вычислять. Теоретические методы уточнения Кроме того, существуют разные методы вычисления, которые дают приближения близкие к наилучшему приближению и требуют использования вычислительной машины или сложных вычислений. Когда нужно вычислять очень точно при помощи справочника или нужно просто уменьшить погрешность без сложных вычислений и без справочника, все такие методы остаются теоретическими. Использование в нелинейных дифференциальных уравнениях приближений высшего порядка затрудныет его решение, такой метод можно использовать, когда нужно уточнять приближения высших порядков, которых нет в справочнике. Но когда мы вычисляем многократно приближешш высшего порядка, погрешность машины может быть больше, чем погрешность, которую нужно устранить. Поэтому такие методы непригодные в практике.
Методы регулировки параметров в случае взаимно- компенсирующейся погрешности
Для уточнения приближения данной нелинейной функции, обычно исследователи идут по пути уменьшения погрешности. В целях этого они увеличивают порядок приближения. Когда порядок приближения увеличивается, тогда погрешность приближения уменьшается. Но погрешность вычислительной машины увеличивается, когда вычисляемое приближение содержит много членов или высшие степени переменной. В этом случае погрешность вычислительной машины может быть больше, чем погрешность, которую необходимо устранить. В справедливости вышесказанного можно убедиться из следующих примеров, выполненных при помощи вычислительной машины с 16 разрядами.
Пример I. Если y-sinx является данной функцией, где "у - ее ш-ое обыкновенное приближение, тогда: (а). Рассмотрим 1)6-6-ое обыкновенное приближение на интервале (0, /4 ) с линейной относительной погрешностью на основе. Максимальная погрешность вычислительной машины (=2,776-16) уже в два раза больше максимальной погрешности приближения («1,249-16), которую нужно устранить. (б). Рассмотрим у8-8-ое приближение на интервале (0,75), с нелинейной относительной погрешностью на основе. Максимальная погрешность вычислительной машины (=2,82-14) уже больше максимальной погрешности приближения («2,685-14), которую нужно устранить. (в). Рассмотрим "ув-8-ое приближение на интервале (o R ), основанное на нелинейной абсолютной погрешности. Максимальная погрешность вычислительной машины (=1,11-16) почти равна максимальной погрешности приближения, которую нужно устранить. Следовательно, нельзя использовать приближения i]m при m e в случаях (а), (б) и (в). (г). Рассмотрим l)1D-iO-oe приближение на интервале (0,87)7 основанное на линейной относительной погрешности. Максимальная погрешность вычислительной машины (=2,78-16) уже больше максимальной погрешности приближения (=2,36-16), которую нужно устранить. (д). Рассмотрим "у -Ю-ое приближение на интервале (0,87), основанное на линейной абсолютной погрешности. Максимальная погрешность вычислительной машины (=2,64-16) уже больше максимальной погрешности приближения (=2,22-16), которую нужно устранить. Следовательно, в случаях (г) и (д) нельзя использовать приближения у при m И0 (е). Рассмотрим "У.р-Ю-ое приближение на интервале (0,128), основанное на нелинейной относительной погрешности. Максимальная погрешность вычислительной машины (=2,82-14) уже больше максимальной погрешности приближения (=2,67-14), которую нужно устранить. Поэтому нельзя использовать у при т ио (ж). Рассмотрим у 0НО-ое приближение на интервале (0,Ю7); основанное на максимальной абсолютной погрешности. Максимальная погрешность вычислительной машины («1,5543-15) почти равна максимальной погрешностип приближения, которую нужно устранить Поэтому нельзя использовать yw при тзчо ПРИ п- Если У» ТЇХ является данной функцией на интервале (0,028) основанное на линейной относительной погрешности, где ут — ее tn-oe обыкновенное приближение, тогда: (а). Рассмотрим TJ10— 10-ое приближение. Максимальная погрешность вычислительной машины (:4,1-7) уже больше максимальной погрешности приближения («3,8-7), которую нужно устранить. Поэтому нельзя использовать уж при m ъ 10. (б). Рассмотрим "у,, — 11-ое приближение. Максимальная погрешность вычислительной машины (=6,6-7) почти равна максимальной погрешности приближения, которую нужно устранить Поэтому нельзя использовать ijm при тъ II Приведенные примеры убеждают в том, что существует предельное приближение и предельная погрешность приближения. Поэтому можно использовать предельную погрешность как допустимую погрешность для увеличения области определения приближения. Добавляем к условиям (I) - (Ш) в 2.1 2. следующее условие: (ІУ) Е - фиксированная максимально-абсолютная суммарная допустимая погрешность на новом интервале (о , хт ) Тогда о! -максимальная область определения, вычисляется при помощи системы из (2тп + 3) уравнений (А) и (Б) в 2.1.2., которые имеют (2т+ 3) неизвестные величины {K„,K,,Kz,---Km,a:o,oc,,acZ)-,ocm,al}, что позволяет определять из значения. Кроме того ост - максимальная область определения обыкновен -60 ного ш-ого приближения соответствущей Мах, Е( , поэтому этот метод увеличивает область определения в
Приближения к бесконечно дифференциремым функциям
У нас есть {Ко, К,, Кг,К3, -,1 .,,ее., ос,, эсг,х3,-. -, .,,01} —. (4тп+ I) неиявестные величины и (4т+ I) уравнения в системах (А) и (Б), что позволяет определять их значения и следовательно вычислить новую область определения а1 соответствующей Е«.
