Введение к работе
Актуальность темы. Одним из важных направлений теории дифференциальных уравнений является исследование различных задач о вынужденных и свободных периодических колебаниях.
Детально изучены различные схемы малого параметра, включая асимптотические методы. Существенно менее разработана нелокальная теория вынужденных колебаний. Здесь можно указать книги Б.П.Демндови-ча, М.А.Красносельского, В.А.Плнсса, Е.Н.Розенвассера и др. В нелокальной теория важную роль играют методы интегральных уравнений, метод контура Важевского и метод направляющих функций, в основной части Предложенный и разработанный М.А.Красносельским п его учениками: Н.А.Бобылевым, А.Б.Кущевым, Е.А.Лифшицем, Э.М.Мухам-мадневым, А.Й.Перовым, А.Й.Поволоцким, Б.Н.Садовским, В.В.Стрыгп-ным и др. Существенный вклад п развитие метода направляющих функций внесли A.M.Красносельский, J.Mawhin и др.
Метод направляющих функций нашел приложения не только к анализу периодических обыкновенпых дифференциальных уравнений; он оказался эффективным и при анализе уравнений с распределенными параметрами и уравнений с гистерезнсными иедииейпостямп.
Важный класс составляют дифференциальные уравнения, возникающие в результате возмущений (возможно, "больших") линейных систем. Основные известные результаты относятся к случаю, когда соответствующие однородные линейные уравнения не резонансны.. В связи с этим актуальна проблема развития методов исследования задач о выпузхденч пых периодических решениях систем ТЗлизкпх в том идя ппом смысле (по не в смысле равномерной близости) к резонансным я:шгГ;гтлг'. сг:гтемам. Попытке разработать такой метод посвящена дзссертацгтс.-.n:.-i:i работ.
Цель работы. Разработка нового метода, позволяющего доказывать новые теоремы существования вынужденных периодических колебаний у различных классов нелинейных систем с основной линейной резонансной частью, а также обосновывать реализуемость и сходимость процедур типа гармонического баланса приближенного построения этих колебаний.
Методы исследования. Использованы методы качественной теории дифференциальных уравнений (оператор сдвига, дифференциальные неравен тва и др.); метод Направляющих функций; топологические методы нелинейного анализа (нелинейные операторные уравнения, вращение векторных полей, принципы родственности); теория систем с запаздыванием и систем с гистерезисом; метод импульено-Чнстотных Характеристик в теории систем управления.
Научная Новизна диссертации. Введен в рассмотрение новый класс направляющих функций - многодетные направляющие функции, однозначные на Некоторых простых риманових поверхностях. В терминах существования многолистных направляющих функций указаны новые условия существования вынужденных периодических колебаний, обеспечивающие одновременно реализуемость И сходимость метода гармонического баланса. Указаны приложения общих теорем о вынужденных периодических колебаниях к анализу колебаний в одноконтурных нелинейных системах управления.
Развит метод применения многолистных направляющих функций к исследованию периодических колебаний в системах с запаздыванием и системах с пктерезисной нелинейностью, описывающей изменение индукции магнетика в переменном внешнем Магнитном поле (здесь использована основанная на теории дислокаций феноменологическая модель, ко-горух> предложили I.D.Maycrgoyz и G..I.Friedman).
Работа теоретическая.
Объем п структура диссертации. Работа состоит из введения и пяти параграфов, изложена на 126 страницах. Библиография 59 наименований.
Апробация работы. Отдельные части диссертации докладывались и обсуждались на Международной конференции "Функционально-дифференциальные уравнения и приложения" (Москва, 1994), конференции молодых ученых и аспирантов Московского физико-технического института (Москва, 1994), конференции "Современные методы нелинейного анализа" (Воронеж, 1995), на семинарах в Институте проблем передачи информации РАН.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 работ.