Система (В) вытекает из системы (Б) и помогает вычислять неизвестные величины. Второе приближение. Пусть уг« ос —-г- определяется на интервале ( 0 , хJ и дает максимальную нелинейную суммарную допустимую погрешность С . Тогда соответствующей погрешности JEI область определения обыкновенного приближения е ccw . Допустим, что уе« К„+ К,Х+ КгХ +КзХ на новом интервале (О ,а ) является новым вторым приближением, где К0 , К, , Кг, К3 неизвестные константы. Если ос., эс есг, Ос5 — неизвестные последовательные значения переменной X , такие что: 0 х0 х, Зс3 а1 , тогда для вычисления а соответствующей Е , нужно искать {К0,КИ Кг,Къ,Хо,Х,,Хг з:3} из следующих условий в двух случаях. Случай I. Если максимальная нелинейная суммарная допустимая погрешность = 0,0003348, тогда область определения второго обыкновенного приближения . Пусть Х0= 0 ; К0= 0; X, = 0,454 Рад. = 26,0123; Хг= 0,992 Рад. - 56,8374; Х3= 1,413 Рад. - 80,959. Тогда К,= 1,0139715; Кг= -0,0501341; К3= -0,1223152 и новое приближение имеет вид: tj 2= 1,0139715 X - 0,050I34IX - 0,І223І52Х3 на новом интервале, которое дает максимум Е = 0,0003348 и новая область определения CL «= "/г . Тогда область определения увеличивается прмбл. в два раза или на 100 %. Случай П. Если максмальная нелинейная суммарная допустимая погрешность = 0,0002154, тогда область определения второго обыкновенного приближения 42. Цусть xD= 0,156 рад. = 8,93814; х, = 0,55555 Рад. =31,83; Х2= 1,0455 Рад. = 59,902738; Х3= 1,43 Рад. «= 81,932966. Тогда К, =-0,0031352; К,« 1,0300209; К,- -0,0718234; К,- -0,113815 и новое приближение имеет вид: 5= -0,0031352 + І,0300209Х- 0,07І8234х - 0,И3815Х3 на новом интервале. Оно дает максимум Е = 0,0002154 и новую область определения = .То есть увеличения в области определениям в 2,143 раза или на 114,286 %. Уточнение данного приближения в этом направлении приводит к уменьшению порядка и степени приближения а, следовательно, к вычислению критического приближения степени для эквивалентного приближения. Добавляем к условиям (І-Ш) иэ 2.3.2. следующие условия: (Ш & - фиксированная максимальная область определения х(х) (У) Е- фиксированная максимальная, , абсолютная, суммарная допустимая погрешность m-ого приближения. Тогда метод уточнения данного m-ого обыкновенного приближения в направлении уменьшения порядка и степени приближения, массматриваемый с нелинейной суммарной погрешностью, приводит к следующему. иусть и=х:кІЯ(хнІікиииіх) н=о новое приближение с максимальной степенью Ч на интервале (0,а ), где 1ЄМ ,о і йі;о а а, {Ко,К,,Кг,--,К,}-(Ь+0 неизвестных констант, { Х0, ос, эсг,—, Х — ( {, + I) — неизвестных последовательных величин х такие что: о хв - х а!. Их нужно искать при следующих условиях (следовательно определить величинуrt для критического приближения): В системах (А), (Б) и (В) содержится соответственно ( + I), ( і + 2) и минимум ( і + I) уравнений. Системы уравнений (А) и (Б) имеют {КсД,,Кг,---, ,0:,,% .-}— 2(і. + I) неизвестных величин и 2 (і + I) уравнений, дающих воз-можность отыскать эти неизвестные величины. Для критического приближения нужно решать системы уравнений (А) и (Б) при n=t, что дает максимальную погрешность С на данном интервале (о,а!), . at так что: являются эквивалентными приближениями в данном случае. В этом методе мы добились уменьшения степени данного т-ого приближения на ( И1 - "t) на данном интервале (0 , а1) с данной максимальной суммарной погрешностью Е.
